1. 探索并證明等腰三角形的判定定理；
2. 探索等邊三角形的性質(zhì)定理和判定定理；
3. 會利用所學的定理進行說理.
定理1 等腰三角形的兩底角相等. (簡稱“等邊對等角”)．
定理2 等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合. (簡稱“三線合一”)．
等腰三角形有哪些性質(zhì)？
請說出“等腰三角形的兩底角相等”這個命題的逆命題，并判斷它是真命題還是假命題？
活動一 探究等腰三角形的判定
操作 畫線段BC，在BC的同側(cè)畫兩個相等的銳角，即∠CBM和∠BCN，設(shè)BM與CN相交于點A，量一量AB與AC的長度，你有什么發(fā)現(xiàn)?
我測量后發(fā)現(xiàn)AB與AC相等.
討論 你用文字語言敘述條件與結(jié)論嗎？
已知：△ABC 中，∠B=∠C．
作頂角的平分線AD，則∠BAD=∠CAD.
∴ △BAD ≌ △CAD (AAS).
∴ AB=AC (全等三角形的對應(yīng)邊相等).
作底邊的高線AD，則∠ADB=∠ADC=90°
等腰三角形的判定定理：
在△ABC中，∵∠B =∠C (已知)，
∴AB =AC ( 等角對等邊）.
(簡稱“等角對等邊”)
有兩個角相等的三角形是等腰三角形.
在同一個三角形中，等角對等邊.
∴∠B =∠C ( 等邊對等角）.
∵AC = AB (已知)，
∴AC = AB ( 等角對等邊）.
∵∠B =∠C (已知)，
它們的條件與結(jié)論正好調(diào)換了過來， 這也叫互逆命題.
1. 辨一辨：如圖，下列推理正確嗎?
解：錯，因為都不是在同一個三角形中.
∵∠1=∠2, ∴ DC=BC（等角對等邊）.
2. 在△ABC中，∠A和∠B的度數(shù)如下，其中能判定△ABC是等腰三角形的是(　　 )A.∠A=50°，∠B=70° B.∠A=70°，∠B=40°C.∠A=30°，∠B=90°D.∠A=80°，∠B=60°
3. 如圖，在△ABC中，AB=AC，角平分線BD、CE相交于點O. OB與OC相等嗎？請說明理由.
討論1 什么是等邊三角形？說說等邊三角形與等腰三角形的關(guān)系.
活動二 探究等邊三角形的性質(zhì)
定義：三邊相等的三角形叫做等邊三角形或正三角形.
等邊三角形是特殊的等腰三角形
討論2 等邊三角形的性質(zhì)有哪些？請同學們說一說．
∵AB=AC， ∴∠B=∠C .(等邊對等角) 同理 ∠A=∠C . ∴∠A=∠B=∠C. ∵ ∠A+∠B+∠C=180°, ∴ ∠A=∠B=∠C=60 °.
等腰三角形的兩個底角相等.
等邊三角形的三個角都相等，并且每一個角都等于60°.
等邊三角形性質(zhì)定理：等邊三角形的每個內(nèi)角都等于60°．
符號語言：∵△ABC是等邊三角形∴ ∠A=∠B=∠C=60 °.
頂角的平分線、底邊的高、底邊的中線三線合一.
每條邊上的中線,高和所對角的平分線都“三線合一”.
每一邊上的中線、高和這一邊所對的角的平分線互相重合(三條)
軸對稱圖形對稱軸（3條）
軸對稱圖形對稱軸（1條）
底邊上的中線、高和頂角的平分線互相重合(1條)
例1 如圖，已知△ABC為等邊三角形，點E、F分別在邊AC、BC上，且AE=CF，AF與BE相交于點D.(1)求證:△ABE≌△CAF;(2)求∠BDF的度數(shù).
解：(1)證明:∵△ABC為等邊三角形,∴∠BAE=∠C=60°，AB=CA，
∴△ABE≌△CAF (SAS).
解：(2)∵△ABE≌△CAF,∴∠ABE=∠CAF.∴∠BDF=∠ABE+∠BAF =∠CAF+∠BAF =∠BAC=60°.
1.等邊三角形是軸對稱圖形，它的對稱軸有( 　　)A. 1條 B. 2條 C. 3條 D. 以上都不對
2. 如圖，△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的中線，AB=4，則BD=　　，∠BAD=　　　°.?
3.如圖，在等邊△ABC的AC邊上取中點D，BC的延長線取一點E，使CE＝CD，連接BD，DE.求證：∠ABD＝∠E.
活動三 探究等邊三角形的判定
討論1 如果一個三角形的三個角都相等，那么這個三角形是等邊三角形嗎？為什么？
解：理由如下：如圖，∵∠B=∠C， ∴AB=AC .(等角對等邊) 同理 BC=AC . ∴AB=AC=BC.∴△ABC是等邊三角形.
討論2 有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形嗎？為什么？
解：理由如下：若頂角是60°，則兩個底角相等，也都是60°. 所以三個角都相等，△ABC是等邊三角形.若一個底角是60°，則另一個底角也是60°，頂角也是60°.所以三個角都相等，△ABC是等邊三角形.
(1)三個角都相等的三角形是等邊三角形.
等邊三角形的判定定理：
(1)在△ABC中，∵∠A =∠B =∠C (已知)，
∴△ABC是等邊三角形.
(2)有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．
(2)在△ABC中，∵∠A =60°(或∠B =60° 或∠C=60°
∴等腰△ABC是等邊三角形.
三條邊都相等的三角形是等邊三角形
兩個角相等的三角形是等腰三角形
三個角都相等的三角形是等邊三角形
兩條邊相等的三角形是等腰三角形
有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.(等腰三角形法)
等邊三角形判定方法歸納：
例2 如圖,在等邊三角形ABC中，DE∥BC，分別交AB、AC于點D、E .求證：△ADE是等邊三角形.
證明：∵ △ABC是等邊三角形，∴ ∠A= ∠B= ∠C.∵ DE//BC,∴ ∠ADE= ∠B=60°, ∠ AED= ∠C=60°.∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED=60°.∴ △ADE是等邊三角形.
想一想：本題還有其他證法嗎？
變式1 若點D、E 在邊AB、AC 的延長線或反向延長線上，且 DE∥BC，結(jié)論還成立嗎？
變式2：上題中，若將條件DE∥BC改為AD=AE， △ADE還是等邊三角形嗎？試說明理由.
∵ △ABC是等邊三角形，
∴ ∠A= ∠B= ∠C.
∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C.
∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED.
∴ △ADE是等邊三角形.
例3 如圖，點C為線段AB上一點，△ACM與△CBN都是等邊三角形．(1) 線段AN與線段BM是否相等？請說明理由；
解：(1)AN＝BM.理由：∵△ACM與△CBN都是等邊三角形，∴AC＝MC，CN＝CB，∠ACM＝∠BCN＝60°.∴∠ACN＝∠MCB.∴△ACN≌△MCB(SAS)．∴AN＝BM.
(2) AN與MC交于點E，BM與CN交于點F，探究△CEF的形狀，并證明你的結(jié)論．
(2)△CEF是等邊三角形．證明：∵∠ACE＝∠FCM=60°，∴∠ECF=60°.∵△ACN≌△MCB，∴∠CAE＝∠CMB.∵AC＝MC，∴△ACE≌△MCF(ASA)，∴CE＝CF.∴△CEF是等邊三角形．
想一想：本題你還能得到哪些結(jié)論？
1.下列條件中，不能得到等邊三角形的是(　　　)A．有兩個內(nèi)角是60°的三角形 B．三邊都相等的三角形C．有一個角是60°的等腰三角形 D．有兩個外角相等的等腰三角形
2.如圖, 等邊△ABC中, D、E、F分別是各邊上的一點, 且AD=BE=CF．求證：△DEF是等邊三角形．
證明：∵△ABC為等邊三角形，且AD=BE=CF，∴AF=BD=CE，∠A=∠B=∠C=60°，∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），∴DF=ED=EF，∴△DEF是等邊三角形．
1.如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分別是∠ABC、∠BCD的角平分線，則圖中的等腰三角形有(　　 )A．5個 B．4個 C．3個 D．2個
2. 如圖，四邊形ABCD是正方形，△PCD是等邊三角形，連接BP，則∠BPC等于 ( )A. 15° B. 20° C. 25° D. 30°
3. 如圖，等邊三角形ABC的三條角平分線交于點O，DE∥BC，則這個圖形中的等腰三角形共有 ( )
A. 4個 B. 5個 C. 6個 D. 7個
4.如圖，在△ABC中，AB=AC，D是AB上一點，過D作DE⊥BC于點E，并與CA的延長線相交于點F，試判斷△ADF的形狀，并說明理由.
解：△ADF是等腰三角形.理由：在△ABC中.∵AB=AC，∴∠B=∠C.∵DE⊥BC，∴∠DEB=∠DEC=90°,∴∠BDE+∠B=90°，∠F+∠C=90°，∴∠BDE=∠F.∵∠BDE=∠ADF，∴∠ADF=∠F，∴AF=AD.∴△ADF是等腰三角形.
5. 如圖，△ABC是等邊三角形，E是AC上一點，D是BC延長線上一點，連接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度數(shù)．
解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∵∠ABE＝40°，∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°.∵BE＝DE，∴∠D＝∠EBC＝20°，∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°.
6. 如圖，△ABC是等邊三角形，O為△ABC內(nèi)任意一點，OE∥AB，OF∥AC，分別交BC于點E、F. 求證：△OEF是等邊三角形.
證明:∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=∠C=60°.∵OE∥AB，OF∥AC，∴∠OEF=∠B=60°，∠OFE=∠C=60°.∵在△OEF中,∠O+∠OEF+∠OFE=180°,∴∠O=60°.∴∠O=∠OEF=∠OFE.∴△OEF是等邊三角形.

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