【暑假初升高】(蘇教版2019)數(shù)學(xué)初三（升高一）暑假-第01講《集合的概念與表示》講學(xué)案（必修1）-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

第01講集合的概念與表示【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1、理解集合的含義，知道常用數(shù)集及其記法．2、了解屬于關(guān)系和集合相等的意義；初步了解有限集、無(wú)限集、空集的意義．3、掌握集合的三種表示方法----列舉法，描述法及圖象法，并能正確地表示一些簡(jiǎn)單的集合．【基礎(chǔ)知識(shí)】知識(shí)點(diǎn)一集合的概念(1)元素與集合：我們把研究對(duì)象稱為元素，把一些元素組成的總體叫集合.集合通常用大寫(xiě)字母表示.集合的元素通常用小寫(xiě)字母表示.知識(shí)點(diǎn)二集合與元素的關(guān)系如果a是集合A的元素，記作，讀作“a屬于A”；如果a不是集合A的元素，記作，讀作“a不屬于A”.知識(shí)點(diǎn)三集合中元素的特點(diǎn)(1)確定性：集合的元素必須是確定的.(2)互異性：對(duì)于一個(gè)給定的集合，集合中的元素一定是不相同的.(3)無(wú)序性：集合中的元素可以任意排列.知識(shí)點(diǎn)四常用數(shù)集及其記法所有非負(fù)整數(shù)組成的集合稱為非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作N;所有正整數(shù)組成的集合稱為正整數(shù)集，記作N+或N*；所有整數(shù)組成的集合稱為整數(shù)集，記作Z；所有有理數(shù)組成的集合稱為有理數(shù)集，記作Q；所有實(shí)數(shù)組成的集合稱為實(shí)數(shù)集，記作R.知識(shí)點(diǎn)五集合的表示(1)列舉法：把集合中的元素一一列舉出來(lái)（相鄰元素之間用逗號(hào)分隔），放在大括號(hào)內(nèi)，依此表示集合的方法稱為列舉法，如，等.使用說(shuō)明①用列舉法表示集合時(shí)，一般不考慮元素的順序.②如果一個(gè)集合的元素較多，且能夠按照一定的規(guī)律排列，那么在不致于發(fā)生誤解的情況下，可按照規(guī)律列出幾個(gè)元素作為代表，其他元素用省略號(hào)表示.③無(wú)限集有時(shí)也可用列舉法表示.(2)描述法：一般地，如果屬于集合A的任意一個(gè)元素x都具有性質(zhì)，而不屬于集合A的元素都不具有這個(gè)性質(zhì)，則性質(zhì)為集合 A的一個(gè)特征性質(zhì)，此時(shí)集合A可以表示為，這種表示集合的方法稱為特征性質(zhì)描述法，簡(jiǎn)稱描述法.使用說(shuō)明①有些情況下，描述法中豎線“|”及其左邊元素的形式均可省略，如{x|x是三角形}，也可表示為{三角形}.②集合中所有在另一集合I中的元素組成的集合，可以表示為{x∈I|p(x)}.知識(shí)點(diǎn)六集合的分類(lèi)一般地，含有有限個(gè)元素的集合稱為有限集，含有無(wú)限個(gè)元素的集合稱為無(wú)限集.我們把不含任何元素的集合稱為空集，記作.例如，集合就是空集. 【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：集合的含義例1．下列對(duì)象不能組成集合的是（）A．不超過(guò)20的質(zhì)數(shù) B．的近似值C．方程的實(shí)數(shù)根 D．函數(shù)的最小值【答案】B【解析】根據(jù)集合的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷.【詳解】不超過(guò)20的質(zhì)數(shù)構(gòu)成集合；方程的實(shí)數(shù)根構(gòu)成集合；函數(shù)的最小值構(gòu)成集合.而的近似值標(biāo)準(zhǔn)不明確，不能組成集合.故選：B 考點(diǎn)二：元素與集合關(guān)系的判斷例2．下列關(guān)系中，正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)自然數(shù)集、正整數(shù)集、整數(shù)集以及有理數(shù)集的含義判斷數(shù)與集合的關(guān)系.【詳解】對(duì)于A，，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，不是整數(shù)，所以，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，所以C正確；對(duì)于D，因?yàn)?/span>不含任何元素，則，所以D錯(cuò)誤.故選：C.例3．用符號(hào)“”和“”填空：（1）______N；（2）1______；（3）______R；（4）______；（5）______N；（6）0______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系判斷.【詳解】由所表示的集合，由元素與集合的關(guān)系可判斷（1）（2）（3）（4）（5）（6）.故答案為：（1）（2）（3）（4）（5）（6）. 考點(diǎn)三：集合的確定性、互異性、無(wú)序性例4．若a∈{1，a2﹣2a+2}，則實(shí)數(shù)a的值為___________.【答案】2【解析】【分析】利用集合的互異性，分類(lèi)討論即可求解【詳解】因?yàn)?/span>a∈{1，a2﹣2a+2}，則：a=1或a=a2﹣2a+2，當(dāng)a=1時(shí)：a2﹣2a+2=1，與集合元素的互異性矛盾，舍去；當(dāng)a≠1時(shí)：a=a2﹣2a+2，解得：a=1(舍去)或a=2；故答案為：2 考點(diǎn)四：集合的表示：描述法例5．用描述法表示下列集合：(1)所有被3整除的整數(shù)組成的集合；(2)不等式的解集；(3)方程的所有實(shí)數(shù)解組成的集合；(4)拋物線上所有點(diǎn)組成的集合；(5)集合.【答案】(1)(2)(3)(4)(5)且【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)中的集合和集合的表示方法，逐項(xiàng)表示，即可求解.(1)解：所有被3整除的整數(shù)組成的集合，用描述法可表示為：(2)解：不等式的解集，用描述法可表示為：.(3)解：方程的所有實(shí)數(shù)解組成的集合，用描述法可表示為：.(4)解：拋物線上所有點(diǎn)組成的集合，用描述法可表示為：.(5)解：集合，用描述法可表示為：且.考點(diǎn)四：集合的表示：列舉法例6．用列舉法表示下列集合：(1)中國(guó)國(guó)旗的顏色組成的集合；(2)單詞mathematics中的字母組成的集合；(3)自然數(shù)中不大于10的質(zhì)數(shù)組成的集合；(4)同時(shí)滿足的整數(shù)組成的集合；(5)由＋ (a, b∈R)所確定的實(shí)數(shù)組成的集合.【答案】(1){紅，黃}(2){m, a, t, h, e, i, c, s}(3){2, 3, 5, 7}(4){－1, 0, 1, 2}(5){－2, 0, 2}【解析】【分析】（1）中國(guó)國(guó)旗的顏色有紅、黃兩種，列舉法表示即可；（2）集合中的元素具有互異性，除去相同的字母，分析即得解；（3）自然數(shù)中不大于10的質(zhì)數(shù)有2, 3, 5, 7，列舉法表示即可；（4）求解不等式組，分析即得解；（5）分析的正負(fù)，分類(lèi)討論即得解(1)由題意，中國(guó)國(guó)旗的顏色有紅、黃兩種故中國(guó)國(guó)旗的顏色組成的集合為{紅，黃}(2)集合中的元素具有互異性，除去相同的字母單詞mathematics中的字母組成的集合為{m, a, t, h, e, i, c, s}(3)自然數(shù)中不大于10的質(zhì)數(shù)有2, 3, 5, 7故自然數(shù)中不大于10的質(zhì)數(shù)組成的集合為{2, 3, 5, 7}(4)故同時(shí)滿足的整數(shù)有－1, 0, 1, 2對(duì)應(yīng)的集合為：{－1, 0, 1, 2}(5)由題意，當(dāng)時(shí)，＋；當(dāng)時(shí)，＋；當(dāng)時(shí)，＋；當(dāng)時(shí)，＋故由＋ (a, b∈R)所確定的實(shí)數(shù)組成的集合為{－2, 0, 2} 【真題演練】1．給出下列關(guān)系：①∈R；②∈Q；③－3Z；④N，其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)數(shù)集的定義，即可得答案；【詳解】是實(shí)數(shù)，①正確；是無(wú)理數(shù)，②錯(cuò)誤；－3是整數(shù)，③錯(cuò)誤；－是無(wú)理數(shù)，④正確.所以正確的個(gè)數(shù)為2.故選：B.2．下面各組對(duì)象中不能形成集合的是（）A．所有的直角三角形 B．一次函數(shù)C．高一年級(jí)中家離學(xué)校很遠(yuǎn)的學(xué)生 D．大于2的所有實(shí)數(shù)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)集合的元素具有確定性的性質(zhì)，可判斷答案.【詳解】所有的直角三角形，能形成直角三角形集合，一次函數(shù)，元素是確定的，可以形成集合，大于2的所有實(shí)數(shù)，能形成集合，而高一年級(jí)中家離學(xué)校很遠(yuǎn)的學(xué)生，這里的“很遠(yuǎn)”的標(biāo)準(zhǔn)不確定，因而這里的學(xué)生就不確定，所以高一年級(jí)中家離學(xué)校很遠(yuǎn)的學(xué)生不能形成集合，故選：C3．下列說(shuō)法正確的是（）A．某個(gè)村子里的高個(gè)子組成一個(gè)集合B．所有小正數(shù)組成一個(gè)集合C．集合和表示同一個(gè)集合D．這六個(gè)數(shù)能組成一個(gè)集合【答案】C【解析】【分析】根據(jù)集合的性質(zhì)，結(jié)合各選項(xiàng)的描述判斷正誤.【詳解】A：某個(gè)村子里的高個(gè)子，不符合集合中元素的確定性，不能構(gòu)成集合，錯(cuò)誤；B：所有小正數(shù)，不符合集合中元素的確定性，不能構(gòu)成集合，錯(cuò)誤；C：和中的元素相同，它們是同一個(gè)集合，正確；D：中含有相同的數(shù)，不符合集合元素的互異性，錯(cuò)誤.故選：C4．若集合中只有一個(gè)元素，則=（）A．4 B．2 C．0 D．0或4【答案】A【解析】【詳解】考點(diǎn)：該題主要考查集合的概念、集合的表示以及集合與一元二次方程的聯(lián)系.5．設(shè)集合,則集合中元素的個(gè)數(shù)是A． B． C． D．【答案】C【解析】【詳解】∵A={0，1，2}，B={x﹣y|x∈A，y∈A}，∴當(dāng)x=0，y分別取0，1，2時(shí)，x﹣y的值分別為0，﹣1，﹣2；當(dāng)x=1，y分別取0，1，2時(shí)，x﹣y的值分別為1，0，﹣1；當(dāng)x=2，y分別取0，1，2時(shí)，x﹣y的值分別為2，1，0；∴B={﹣2，﹣1，0，1，2}，∴集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的個(gè)數(shù)是5個(gè)．故選C．6．設(shè)集合，，，則M中元素的個(gè)數(shù)為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】【詳解】由題意知，，則x的可能取值為5,6,7,8.因此集合M共有4個(gè)元素，故選B.【考點(diǎn)定位】集合的概念7．已知集合,則中所含元素的個(gè)數(shù)為A． B． C． D．【答案】D【解析】【詳解】列舉法得出集合，共含個(gè)元素．故答案選8．若集合且}，則N中元素的個(gè)數(shù)為（）A．9 B．6 C．4 D．2【答案】C【解析】【詳解】略9．定義集合運(yùn)算:.設(shè),,則集合的所有元素之和為（）A．0 B．2 C．3 D．6【答案】D【解析】【詳解】試題分析：根據(jù)題意，結(jié)合題目的新運(yùn)算法則，可得集合A*B中的元素可能的情況；再由集合元素的互異性，可得集合A*B，進(jìn)而可得答案解：根據(jù)題意，設(shè)A={1，2}，B={0，2}，則集合A*B中的元素可能為：0、2、0、4，又由集合元素的互異性，則A*B={0，2，4}，其所有元素之和為6；故選D．考點(diǎn)：元素的互異點(diǎn)評(píng)：解題時(shí)，注意結(jié)合集合元素的互異性，對(duì)所得集合的元素的分析，對(duì)其進(jìn)行取舍【過(guò)關(guān)檢測(cè)】 1．下列給出的對(duì)象能構(gòu)成集合的是（）A．平面直角坐標(biāo)系內(nèi)y軸附近的點(diǎn) B．26個(gè)英文字母C．新華書(shū)店中有意義的小說(shuō) D．的近似值【答案】B【解析】【分析】根據(jù)集合的確定性得到答案.【詳解】選項(xiàng)A，C，D中的對(duì)象不具有確定性，故不能構(gòu)成集合；選項(xiàng)B中的26個(gè)英文字母能構(gòu)成集合，故選：B.2．下列說(shuō)法中正確的是（）A．與定點(diǎn)A，B等距離的點(diǎn)不能構(gòu)成集合B．由“title”中的字母構(gòu)成的集合中元素的個(gè)數(shù)為5C．一個(gè)集合中有三個(gè)元素a，b，c，其中a，b，c是的三邊長(zhǎng)，則不可能是等邊三角形D．高中學(xué)生中的游泳能手能構(gòu)成集合【答案】C【解析】【分析】根據(jù)集合元素的特征判斷可得；【詳解】解：對(duì)于A：與定點(diǎn)A，B等距離的點(diǎn)在線段的中垂線上，故可以組成集合，即A錯(cuò)誤；對(duì)于B：由集合元素的互異性可知，由“title”中的字母構(gòu)成的集合中元素的個(gè)數(shù)為4，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)榧系脑鼐哂谢ギ愋裕?/span>a，b，c互不相等，故不可能是等邊三角形，即C正確；對(duì)于D：游泳能手模棱兩可，不具有確定性，故D錯(cuò)誤；故選：C3．設(shè)集合，則下列集合中與集合相等的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)集合相等的定義判斷選項(xiàng).【詳解】兩個(gè)集合的元素相同，兩個(gè)集合相等，集合中有2個(gè)元素，分別是1和2，所以與集合相等的集合是.故選：C4．已知集合，若，則的值為（）A．1 B． C． D．1或【答案】A【解析】【分析】根據(jù)求得，由此求得.【詳解】由于，所以對(duì)于集合有或.若，則，此時(shí)符合題意，.若，則集合不滿足互異性，不符合.所以的值為.故選：A5．已知集合，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】對(duì)于A：由分母不等于0即可判斷；對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，由集合中元素的互異性即可判斷；對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，即可判斷；對(duì)于D：當(dāng)，時(shí)，即可判斷.【詳解】解：對(duì)于A：由是集合，所以，∴選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，，與集合中元素的互異性相矛盾，∴選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，，，不合題意，∴選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D：當(dāng)，時(shí)，，符合題意，∴選項(xiàng)D正確.故選：D.6．下列元素與集合的關(guān)系判斷正確的是（　?。?/span>A．0∈N B．π∈Q C．∈Q D．－1?Z【答案】A【解析】【分析】根據(jù)元素和集合的關(guān)系逐一判斷即可.【詳解】0是自然數(shù)，是無(wú)理數(shù)，不是有理數(shù)，是整數(shù)，根據(jù)元素和集合的關(guān)系可知，只有A正確；故選：A7．已知集合，且，則實(shí)數(shù)m的值為（）A．3 B．2 C．0或3 D．0或2或3【答案】A【解析】【分析】依題意可得或，求出方程的根，再代入集合中檢驗(yàn)即可；【詳解】解：因?yàn)?/span>，且，所以或，解得或或，當(dāng)時(shí)，即集合不滿足集合元素的互異性，故，當(dāng)時(shí)集合不滿足集合元素的互異性，故，當(dāng)時(shí)滿足條件；故選：A8．已知，若集合A中恰好有5個(gè)元素，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】由已知求出集合A，進(jìn)一步得到m的范圍.【詳解】由題意可知，可得.故選：D9．若方程和方程的所有實(shí)數(shù)根組成的集合為M，則M中的元素個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】求出兩個(gè)方程的根，利用集合元素的互異性即得解.【詳解】解：方程和方程的實(shí)數(shù)根分別是2，3和2，-1，又集合中的元素具有互異性，所以集合M中的元素個(gè)數(shù)為3個(gè).故選：C10．設(shè)P、Q為兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合，定義集合，若，，則集合中元素的個(gè)數(shù)為______個(gè)．【答案】3【解析】【分析】分別對(duì)、進(jìn)行賦值，求出的所有可能取值即可求解.【詳解】由題意，得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)且時(shí)，；當(dāng)且時(shí)，；當(dāng)且時(shí)，；所以含有的元素有：1、2、，即中元素個(gè)數(shù)為3個(gè).故答案為：3.11．用列舉法表示下列集合：(1){不超過(guò)30的素?cái)?shù)}；(2){五邊形的對(duì)角線}；(3){的正約數(shù)}；(4).【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】【分析】根據(jù)集合的表示方法，利用列舉法，逐項(xiàng)計(jì)算，即可求解.(1)解：集合不超過(guò)30的素?cái)?shù)可表示為.(2)解：集合五邊形的對(duì)角線可表示為.(3)解：集合{的正約數(shù)}可表示.(4)解：集合可表示.12．用描述法表示下列集合：(1)偶數(shù)組成的集合；(2)正奇數(shù)組成的集合；(3)不等式－x2≥0的解集；(4)平面直角坐標(biāo)系中第四象限內(nèi)的點(diǎn)組成的集合；(5)集合.【答案】(1){x|x＝2n, n∈Z}或{x|x為偶數(shù)}(2){x|x＝2n＋1, n∈N}或{x|x為正奇數(shù)}(3){x|－x2≥0}(4){(x, y)|x>0,y<0}(5)且【解析】【分析】根據(jù)描述法的定義，結(jié)合各個(gè)小題的條件，依次分析即得解(1)由偶數(shù)可以表示成整數(shù)的兩倍，故偶數(shù)組成的集合可表示為{x|x＝2n, n∈Z}或{x|x為偶數(shù)}(2)由奇數(shù)可以表示成整數(shù)的兩倍加1，故正奇數(shù)組成的集合可表示為{x|x＝2n＋1, n∈N}或{x|x為正奇數(shù)}(3)不等式－x2≥0的解集可表示為{x|－x2≥0}(4)由第四象限的點(diǎn)橫坐標(biāo)為正，縱坐標(biāo)為負(fù)故平面直角坐標(biāo)系中第四象限內(nèi)的點(diǎn)組成的集合可表示為：{(x, y)|x>0,y<0}(5)集合可用描述法表示為且

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