1. 探索并證明等腰三角形的性質(zhì)定理；
2.能用等腰三角形性質(zhì)定理進(jìn)行計(jì)算或說(shuō)理；
3. 會(huì)利用基本作圖作三角形：已知底邊及底邊上的高作等腰三角形.
有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.
1.具備什么條件的三角形是等腰三角形？
2.等腰三角形的有關(guān)概念
底邊與腰的夾角叫做底角.
兩腰所夾的角叫做頂角,
問(wèn)題1 等腰三角形是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，它的對(duì)稱軸是什么？
活動(dòng)一 探究等腰三角形的軸對(duì)稱性
操作 如圖，把等腰三角形ABC沿頂角平分線AD折疊，你有什么發(fā)現(xiàn)？
等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，頂角平分線（底邊上的高、中線）所在的直線是它的對(duì)稱軸.
找出等腰三角形ABC對(duì)折后重合的線段和角.
活動(dòng)二 探究等腰三角形的性質(zhì)
問(wèn)題2 由這些重合的線段和角，你能發(fā)現(xiàn)等腰三角形的哪些性質(zhì)呢？說(shuō)一說(shuō)你的猜想.
猜想1 等腰三角形的兩個(gè)底角相等.
猜想2 等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線，底邊上的高互相重合.
問(wèn)題3 你能用我們學(xué)過(guò)的知識(shí)來(lái)證明這兩個(gè)猜想嗎？
方法1 利用等腰三角形的軸對(duì)稱性證明.
證明：如圖，在△ABC中，AB=AC，沿∠BAC的平分線AD把△ABD翻折.∵∠BAD=∠CAD，∴AB落在射線AC上．∵AB=AC，∴點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，從而△ABD與△ACD重合.∠B=∠C，∠ADB=∠ADC，BD=CD.
如果AD是高或者角平分線，你會(huì)說(shuō)明理由嗎？
方法2 利用三角形全等證明.
如何構(gòu)造兩個(gè)全等的三角形?
AD是中線？高？角平分線？
猜想1 等腰三角形的兩個(gè)底角相等.
已知：△ABC 中，AB=AC．
作頂角的平分線AD，則∠BAD=∠CAD.
∴ △BAD ≌ △CAD (SAS).
∴ ∠B= ∠C (全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等).
作底邊的中線AD，則BD=CD.
∴ △BAD ≌ △CAD (SSS).
作底邊的高線AD，則∠ADB=∠ADC=90°
在Rt△BAD和Rt△CAD中，
∴ Rt△BAD ≌ Rt△CAD (HL).
等腰三角形的性質(zhì)定理1：
在△ABC中，∵AC = AB (已知)，
∴∠B =∠C ( 等邊對(duì)等角）.
在同一個(gè)三角形中，等邊對(duì)等角.
等腰三角形的兩個(gè)底角相等.
(簡(jiǎn)稱“等邊對(duì)等角”)
證明：∵△BAD≌ △CAD，∴BD=CD，∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD.又∵ ∠ADB+∠ADC=180°，∴ ∠ADB=∠ADC= 90° ，即AD是等腰△ABC底邊BC上的中線、頂角∠BAC的角平分線、底邊BC上的高線 .
等腰三角形的頂角平分線與底邊上的中線，底邊上的高互相重合.
等腰三角形的性質(zhì)定理2：
∵AB=AC， ∠1=∠2 (已知)，∴BD=CD，AD⊥BC (等腰三角形三線合一).
∵AB=AC， BD=CD (已知)，∴∠1=∠2，AD⊥BC (等腰三角形三線合一).
∵AB=AC， AD⊥BC (已知)，∴BD=CD，∠1=∠2 (等腰三角形三線合一).
問(wèn)題4 作出等腰三角形腰上的中線、角平分線、高，它們重合嗎？
三線合一指的是底邊上的三線合一，腰的三線不一定合一.
1.判斷下列語(yǔ)句是否正確.
（1）等腰三角形的角平分線、中線和高互相重合.（ ）（2）等腰三角形一角的平分線，一邊上的中線，一邊上的高 都是它的對(duì)稱軸 （ ）（3）等腰三角形的兩角相等.（ ）（4）等腰三角形的頂角平分線一定垂直底邊.（ ）
2. 在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在BC上. 如果∠BAD=∠CAD，那么 AD⊥BC ，BD=CD； 如果BD=CD，那么∠______=∠_______, _______⊥______; 如果AD⊥BC，那么_________________，_________.
3. 如圖，在△ABC中，AB=AC，(1)如果∠B＝70°，那么∠C＝____，∠A＝____．
(2)如果∠A＝70°，那么∠B＝____，∠C＝ ___．
(3)如果有一個(gè)角等于120°, 那么∠A＝ ____ ，∠B＝___ ，∠C ＝___ ．
(4)如果有一個(gè)角等于50°，那么另兩個(gè)角等于多少度？
解：若∠A=50°,則∠B=∠C=65°；
若∠B=∠C=50°,則∠A=80°.
已知一個(gè)內(nèi)角，則這個(gè)角可能是底角也可能是頂角，要分兩種情況討論．
1．作線段BC＝a．2．作線段BC的垂直平分線MN，MN交BC于點(diǎn)D．3．在MN上截取線段DA，使AD＝h．4．連接AB、AC．△ABC就是所求作的等腰三角形．
活動(dòng)三 用直尺和圓規(guī)作等腰三角形
操作 用直尺和圓規(guī)作等腰三角形ABC，使底邊BC＝a，高AD＝h.
在△ABC中，∵AC = AB (已知)，∴∠B =∠C ( 等邊對(duì)等角）.
在△ABC中，AB=AC.(1)∵∠BAD=∠CAD，∴BD=CD，AD⊥BC；(2)∵AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD；(3)∵BD=CD，∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC.
例1 已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在BC上，且AD＝BD，求證: ∠ADB＝∠BAC．
要證∠ADB＝∠BAC
只要找與∠1相等且與∠C也相等的角.
由于∠BAC=∠1+∠2， ∠ADB=∠C+∠2.
證明：∵AB＝AC，AD＝BD，∴∠B＝∠C，∠B＝∠1（等邊對(duì)等角）∴∠C＝∠1.∵∠ADB是△ADC的外角，∴∠ADB＝∠C+∠2.∴∠ADB＝∠1+∠2=∠BAC.
例2 已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F.求證：DE=DF.
已知DE⊥AB, DF⊥ACD是BC的中點(diǎn)
只要證△DBE≌△DCF
∴ ∠B= ∠C (等邊對(duì)等角).
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ ∠DEB=∠DFC=90°.
∴ △DBE ≌ △DCF(AAS).
已知AB=AC，D是BC的中點(diǎn)
已知DE⊥AB, DF⊥AC
只要證AD平分∠BAC
例2 已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F.求證：DE=DF .
證明：∵ AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，∴ AD平分∠BAC（三線合一）.∵ DE⊥AB，DF⊥AC，∴ DE=DF.
1. 如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC上，AD=BD，AB=AC=CD. 找出圖中相等的角并說(shuō)明理由.
解：∠BAD=∠B=∠C；∠BAC=∠ADB；∠ADC=∠DAC.∵AD=BD，∴∠BAD=∠B.∵AB=AC，∴∠C=∠B.∴∠BAD=∠B=∠C
∵DC=AC，∴∠DAC=∠ADC.
∵∠ADB＝∠C+∠DAC， ∠BAC＝∠BAD+∠DAC，∴∠ADB=∠BAC.
2.如圖的房屋人字梁架中，AB＝AC ，BD=DC， ∠BAC＝110°， (1) 求∠B、∠C、∠1、∠2的度數(shù)； (2) 求證：AD⊥BC .
(2) 證明：∵AB=AC，BD=DC（已知） ∴ AD⊥BC（三線合一）
注意是指同一個(gè)三角形中
注意是指頂角的平分線,底邊上的高和中線才有這一性質(zhì).
常用輔助線：作頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線是常見的輔助線
1.等腰三角形的對(duì)稱軸是( 　　)A.底邊上的中線　　　 B.頂角的平分線C.底邊上的高 D.底邊的垂直平分線
2.如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，下列結(jié)論中不正確的是( 　　)A. ∠B=∠C B. AD⊥BC C. AD平分∠BAC D. AB=2BD
3.已知，如圖，△ABC中，AB=AC，AD是角平分線，BE=CF，則下列說(shuō)法正確的有( )個(gè)
（1）AD平分∠EDF； （2）△EBD≌△FCD； （3）BD=CD； （4）DE⊥AB．
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
4.(1)等腰三角形一個(gè)底角為75°,它的另外兩個(gè)角為____ ________；(2)等腰三角形一個(gè)角為36°,它的另外兩個(gè)角為____________________；(3)等腰三角形一個(gè)角為120°,它的另外兩個(gè)角為_ ___ _______ __.
72°,72°或36°,108°
5. 在△ABC中， AB=AC，AB的垂直平分線與AC所在的直線相交得的銳角為50°，則底角的大小為___________．
注意：當(dāng)題目未給定三角形的形狀時(shí)，一般需分銳角三角形和鈍角三角形兩種情況進(jìn)行討論.
6.如圖，AOB是一鋼架，且∠AOB=10°，為使鋼架更加堅(jiān)固，需在其內(nèi)部添一些鋼管EF、FM、MH……，添加的 鋼管長(zhǎng)度都與OE相等，添加這樣的鋼管4根時(shí)，則∠AHB 的度數(shù)為__________.
7.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC上，AD=BD，AB=AC=CD.
解：設(shè)∠B=x°.∵AD=BD，∴∠BAD=∠B=x°.∴∠ADC=∠BAD+∠B=(2x)°.∵DC=AC，∴∠DAC=∠ADC=(2x)°.∵AB=AC，∴∠C=∠B=x°.∵∠C+∠DAC+∠ADC=180°,∴x+2x+2x=180.∴x=36，即∠B=36°.∴∠BAC=180°-36°-36°=108°
8. 已知點(diǎn)D、E在△ABC的邊BC上，AB＝AC.(1)如圖①，若AD＝AE，求證：BD＝CE；
(1)證明：如圖①，過(guò)A作AG⊥BC于G.∵AB＝AC，AD＝AE，∴BG＝CG，DG＝EG，∴BG－DG＝CG－EG，∴BD＝CE.
8. 已知點(diǎn)D、E在△ABC的邊BC上，AB＝AC.(2)如圖②，若BD＝CE，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)，求證：AF⊥BC.
(2)證明：∵F為DE的中點(diǎn)，∴DF＝EF.∵BD＝CE，∴BD＋DF＝CE＋EF，∴BF＝CF.∵AB＝AC，∴AF⊥BC.

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2.5 等腰三角形的軸對(duì)稱性

版本： 蘇科版（2024）

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