本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)》第一章《空間向量與立體幾何》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)空間向量基本定理。
空間向量基本定理也成為空間向量分解定理，它與平面向量基本定理類似，區(qū)別僅在于基底中多了一個(gè)向量，從而分解結(jié)果中多了一“項(xiàng)”.證明的思路、步驟也基本相同．空間向量基本定理的推論意在用分解定理確定點(diǎn)的位置，它對(duì)于今后用向量方法解幾何問題很有用，也為今后學(xué)習(xí)空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算作準(zhǔn)備．
1.教學(xué)重點(diǎn)：理解空間向量基本定理及其證明.
2.教學(xué)難點(diǎn)：運(yùn)用空間向量基本定理解決有關(guān)問題.
多媒體
教學(xué)中主要突出了幾個(gè)方面：一是創(chuàng)設(shè)問題情景，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生求知欲，并以此來激發(fā)學(xué)生的探究心理。二是運(yùn)用類比學(xué)習(xí)法，通過對(duì)平面向量基本定理的溫習(xí)，來學(xué)習(xí)空間向量基本定理。教學(xué)設(shè)計(jì)盡量做到注意學(xué)生的心理特點(diǎn)和認(rèn)知規(guī)律，觸發(fā)學(xué)生的思維，使教學(xué)過程真正成為學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，以思維教學(xué)代替單純的記憶教學(xué)。注意在探究問題時(shí)留給學(xué)生充分的時(shí)間， 使數(shù)學(xué)教學(xué)成為數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)。從而發(fā)展學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。
課程目標(biāo)
學(xué)科素養(yǎng)
A.掌握空間向量基本定理.
B.了解空間向量正交分解的含義.
C.會(huì)用空間向量基本定理解決有關(guān)問題.
1.數(shù)學(xué)抽象：空間向量基本定理的證明
2.邏輯推理：運(yùn)用空間向量基本定理解決空間平行與垂直的證明；
3.直觀想象：空間向量基本定理在立體幾何的運(yùn)用；
4.數(shù)學(xué)運(yùn)算：運(yùn)用基底思想和向量運(yùn)算解決立體幾何問題；
教學(xué)過程
教學(xué)設(shè)計(jì)意圖
核心素養(yǎng)目標(biāo)
一、情境導(dǎo)學(xué)
我們所在的教室即是一個(gè)三維立體圖,如果以教室的一個(gè)墻角為始點(diǎn),沿著三條墻縫作向量可以得到三個(gè)空間向量.這三個(gè)空間向量是不共面的,那么用這三個(gè)向量表示空間中任意的向量呢？
二、探究新知
知道平面內(nèi)的任意一個(gè)向量都可以用兩個(gè)不共線的向量來表示(平面向量基本定理)，類似的任意一個(gè)空間的向量，能否用任意三個(gè)不共面的向量來表示呢？
因此，如果i,j,k是空間三個(gè)兩兩垂直的向量，那么對(duì)于任意一個(gè)空間向量p存在唯一有序?qū)崝?shù)組（x,y,z），使得p= xi+ yj+zk 。我們稱 xi, yj,zk分別為向量p在i,j,k上的分向量。
探究
如圖1.2-1， 設(shè)i,j,k是空間中三個(gè)兩兩垂直的向量，且表示他們的有向線段有公共起點(diǎn)，對(duì)于任意一個(gè)空間向量p=OP,設(shè)OQ為OP在i,j所確定的平面上的投影向量，則OP=OQ+QP,又向量QP，k共線，因此存在唯一實(shí)數(shù)z，使得QP+zk，從而OP=OQ+ zk ，而在i,j所確定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)（x,y），使得OQ=xi+ yj.從而，OP=OQ+ zk = xi+ yj+zk.
空間向量基本定理
1.定理:如果三個(gè)向量a,b,c不共面,那么對(duì)任意一個(gè)空間向量p,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),
使得p=xa+yb+zc.
2.基底:我們把定理中的a,b,c叫做空間的一個(gè)基底,a,b,c都叫做基向量.空間任意三個(gè)不共
面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底.
3.單位正交基底:如果空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量兩兩垂直,且長度都為1,那么這個(gè)基底叫做單位正交基底,常用i,j,k表示.
由空間向量基本定理可知,對(duì)空間中的任意向量a,均可以分解為三個(gè)向量xi,yj,zk,
使a=xi+yj+zk,像這樣,把一個(gè)空間向量分解為三個(gè)兩兩垂直的向量,叫做把空間向量進(jìn)行正交分解.
定理辨析
1.空間任意三個(gè)不共面的向量都可構(gòu)成空間的一個(gè)基底.基底選定后,空間的所有向量均可由基底唯一表示;不同基底下,同一向量的表達(dá)式也有可能不同.
2.一個(gè)基底是一個(gè)向量組,一個(gè)基向量是指基底中的某一個(gè)向量,二者是相關(guān)聯(lián)的不同概念.
3.由于零向量與任意一個(gè)非零向量共線,與任意兩個(gè)不共線的非零向量共面,所以若三個(gè)向量不共面,就說明它們都不是零向量.
做一做
1.判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)打“√”,錯(cuò)誤的打“×”.
(1)空間向量的基底是唯一的.( )
(2)若a,b,c是空間向量的一個(gè)基底,則a,b,c均為非零向量.( )
(3)已知A,B,M,N是空間四點(diǎn),若BA, BM, BN 不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底,則A,B,M,N共面.( )
(4)若{a,b,c}是空間的一個(gè)基底,且存在實(shí)數(shù)x,y,z使得xa+yb+zc=0,則有x=y=z=0.( )
答案: (1)× (2)√ (3)√ (4)√
2.設(shè)x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空間的一個(gè)基底,給出下列向量組:①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+b+c}.其中可以作為空間一個(gè)基底的向量組有( )
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
答案: C
解析:如圖所示,令a=AB,b=AA1,c=AD,則x=AB1,y=AD1,z=AC,a+b+c=AC1.
由于A,B1,C,D1四點(diǎn)不共面,可知向量x,y,z也不共面,
同理b,c,z和x,y,a+b+c也不共面,故選C.
3.已知{e1,e2,e3}是空間的一個(gè)基底,且OA=e1+2e2-e3,
OB=-3e1+e2+2e3,OC=e1+e2-e3,試判斷{OA,OB,OC}能否作為空間的一個(gè)基底.
解:設(shè)OA=xOB+yOC,則e1+2e2-e3=x(-3e1+e2+2e3)+y(e1+e2-e3),
即e1+2e2-e3=(y-3x)e1+(x+y)e2+(2x-y)e3,
∴y-3x=1,x+y=2,2x-y=-1,此方程組無解.
即不存在實(shí)數(shù)x,y,使得OA=xOB+yOC,
所以O(shè)A,OB,OC不共面.
所以{OA,OB,OC}能作為空間的一個(gè)基底.
典例解析
例1.如圖，M、N分別是四面體OABC的棱OA、BC的中點(diǎn)，P、Q是MN的三等分點(diǎn)．
（1）用向量，，表示和．
（2）若四面體OABC的所有棱長都等于1，求?的值．
解：（1）＝，＝，
∴＝++＝++＝+（）+（）
＝﹣++，
∴＝＝+＝﹣++＝++．
＝＝+＝﹣++＝++．
（2）＝（++）?（++）
＝2+?+++2++++2
＝++++++++＝
跟蹤訓(xùn)練1.如圖所示，在平行六面體ABCD-A′B′C′D′中，eq \(AB,\s\up14(―→))＝a，eq \(AD,\s\up14(―→))＝b，eq \(AA′,\s\up14(―→))＝c，P是CA′的中點(diǎn)，M是CD′的中點(diǎn)，N是C′D′的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量.
(1)eq \(AP,\s\up14(―→))；(2)eq \(AM,\s\up14(―→))；(3)eq \(AN,\s\up14(―→))；(4)eq \(AQ,\s\up14(―→)).
解 連接AC，AD′.
(1)eq \(AP,\s\up14(―→))＝eq \f(1,2)(eq \(AC,\s\up14(―→))＋eq \(AA′,\s\up14(―→)))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up14(―→))＋eq \(AD,\s\up14(―→))＋eq \(AA′,\s\up14(―→)))＝eq \f(1,2)(a＋b＋c).
(2)eq \(AM,\s\up14(―→))＝eq \f(1,2)(eq \(AC,\s\up14(―→))＋eq \(AD,\s\up14(―→))′)＝eq \f(1,2)(a＋2b＋c)＝eq \f(1,2)a＋b＋eq \f(1,2)c.
(3)eq \(AN,\s\up14(―→))＝eq \f(1,2)(eq \(AC,\s\up14(―→))′＋eq \(AD,\s\up14(―→))′)＝eq \f(1,2)[(eq \(AB,\s\up14(―→))＋eq \(AD,\s\up14(―→))＋eq \(AA,\s\up14(―→))′)＋(eq \(AD,\s\up14(―→))＋eq \(AA,\s\up14(―→))′)]＝eq \f(1,2)a＋b＋c.
(4)eq \(AQ,\s\up14(―→))＝eq \(AC,\s\up14(―→))＋eq \(CQ,\s\up14(―→))＝eq \(AC,\s\up14(―→))＋eq \f(4,5)eq \(CA,\s\up14(―→))′＝eq \(AC,\s\up14(―→))＋eq \f(4,5)(eq \(AA,\s\up14(―→))′－eq \(AC,\s\up14(―→)))＝eq \f(1,5)eq \(AC,\s\up14(―→))＋eq \f(4,5)eq \(AA,\s\up14(―→))′＝eq \f(1,5)(eq \(AB,\s\up14(―→))＋eq \(AD,\s\up14(―→)))＋eq \f(4,5)eq \(AA,\s\up14(―→))′＝eq \f(1,5)a＋eq \f(1,5)b＋eq \f(4,5)c.
反思感悟用基底表示空間向量的解題策略
1.空間中,任一向量都可以用一個(gè)基底表示,且只要基底確定,則表示形式是唯一的.
2.用基底表示空間向量時(shí),一般要結(jié)合圖形,運(yùn)用向量加法、減法的平行四邊形法則、三角形法則,以及數(shù)乘向量的運(yùn)算法則,逐步向基向量過渡,直至全部用基向量表示.
3.在空間幾何體中選擇基底時(shí),通常選取公共起點(diǎn)最集中的向量或關(guān)系最明確的向量作為基底,例如,在正方體、長方體、平行六面體、四面體中,一般選用從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱所對(duì)應(yīng)的向量作為基底.
例2.在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是DD1,BD的中點(diǎn),點(diǎn)G在棱CD上,且CG=13CD
(1)證明:EF⊥B1C;
(2)求EF與C1G所成角的余弦值.
思路分析選擇一個(gè)空間基底,將EF,B1C,C1G用基向量表示.(1)證明EF·B1C=0即可;(2)求EF與C1G夾角的余弦值即可.
(1)證明:設(shè)DA=i,DC=j,DD1=k,
則{i,j,k}構(gòu)成空間的一個(gè)正交基底.
所以EF=ED+DF=-12k+12(DA+AB)=12i+12j-12k,B1C=B1B+BC=-i-k,
所以EF·B1C=12i+12j-12k·(-i-k)=-12|i|2+12|k|2=0,所以EF⊥B1C.
(2)解:EF=12i+12j-12k,C1G=C1C+CG=-k-13j,
|EF|2=12i+12j-12k2=14|i|2+14|j|2+14|k|2=3,
|EF|=3,|C1G|2=-k-13j2=|k|2+19|j|2=4+49=409,|C1G|=2103,
∴cs=EF·C1G|EF|·|C1G|
=12i+12j-12k·-k-13j3×2103=432303=3015.
延伸探究：設(shè)這個(gè)正方體中線段A1B的中點(diǎn)為M,證明:MF∥B1C.
解:設(shè)DA=i,DC=j,DD1=k,
則B1C=B1B+BC=-i-k,
MF=AF?AM=12j-12i?12j+12k=-12i-12k=12(-i-k)=12B1C,
所以MF∥B1C.
歸納總結(jié)：應(yīng)用空間向量基本定理可以證明空間的線線垂直、線線平行,可求兩條異面直線所成的角等.
首先根據(jù)幾何體的特點(diǎn),選擇一個(gè)基底,把題目中涉及的兩條直線所在的向量用基向量表示.
(1)若證明線線垂直,只需證明兩向量數(shù)量積為0;
(2)若證明線線平行,只需證明兩向量共線;
(3)若要求異面直線所成的角,則轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角(或其補(bǔ)角).
創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生通過平面向量基本定理類比空間向量基本定理
由回顧知識(shí)出發(fā)，提出問題，讓學(xué)生感受到平面向量與空間向量的聯(lián)系。即空間向量是平面向量向空間的拓展，處理空間向量問題要轉(zhuǎn)化為平面向量解決。
通過定理證明與辨析，加深學(xué)生對(duì)定理的理解，讓學(xué)生感受空間向量和立體圖形間的聯(lián)系，體現(xiàn)空間向平面的轉(zhuǎn)化思想。
通過典型例題的分析和解決，讓學(xué)生感受空間向量基本定理在解決空間幾何中的應(yīng)用。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng)。
通過典例解析，進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)空間向量基本定理在解決立體幾何中的應(yīng)用，提升推理論證能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算及邏輯推理的核心素養(yǎng)。
三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)
1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,可以作為空間向量的一組基底的是( )
A.AB,AC,ADB.AB,AA1,AB1
C.D1A1,D1C1,D1D D.AC1,A1C,CC1
答案:C
解析:只有選項(xiàng)C中的三個(gè)向量是不共面的,可以作為一個(gè)基底.
2.已知正方體ABCD-A1B1C1D1中,若點(diǎn)F是側(cè)面CC1D1D的中心,且AF=AD+mAB-nAA1,則m,n的值分別為( )
A.12,-12B.-12,-12 C.-12,12D.12,12
答案:A
解析:因?yàn)锳F=AD+DF=AD+12(DC+DD1)=AD+12AB+12AA1,所以m=12,n=-12.
3.下列說法正確的是( )
A.任何三個(gè)不共線的向量可構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底
B.空間的基底有且僅有一個(gè)
C.兩兩垂直的三個(gè)非零向量可構(gòu)成空間的一個(gè)基底
D.基底{a,b,c}中基向量與基底{e,f,g}中基向量對(duì)應(yīng)相等
答案:C
解析:A項(xiàng)中應(yīng)是不共面的三個(gè)向量構(gòu)成空間向量的基底;B項(xiàng),空間基底有無數(shù)個(gè);
D項(xiàng)中因?yàn)榛撞晃ㄒ?所以D錯(cuò).故選C.
4.在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,E為PD中點(diǎn),若PA=a,PB=b,PC=c,則BE= .
答案:12a-32b+12c
解析: BE=12(BP+BD)=12(-b+BA+BC)=-12b+12(PA?PB+PC?PB)=-12b+12(a+c-2b)=12a-32b+12c.
5.若{a,b,c}是空間的一個(gè)基底,試判斷{a+b,b+c,c+a}能否作為空間的一個(gè)基底.
解:假設(shè)a+b,b+c,c+a共面,則存在實(shí)數(shù)λ,μ,使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),即a+b=μa+λb+(λ+μ)c.
∵{a,b,c}是空間的一個(gè)基底,∴a,b,c不共面.
∴1=μ,1=λ,0=λ+μ,此方程組無解.
即不存在實(shí)數(shù)λ,μ,使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),
∴a+b,b+c,c+a不共面.
故{a+b,b+c,c+a}能作為空間的一個(gè)基底.
6．如圖，三棱柱中，底面邊長和側(cè)棱長都等于1，．
（1）設(shè)，，，用向量，，表示，并求出的長度；
（2）求異面直線與所成角的余弦值．
解：（1）
，同理可得，
．
（2）因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)椋?br>所以．
異面直線與所成角的余弦值為．
通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。
四、小結(jié)
1．利用向量的線性運(yùn)算和空間向量基本定理表示向量是向量應(yīng)用的基礎(chǔ)．
2．利用共線向量定理、共面向量定理可以證明一些平行、共面問題；利用數(shù)量積運(yùn)算可以解決一些距離、夾角問題．
3．利用向量解立體幾何題的一般方法：把線段或角度轉(zhuǎn)化為向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通過向量的運(yùn)算或證明去解決問題．其中合理選取基底是優(yōu)化運(yùn)算的關(guān)鍵．
五、課時(shí)練
通過總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力。

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1.2 空間向量基本定理

版本： 人教A版 (2019)

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