蘇科版八年級上冊2.4 線段、角的軸對稱性優(yōu)質(zhì)課件ppt

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2 . 4線段、角的軸對稱性
線段是軸對稱圖形嗎？它的對稱軸是什么？什么叫線段的垂直平分線？
知識點(diǎn) 1 線段的垂直平分線的性質(zhì)
如圖 2－17，直線 l 是線段AB 的垂直平分線，l 交 AB 于點(diǎn) O. 把 OA 沿直線 l 翻折，因?yàn)椤?＝∠2＝90°，OA＝OB，所以 OA與OB重合.
線段是軸對稱圖形，線段的垂直平分線是它的對稱軸.
如圖2－18，線段 AB 的垂直平分線 l 交 AB 于點(diǎn)O，點(diǎn)P在上 PA 與 PB 相等嗎?
我們可以運(yùn)用圖形運(yùn)動的方法，利用線段的軸對稱性，證明 PA＝PB .
把△PAO沿直線 l 翻折(如圖)，因?yàn)?∠POA＝ ∠POB，所以O(shè)A 落在射線OB 上，因?yàn)?OA ＝OB，所以點(diǎn)A與點(diǎn)B 重合.依據(jù)基本事實(shí)“兩點(diǎn)確定一條直線”，可知 PA 與PB 重合，所以PA＝PB.
于是，我們得到如下定理：
線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等.
如圖， ∵點(diǎn)A 在線段BC 的垂直平分線上， ∴ AB＝AC.
線段有兩條對稱軸，線段的垂直平分線是它的對稱軸，線段自身所在的直線也是它的對稱軸.
1. 線段的垂直平分線的性質(zhì)中的“距離”是“該點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離”. 2. 用線段的垂直平分線的性質(zhì)可直接證明線段相等，不必再用三角形全等來證明，因此它為證明線段相等提供了新方法.
線段的垂直平分線外的點(diǎn)到這條線段兩端的距離相等嗎?為什么?
如圖 2－20，點(diǎn)P在線段AB 的垂直平分線 l 外，PA交 l 于點(diǎn)Q，連接 QB. 因?yàn)辄c(diǎn)Q在AB的垂直平分線上，所以 QA＝QB，于是 PA＝PQ＋QA＝PQ＋QB ＞ PB.
如圖，在△ABC 中，AB 的垂直平分線分別交 AB、BC 于點(diǎn)D、E，連接AE. 若 AE＝4，EC＝2，則BC 的長是(　　) A. 2　　　　B. 4　　　　 C. 6　　　　D. 8
方法點(diǎn)撥 利用線段垂直平分線的性質(zhì)進(jìn)行線段間的轉(zhuǎn)化，是一種常用的解題方法. 本題中解題的關(guān)鍵是利用線段垂直平分線的性質(zhì)將BC 的長轉(zhuǎn)化為線段 AE＋EC 的長，即可求解.
解：∵直線DE 是AB 的垂直平分線， ∴ BE＝AE. ∴ BC＝BE＋EC ＝AE＋EC ＝4＋2 ＝6.
1. 利用網(wǎng)格畫線段 PQ 的垂直平分線 ：
2. 如圖，要在公路旁設(shè)一個(gè)公共汽車站，車站應(yīng)設(shè)在什 么地方，才能使 A、B 兩村到車站的距離相等?
解：如圖所示，連接 AB，作線段 AB 的垂直平分線l，直線l交公路于點(diǎn) C，則點(diǎn)C就是汽車站的位置，此時(shí) A，B 兩村到車站的距離相等.
知識點(diǎn) 2 線段的垂直平分線的判定
如果一個(gè)點(diǎn)在一條線段的垂直平分線上，那么這個(gè)點(diǎn)到這條線段兩端的距離相等.反過來，如果一個(gè)點(diǎn)到一條線段兩端的距離相等，那么這個(gè)點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上嗎?
若點(diǎn)Q在線段 AB 上，且 QA ＝QB，則Q是線段 AB 的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AB的垂直平分線上(如圖 2－21(1)).
若點(diǎn)Q在線段 AB 外，且 QA＝QB，則作 QM⊥AB，垂足為 M (如圖 2－21(2)). 由∠QMA＝∠QMB＝90°，QA＝QB，QM＝QM，可證 Rt△QAM ≌ Rt△QBM (HL). 由此可知AM＝BM，即點(diǎn)Q在線段AB的垂直平分線上.
到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上.
線段的垂直平分線是到線段兩端距離相等的點(diǎn)的集合.
如圖，∵ AB＝AC，∴點(diǎn)A 在線段BC 的垂直平分線上.
按下列作法，用直尺和圓規(guī)作線段 AB 的垂直平分線：
在△ABC 中，用直尺和圓規(guī)分別作AB、AC的垂直平分線l1、l2，l1、l2 相交于點(diǎn) O，再作 BC 的垂直平分線， 你有什么發(fā)現(xiàn)?
BC 的垂直平分線過點(diǎn)O.
證明一個(gè)點(diǎn)在一條線段的垂直平分線上，還可以利用線段垂直平分線的定義進(jìn)行推理，思路有兩種： 一是作垂直，證平分； 二是取中點(diǎn)，證垂直.
例1 已知：如圖2－22，在三△ABC中，AB、AC 的垂直 平分線 l1、l2 相交于點(diǎn) O. 求證：點(diǎn) O 在 BC 的垂直平分線上.
證明：連接 OA、OB、OC.∵點(diǎn)O在AB 的垂直平分線l1 上，∴ OA＝OB (線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等).
同理 OA＝OC.∴OB＝OC.∴點(diǎn) O 在 BC 的垂直平分線上 (到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上).
如圖，AD 為∠BAC 的平分線，交BC 于點(diǎn)D，AE＝AF. 請判斷線段AD 所在的直線是否為線段EF 的垂直平分線，若是，請給予證明；若不是，請說明理由.
教你一招 判斷線段垂直平分線的兩種方法： 一是定義法，二是判定定理. 一般習(xí)慣用定義法進(jìn)行判斷，而利用判定定理判斷更簡單. 用判定定理判定一條直線是線段的垂直平分線時(shí)，一定要證明直線上有兩個(gè)不同的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.
解：線段AD 所在的直線是線段EF 的垂直平分線.證明如下：連接DE、DF.∵ AD 為∠BAC 的平分線，∴∠EAD＝∠FAD.在△AED 和△ AFD 中， AE＝AF， ∠EAD＝∠FAD， AD＝AD，
∴△ AED ≌△ AFD.∴ DE＝DF.∴點(diǎn)D 在線段EF 的垂直平分線上.∵ AE＝AF，∴點(diǎn)A 在線段EF 的垂直平分線上.∴線段AD 所在的直線是線段EF 的垂直平分線.
切忌只證明一個(gè)點(diǎn)在直線上，就說過該點(diǎn)的直線是線段的垂直平分線.
1. 利用網(wǎng)格在圖中找一點(diǎn) O，使OA＝OB＝OC.
2. 直線l 外有點(diǎn) A、B，若要在 l 上找一點(diǎn)，使這點(diǎn)與點(diǎn) A、B 的距離相等，這樣的點(diǎn)一定能找到嗎?請你畫圖 表示各種可能的情況.
解：不一定能找到，各種可能情況如圖所示.
知識點(diǎn) 3 角平分線的性質(zhì)
如圖2－23，OC是∠AOB 的平分線，如果把∠1沿 OC 翻折，因?yàn)?∠1＝∠2，所以射線 OA 與射線OB 重合.
角是軸對稱圖形，角平分線所在的直線是它的對稱軸.
在∠AOB 的平分線上任意取一點(diǎn) P，分別畫點(diǎn) P到OA 和OB 的垂線段PC和PD(如圖2－24)，PC與PD 相等嗎?
我們可以運(yùn)用圖形運(yùn)動的方法，利用角的軸對稱性，證明 PC＝PD .
把圖2－24 中的△POC 沿OP 翻折(如圖 2－25)，因?yàn)椤螦OP＝∠BOP，所以O(shè)A與OB 重合，因?yàn)?PC⊥OA，PD⊥OB，依據(jù)基本事實(shí)“過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直”，可知 PC 與 PD 重合，所以 PC＝PD.
角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.
如果一個(gè)點(diǎn)在一個(gè)角的平分線上，那么這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等； 反過來，如果一個(gè)點(diǎn)到一個(gè)角的兩邊的距離相等，那么這個(gè)點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上嗎?
如圖 2－26，點(diǎn)Q在∠AOB 內(nèi)且QC⊥OA，QD⊥OB，垂足分別為 C、D，QC＝QD，作射線 OQ. 因?yàn)椤螿CO＝∠QDO＝90°，QC ＝QD，OQ＝OQ，所以 Rt△QCO ≌ Rt△QDO. 于是∠AOQ＝∠BOQ，即點(diǎn)Q在∠AOB 的平分線上.
角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.
如圖，∵ OP 平分∠ AOB， PD⊥OA 于點(diǎn)D， PE⊥OB 于點(diǎn)E，∴ PD＝PE.
線段垂直平分線的性質(zhì)與角平分線的性質(zhì)的比較
相同點(diǎn)：兩者都可以直接得到兩條線段相等；不同點(diǎn)：前者指的是點(diǎn)到點(diǎn)的距離，后者指的是點(diǎn) 到線的距離.
1. 角平分線的性質(zhì)是由兩個(gè)條件(角平分線、垂線)得到一個(gè)結(jié)論(線段相等). 2. 利用角平分線的性質(zhì)證明線段相等時(shí)，證明的線段是“垂直于角兩邊的線段”而不是“垂直于角平分線的線段”.
如圖，在△ABC 中，∠C＝90°，BD 平分∠ABC 交 AC 于點(diǎn)D. 若CD＝6，則點(diǎn)D 到 AB 的距離為___________．
運(yùn)用角平分線的性質(zhì)解決問題時(shí)， 條件中必須有角平分線的性質(zhì)的模型(即角平分線＋兩垂直)， 若缺少某個(gè)部分， 則通過作輔助線補(bǔ)充完整，才能運(yùn)用此性質(zhì)解決問題.
解：如圖，過點(diǎn)D 作DE ⊥ AB，垂足為E． ∵∠C＝90°， ∴ DC ⊥ BC. 又∵ BD 平分∠ ABC， ∴ DE＝CD＝6， 即點(diǎn)D 到AB 的距離為6．
利用網(wǎng)格畫圖：(1) 在 BC 上找一點(diǎn)P，使點(diǎn) P 到 AB 和 AC 的距離相等；(2) 在射線 AP 上找一點(diǎn)Q，使 QB＝QC.
解：如圖所示(1)畫出∠BAC 的角平分線交線段 BC 于點(diǎn)P，即為所求. (2) 畫線段 BC的垂直平分線交射線AP于點(diǎn)Q即為所求.
知識點(diǎn) 4 角平分線的判定
在△ABC 中，用直尺和圓規(guī)分別作角平分線 AD、BE，AD、BE 相交于點(diǎn)P，再作∠C的平分線，你有什么發(fā)現(xiàn)?
角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.
如圖，∵ P 為∠AOB 內(nèi)一點(diǎn)，PD ⊥ OA， PE⊥OB，垂足分別為D、E， 且PD＝PE，∴點(diǎn)P 在∠AOB 的平分線OC 上.
角平分線的判定定理與性質(zhì)定理的關(guān)系
三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線交于一點(diǎn)且這點(diǎn)到三邊的距離相等.
1. 使用該判定定理的前提是這個(gè)點(diǎn)必須在角的內(nèi)部. 2. 角平分線的判定是由兩個(gè)條件(垂線，線段相等)得到一個(gè)結(jié)論(角平分線). 3. 角平分線的判定定理是證明兩角相等的重要依據(jù)，它比利用三角形全等證兩角相等更方便快捷.
例2 已知：如圖，△ABC的角平分線AD、BE相交于點(diǎn)P . 求證：點(diǎn)P在∠C的平分線上.
證明： 過點(diǎn) P作PF⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC， 垂足分別為 F、M、N.
∵AD平分∠BAC，點(diǎn)P在AD上. ∴ PF＝PN (角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等).同理 PF＝PM. ∴ PM＝PN. ∴點(diǎn)P在∠C的平分線上 (角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上)
例3 已知：如圖，AD 是△ABC 的角平分線，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分別為 E、F. 求證：AD垂直平分EF.
證明：∵ DE⊥AB，DF⊥AC，∠1＝∠2， ∴ ∠3＝∠4， ∴ DE＝DF，AE＝AF (角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等). ∴ 點(diǎn) D、A在 EF 的垂直平分線上 (到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線 段的垂直平分線上).∴ AD 垂直平分 EF.
如圖，BE＝CF，BF ⊥ AC 于點(diǎn)F，CE ⊥ AB 于點(diǎn)E，BF 和CE 交于點(diǎn)D，連接AD. 求證：AD平分∠ BAC.
證明角平分線的方法: 1. 從數(shù)量上證明被要證的線分成的兩個(gè)角相等. 2. 從形上證明角的內(nèi)部的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，即只需從要證的線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線段，再證明垂線段相等即可．這樣把證“某線是角的平分線”的問題轉(zhuǎn)化為證“垂線段相等”的問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想.
證明：∵ BF⊥AC，CE⊥AB， ∴∠DEB＝∠DFC＝90° . 在△BDE 和△CDF 中，∠BDE＝∠CDF， ∠DEB＝∠DFC，BE＝CF， ∴△BDE ≌△CDF. ∴ DE＝DF.又∵ DF⊥AC，DE⊥AB， ∴點(diǎn)D在∠BAC 的平分線上，即AD平分∠BAC.
在一張紙上畫△ABC 及其兩個(gè)外角(如圖). (1) 用折紙的方法分別折出∠BAD 和∠ABE 的平分線，設(shè)兩條折痕的交點(diǎn)為 O；
(2) 用直尺和圓規(guī)作∠ACB 的平分線CF. 點(diǎn)O在射線 CF 上嗎?證明你的結(jié)論.
證明如下：分別過點(diǎn)O作OM⊥CD，OP⊥AB，ON⊥CE，垂足分別為 M，P，N. ∵ AO是∠BAD的平分線，OM⊥CD，OP⊥AB，
∴ OM＝OP (角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等)同理，可得ON＝OP，∴OM＝ON，∴CO是∠DCE 的平分線 (角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上).又∵CF 是∠DCE 的平分線，∴點(diǎn)O，C，F(xiàn) 共線，即點(diǎn)O在射線CF上.
1. 如圖，在△ABC中，BC＝7，AB 的垂直平分線分別交 AB、BC于點(diǎn)D、E，AC 的垂直平分線分別交 AC、BC 于點(diǎn) F、G. 求△AEG 的周長.
2. 如圖，AB的垂直平分線分別交AB、AC 于點(diǎn) D、E， AC＝9，AE∶EC ＝ 2∶1. 求點(diǎn)B到點(diǎn)E的距離，
3. 已知：如圖，AB＝AE，BC＝ED，AF垂直平分CD. 求證：∠B＝∠E.
4. (1) 利用網(wǎng)格畫四邊形 ABCD 任意兩邊的垂直平分線， 設(shè)它們相交于點(diǎn) O；
如圖所示. (答案不唯一，畫其中2條即可)
(2) 觀察點(diǎn)O是否在另兩邊的垂直平分線上；(3) 把四邊形 ABCD 的頂點(diǎn)D向左移動 8 格，還能觀察 到與上面相同的結(jié)論嗎?
(2) 點(diǎn)O在另兩邊的垂直平分線上. (3) 不能
5. 已知：如圖，AB＝AC，DB＝DC，點(diǎn)E在AD 上. 求證：EB＝EC.
證明：連接 BC. ∵AB＝AC，DB＝DC(已知)， ∴AD是線段 BC 的垂直平分線(到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上).
又∵點(diǎn)E在AD上(已知)， ∴EB＝EC (線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等).
6. 已知：如圖，AB＝AC，點(diǎn)D、E 分別在AB、AC 上， 且AD＝AE，BE、CD 相交于點(diǎn)O. 求證：點(diǎn)O在線段 BC 的垂直平分線上.
∴△ABE≌△ACD(SAS)，∴∠ABE＝∠ACD.∵AB＝AC，AD＝AE，∴AB－AD＝AC－AE，∴BD＝CE.在△BOD 和△COE 中，
7. (1) 利用網(wǎng)格畫四邊形ABCD兩個(gè)內(nèi)角的平分線，設(shè) 它們相交于點(diǎn)O；
解：如圖所示. (答案不唯一，畫其中 2條即可)
(2) 觀察點(diǎn)O是否在另兩個(gè)內(nèi)角的平分線上；(3) 把四邊形 ABCD的頂點(diǎn)D向右平移4格，再向下平移 2 格還能觀察到與上面相同的結(jié)論嗎?
(2)點(diǎn)O在另兩個(gè)內(nèi)角的平分線上 (3)不能
8. 已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在BC上， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為 E、F，且 DE＝DF . 求證：D是BC的中點(diǎn).
∵DE⊥AB，DF⊥AC，且 DE＝DF， ∴AD平分∠BAC(角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上) ∴∠BAD＝∠CAD.又∵AB＝AC，AD＝AD. ∴△ABD≌△ACD (SAS). ∴BD＝CD， ∴D是BC的中點(diǎn).
9. 如圖，BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E. △ABC的面積為70，AB＝16，BC＝12. 求 DE 的長.
解：過點(diǎn) D 作 DF⊥BC交BC 于點(diǎn)F. ∵BD 平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC， ∴ DE＝DF (角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等).
10. 已知：如圖，∠BAC 的平分線與 BC的垂直平分線相 交于點(diǎn)D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F. 求證：BE＝CF.
證明：連接 DB，DC. ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∠EAD＝∠FAD，
11. 在七年級下冊“證明”一章的學(xué)習(xí)中，我們曾做過 如下的實(shí)驗(yàn)：
畫∠AOB＝90°，并畫∠AOB 的平分線OC..
(1) 把三角尺的直角頂點(diǎn)落在 OC 的任意一點(diǎn)P上，并使三角尺的兩條直角邊分別與 OA、OB 垂直，垂足分別為 E、F(圖①). 度量 PE、PF 的長度，這兩條線段相等嗎?
(2) 把三角尺繞點(diǎn) P 旋轉(zhuǎn)，三角尺的兩條直角邊分別交 OA、OB于點(diǎn) E、F (圖②)，PE 與PF 相等嗎?
通過實(shí)驗(yàn)可以得到 PE＝PF 的結(jié)論，現(xiàn)在請你證明這個(gè)結(jié)論.
證明如下： 如圖，過點(diǎn)P分別作 PE⊥OA，PF⊥OB，交OA，OB 于點(diǎn)E′，F(xiàn)′.∵ OC是∠AOB 的平分線， 且 PE′⊥OA，PF′⊥OB，∴ PE′＝PF′ (角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等).
∵∠AOB＝90°，PE′⊥OA， PF′⊥OB， ∴∠EPF′＝90°.又∵∠EPF＝90°， ∴∠E′PE＋∠EPF′＝90°， ∠EPF′＋∠FPF′＝90°， ∴ ∠E′PE＝∠FPF′.
在△PEE′和△PFF′中， ∠EPE＝∠FPF′(已證)，∵ PE′＝PF′(已證)， ∠EE′P＝∠FF′P＝90°(垂直定義)，∴△PEE′≌△PFF′(ASA).∴ PE＝PF.
宋朝有個(gè)歷史學(xué)家叫司馬光，他不僅因編著《資治通鑒》而流芳百世，而且他在小時(shí)候砸缸救人的故事至今仍廣為流傳.
司馬光有一次跟一群小伙伴玩耍，其中一個(gè)小孩不小心跌入儲滿水的大缸里，由于缸太高，同伴們無法救出這個(gè)小孩，大家都慌了神. 這時(shí)司馬光把缸砸破，這樣人便得救了. 在“讓人離開水”有困難時(shí)，司馬光設(shè)法“讓水離開人”,這就是司馬光的聰明所在.
倒過來想，就是逆向思考，這是數(shù)學(xué)中常用的一種思維方式. 比如，本章中對“線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等”進(jìn)行逆向思考，經(jīng)過證明就得到了它的逆定理——到線段兩端距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上；又如，對整式乘法法則和公式進(jìn)行逆向思考，就得到了多項(xiàng)式因式分解的方法；
再如，探求證明的途徑時(shí)，如果不能順利地從條件出發(fā)推出結(jié)論，不妨逆向思考，即從結(jié)論出發(fā)，尋找使結(jié)論成立的條件，往往能找到證明的途徑。 學(xué)會“倒過來想”，有助于不斷提高你提出問題和解決問題的能力.