第03講  交集、并集【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 理解兩個(gè)集合之間的并集和交集的含義，能求兩個(gè)集合的并集與交集.【基礎(chǔ)知識(shí)】知識(shí)點(diǎn)一   并集1.一般地,給定兩個(gè)集合A,B,由這兩個(gè)集合的所有元素組成的集合,稱為集合A與B的并集,記作,讀作“A并B”,2.數(shù)學(xué)表達(dá)式：.3.用Venn圖表示（陰影部分）如圖所示：4. 并集的性質(zhì)對(duì)于任意兩個(gè)集合A與集合B,有：①；②；③；④如果,則,反之也成立.知識(shí)點(diǎn)二  交集1.一般地,給定兩個(gè)集合A,B由既屬于A又屬于集合B的所有元素組成的集合,稱為A與B的交集,記作,讀作“A交B”.2.數(shù)學(xué)表達(dá)式：.3.用Venn圖表示（陰影部分）如圖所示：4. 交集的性質(zhì)對(duì)于任意兩個(gè)集合A與集合B,有：①；②；③；④如果,則,反之也成立.知識(shí)點(diǎn)三  區(qū)間(1)設(shè)a,b是兩個(gè)實(shí)數(shù),而且a<b.我們規(guī)定：①滿足不等式a≤x≤b的實(shí)數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間,表示為 [a,b]；②滿足不等式a<x<b的實(shí)數(shù)x的集合叫做開區(qū)間,表示為 (a,b)；③滿足不等式a≤x<b或a<x≤b的實(shí)數(shù)x的集合叫做半開半閉區(qū)間,分別表示為 [a,b),(a,b]．這里的實(shí)數(shù)a與b都叫做相應(yīng)區(qū)間的端點(diǎn)．實(shí)數(shù)集R可以用區(qū)間表示為 (－∞,＋∞),“∞”讀作“無窮大”,“－∞”讀作“負(fù)無窮大”,“＋∞”讀作“正無窮大”．我們可以把滿足x≥a,x>a,x≤b,x<b的實(shí)數(shù)x的集合,用區(qū)間分別表示為 [a,＋∞), (a,＋∞), (－∞,b], (－∞,b)．(2)區(qū)間的幾何表示     【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：有限數(shù)集的交集運(yùn)算例1．設(shè)集合，，則（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)交集運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以.故選：D.考點(diǎn)二：不等式解集的交集運(yùn)算例2．已知集合，，則（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】首先用列舉法表示集合，再根據(jù)交集的定義計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?/span>，又，所以；故選：D考點(diǎn)三：有限數(shù)集的并集運(yùn)算例3．已知集合，則（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】直接運(yùn)用集合并集的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，故選：A考點(diǎn)四：不等式解集的并集運(yùn)算例4．已知集合，，則（       ）A． B． C．  D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，，，再根據(jù)集合并集運(yùn)算求解即可.【詳解】解：因?yàn)?/span>，，所以故選：C考點(diǎn)五：交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算例5．已知集合，，全集.求：(1)；(2).【答案】(1)(2)=【解析】【分析】（1）先求得集合A，根據(jù)交集運(yùn)算的概念，即可得答案.（2）先求得集合A的補(bǔ)集，根據(jù)并集運(yùn)算的概念，即可得答案.(1)由，解得，，；(2)，，=考點(diǎn)六：Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算例6．設(shè)全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合是（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由圖中陰影部分可知對(duì)應(yīng)集合為，然后根據(jù)集合的基本運(yùn)算求解即可.【詳解】解：由圖中陰影部分可知對(duì)應(yīng)集合為全集，2，3，4，，集合，，，3，，=，=．故選：．考點(diǎn)七：根據(jù)集合運(yùn)算性質(zhì)求參數(shù)范圍例7． 已知集合，.(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）求出集合A，進(jìn)而求出A的補(bǔ)集，根據(jù)集合的交集運(yùn)算求得答案；（2）根據(jù)，可得，由此列出相應(yīng)的不等式組，解得答案.(1)，則或 ，當(dāng)時(shí)，， ；(2)若，則，，實(shí)數(shù)a的取值范圍為，即 .考點(diǎn)八：區(qū)間的表示例7．用區(qū)間表示下列集合：(1)；(2)且.【答案】(1)(2)【解析】【分析】先求解集合中的不等式，再利用區(qū)間表示即可(1)由題意，(2)由題意，且且           【真題演練】1．已知全集，集合，則等于（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】利用補(bǔ)集概念求解即可.【詳解】.故選：C2．若集合，，則（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】利用集合交集運(yùn)算求解即可.【詳解】由集合交集運(yùn)算可得.故選：C.3．已知集合，，且（       ）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】直接進(jìn)行交集運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)榧?/span>，所以，故選：A.4．已知集合，，若，則的值是（       ）A．-2 B．-1 C．0 D．1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)集合N和并集，分別討論a的值，再驗(yàn)證即可.【詳解】因?yàn)?/span>，若，經(jīng)驗(yàn)證不滿足題意；若，經(jīng)驗(yàn)證滿足題意.所以.故選：B.5．設(shè)集合，則（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)交集并集的定義即可求出.【詳解】，，.故選：C.6．設(shè)集合，則（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)交集、補(bǔ)集的定義可求.【詳解】由題設(shè)可得，故，故選：B.7．已知集合，，則（       ）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】結(jié)合題意利用并集的定義計(jì)算即可.【詳解】由題意可得：.故選：B.8．設(shè)集合，，則（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由題意結(jié)合交集的定義可得結(jié)果.【詳解】由交集的定義結(jié)合題意可得：.故選：D.9．已知集合，，則（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】分析可得，由此可得出結(jié)論.【詳解】任取，則，其中，所以，，故，因此，.故選：C.10．設(shè)集合，則（       ）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)交集定義運(yùn)算即可【詳解】因?yàn)?/span>，所以,故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查集合的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題，在高考中要求不高，掌握集合的交并補(bǔ)的基本概念即可求解.11．已知集合，則A． B． C． D．【答案】C【解析】【詳解】試題分析：由題意得，，故選C.12．已知集合,則________【答案】；【解析】【分析】直接根據(jù)集合的運(yùn)算求解即可【詳解】，.13．已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1<x<6}，C＝{x|x>a}，U＝R.(1)求A∪B，；(2)若A∩C≠?，求a的取值范圍.【答案】(1)A∪B＝{x|1<x≤8}，{x|1<x<2}(2){a|a<8}【解析】【分析】（1）根據(jù)集合的交并補(bǔ)的定義，即可求解；（2）利用運(yùn)算結(jié)果，結(jié)合數(shù)軸，即可求解.(1)A∪B＝{x|2≤x≤8}∪{x|1<x<6}＝{x|1<x≤8}.∵＝{x|x<2或x>8}，∴∩B＝{x|1<x<2}.(2)∵A∩C，作圖易知，只要a在8的左邊即可，∴a<8.∴a的取值范圍為{a|a<8}.         【過關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．已知集合，則（       ）A．（0，1] B．[0，1） C．（0，＋∞） D．【答案】A【解析】【分析】首先根據(jù)補(bǔ)集的運(yùn)算求得，再和求交集即可.【詳解】，所以（0，1].故選：A2．已知集合，，則等于（       ）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】本題考查集合的交集運(yùn)算，注意區(qū)別集合的元素．【詳解】故選：D．3．下列集合不能用區(qū)間的形式表示的個(gè)數(shù)為(      )①；②；③；④；⑤；⑥．A．2       B．3       C．4       D．5【答案】D【解析】【詳解】區(qū)間形式可以表示連續(xù)數(shù)集，是無限集①②N是自然數(shù)集，③是空集為有限集，都不能用區(qū)間形式表示，④是圖形的集合，不是數(shù)集，等邊三角形組成的集合。⑥Q是有理數(shù)，數(shù)軸上大于1的有理數(shù)不是連續(xù)的，故只有⑤可以，區(qū)間形式為 故答案為：D4．已知集合，，若滿足，則的值為(       )A．或5 B．或5 C． D．5【答案】C【解析】【分析】根據(jù)可知9∈A，則或由此可求出a的值，分類討論即可確定符合題意的a的取值．【詳解】∵，∴9∈A，或，解得或或，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，集合不滿足元素的互異性，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，符合題意；綜上，故選：C．5．已知集合，則（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)、一次函數(shù)的性質(zhì)求出其值域，然后由交集定義可得.【詳解】因?yàn)?/span>，所以易知，所以，即故選：D6．設(shè)集合，集合，則（       ）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】對(duì)兩個(gè)集合直接求交集即可.【詳解】集合，集合，則，故選：D7．已知集合，，，則（       ）A．{6，8} B．{2，3，6，8} C．{2} D．{2，6，8}【答案】A【解析】【分析】由已知，先有集合和集合求解出，再根據(jù)集合求解出即可.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以，又因?yàn)?/span>，所以.故選：A.8．已知集合或，，若，，則（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由集合的運(yùn)算結(jié)果分析的值【詳解】，則故選：A二、多選題9．對(duì)于集合A，B，定義，．設(shè)，，則中可能含有下列元素（       ）．A．5 B．6 C．7 D．8【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)所給定義求出，，即可求出，從而判斷即可；【詳解】解：因?yàn)?/span>，，所以，∴．故選：CD10．若全集為，集合則下列結(jié)論正確的是（　　）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用子集、交集、并集、補(bǔ)集的定義及性質(zhì)直接求解作答.【詳解】因集合，則有，A正確；全集為，則，又，則有，B正確；因，，因此，不正確，C不正確；因，則，而，則正確，D正確.故選：ABD11．(多選)已知集合，．若，則實(shí)數(shù)m的值為（       ）A．0 B．1C．3 D．3【答案】AD【解析】【分析】依題意可得，即可得到或，即可求出，再代入檢驗(yàn)即可；【詳解】解：因?yàn)?/span>，所以．因?yàn)?/span>，，所以或，解得或或.當(dāng)時(shí)，，，符合題意；當(dāng)時(shí)，集合不滿足集合元素的互異性，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，，符合題意．綜上，或；故選：AD12．已知，，則下列正確的是（       ）A． B．C．或x>3} D．或【答案】ABD【解析】【分析】利用交集、并集及補(bǔ)集的定義運(yùn)算即得.【詳解】∵，，∴或，故選：ABD.三、填空題13．已知全集，，，則______．【答案】##【解析】【分析】先求集合A的補(bǔ)集，再求A的補(bǔ)集與集合B的交集即可.【詳解】由得，又，則故答案為：14．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，4}，集合B={2，3，4，5}，則___________.【答案】##【解析】【分析】先求，再求解交集.【詳解】因?yàn)?/span>，則.故答案為：15．某班有39名同學(xué)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)課外研究小組，每名同學(xué)至多參加兩個(gè)小組.已知參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)小組的人數(shù)分別為26，15，13，同時(shí)參加數(shù)學(xué)和物理小組的有6人，同時(shí)參加物理和化學(xué)小組的有4人，則同時(shí)參見數(shù)學(xué)和化學(xué)小組有多少人__________.【答案】【解析】【分析】設(shè)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)小組的同學(xué)組成的集合分別為，、，根據(jù)容斥原理可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)小組的同學(xué)組成的集合分別為，、，同時(shí)參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組的人數(shù)為，因?yàn)槊棵瑢W(xué)至多參加兩個(gè)小組，所以同時(shí)參加三個(gè)小組的同學(xué)的人數(shù)為，如圖所示：由圖可知：，解得，所以同時(shí)參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組有人.故答案為：.16．已知，，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______【答案】或【解析】【分析】由可得，根據(jù)題意可得到端點(diǎn)的大小關(guān)系，得到不等式，從而可得答案.【詳解】由題意 ，則 要使得，則或解得或故答案為：或四、解答題17．設(shè)全集為，，.(1)若，求；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值組成的集合.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）若，求出集合，，即可求；（2）若，討論集合，即可得到結(jié)論.(1)解： ，當(dāng)，則，則；(2)解：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)滿足，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)若滿足，則或，解得或，綜上.18．設(shè)全集，集合(1)求；(2)若集合，且，求a的取值范圍．【答案】(1)，(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)交集，并集和補(bǔ)集的定義即可得出答案；（2）根據(jù)，可得，從而可得出答案.(1)解：，或，，(2)解：，，，所以，解得.19．已知，，，，求集合，．【答案】A={1 , 3 , 5 , 8}，B={ 2 , 3 , 5 , 6}.【解析】【分析】利用韋恩圖，將各個(gè)集合進(jìn)行表示，據(jù)圖可以寫出A，B.【詳解】由題可得如圖韋恩圖， 可知A={1 , 3 , 5 , 8}，B={ 2 , 3 , 5 , 6}.20．（1）已知，，，求與；（2）在如圖中用陰影表示與；（3）由（1）（2），你有什么發(fā)現(xiàn)？【答案】（1），；（2）答案見詳解；（3）【解析】【分析】根據(jù)交并補(bǔ)定義可直接求解與；陰影部分詳見解析；可得出集合的反演律結(jié)論【詳解】（1）因?yàn)?/span>，，，所以，，則；（2）如圖所示：（3）由（1）（2）可得 

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