?第12講 橢圓
【題型歸納目錄】
題型一：橢圓的定義
題型二：求橢圓的標準方程
題型三：橢圓的綜合問題
題型四：軌跡方程
題型五：橢圓的簡單幾何性質(zhì)
題型六：求橢圓的離心率
題型七：求橢圓離心率的取值范圍
題型八：由橢圓離心率求參數(shù)的取值范圍
題型九：橢圓中的范圍與最值問題
題型十：焦點三角形
【知識點梳理】
知識點一：橢圓的定義
平面內(nèi)一個動點到兩個定點、的距離之和等于常數(shù)()，這個動點的軌跡叫橢圓.這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點的距離叫作橢圓的焦距.
知識點詮釋：
若，則動點的軌跡為線段；
若，則動點的軌跡無圖形.
知識點二：橢圓的標準方程
1、當焦點在軸上時，橢圓的標準方程：，其中；
2、當焦點在軸上時，橢圓的標準方程：，其中；
知識點詮釋：
（1）這里的“標準”指的是中心在坐標原點，對稱軸為坐標軸建立直角坐標系時，才能得到橢圓的標準方程；
（2）在橢圓的兩種標準方程中，都有和；
（3）橢圓的焦點總在長軸上.當焦點在軸上時，橢圓的焦點坐標為，；當焦點在軸上時，橢圓的焦點坐標為，；
（4） 在兩種標準方程中，∵a2＞b2，∴可以根據(jù)分母的大小來判定焦點在哪一個坐標軸上.
知識點三：求橢圓的標準方程
求橢圓的標準方程主要用到以下幾種方法：
（1）待定系數(shù)法：①若能夠根據(jù)題目中條件確定焦點位置，可先設(shè)出標準方程，再由題設(shè)確定方程中的參數(shù)a，b，即：“先定型，再定量”.②由題目中條件不能確定焦點位置，一般需分類討論；有時也可設(shè)其方程的一般式：.
（2）定義法：先分析題設(shè)條件，判斷出動點的軌跡，然后根據(jù)橢圓的定義確定方程，即“先定型，再定量”。利用該方法求標準方程時，要注意是否需先建立平面直角坐標系再解題.
知識點四：橢圓的簡單幾何性質(zhì)
我們根據(jù)橢圓來研究橢圓的簡單幾何性質(zhì)

橢圓的范圍
橢圓上所有的點都位于直線x=±a和y=±b所圍成的矩形內(nèi)，所以橢圓上點的坐標滿足|x|≤a，|y|≤b.
橢圓的對稱性
對于橢圓標準方程，把x換成-x，或把y換成-y，或把x、y同時換成-x、-y，方程都不變，所以橢圓是以x軸、y軸為對稱軸的軸對稱圖形，且是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，這個對稱中心稱為橢圓的中心。
橢圓的頂點
①橢圓的對稱軸與橢圓的交點稱為橢圓的頂點。
②橢圓（a＞b＞0）與坐標軸的四個交點即為橢圓的四個頂點，坐標分別為A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b）。
③線段A1A2，B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。
橢圓的離心率
①橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率，用e表示，記作.
②因為a＞c＞0，所以e的取值范圍是0＜e＜1。e越接近1，則c就越接近a，從而越小，因此橢圓越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，從而b越接近于a，這時橢圓就越接近于圓。當且僅當a=b時，c=0，這時兩個焦點重合，圖形變?yōu)閳A，方程為x2+y2=a2。
知識點五：橢圓標準方程中的三個量a、b、c的幾何意義
橢圓標準方程中，a、b、c三個量的大小與坐標系無關(guān)，是由橢圓本身的形狀大小所確定的，分別表示橢圓的長半軸長、短半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個量的大小關(guān)系為：a＞b＞0，a＞c＞0，且a2=b2+c2。
可借助下圖幫助記憶：

a、b、c恰構(gòu)成一個直角三角形的三條邊，其中a是斜邊，b、c為兩條直角邊。
和a、b、c有關(guān)的橢圓問題常與與焦點三角形有關(guān)，這樣的問題考慮到用橢圓的定義及余弦定理（或勾股定理）、三角形面積公式相結(jié)合的方法進行計算與解題，將有關(guān)線段、、，有關(guān)角()結(jié)合起來，建立、之間的關(guān)系.
知識點六：橢圓兩個標準方程幾何性質(zhì)的比較
標準方程


圖形


性質(zhì)
焦點
，
，
焦距


范圍
，
，
對稱性
關(guān)于x軸、y軸和原點對稱
頂點
，
，
軸
長軸長=，短軸長=
離心率

知識點詮釋：橢圓，（a＞b＞0）的相同點為形狀、大小都相同，參數(shù)間的關(guān)系都有a＞b＞0和，a2=b2+c2；不同點為兩種橢圓的位置不同，它們的焦點坐標也不相同；
橢圓的焦點總在長軸上，因此已知標準方程，判斷焦點位置的方法是：看x2、y2的分母的大小，哪個分母大，焦點就在哪個坐標軸上。
【典例例題】
題型一：橢圓的定義
【例1】（2023·四川南充·高二四川省南充高級中學?？计谀┰O(shè)定點，，動點P滿足條件，則點P的軌跡是（????）
A．橢圓 B．線段 C．不存在 D．橢圓或線段
【答案】A
【解析】因為，，所以，
所以，所以點P的軌跡是以，為焦點的橢圓.
故選：A.
【對點訓練1】（2023·高二課時練習）設(shè)分別為橢圓的左右焦點，過的直線交橢圓于A、B兩點，則的周長為（????）
A．12 B．24 C． D．
【答案】D
【解析】由題意可得，對于橢圓有長半軸長，
又過的直線交橢圓于A、B兩點，
故的周長
，
故選：D
【對點訓練2】（2023·高二課時練習）已知，動點C滿足，則點C的軌跡是（　　）
A．橢圓 B．直線
C．線段 D．點
【答案】C
【解析】因為，
所以，知點C的軌跡是線段AB．
故選：C.
【對點訓練3】（2023·上海靜安·高二?？计谥校┰O(shè)是橢圓上的動點，則到該橢圓的兩個焦點距離之和為（????）
A． B． C．4 D．
【答案】D
【解析】橢圓，則，所以，
因為是橢圓上的動點，則到該橢圓的兩個焦點距離之和為.
故選：D
題型二：求橢圓的標準方程
【例2】（2023·甘肅武威·高二?？奸_學考試）（1）已知橢圓的焦點為，，點是橢圓上的一個點，求橢圓的標準方程；
（2）已知橢圓中，且，求橢圓的標準方程．
【解析】（1）顯然橢圓的焦點在y軸上，設(shè)橢圓的方程為，
則，解得：，
橢圓方程為：
（2）因為，，解得：，
又因為，所以，
橢圓的標準方程為或.
【對點訓練4】（2023·高二課時練習）求適合下列條件的橢圓的標準方程：
(1)，，焦點在x軸上；
(2)，，焦點在y軸上；
(3)，．
【解析】（1）∵，，橢圓焦點在x軸上，∴其標準方程為：；
（2）∵，，∴，
∵橢圓焦點在y軸上，∴其標準方程為：；
（3）∵，，∴，
因為橢圓焦點位置不確定，其標準方程為：或.
【對點訓練5】（2023·四川資陽·高二四川省資陽中學校考期中）求適合下列條件的橢圓的標準方程：
(1)一個焦點坐標為（2，0），短軸長為2；
(2)經(jīng)過點和點．
【解析】（1）因為橢圓的一個焦點坐標為（2，0），短軸長為2；
所以橢圓的焦點在軸上，設(shè)其方程為，
所以，所以，
所以橢圓的標準方程為，
（2）設(shè)橢圓的方程為，
因為橢圓經(jīng)過點和點，
所以，解得，
所以橢圓的標準方程為.
【對點訓練6】（2023·廣東梅州·高二校考階段練習）求適合下列條件的橢圓的標準方程：
(1)焦點在軸上，長軸長為4，焦距為2；
(2)經(jīng)過兩點.
(3)經(jīng)過點，且與橢圓有共同的焦點；
【解析】（1）∵橢圓的焦點在x軸上，
∴設(shè)橢圓的方程為（），
∵長軸長為4，焦距為2，
∴，，
∴，，
∴，
∴橢圓的方程為；
（2）設(shè)所求橢圓的方程，
將代入上式得，解得，
所以所求橢圓的標準方程為；
（3）橢圓，即，故，
焦點為，，
設(shè)所求橢圓的標準方程，
所以，解得，
所以所求橢圓的標準方程為.
題型三：橢圓的綜合問題
【例3】（多選題）（2023·河南·高二校聯(lián)考階段練習）已知橢圓的兩個焦點為是橢圓上的動點，且的面積最大值是，則下列結(jié)論中正確的是（????）
A．橢圓的離心率是
B．若是左，右端點，則的最大值為
C．若點坐標是，則過的的切線方程是
D．若過原點的直線交于兩點，則
【答案】BD
【解析】的面積最大值是，則，橢圓方程.
，橢圓離心率，A選項錯誤；
若是橢圓的左，右端點，則，以為焦點作新橢圓， P為兩個橢圓的交點，當新橢圓短軸最長時最大，所以當P為橢圓的上頂點或下頂點時，有最大值為，B選項正確；
點在橢圓上，過點的的切線斜率顯然存在，設(shè)切線方程為，
代入橢圓方程消去y得，
由，解得，
則切線方程為，即，故C選項錯誤；
設(shè)，都在橢圓上，有和，
兩式相減得，，，
，D選項正確.
故選:BD.
【對點訓練7】（多選題）（2023·云南楚雄·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓：的焦點分別為，，為上的動點，則（????）
A．的周長為 B．的最大值為
C．的長軸長為 D．的離心率為
【答案】CD
【解析】對A，因為，，所以，，.
因為焦點在軸上，所以的周長為，故A選項錯誤；
對B，根據(jù)結(jié)論知的最大值為，故B選項錯誤；
對C，長軸長為，故C選項正確；
對D，離心率為，故D正確.
故選：CD
【對點訓練8】（多選題）（2023·吉林長春·高二?？计谀┰O(shè)橢圓的左右焦點為，，P是C上的動點，則下列結(jié)論正確的是（????）．
A．
B．P到最小的距離是2
C．面積的最大值為6
D．點P到直線的最小距離是
【答案】AD
【解析】由橢圓方程可得：，則，
對A：根據(jù)橢圓的定義可得，A正確；
對B：根據(jù)橢圓性質(zhì)可知當P是橢圓的左頂點時，P到的距離最小，最小值為，B錯誤；
對C：根據(jù)橢圓性質(zhì)可知當P是橢圓的上頂點時，的面積最大，最大值為，C錯誤；
對D：設(shè)，則P到直線的距離，
其中，當且僅當時等號成立，D正確.
故選：AD.
【對點訓練9】（多選題）（2023·福建·高二福建師大附中?？计谥校┮阎cF1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點，點P是橢圓上的一點（異于左、右頂點），若存在以為半徑的圓內(nèi)切于，則該橢圓的離心率可能為（????）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】由橢圓性質(zhì)可得：的面積滿足，
又存在以c為半徑的圓內(nèi)切于，
∴，
∴a+c≤b，
∴（a+c）2≤2b2＝2（a2－c2），
∴3c2+2ac－a2≤0，
∴3e2+2e－1≤0，

又，
解得，
故選：CD.
【對點訓練10】（2023·廣西·高二校聯(lián)考期中）已知橢圓的長軸長是短軸長的倍，且橢圓C經(jīng)過點．
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)O為坐標原點，過右焦點F的直線l與橢圓C交于A，B兩點．求使面積最大時直線l的方程．
【解析】（1）因為長軸長是短軸長的倍，則，
所以橢圓C的方程為，
把點的坐標代入上式，得，可得，所以，
故橢圓C的方程為．
（2）易知右焦點F的坐標為，
若直線l的斜率為0，則O，A，B三點不能構(gòu)成三角形，

??
所以直線l的斜率不為0，設(shè)直線l的方程為，
聯(lián)立方程組，消去x，得，
判別式，
設(shè)，則，，??

．
令，則，
當且僅當時，等號成立，即，解得，
所以此時直線l的方程為或．
【對點訓練11】（2023·高二課時練習）在橢圓內(nèi)有一點，過點A的直線l的斜率為－1，且與橢圓交于B，C兩點，線段BC的中點恰好是A，試求橢圓的方程．
【解析】設(shè)過A點的直線l與橢圓交于，，如圖所示．

所以,??
兩式相減得,
∴.
∵A為的中點,
∴,，即.
由題意:,所以,即.
∴所求橢圓方程為.
【對點訓練12】（2023·廣東江門·高二臺山市華僑中學?？计谥校┮阎獧E圓的長軸長是，焦點坐標分別是，.
(1)求這個橢圓的標準方程及離心率；
(2)如果直線與這個橢圓交于兩不同的點，求的取值范圍.
【解析】（1）由題意可得， ，
所以，，
所以橢圓的方程為：；；
（2）由，可得，
因為直線與這個橢圓交于兩不同的點，
所以，
解得，
所以的取值范圍為.
【對點訓練13】（2023·浙江寧波·高二校考期中）已知橢圓的焦點在軸上，長軸長為4，離心率.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)直線：與橢圓有兩個交點，求實數(shù)的取值范圍.
【解析】（1）由題意可知，，解得，
故橢圓標準方程為.
（2）由，消去，得，
因為直線與橢圓有兩個交點，
所以，即，解得，
所以實數(shù)的取值范圍為.
【對點訓練14】（2023·全國·高二專題練習）已知點P在橢圓上，為橢圓的兩個焦點，求的取值范圍．
【解析】由題可知，，
因為，
∴時，有最大值，或時，有最小值，
即的取值范圍為.
題型四：軌跡方程
【例4】（2023·高二課時練習）已知的三邊a，b，c成等差數(shù)列，且，A、C兩點的坐標分別為，則頂點B的軌跡方程為__________．
【答案】
【解析】因為的三邊a，b，c成等差數(shù)列，A、C兩點的坐標分別為，
所以，即，
所以點B的軌跡滿足橢圓的定義，此橢圓是以A、C為焦點，長軸長為4的橢圓，
故橢圓方程為，
因為，所以，所以，
又因為B、A、C三點構(gòu)成，所以B、A、C三點不能在一條直線上，所以，
所以頂點B的軌跡方程為.
故答案為：
【對點訓練15】（2023·高二課時練習）的兩個頂點坐標分別是和，邊，所在直線的斜率的乘積是，則頂點A的軌跡方程是________．
【答案】
【解析】設(shè)頂點A的坐標為，由題意得，化簡整理，得，
又是的三個頂點，所以三點不共線，因此y≠±6，
所以頂點A的軌跡方程為．
故答案為：
【對點訓練16】（2023·上海靜安·高二?？计谥校┮阎獮闄E圓上一動點，記原點為，若，則點的軌跡方程為______．
【答案】
【解析】設(shè)點，由得點，而點為橢圓上的任意一點，
所以，整理得，
所以點的軌跡方程是.
故答案為：
【對點訓練17】（2023·福建泉州·高二統(tǒng)考期末）已知P是圓上任一點，，線段PA的垂直平分線l和半徑CP交于點Q，當點P在圓上運動時，點Q的軌跡方程為___________.
【答案】
【解析】圓的圓心，半徑，點Q在線段PA的中垂線l上，如圖，

有，則，
因此點Q的軌跡是以A，C為焦點，實軸長的橢圓，則虛半軸長，
所以點Q的軌跡方程為.
故答案為：
【對點訓練18】（2023·青海西寧·高二期末）一個動圓與圓外切，與圓內(nèi)切，則這個動圓圓心的軌跡方程為__________．
【答案】
【解析】設(shè)動圓圓心為，半徑為，根據(jù)題意知：，，
所以，所以圓心的軌跡為橢圓.
其中，，故，
因為焦點在軸上，故圓心軌跡方程為：.
故答案為：.
【對點訓練19】（2023·高二課時練習）到直線x＋3y＝0和x－3y＝0的距離的平方和為18的動點P的軌跡方程為______.
【答案】
【解析】設(shè)動點的坐標為，
因為點到直線x＋3y＝0和x－3y＝0的距離的平方和為18，
所以，
所以，即.
故答案為：.
【對點訓練20】（2023·上?！じ叨ｎ}練習）一動圓與圓外切，同時與圓內(nèi)切，則動圓圓心的軌跡方程為______．
【答案】
【解析】圓，即，圓心為，，
圓，即，圓心為，，
設(shè)動圓的圓心為，半徑為，
由題意得，，
則，
所以動圓的圓心為的軌跡是以為焦點的橢圓，
可設(shè)方程為，則，，
所以，，
所以動圓圓心的軌跡方程為.
故答案為：.
【對點訓練21】（2023·遼寧大連·高二大連八中?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，若動點始終滿足關(guān)系式，則動點的軌跡方程為__________.
【答案】.
【解析】由平面上兩點間的距離公式可知，到與的距離之和為8，
又與兩點間的距離為4，且，
所以軌跡是以，為焦點的橢圓，
其中，所以.
故點的軌跡方程為.
故答案為：.
題型五：橢圓的簡單幾何性質(zhì)
【例5】（2023·上海虹口·高二上海市復興高級中學?？计谥校E圓的焦距為______.
【答案】
【解析】因為橢圓，即，
所以，即，
所以焦距為.
故答案為：
【對點訓練22】（2023·廣東梅州·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的左、右焦點分別為點、，若橢圓上頂點為點，且為等腰直角三角形，則______.
【答案】8
【解析】橢圓，故，為等腰直角三角形，故，
故，即，.
故答案為：
【對點訓練23】（2023·天津?qū)幒印じ叨？茧A段練習）橢圓的一個焦點是，則實數(shù)的值為________.
【答案】2
【解析】變形得到，
因為橢圓的一個焦點是，在軸上，
故，解得：.
故答案為：2
【對點訓練24】（2023·河北石家莊·高二正定中學?？茧A段練習）若橢圓的離心率為，則橢圓的長軸長為___________.
【答案】或
【解析】因為橢圓的離心率為，易知，
當時，橢圓焦點在軸上，，，
所以，解得，則，所以橢圓的長軸長為.
當時，橢圓焦點在軸上，，，
所以，得，滿足題意，
此時，所以橢圓的長軸長為.
故答案為：或.
【對點訓練25】（2023·高二課時練習）橢圓的內(nèi)接正方形的周長為__________．
【答案】/19.2
【解析】根據(jù)橢圓和正方形的對稱性，不妨設(shè)橢圓的內(nèi)接正方形在第一象限的一個頂點為，
則，所以周長為，
故答案為：

??
【對點訓練26】（2023·高二課時練習）已知點(m,n)在橢圓8x2＋3y2＝24上，則m的取值范圍是________．
【答案】
【解析】因為點(m,n)在橢圓8x2＋3y2＝24上，即在橢圓上，
所以點(m,n)滿足橢圓的范圍，
因此，即．
故答案為：.
題型六：求橢圓的離心率
【例6】（2023·陜西西安·高二長安一中?？计谀┮阎^橢圓的左焦點的直線與橢圓交于不同的兩點，，與軸交于點，若點，是線段的三等分點，則該橢圓的離心率為_______.
【答案】
【解析】

由已知可知，點，是線段的三等分點，則 為 的中點，右焦點為，所以,
所以 x 軸，由橢圓方程 得A 點的坐標為,,
關(guān)于 對稱，易知 B 點坐標
將其代入橢圓方程得得，
所以離心率為.
故答案為： .
【對點訓練27】（2023·江蘇南京·高二南京市第一中學?？茧A段練習）設(shè)，是橢圓E：的左、右焦點，過點且傾斜角為的直線l與直線相交于點P，若為等腰三角形，則橢圓E的離心率e的值是______.
【答案】/
【解析】由題可得直線l的方程為，
由，解得，則，
由于為等腰三角形，所以，
所以，
可得，，.
故答案為：.
【對點訓練28】（2023·上海浦東新·高二統(tǒng)考期中）如圖所示，為完成一項探月工程，某月球探測器飛行到月球附近時，首先在以月球球心F為圓心的圓形軌道Ⅰ上繞月球飛行，然后在P點處變軌進入以F為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月球飛行，最后在Q點處變軌進入以F為圓心的圓形軌道Ⅲ繞月球飛行，設(shè)圓形軌道Ⅰ的半徑為R，圓形軌道Ⅲ的半徑為r，則橢圓軌道Ⅱ的離心率為_________.（用R、r表示）

【答案】
【解析】由F為橢圓軌道Ⅱ的焦點，若分別為長軸長、焦距，則，故，
所以橢圓軌道Ⅱ的離心率為.
故答案為：
【對點訓練29】（2023·福建廈門·高二廈門一中?？茧A段練習）直線不與軸重合，經(jīng)過點，橢圓上存在兩點、關(guān)于對稱，中點的橫坐標為.若，則橢圓的離心率為_________.
【答案】/
【解析】設(shè)，，，則，
兩式相減得，即，
所以，因為是垂直平分線，有，
所以，即，化簡得，
∵，∴.
故答案為：
【對點訓練30】（2023·浙江·高二浙江省開化中學校聯(lián)考期中）已知橢圓的左右頂點為，，點為直線上一點，若的外接圓的面積的最小值為，則該橢圓的離心率為______.
【答案】/
【解析】若為外接圓的圓心，半徑為，則，故，

由外接圓圓心為各邊中垂線的交點知：必在軸上（不妨令其在軸上方），
所以，故，則.
故答案為：
【對點訓練31】（2023·河南洛陽·高二?？茧A段練習）已知橢圓，是它的右焦點，是它的左頂點，為直線上一點，是底角為的等腰三角形，則的離心率為________．
【答案】/0.5
【解析】由題意可知：，，
∴ ， ∴，
∴，∴，.
故答案為：.
題型七：求橢圓離心率的取值范圍
【例7】（2023·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）已知O為坐標原點，直線與橢圓交于A，B兩點，P為的中點，直線的斜率為，若，則橢圓的離心率的取值范圍為_____________．
【答案】．
【解析】設(shè)，，
則，
所以，得.
將A、B兩點坐標代入橢圓方程，得，
兩式相減，得，有，所以，
由，得，即，
由，得，即，解得，
所以橢圓的離心率的取值范圍為.
故答案為：.
【對點訓練32】（2023·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）橢圓上有且僅有4個不同的點滿足，其中，則橢圓C的離心率的取值范圍為________．
【答案】
【解析】設(shè)點,由得,
化簡得,
依題意得圓與橢圓有四個交點，
所以，即，即，所以，
所以.
故答案為:.
【對點訓練33】（2023·全國·高二專題練習）已知，是橢圓的左、右焦點，若橢圓上存在點，使，則橢圓的離心率的取值范圍是______
【答案】
【解析】由橢圓性質(zhì)知：當為橢圓上下頂點時最大，
所以橢圓上存在點使，
只需最大的情況下，有，
又橢圓離心率，故.
故答案為：
【對點訓練34】（2023·高二課時練習）已知橢圓C：（），點A，B為長軸的兩個端點，若在橢圓上存在點P，使，則橢圓的離心率的取值范圍是______．
【答案】
【解析】由題可知，，設(shè)，
由點P在橢圓上，得，
所以，
可得，
所以．
故答案為：.
【對點訓練35】（2023·全國·高二專題練習）已知，是橢圓的兩個焦點，為橢圓上一點，，則橢圓離心率的取值范圍為____．
【答案】
【解析】設(shè)，由橢圓的定義得:,
由余弦定理，得:．
又，當且僅當時，取最大值，
于是，
所以
且，．
故答案為: .
【對點訓練36】（2023·江蘇淮安·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的兩個焦點是,滿足的點總在橢圓的內(nèi)部，則橢圓的離心率的取值范圍是 _______________.
【答案】
【解析】因為，所以以為直徑的圓始終在橢圓內(nèi)部，
即橢圓的短軸兩個端點在圓外部，可得，即，
即，可得.
故答案為：.
【對點訓練37】（2023·河南·高二校聯(lián)考期末）已知橢圓的半焦距為，且滿足，則該橢圓的離心率的取值范圍是__________．
【答案】
【解析】由，得，，
兩邊除以得，又，解得.
故答案為：
【對點訓練38】（2023·北京海淀·高二統(tǒng)考期末）橢圓的左、右頂點分別為、，若橢圓上存在點，使，則橢圓的離心率的取值范圍為__________．
【答案】
【解析】如圖，當在橢圓上頂點時，最大，
此時，即可，

則，得，即，
所以，即，得，
所以，即橢圓的離心率．
故答案為：
題型八：由橢圓離心率求參數(shù)的取值范圍
【例8】（2023·廣東陽江·高二?？计谀┮阎裹c在軸上的橢圓的離心率為，則的值為______.
【答案】
【解析】由已知可得，，可得，，
所以，，解得.
故答案為：.
【對點訓練39】（2023·四川樂山·高二?？计谥校┮阎裹c在y軸上的橢圓，其離心率為，則實數(shù)m的值是___________.
【答案】/0.25
【解析】因為焦點在y軸上的橢圓，故，
又，所以.
故答案為：
【對點訓練40】（2023·全國·高二專題練習）已知橢圓C的離心率為，則橢圓C的長軸長與短軸長的比值為______．
【答案】/
【解析】由題設(shè)，解得，
所以長軸長與短軸長的比值為.
故答案為：
【對點訓練41】（2023·全國·高二專題練習）已知橢圓的左、右焦點分別為，，右頂點為，且離心率為，求短軸長為______.
【答案】
【解析】由題意，橢圓的右頂點為，可得，
又由橢圓的離心率為，即，可得，
所以，所以，即橢圓的短軸長為.
故答案為：.
題型九：橢圓中的范圍與最值問題
【例9】（2023·上海寶山·高二上海市行知中學?？计谥校E圓的焦點為，點為其上的動點，當為銳角時，點橫坐標的取值范圍為_______.
【答案】
【解析】當為銳角時，則向量數(shù)量積大于零，
由橢圓方程可得，，
設(shè)，

則①，
又②，
①②聯(lián)立化簡得，
解得或，所以，
故答案為：
【對點訓練42】（2023·四川內(nèi)江·高二四川省內(nèi)江市第六中學校考階段練習）已知橢圓C：，，為橢圓的左右焦點．若點P是橢圓上的一個動點，點A的坐標為（2，1），則的范圍為_____．
【答案】
【解析】由橢圓標準方程可知，
又點P在橢圓上，根據(jù)橢圓定義可得，所以
所以
易知，當且僅當三點共線時等號成立；
又，所以；
即的范圍為.
故答案為：
【對點訓練43】（2023·全國·高二專題練習）已知分別是橢圓的左、右焦點，點是圓上的一個動點，則的取值范圍是_________.
【答案】[3，5]
【解析】橢圓方程
橢圓的焦點
由在圓上，設(shè)，
?
的取值范圍[3，5].
故答案為：[3,5].
【對點訓練44】（2023·全國·高二專題練習）已知為橢圓的左焦點，P為橢圓上一點，則的取值范圍為_________．
【答案】[1,3]
【解析】由題意，，設(shè)，則，所以，因為，所以的范圍是.
故答案為：.
【對點訓練45】（2023·上海浦東新·高二上海南匯中學?？计谥校┰O(shè)P是橢圓上任意一點，F(xiàn)為C的右焦點，的最小值為，則橢圓C的長軸長為______．
【答案】
【解析】的最小值為，即，解得，長軸長為.
故答案為：
【對點訓練46】（2023·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習）已知橢圓的右頂點為A，上頂點為B，則橢圓上的一動點M到直線AB距離的最大值為______．
【答案】
【解析】由橢圓，可得，
故直線AB的方程為，與AB平行且與橢圓相切的直線可設(shè)為，
代入橢圓方程整理，得，
則，解得，
當時，與之間的距離為；
當時，與間的距離為，
故橢圓上的一動點M到直線AB距離的最大值為，
故答案為：
【對點訓練47】（2023·貴州遵義·高二習水縣第五中學校聯(lián)考期末）已知點是橢圓上一動點，是圓上一動點，點，則的最大值為__________.
【答案】8
【解析】如圖,

由，得，則，
則圓的圓心是橢圓的左焦點，橢圓的右焦點為，
由橢圓的定義得，
所以，
又，
所以，
，
故答案為：8
【對點訓練48】（2023·陜西寶雞·高二校聯(lián)考階段練習）已知點在橢圓上運動，點在圓上運動，則的最大值為 ______
【答案】6
【解析】圓的方程為，
圓心，半徑，
設(shè)，則，，
到圓心的距離，
又 當時，取得最大值，
的最大值為： ，
故答案為：．
【對點訓練49】（2023·四川遂寧·高二遂寧中學?？茧A段練習）已知F是橢圓的左焦點，P為橢圓上的動點，橢圓內(nèi)部一點M的坐標是，則的最大值是______．
【答案】21
【解析】由橢圓 得，則橢圓右焦點為，點M在橢圓內(nèi)部，如圖所示，

則

故答案為：21．

題型十：焦點三角形
【例10】（2023·高二課時練習）已知橢圓的兩個焦點是、，M是此橢圓上一點，且，則的面積為______．
【答案】
【解析】由題知，，，
因為點在橢圓上，所以，
所以，
又因為，
所以，
所以，
從而．
故答案為：
【對點訓練50】（2023·上海黃浦·高二上海市大同中學?？计谥校┰O(shè)和為橢圓的兩個焦點，點在橢圓上，且滿足，則的面積是__________.
【答案】/
【解析】橢圓，即，所以，，，
因為，所以點為短軸頂點，所以.
故答案為：
【對點訓練51】（2023·廣西南寧·高二統(tǒng)考開學考試）已知點是橢圓上的一點，且位于第一象限內(nèi)，以點及焦點、為頂點的三角形的面積等于1，則點的坐標為______.
【答案】
【解析】橢圓的焦點，，設(shè)點，
依題意，，又，于是，
所以點的坐標為.
故答案為：
【對點訓練52】（2023·河南開封·高二?？茧A段練習）設(shè)，是橢圓的兩個焦點，P是橢圓上的點，且，則的面積為________.
【答案】24
【解析】由橢圓的方程可得：，，
，
，
，且根據(jù)橢圓的定義可得：，
，，
則在中，
，
，
故答案為：24.
【對點訓練53】（2023·江蘇鹽城·高二江蘇省響水中學?？计谥校┰O(shè)，是橢圓：的兩個焦點，為橢圓上的點，當時，的面積為_______.
【答案】4
【解析】∵，；∴，因為，所以，
設(shè)，，
則①，②，
由①2﹣②得，
∴．
故答案為：4．
【對點訓練54】（2023·北京海淀·高二北京市十一學校?？计谥校┰O(shè)是橢圓的左，右焦點，點在上，為坐標原點，且，則的面積為___________.
【答案】7
【解析】由題意得，，，，∴在以線段為直徑的圓上，
∴，∴①，
由橢圓的定義知，②，由①②，解得，
.
故答案為：7.
【對點訓練55】（2023·廣東深圳·高二深圳中學校考期末）已知橢圓的兩個焦點分別為，，為橢圓上一點，且，則的值為 __．
【答案】2
【解析】，；，，
設(shè)，，為橢圓上一點，①，
，②，
由①②得，
．
故答案為：2．
【對點訓練56】（2023·高二單元測試）橢圓的焦點為點在橢圓上，若則的大小為___．
【答案】
【解析】，．
在中，，
．
故答案為：.
【對點訓練57】（2023·高二單元測試）橢圓的兩個焦點為?，點P在橢圓C上，且，，，則橢圓C的方程為___________.
【答案】
【解析】∵，，，
∴，又，
∴，，
∴，
∴，
∴橢圓C的方程為.
故答案為：.
【對點訓練58】（2023·廣東佛山·高二佛山市南海區(qū)桂城中學?？茧A段練習）橢圓（為非零常數(shù)）的焦點分別為，點在橢圓上.如果線段的中點在軸上，那么等于_________．
【答案】
【解析】由，可知，，所以，
∵線段PF1的中點M在y軸上，且原點為線段的中點，
所以，所以軸，
，由橢圓的定義知，則
∴.
故答案為：7
【過關(guān)測試】
一、單選題
1．（2023·四川宜賓·高二宜賓市敘州區(qū)第一中學校?？计谀┰O(shè)為橢圓的兩個焦點，點在上，若，則（????）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】B
【解析】方法一：因為，所以，
從而，所以．
故選：B.
方法二：
因為，所以，由橢圓方程可知，，
所以，又，平方得：
，所以．
故選：B.
2．（2023·重慶長壽·高二統(tǒng)考期末）下列橢圓中最接近于圓的是（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為橢圓的離心率為，
對于橢圓而言，若橢圓的離心率越接近于零，則該橢圓越接近于圓.
對于A選項，橢圓的離心率為，
對于B選項，橢圓的離心率為，
對于C選項，橢圓的離心率為，
對于D選項，橢圓的離心率為，
因為，故D選項中的橢圓越接近于圓.
故選：D.
3．（2023·江蘇揚州·高二統(tǒng)考開學考試）若將一個橢圓繞其中心旋轉(zhuǎn)90°，所得橢圓短軸兩頂點恰好是旋轉(zhuǎn)前橢圓的兩焦點，這樣的橢圓稱為“對偶橢圓”．下列橢圓中是“對偶橢圓”的是（????）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因為所得橢圓短軸兩頂點恰好是旋轉(zhuǎn)前橢圓的兩焦點，
所以，即 ，
A． ，則 ，故錯誤；
B． ，則 ，故錯誤；
C． ，則 ，故正確；
D． ，則 ，故錯誤；
故選：C
4．（2023·高二課時練習）橢圓與橢圓的關(guān)系為（????）
A．有相同的長軸長與短軸長 B．有相同的焦距
C．有相同的焦點 D．有相同的離心率
【答案】B
【解析】對于橢圓，則，且焦點在x軸上，
所以長軸長為10，短軸長為6，焦距為8，焦點為，離心率為，
對于橢圓，因為，則，
可得，且焦點在y軸上，
所以長軸長為，短軸長為，焦距為8，焦點為，離心率為，
所以A、C、D錯誤，B正確.
故選：B.
5．（2023·高二課時練習）若橢圓的中心為原點，對稱軸為坐標軸，短軸的一個端點與兩焦點構(gòu)成個正三角形，焦點到橢圓上點的最短距離為，則這個橢圓的方程為（????）
A． B．或
C． D．以上都不對
【答案】B
【解析】

??
由題意，當橢圓焦點在軸上，設(shè)橢圓方程為：，
由題意，，
所以，，，，
所以橢圓方程為：，
當橢圓焦點在軸上時，同理可得：，
故選：B
6．（2023·貴州遵義·高二統(tǒng)考期中）已知是橢圓的右焦點，直線與橢圓交于，兩點，若，則該橢圓的離心率是（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根據(jù)對稱性不妨設(shè)在第二象限，在第一象限，
聯(lián)立，可解得，
，，又，
，，
又，，
，
，
，
，
，又，
該橢圓的離心率．
故選：C．
7．（2023·四川廣安·四川省廣安友誼中學校考模擬預測）油紙傘是中國傳統(tǒng)工藝品，至今已有1000多年的歷史，為宣傳和推廣這一傳統(tǒng)工藝，廣安市文化宮于春分時節(jié)開展油紙傘文化藝術(shù)節(jié)．活動中將油紙傘撐開后擺放在戶外展覽場地上，如圖所示，該傘的傘沿是一個半徑為3的圓，圓心到傘柄底端距離為3，陽光照射油紙傘在地面形成了一個橢圓形影子（春分時，廣安的陽光與地面夾角為），若傘柄底端正好位于該橢圓的焦點位置，則該橢圓的離心率為（????）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如圖，傘的傘沿與地面接觸點B是橢圓長軸的一個端點，傘沿在地面上最遠的投影點A是橢圓長軸的另一個端點，
對應的傘沿為C，O為傘的圓心，F(xiàn)為傘柄底端，即橢圓的左焦點，設(shè)橢圓的長半軸長為，半焦距為，

??
由，得，，
在中，，則，
，
由正弦定理得，，解得，則，
所以該橢圓的離心率.
故選：C.
8．（2023·高二課時練習）若點在橢圓上，則的最小值為（　?。?br /> A．1 B．
C． D．以上都不對
【答案】C
【解析】的幾何意義是橢圓上的點與定點連線的斜率，
橢圓化為標準方程為，
由圖可知，直線與橢圓相切時取得最值，
設(shè)直線，
代入橢圓方程消去得，
令，解得，
所以，即的最小值為.

??
故選：C.
二、多選題
9．（2023·高二課時練習）若方程表示焦點在軸上的橢圓，則的可能取值為（　　）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】ABC
【解析】方程可化為，依題意，解得.
故選：ABC．
10．（2023·江西宜春·高二上高二中?？茧A段練習）已知方程表示橢圓，下列說法正確的是（????）
A．m的取值范圍為 B．若該橢圓的焦點在y軸上，則
C．若，則該橢圓的焦距為4 D．若，則該橢圓經(jīng)過點
【答案】BC
【解析】A：因為方程表示橢圓，
所以，解得，且，故A錯誤；
B：因為橢圓的焦點在y軸上，
所以，解得，故B正確；
C：若，則橢圓方程為，
所以，從而，故C正確；
D：若，則橢圓方程為，
點的坐標不滿足方程，即該橢圓不經(jīng)過點，故D錯誤.
故選：BC.
11．（2023·江蘇連云港·高二?？茧A段練習）設(shè)橢圓的左、右焦點分別為，，是橢圓上的動點，則下列結(jié)論正確的是（????）
A．以線段為直徑的圓與直線相切
B．△面積的最大值為
C．
D．離心率
【答案】ACD
【解析】由橢圓可得，，
所以線段為直徑的圓的方程為，圓心為，半徑為1，
所以線段為直徑的圓到直線的距離為，故A正確；
由題可得△面積的最大值為，故B錯誤；
所以，故C正確；
橢圓的離心率為，故D正確.
故選：ACD.
12．（2023·浙江衢州·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的左，右焦點分別為，，長軸長為4，點在橢圓外，點在橢圓上，則（????）
A．當橢圓的離心率的取值范圍是
B．當橢圓的離心率為時，的取值范圍是
C．對任意點都有
D．的最小值為2
【答案】AB
【解析】由題意得，又點在橢圓外，則，解得，
所以橢圓的離心率，即橢圓的離心率的取值范圍是，故A正確；
當時，，，所以的取值范圍是，即，故B正確；
設(shè)橢圓的上頂點為，，，由于，
所以存在點使得，故C錯誤；
，當且僅當時，等號成立，又，所以，故D錯誤．
故選：AB
三、填空題
13．（2023·高二課時練習）常數(shù)，橢圓的長軸長是短軸長的3倍，則a的值為__________．
【答案】3或
【解析】由橢圓，可得橢圓，
當時，表示焦點在x軸上的橢圓，
∴，即，
當時，表示焦點在y軸上的橢圓，
∴，即，
綜上，實數(shù)a的值為3或.
故答案為：3或.
14．（2023·江蘇南京·高二江蘇省江浦高級中學校聯(lián)考階段練習）已知橢圓的左、右焦點為，且過點則橢圓標準方程為___________．
【答案】
【解析】由題知：，①
又橢圓經(jīng)過點，
所以，②
又，③
聯(lián)立解得：，
故橢圓的標準方程為：.
故答案為：.
15．（2023·陜西榆林·高二陜西省神木中學?？茧A段練習）已知、分別是橢圓的左、右頂點，、是橢圓上關(guān)于軸對稱的兩點，若直線、的斜率之積為，則橢圓的離心率是______.
【答案】/
【解析】依題意，設(shè)，顯然，
∴，，
得，又∵M，N是橢圓上的點，
有，得，
所以，
；
故答案為：.
16．（2023·安徽六安·高二六安二中?？奸_學考試）若點P在橢圓C1：＋y2＝1上，C1的右焦點為F，點Q在圓C2：x2＋y2＋10x－8y＋39＝0上，則的最小值為__________．
【答案】
【解析】記橢圓C1：＋y2＝1的左焦點為E(－1,0)，右焦點F(1,0)，
由橢圓的定義可得，，
所以，
由，得 ，即圓C2的圓心為，半徑為，
作出圖形如圖所示，由圓的性質(zhì)可得，，＝＝4－3＝ (當且僅當C2，Q，P，E四點共線時，等號成立)，
所以的最小值為.
故答案為：

四、解答題
17．（2023·河南新鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的離心率為，且過點．
(1)求橢圓的方程；
(2)直線與橢圓交于兩點，求兩點的橫坐標之積．
【解析】（1）由題意可得，解得
故橢圓的方程為．
（2）不妨設(shè)，

??
聯(lián)立消去，得，
易得，則由韋達定理，故．
18．（2023·高二課時練習）已知是橢圓的兩個焦點，點P在橢圓上，如果是直角三角形，求點的坐標．
【解析】根據(jù)題意可知，，
不妨設(shè)，設(shè)；
①若為直角，即與軸垂直，此時點的橫坐標與，即；
又因為點在橢圓上，所以，解得
所以，點的坐標為或；
②若為直角，此時點的橫坐標與，即；
又因為點在橢圓上，所以，解得
所以，點的坐標為或
③若為直角，則，即
可得，聯(lián)立橢圓方程可得，
解得，所以
即點的坐標為或或或
19．（2023·全國·高二專題練習）設(shè),分別是橢圓：的左、右焦點，過點 的直線交橢圓于，，若，的周長為16，求.
【解析】

由已知，，可得，.
因為的周長為16，則.
根據(jù)橢圓定義可得，，
所以，，
所以，，
所以，.
20．（2023·高二課時練習）過橢圓的左焦點作x軸的垂線，交橢圓于A、B兩點，，又（為右焦點）的周長等于8．求橢圓的方程．
【解析】由橢圓的定義知，
的周長為，
得，
又，軸，垂足為，
將代入橢圓方程，得，
不妨設(shè)，所以，得，
所以橢圓的方程為.
21．（2023·陜西咸陽·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的左，右焦點分別為，離心率為.
(1)求橢圓的方程；
(2)橢圓上是否存在點使得？若存在，求的面積，若不存在，請說明理由.
【解析】（1）橢圓的離心率為，
，解得.
橢圓的方程為.
（2）由（1）知，
假設(shè)橢圓上存在點，使得，
則，
即，
聯(lián)立解得.
橢圓上存在點使得.
.
22．（2023·高二課時練習）設(shè)分別是橢圓的左、右焦點，B為橢圓上的點且坐標為.
(1)若P是該橢圓上的一個動點，求的最大值;
(2)若C為橢圓上異于B的一點，且＝λ，求λ的值.
【解析】（1）因為橢圓的方程為，所以a＝2，b＝1，c＝，
又因為，
所以，
當且僅當時取等號，所以的最大值為4．
（2）設(shè)，因為，，
所以＝，＝．
因為＝λ，即，得，．
又，所以有，解得λ＝－7或λ＝1．
因為C異于B點，故λ＝1舍去，所以λ＝－7．


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第13講 橢圓-暑假高一升高二數(shù)學銜接知識自學講義（人教A版2019）

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