人教版九年級上冊21.2.4 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系獲獎ppt課件

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1.探索一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.（重點）2.不解方程利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系解決問題.（難點）
1.一元二次方程的一般形式是什么？
2、一元二次方程的求根公式？
( )
一元二次方程的一般形式是：
1、上面三個方程的二次項系數(shù)有何特點？
利用公式法求方程的兩根：
說明它也有這樣的結(jié)論。
二次項系數(shù)為1時，兩根之和等于一次 項系數(shù)的相反數(shù)，兩根之積等于常數(shù)項。
猜一猜：通過上表猜想，如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根分別是x1、 x2，那么，你可以發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？
一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系 （韋達(dá)定理）
如果 ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根為x1、 x2，那么
滿足上述關(guān)系的前提條件
例1 利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列方程的兩根之和、兩根之積.（1）x2 – 6x – 15 = 0；
解：這里 a = 1 , b = – 6 , c = – 15 . Δ = b2 - 4ac =( – 6 )2 – 4 × 1 ×(– 15 ) = 96 > 0. ∴方程有兩個實數(shù)根. 設(shè)方程的兩個實數(shù)根是 x1， x2，那么 x1 + x2 = – ( – 6 ) =6， x1 x2 = – 15 .
（2）3x2 +7x-9 = 0；
解：這里 a = 3 , b = 7, c = -9.
Δ=b2 ? 4ac = 72 – 4 × 3 × (? 9) = 157 > 0，
設(shè)方程的兩個實數(shù)根是 x1，x2，那么
（3） 5x – 1 = 4x2 .
解：方程可化為 4x2 – 5x +1 =0，這里 a =4， b = – 5，c = 1. Δ = b2 ? 4ac =( – 5 )2 – 4 × 4 ×1 = 9 > 0.∴方程有兩個實數(shù)根.設(shè)方程的兩個實數(shù)根是 x1，x2，那么 x1 + x2 = ， x1 x2 = .
在運用韋達(dá)定理求兩根之和、兩根之積時，先把方程化為一般式，再分別代入a、b、c的值即可 .
例2 已知方程5x2+kx?6=0的一個根是2，求它的另一個根及k的值.
解：設(shè)方程的兩個根分別是x1、x2，其中x1=2 . 所以 x1 · x2=2x2= 即 x2= 由于x1+x2=2+ = 得 k=?7.答：方程的另一個根是 ，k=?7.
變式：已知方程3x2?18x+m=0的一個根是1，求它的另一個根及m的值.
解：設(shè)方程的兩個根分別是x1、x2，其中x1=1. 所以 x1 + x2=1+x2=6， 即 x2=5 . 由于x1·x2=1×5= 得 m=15.答：方程的另一個根是5，m=15.
例3 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的兩根的平方和、倒數(shù)和.
解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知：
首先要驗證判別式△≥0，才能開始兩根的運算！
設(shè)x1，x2為方程x2?4x+1=0的兩個根，則： (1) x1+x2= ， (2)x1·x2= ， (3) ， (4) .
求與方程的根有關(guān)的代數(shù)式的值時，一般先將所求的代數(shù)式化成含兩根之和，兩根之積的形式，再整體代入.
例4 設(shè)x1，x2是方程 x2 -2(k - 1)x + k2 =0 的兩個實數(shù)根，且x12 +x22 =4，求k的值.
解：由方程有兩個實數(shù)根，得Δ= 4(k ? 1)2? 4k2 ≥ 0 即 ?8k + 4 ≥ 0. 由根與系數(shù)的關(guān)系得 x1 + x2 = 2(k -1) , x1 x2 =k 2. ∴ x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(k -1)2 -2k2 = 2k2 -8k + 4. 由 x12 + x22 = 4，得 2k2 - 8k + 4 = 4， 解得 k1= 0， k2 = 4 . 經(jīng)檢驗， k2 = 4 不合題意，舍去.所以k=0.
根據(jù)一元二次方程兩實數(shù)根滿足的條件，求待定字母的值時，務(wù)必要注意方程有兩實數(shù)根的條件，即所求的字母應(yīng)該滿足△≥0.
2．【廣東中考】已知x1、x2是一元二次方程x2－2x＝0的兩個實數(shù)根，下列結(jié)論錯誤的是(　　)A．x1≠x2B．x－2x1＝0C．x1＋x2＝2D．x1·x2＝2
3．【湖北隨州中考】已知關(guān)于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋1＝0有兩個不相等的實數(shù)根x1、x2.(1)求k的取值范圍；(2)若x1＋x2＝3，求k的值及方程的根．
1．若關(guān)于x的方程x2＋3x＋a＝0有一個根為－1，則另一個根為(　　)A．－2B．2C．4D．－3
7.已知方程 3x2 ?19x + m=0的一個根是1，求它的另一 個根及m的值.
解：將x = 1代入方程中 3?19 + m = 0. 解得 m = 16， 設(shè)另一個根為x1，則： 1 × x1 = ∴x1 =
8.已知x1, x2是方程2x2+2kx+k-1=0的兩個根，且(x1+1)(x2+1)=4； (1)求k的值； (2)求(x1?x2)2的值.
解：(1)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得 所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1= 解得 k=?7.
(2)因為k=?7,所以 則：
9.設(shè)x1，x2是方程3x2 + 4x – 3 = 0的兩個根.利用根與系數(shù)之間的關(guān)系，求下列各式的值. (1) (x1 + 1)(x2 + 1)； (2)
解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得： (1)(x1 + 1)(x2 + 1) = x1 x2 + (x1 + x2 )+ 1= (2)
10．【易錯題】關(guān)于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2＋m＝0的兩個實數(shù)根的平方和為12，則m的值為(　　)A．m＝－2B．m＝3C．m＝3或m＝－2D．m＝－3或m＝211．已知m、n是關(guān)于x的一元二次方程x2－2tx＋t2－2t＋4＝0的兩實數(shù)根，則(m＋2) (n＋2)的最小值是(　　)A．7B．11C．12D．16
13. 當(dāng)k為何值時，方程2x2?kx+1=0的兩根差為1.
解：設(shè)方程兩根分別為x1，x2(x1>x2)，則x1?x2=1
∵ (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1
14.已知關(guān)于x的一元二次方程mx2?2mx+m ?2=0. (1)若方程有實數(shù)根,求實數(shù)m的取值范圍. (2)若方程兩根x1，x2滿足|x1-x2|= 1， 求m的值.
解：(1)方程有實數(shù)根
∵m≠0，∴m的取值范圍為m＞0.
(2)∵方程有實數(shù)根x1，x2，
∵ (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1，
經(jīng)檢驗m=8是方程的解．
15．已知關(guān)于x的一元二次方程x2－2x＋k＝0.(1)若方程有實數(shù)根，求k的取值范圍；(2)如果k是滿足(1)的最大的整數(shù)，且方程x2－2x＋k＝0的一個根的相反數(shù)是一元二次方程(m－1)x2－3mx－7＝0的一個根，求m的值及這個方程的另一個根．解：(1)∵關(guān)于x的一元二次方程x2－2x＋k＝0有實數(shù)根，∴Δ＝4－4k≥0，解得k≤1，∴k的取值范圍是k≤1.　(2)∵k≤1，∴k的最大整數(shù)值是1，則關(guān)于x的方程x2－2x＋k＝0是x2－2x＋1＝0，解得x1＝x2＝1.∵方程x2－2x＋k＝0的一個根的相反數(shù)是一元二次方程(m－1)x2－3mx－7＝0的一個根，∴當(dāng)x＝－1時，(m－1)＋3m－7＝0，解得m＝2.這個方程的另一個根為－7÷(－1)＝7.
16．如果關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有兩個實數(shù)根，且其中一個根為另一個根的2倍，那么稱這樣的方程為“倍根方程”．例如：一元二次方程x2－6x＋8＝0的兩個根是2和4，則方程x2－6x＋8＝0就是“倍根方程”．(1)若一元二次方程x2－3x＋c＝0是“倍根方程”，求c的值；(2)若關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)是“倍根方程”，則a、b、c之間有何關(guān)系？(3)若(x－2)(mx－n)＝0(m≠0)是“倍根方程”，求代數(shù)式4m2－5mn＋n2的值．
根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）
如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根分別是x1、 x2，那么