【暑假初升高】(蘇教版2019)數(shù)學(xué)初三（升高一）暑假-第11講《對數(shù)》講學(xué)案（必修1）-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

第11講對數(shù) 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1.理解對數(shù)的概念.2.知道自然對數(shù)和常用對數(shù).3.理解對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，能進(jìn)行簡單的對數(shù)運(yùn)算.4.知道對數(shù)的換底公式，能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化為自然對數(shù)和常用對數(shù)，并能進(jìn)行簡單的化簡、計(jì)算.【基礎(chǔ)知識】知識點(diǎn)一對數(shù)的概念(1)對數(shù)的概念一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).(2)常用對數(shù)與自然對數(shù)通常，我們將以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，并把log10N記為lgN，另外，在科技、經(jīng)濟(jì)以及社會生活中經(jīng)常使用以無理數(shù)e＝2.718 28…為底數(shù)的對數(shù)，以e為底的對數(shù)稱為自然對數(shù)，并把logeN記為lnN.知識點(diǎn)二對數(shù)與指數(shù)的關(guān)系　易得alogaN＝N，logaab＝b.根據(jù)對數(shù)的定義，可以得到對數(shù)與指數(shù)之間的關(guān)系：當(dāng)a>0，且a≠1時，ax＝N?x＝logaN.知識點(diǎn)三對數(shù)的有關(guān)性質(zhì)　對數(shù)的有關(guān)性質(zhì)是解題的重要依據(jù)(1)零和負(fù)數(shù)沒有對數(shù)；(2)1的對數(shù)為零，即loga1＝0(a>0且a≠1)；(3)底數(shù)的對數(shù)為1，即logaa＝1(a>0且a≠1).知識點(diǎn)四對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)　熟記對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，切忌記混性質(zhì)如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；(2)loga＝logaM－logaN；拓展：logamMn＝logaM(n∈R，m≠0)知識點(diǎn)五換底公式　經(jīng)常轉(zhuǎn)化為常用對數(shù)和自然對數(shù)對數(shù)換底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).特別地：logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1). 【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：對數(shù)的定義及其應(yīng)用例1．使式子有意義的的取值范圍是（）A． B． C． D．且【答案】D【解析】【分析】對數(shù)函數(shù)中，底數(shù)大于0且不等于1，真數(shù)大于0，列出不等式，求出的取值范圍.【詳解】由題意得：，解得：且.故選：D考點(diǎn)二：指數(shù)式與對數(shù)式的互化例2．將下列指數(shù)式與對數(shù)式互化：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【解析】【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）利用指數(shù)式與對數(shù)式的互化公式直接求解作答.(1)因?yàn)?/span>，所以有：.(2)因?yàn)?/span>，所以有：.(3)因?yàn)?/span>，所以有：.(4)因?yàn)?/span>，所以有：.(5)因?yàn)?/span>，所以有：.(6)因?yàn)?/span>，所以有：.考點(diǎn)三：對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)例3．已知，那么用表示是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】利用對數(shù)的運(yùn)算法則求解即可.【詳解】，故選:.考點(diǎn)四：換底公式的應(yīng)用例4．________．【答案】8【解析】【分析】直接利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及對數(shù)的換底公式，對已知式子進(jìn)行化簡即可求解．【詳解】解：，故答案為：8．考點(diǎn)五：利用對數(shù)運(yùn)算法則化簡與求值例5．計(jì)算求值(1)；(2)；(3)已知，求的值．【答案】(1)44(2)(3)1【解析】【分析】（1）由指數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算（2）由對數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算（3）將指數(shù)式轉(zhuǎn)化為對數(shù)式后計(jì)算(1)；(2) ；(3)，，則，；所以．考點(diǎn)六：兩邊取對數(shù)思想在解題中的應(yīng)用例6．已知，求證：.【答案】證明見解析.【解析】【分析】令，利用指數(shù)對數(shù)的互化和換底公式分別表示出，，，進(jìn)而即可得到.【詳解】設(shè)()，則，，，故. 【真題演練】1．Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域．有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)I(t)(t的單位：天)的Logistic模型：，其中K為最大確診病例數(shù)．當(dāng)I()=0.95K時，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則約為（）（ln19≈3）A．60 B．63 C．66 D．69【答案】C【解析】【分析】將代入函數(shù)結(jié)合求得即可得解.【詳解】，所以，則，所以，，解得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查對數(shù)的運(yùn)算，考查指數(shù)與對數(shù)的互化，考查計(jì)算能力，屬于中等題.2．已知，，，，則下列等式一定成立的是A． B． C． D．【答案】B【解析】【詳解】試題分析：相除得，又，所以.選B.【考點(diǎn)定位】指數(shù)運(yùn)算與對數(shù)運(yùn)算.3．根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限M約為3361，而可觀測宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為1080.則下列各數(shù)中與最接近的是（參考數(shù)據(jù)：lg3≈0.48）A．1033 B．1053C．1073 D．1093【答案】D【解析】【詳解】試題分析：設(shè) ，兩邊取對數(shù)，，所以，即最接近，故選D.【名師點(diǎn)睛】本題考查了轉(zhuǎn)化與化歸能力，本題以實(shí)際問題的形式給出，但本質(zhì)就是對數(shù)的運(yùn)算關(guān)系，以及指數(shù)與對數(shù)運(yùn)算的關(guān)系，難點(diǎn)是令，并想到兩邊同時取對數(shù)進(jìn)行求解，對數(shù)運(yùn)算公式包含，，.4．在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足，其中星等為mk的星的亮度為Ek（k=1,2）.已知太陽的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．【答案】A【解析】由題意得到關(guān)于的等式，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算法則可得亮度的比值.【詳解】兩顆星的星等與亮度滿足,令,.故選A.【點(diǎn)睛】本題以天文學(xué)問題為背景,考查考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識?信息處理能力?閱讀理解能力以及指數(shù)對數(shù)運(yùn)算.5．若，則．【答案】【解析】【詳解】∵，∴，∴.考點(diǎn)：對數(shù)的計(jì)算6．lg0.01＋log216＝_____________.【答案】2【解析】【詳解】lg0.01＋log216＝－2＋4＝2考點(diǎn)：本題考查對數(shù)的概念、對數(shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)知識，考查基本運(yùn)算能力.7．已知，，，則______【答案】【解析】【分析】根據(jù)換底公式得到，，，進(jìn)而求出，再用換底公式求出.【詳解】由，，得：，，，，所以故答案為：8．________．【答案】【解析】【分析】利用指數(shù)運(yùn)算及對數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算.【詳解】故答案為：79．若，則_________．【答案】3【解析】【分析】可根據(jù)已知條件，將對數(shù)化成指數(shù)關(guān)系，然后對等，找到a、b之間等量關(guān)系，帶入到a、b、c三者關(guān)系中，找到b、c的關(guān)系，即可完成求解.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，，此時，化簡得，所以，，所以3.故答案為：3.10．求值：______.【答案】7【解析】【分析】利用指數(shù)式與對數(shù)式的互化，對數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算作答.【詳解】.故答案為：711．某化工集團(tuán)生產(chǎn)的一種化工產(chǎn)品最初的雜質(zhì)含量為64%，先進(jìn)性除雜，每除雜一次雜質(zhì)含量減少，要使雜質(zhì)含量不超過1%，則過濾的次數(shù)至少為___________.（參考數(shù)據(jù)：）【答案】5【解析】【分析】結(jié)合題意，根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.【詳解】設(shè)過濾的次數(shù)至少為n次，則，即從而即所以所以過濾的次數(shù)至少為5次.故答案為：5. 【過關(guān)檢測】一、單選題1．已知，，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由換底公式和對數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行化簡計(jì)算.【詳解】由換底公式得：，，其中，，故故選：C2．已知，則（）A．2 B．3 C． D．【答案】D【解析】【分析】指數(shù)式化為對數(shù)式，得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，所以.故選：D3．（）A．3 B．1 C． D．【答案】B【解析】【分析】利用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)直接計(jì)算作答.【詳解】故選：B4．已知，則的值為（）A．1 B．0 C． D．2【答案】C【解析】【分析】利用指數(shù)與對數(shù)互化的公式表示出，再利用換底公式和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡計(jì)算.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，由換底公式和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得.故選：C5．農(nóng)業(yè)農(nóng)村部于年月日發(fā)布信息：全國按照主動預(yù)防、內(nèi)外結(jié)合、分類施策、有效處置的總體要求，全面排查蝗災(zāi)隱患．為了做好蝗蟲防控工作，完善應(yīng)急預(yù)案演練，專家假設(shè)蝗蟲的日增長率為，最初有只，則大約經(jīng)過（）天能達(dá)到最初的倍．（參考數(shù)據(jù)：，，，．）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】設(shè)經(jīng)過天后蝗蟲數(shù)量達(dá)到原來的倍，列出方程，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意可知，蝗蟲最初有只且日增長率為，設(shè)經(jīng)過天后蝗蟲數(shù)量達(dá)到原來的倍，則，，，,大約經(jīng)過天能達(dá)到最初的倍．故選：A6．（）A．5 B．3 C．2 D．0【答案】B【解析】【分析】利用對數(shù)運(yùn)算公式進(jìn)行計(jì)算.【詳解】.故選：B7．已知，，則（用，表示）等于（）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】利用換底公式和對數(shù)運(yùn)算法則得到，，進(jìn)而再用換底公式和對數(shù)運(yùn)算法則表示出【詳解】，，，則故選：D二、多選題8．以下運(yùn)算錯誤的是（）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算法則來進(jìn)行判斷，根據(jù)可以判斷ABC，通過可以判斷D選項(xiàng)【詳解】根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算，從而判斷A，C都錯誤，，從而判斷B錯誤，，從而判斷D正確.故選：ABC9．（多選）若，，則（）A． B．C． D．【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)和指數(shù)的互化計(jì)算出，然后逐項(xiàng)驗(yàn)證即可.【詳解】∵，，∴，，∴，故A選項(xiàng)正確；，故B選項(xiàng)錯誤；，故C選項(xiàng)錯誤；，故D選項(xiàng)正確，故選：AD10．(多選)下列指數(shù)式與對數(shù)式的互化中正確是（）A．100＝1與lg1＝0 B．＝與log27＝－3C．log39＝2與32＝9 D．log55＝1與51＝5【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)運(yùn)算和對數(shù)運(yùn)算的法則，相互轉(zhuǎn)化逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】B選項(xiàng)中，＝?log27＝－.故選：ACD三、填空題11．計(jì)算___________【答案】##0.5【解析】【分析】利用對數(shù)運(yùn)算及指數(shù)式與對數(shù)式互化計(jì)算作答【詳解】.故答案為：12．= ________【答案】【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)換底公式及運(yùn)算法則，指數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算.【詳解】故答案為：13．已知，，，則______【答案】【解析】【分析】根據(jù)換底公式得到，，，進(jìn)而求出，再用換底公式求出.【詳解】由，，得：，，，，所以故答案為：四、解答題14．（1）．（2）已知，，計(jì)算的值．【答案】（1）1；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用指數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算作答.（2）利用指數(shù)式與對數(shù)式互化求出n，代入并結(jié)合對數(shù)運(yùn)算法則求解作答.【詳解】（1）原式．（2）由得：，而，所以，.15．（1）計(jì)算：（2）若，，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪運(yùn)算法則分別對每一項(xiàng)進(jìn)行化簡，然后合并求解;（2）先利用已知條件，把m、n表示出來，代入要求解的式子中，利用對數(shù)的運(yùn)算法則化簡即可.【詳解】（1）原式（2）因?yàn)?/span>，，所以，，所以

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