?1.2 空間向量基本定理
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
課程標(biāo)準(zhǔn)
學(xué)科素養(yǎng)
1.理解空間向量的正交分解，空間向量的基本定理，
2.能用空間一個基底表示空間的任意向量.（重點(diǎn)）
1、數(shù)學(xué)運(yùn)算
2、數(shù)學(xué)抽象
【自主學(xué)習(xí)】
一．空間向量基本定理
如果三個向量a，b，c ，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝ ．
我們把{a，b，c}叫做空間的一個 ，a，b，c都叫做基向量．
二．空間向量的正交分解
1.單位正交基底
如果空間的一個基底中的三個基向量 ，且長度都是 ，那么這個基底叫做單位正交基底，常用{i，j，k}表示．
2.向量的正交分解
由空間向量基本定理可知，對空間任一向量a，均可以分解為三個向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk．像這樣把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進(jìn)行正交分解．
思考1：基底選定后，空間中的所有向量均可由該基底唯一表示嗎？不同基底下，同一個向量的表達(dá)式都相同嗎？

思考2：基底中能否有零向量？

解讀：1.一個基底是一個向量組，一個基向量是指基底中的某一個向量，二者是相關(guān)聯(lián)的不同概念.
2.基底的選擇一般有兩個條件：（1）基底必須是不共面的非零向量；（2）在進(jìn)行基底選擇時要盡量選擇已知夾角和長度的向量，這樣會讓后續(xù)計(jì)算比較方便.
【小試牛刀】
1.思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)空間的任何一個向量都可用三個給定向量表示．( )
(2)若{a，b，c}為空間的一個基底，則a，b，c全不是零向量．( )
(3)如果向量a，b與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個基底，則一定有a與b共線．( )
(4)若{a，b，c}為空間一個基底，則{－a，b，2c}也可構(gòu)成空間一個基底．(　　)
(5)若三個非零向量a，b，c不能構(gòu)成空間的一個基底，則a，b，c共面．(　　)
2.設(shè)p：a，b，c是三個非零向量；q：{a，b，c}為空間的一個基底，則p是q的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【經(jīng)典例題】
題型一　基底的判斷
點(diǎn)撥：判斷三個空間向量是否共面，若共面，則不能構(gòu)成基底；若不共面，則能構(gòu)成基底．
方法：①如果向量中存在零向量，則不能作為基底；如果存在一個向量可以用另外的向量線性表示，則不能構(gòu)成基底．
②假設(shè)a＝λb＋μc，運(yùn)用空間向量基本定理，建立λ，μ的方程組，若有解，則共面，不能作為基底；若無解，則不共面，能作為基底．
例1 已知{e1，e2，e3}是空間的一個基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，試判斷{，，}能否作為空間的一個基底．


【跟蹤訓(xùn)練】1 若向量，，的起點(diǎn)M和終點(diǎn)A，B，C互不重合且無三點(diǎn)共線，則能使向量，，成為空間一個基底的關(guān)系是(O為空間中不同于M，A，B，C的一點(diǎn))(　　)
A．＝＋＋ B．＝＋
C．＝＋＋ D．＝2－
題型二　用基底表示向量
點(diǎn)撥：用基底表示向量時，若基底確定，要充分利用向量加法、減法的三角形法則和平行四邊形法則，以及向量數(shù)乘的運(yùn)算律；若沒給定基底，首先選擇基底，選擇時，要盡量使所選的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夾角是否已知或易求．
例2 在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，設(shè)＝a，＝b，＝c，E，F(xiàn)分別是AD1，BD的中點(diǎn)．
(1)用向量a，b，c表示，；
(2)若＝xa＋yb＋zc，求實(shí)數(shù)x，y，z的值．





【跟蹤訓(xùn)練】2 如圖所示，空間四邊形OABC中，G，H分別是△ABC，△OBC的重心，設(shè)＝a，＝b，＝c，D為BC的中點(diǎn)．試用向量a，b，c表示向量和.






題型三　空間向量基本定理的應(yīng)用
點(diǎn)撥：首先根據(jù)幾何體的特點(diǎn)，選擇一個基底，把題目中涉及的兩條直線所在的向量用基向量表示．
(1)若證明線線垂直，只需證明兩向量數(shù)量積為0．
(2)若證明線線平行，只需證明兩向量共線．
(3)若要求異面直線所成的角，則轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角(或其補(bǔ)角)．
例3 如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，D1B1的中點(diǎn)，求證：EF⊥AB1．




【跟蹤訓(xùn)練】3如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長度都為1，且兩兩夾角為60°．
(1)求AC1的長；(2)求BD1與AC所成角的余弦值．


【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】
1. 以下四個命題中正確的是(　　)
A．基底{a，b，c}中可以有零向量
B．空間任何三個不共面的向量都可構(gòu)成空間向量的一個基底
C．△ABC為直角三角形的充要條件是·＝0
D．空間向量的基底只能有一組
2. (多選)已知點(diǎn)O，A，B，C為空間不共面的四點(diǎn)，且向量a＝＋＋，向量b＝＋－，則與a，b能構(gòu)成空間基底的向量是(　　)
A. B. C. D.或
3.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，用，，作為基向量，則＝________．
4．已知a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，若d＝αa＋βb＋λc，則α，β，λ的值分別為________．

5.在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是DD1，BD的中點(diǎn)，點(diǎn)G在棱CD上，且CG＝CD．
(1)證明：EF⊥B1C；
(2)求EF與C1G所成角的余弦值．


【參考答案】
一． 不共面 xa＋yb＋zc 基底
二． 兩兩垂直 1
思考1：基底選定后，空間中的所有向量均可由該基底唯一表示，不一定相同，不同基底下，同一個向量的表達(dá)式也有可能不同.
思考2：不能，因?yàn)榱阆蛄颗c任意一個非零向量共線，與任意兩個非零向量共面.
【小試牛刀】
1.× √ √ √ √
2.B 解析：當(dāng)三個非零向量a，b，c共面時不能作為基底，正推不成立；反過來，若{a，b，c}是一個基底，必有a，b，c都是非零向量，逆推成立，故選項(xiàng)B符合題意．
【經(jīng)典例題】
例1解：假設(shè)，，共面．則存在實(shí)λ，μ使得＝λ＋μ，
∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3)＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3，
∵e1，e2，e3不共面，
∴此方程組無解，
∴，，不共面，∴{，，}可以作為空間的一個基底．
【跟蹤訓(xùn)練】1 C 解析：對于選項(xiàng)A，由結(jié)論＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)?M，A，B，C四點(diǎn)共面，即，，共面；對于B，D選項(xiàng)，易知，，共面，故只有選項(xiàng)C中，，不共面．
例2 解　(1)如圖，連接AC，
＝＋＝－＋－＝a－b－c，
＝＋＝＋＝－(＋)＋(＋)＝(a－c)．
(2)＝(＋)＝(－＋)＝(－c＋a－b－c)＝a－b－c，
∴x＝，y＝－，z＝－1.
【跟蹤訓(xùn)練】2解　因?yàn)椋剑?，而＝，＝－?br /> 又D為BC的中點(diǎn)，所以＝(＋)，所以＝＋＝＋(－)
＝＋×(＋)－＝(＋＋)＝(a＋b＋c)．
又因?yàn)椋剑?，＝＝?＋)＝(b＋c)，
所以＝(b＋c)－(a＋b＋c)＝－a.
所以＝(a＋b＋c)，＝－a.
例3 證明：設(shè)＝a，＝b，＝c，
則＝＋＝(＋)
＝(＋)＝(＋－)＝(－a＋b＋c)，＝＋＝＋＝a＋b．
所以·＝(－a＋b＋c)·(a＋b)＝(|b|2－|a|2)＝0．所以⊥，即EF⊥AB1．
【跟蹤訓(xùn)練】3 解：(1)設(shè)＝a，＝b，＝c，則|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
所以a·b＝b·c＝c·a＝．
||2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×＝6，
所以||＝，即AC1的長為．
(2)＝b＋c－a，＝a＋b，
所以||＝，||＝，
·＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1．
所以cos〈，〉＝＝．
所以AC與BD1所成角的余弦值為．
【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】
1. B 解析：使用排除法．因?yàn)榱阆蛄颗c任意兩個非零向量都共面，故A不正確；△ABC為直角三角形并不一定是·＝0，可能是·＝0，也可能是·＝0，故C不正確；空間基底可以有無數(shù)多組，故D不正確．
2. ABD 解析：∵＝a－b且a，b不共線，∴a，b，共面，∴與a，b不能構(gòu)成一組空間基底．
3. (＋＋) 解析：2＝2＋2＋2
＝(＋)＋(＋)＋(＋)
＝＋＋，所以＝(＋＋).
4. ，－1，－ 解析：∵d＝α(e1＋e2＋e3)＋β(e1＋e2－e3)＋λ(e1－e2＋e3)
＝(α＋β＋λ)e1＋(α＋β－λ)e2＋(α－β＋λ)e3＝e1＋2e2＋3e3，
∴∴
5.(1)證明：設(shè)＝i，＝j(luò)，＝k，則{i，j，k}構(gòu)成空間的一個正交基底．
所以＝＋＝－k＋(＋)＝i＋j－k，＝＋＝－i－k，
所以·＝·(－i－k)
＝－|i|2＋|k|2＝0，所以EF⊥B1C．
(2)解：＝i＋j－k，＝＋＝－k－j，||2＝2＝|i|2＋|j|2＋|k|2＝3，
||＝，||2＝2＝|k|2＋|j|2＝4＋＝，||＝，
∴cos〈，〉＝
＝＝＝．
∴EF與C1G所成角的余弦值為．

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1.2 空間向量基本定理

版本： 人教A版 (2019)

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