【暑假初升高】(蘇教版2019)數(shù)學初三（升高一）暑假-第10講《指數(shù)》講學案（必修1）-學案下載-教習網(wǎng)

第10講指數(shù) 【學習目標】1.理解n次方根、n次根式的概念.2.能正確運用根式運算性質(zhì)化簡求值. 3. 通過對有理數(shù)指數(shù)冪 (a>0且a≠1，m，n為整數(shù)，且n>0)、實數(shù)指數(shù)冪ax(a>0，且a≠1，x∈R)含義的認識，了解指數(shù)冪的拓展過程，掌握指數(shù)冪的運算性質(zhì).【基礎(chǔ)知識】知識點一 n次方根，n次根式(1)a的n次方根的定義一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.(2)a的n次方根的表示　求解a的n次方根時要注意對n的奇偶性討論 n的奇偶性a的n次方根的表示符號a的取值范圍n為奇數(shù)Rn為偶數(shù)±[0，＋∞)(3)根式式子叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù).知識點二根式的性質(zhì)　(1)負數(shù)沒有偶次方根.(2)0的任何次方根都是0，記作＝0.(3)()n＝a(n∈N*，且n>1).(4)＝a(n為大于1的奇數(shù)).(5)＝|a|＝(n為大于1的偶數(shù)).知識點三分數(shù)指數(shù)冪　根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化是化簡的重要依據(jù)(1)規(guī)定正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；(2)規(guī)定正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；(3)0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0，0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義.知識點四有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)　記憶口訣：乘相加，除相減，冪相乘(1)整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，可以推廣到有理數(shù)指數(shù)冪，即：①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q).(2)拓展：＝ar－s(a>0，r，s∈Q).知識點五無理數(shù)指數(shù)冪　實數(shù)指數(shù)冪是一個確定的實數(shù)一般地，無理數(shù)指數(shù)冪aα(a>0，α是無理數(shù))是一個確定的實數(shù).有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)同樣適用于無理數(shù)指數(shù)冪. 【考點剖析】考點一：由根式的意義求范圍例1．，則實數(shù)a的取值范圍_________ 【答案】【解析】【分析】由二次根式的化簡求解【詳解】由題設得，，所以所以，．故答案為：考點二：利用根式的性質(zhì)化簡或求值例2．計算：(1)；(2).【答案】(1)(2)【解析】【分析】本題應用，為奇數(shù)，進行整理計算．(1)(2)考點三：有限制條件的根式的化簡例3．已知，化簡：_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)根式與指數(shù)冪的互化即可求出結(jié)果.【詳解】，．故答案為：．考點四：根式與指數(shù)冪的互化例4．用分數(shù)指數(shù)冪表示下列各式：(1)＝____; (2)＝____；(3)＝____; (4)＝____；(5)＝____.【答案】 ## 【解析】【分析】利用分數(shù)指數(shù)冪的定義，將根式化為分數(shù)指數(shù)冪.【詳解】（1）；（2）=；（3）=；（4）；（5）故答案為：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.考點五：利用分數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)化簡求值例5．化簡（式中字母都是正數(shù)）：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）同底數(shù)冪的乘除法法則進行計算；（2）把根式化為分數(shù)指數(shù)冪，再利用指數(shù)冪的運算法則進行計算.(1)(2) 考點六：整體代換法求分數(shù)指數(shù)冪例6．已知，求下列各式的值：①；②．【解析】①將兩邊平方，得．即．②將兩邊平方，得，即．【真題演練】1．化簡 (a>0)等于（）A．6a B．－aC．－9a D．9a2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)運算法則進行運算.【詳解】故選：C2．若，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定根式，結(jié)合其變形及結(jié)果列式計算作答.【詳解】因，則有，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：D3．已知實數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二次根式的運算求解.【詳解】設，，，，，..又，，，.故選：D4．有下列四個式子：① ；② ；③ ；④ 其中正確的個數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用公式進行求解.【詳解】① 正確；② ，② 錯誤；③ ，③ 錯誤；④ ，若，則，若，則，故④ 錯誤．故選：A5．若，，則的值為（）A．1 B．5 C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件利用根式的性質(zhì)直接計算即可得解.【詳解】依題意，，，則，所以的值為1.故選：A6．若有意義，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】將分式指數(shù)冪化為根式，結(jié)合根式的性質(zhì)可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，即可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】由負分數(shù)指數(shù)冪的意義可知，，所以，即，因此的取值范圍是．故選：C.7．若，，則的值為（）A． B．2 C． D．【答案】C【解析】【分析】由求出，結(jié)合指數(shù)冪公式可分別求出，進而得解.【詳解】由，，得，，，．故．故選：C8．計算：(1)()2＝____；　(2)()3＝___；(3)＝____; (4)＝___；(5)＝_____ (6) ＝____；(7)＝____; (8) ＝____.【答案】 11 -8 2 ## 3 ##1.5 【解析】【分析】（1）當n為偶數(shù)時，；（2）當n為奇數(shù)時，；（3）化為分數(shù)指數(shù)冪進行計算；（4）當n為偶數(shù)時，；（5）當n為偶數(shù)時，；（6）化為分數(shù)指數(shù)冪進行計算；（7）化為分數(shù)指數(shù)冪進行計算；（8）化為分數(shù)指數(shù)冪進行計算.【詳解】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.故答案為：11；-8；；2；；3；；9．已知，則________.【答案】【解析】【分析】通過平方，得兩式的轉(zhuǎn)化關(guān)系，，從而得，再由，開方即可求得.【詳解】因為，所以，又因為，所以故答案為：.10．計算：．【答案】.【解析】【分析】根據(jù)給定條件利用根式及指數(shù)運算法則計算作答.【詳解】原式=. 【過關(guān)檢測】一、單選題1．的值是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用指數(shù)冪的運算性質(zhì)化簡即可.【詳解】．故選：A2．已知（），則的值等于（）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】對其（）兩邊平方，可知，又，即可求出，進而求出結(jié)果.【詳解】由（），得，因為，故．又，且，所以．于是．故選:D.3．化簡(其中，)的結(jié)果是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件化根式為分數(shù)指數(shù)冪，再借助冪的運算法則計算即得.【詳解】因，，所以.故選：C4．下列根式、分數(shù)指數(shù)冪的互化中，正確的是（）A．（） B．C．（） D．（）【答案】C【解析】【分析】利用分數(shù)指數(shù)冪與根式的互化公式逐個判斷即可.【詳解】A中，（），故A錯誤；B中，，故B錯誤；C中，（），故C正確；D中，（），故D錯誤．故選：C．5．若有意義，則a的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)根式、冪的定義判斷．【詳解】由題意可知，且，∴a的取值范圍是且．故選：B．6．化簡的結(jié)果為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】利用平方差公式結(jié)合指數(shù)運算性質(zhì)即可【詳解】因為，，，，，所以原式=故選：B7．若代數(shù)式有意義，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由有意義求出的取值范圍，然后根據(jù)根式的運算性質(zhì)化簡計算即可得答案【詳解】由有意義，得解得．所以所以．故選：B．8．已知，下列各式中正確的個數(shù)是（）①；②；③；④；A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)完全平方和公式，立方和公式分別計算即可求解.【詳解】①,正確；②，正確；③因為可知，，，所以，故錯誤；④，正確.故選：C【點睛】本題主要考查了平方和公式，立方和公式，屬于容易題.二、多選題9．[多選題]下列各式運算正確的是（）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】【分析】利用指數(shù)冪的運算法則逐一考查所給的選項是否正確即可.【詳解】逐一考查所給的選項：A．，故A正確；B．，故B正確；C．，故C錯誤；D．，故D正確．故選：ABD．10．[多選題]下列根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化正確的是（）A． B．（）C．（） D．（）【答案】CD【解析】【分析】利用指數(shù)冪的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】對于選項A，因為（），而（），故A錯誤；對于選項B，因為（），故B錯誤；對于選項C，（），故C正確；對于選項D，（），故D正確．故選:CD11．（多選題）已知，下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，逐項計算，即可求解.【詳解】由，所以A正確；由，所以B正確；由，因為，，所以，所以C錯誤；由，所以D正確．故選：ABD．三、填空題12．設，則___________.【答案】4【解析】【分析】由根式與有理數(shù)指數(shù)冪的關(guān)系，結(jié)合指數(shù)冪的運算性質(zhì)，求值即可.【詳解】由.故答案為：4.13．若，則________.【答案】【解析】【分析】由題意列方程組，求解，然后代入計算即可得答案.【詳解】∵，，且，∴，∴故答案為：四、解答題14．計算下列各式：(1).(2).(3)已知，求的值.【答案】(1)；(2)；(3).【解析】【分析】(1)利用實數(shù)指數(shù)冪的運算法則直接計算作答.(2)利用實數(shù)指數(shù)冪的運算法則結(jié)合單項式的除法法則直接計算作答.(3)將給定等式兩邊平方直接計算即可作答.(1)原式.(2)原式.(3)因，兩邊平方得，所以.15．已知，，求的值.【答案】【解析】【分析】先化簡，再將，代入計算求解即可.【詳解】化簡，因為，，所以.16．（1）已知，求的值；（2）已知，，求的值．【答案】（1）18；（2）.【解析】【分析】（1）由題可得，結(jié)合條件及指數(shù)冪的運算法則即得；（2）由題意化簡所給的代數(shù)式，再結(jié)合條件即求.【詳解】（1）．（2）∵，，∴原式．

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