第02講  子集、全集、補(bǔ)集       【學(xué)習(xí)目標(biāo)】理解集合之間包含與相等的含義，能識(shí)別給定集合的子集.在具體情境中，了解全集與補(bǔ)集的含義.理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義，能求給定子集的補(bǔ)集.【基礎(chǔ)知識(shí)】知識(shí)點(diǎn)一   子集1.一般地如果集合A中任意一個(gè)元素都是集合B中的元素,那么集合A為集合B的子集.,記作 A?B（或 B?A）,讀作“A包含于B”（或“B包含A”）.2.規(guī)定：空集是任何集合的子集,即.3.子集的性質(zhì)：（1）任何一個(gè)子集都是它本身的子集,即.（2）若,且,則.知識(shí)點(diǎn)二   韋恩圖韋恩（Venn）圖：為了直觀地表示集合間的關(guān)系,我們常用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合,這種圖稱為韋恩圖. A是B的子集,可用下圖表示：              知識(shí)點(diǎn)三  真子集1.如果集合A是集合B的子集,并且集合B中至少有一個(gè)元素不屬于A,那么集合A稱為集合B的真子集,記作A B（或B A）,讀作：A真包含于B（或B真包含A）.2.真子集的性質(zhì)（1）空集是任何非空集合的子集.（2）若A B,B C,則A C.知識(shí)點(diǎn)四   集合的相等與子集的關(guān)系1.如果A?B且B?A,則A=B.2.如果A=B,則A?B且B?A.知識(shí)點(diǎn)五   有限集合的子集個(gè)數(shù)若集合A中有n個(gè)元素,則集合A的所有子集的個(gè)數(shù)為2n,真子集個(gè)數(shù)為2n－1,非空子集個(gè)數(shù)2n－1,非空真子集個(gè)數(shù)為2n－2.知識(shí)點(diǎn)六   補(bǔ)集1.全集：在研究集合與集合之間的關(guān)系時(shí),如果所要研究的集合都是某一給定集合的子集,那么稱這個(gè)給定的集合為全集,全集通常用表示.2.如果集合A是全集的一個(gè)子集,則由中不屬于A的所有元素組成的集合,稱為A在中的補(bǔ)集,記作.3. 數(shù)學(xué)表達(dá)式：.4.用Venn圖表示（陰影部分）如圖所示：   5. 給定全集的子集及其任意一個(gè)子集A,則①；②；③.    【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：集合的包含關(guān)系判斷例1．①，②，③，④，其中正確的個(gè)數(shù)為(       )A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系、集合與集合的關(guān)系即可判斷.【詳解】正確；正確；不正確，左邊是數(shù)集，右邊是點(diǎn)集；不正確，左邊是點(diǎn)集，右邊是點(diǎn)集，但點(diǎn)不相同.故正確的有①②，共2個(gè).故選：B.考點(diǎn)二：集合的相等例2．已知，.若，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)集合與集合相等列式即可求解【詳解】因?yàn)?/span>所以解之得：故答案為：考點(diǎn)三：空集的定義、性質(zhì)及運(yùn)算例3．下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥.正確的個(gè)數(shù)是（       ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)相等集合的概念，元素與集合、集合與集合之間的關(guān)系，空集的性質(zhì)判斷各項(xiàng)的正誤.【詳解】①集合之間只有包含、被包含關(guān)系，故錯(cuò)誤；②兩集合中元素完全相同，它們?yōu)橥患希瑒t，正確；③空集是任意集合的子集，故，正確；④空集沒(méi)有任何元素，故，錯(cuò)誤；⑤兩個(gè)集合所研究的對(duì)象不同，故為不同集合，錯(cuò)誤；⑥元素與集合之間只有屬于、不屬于關(guān)系，故錯(cuò)誤；∴②③正確.故選：B.考點(diǎn)四：子集與真子集的個(gè)數(shù)問(wèn)題例4．設(shè)集合，則集合的子集個(gè)數(shù)為________【答案】16【解析】【分析】先化簡(jiǎn)集合A，再利用子集的定義求解.【詳解】解：，故A的子集個(gè)數(shù)為8，故答案為：16考點(diǎn)五：補(bǔ)集及其運(yùn)算例5．已知集合，，則　　【答案】【解析】．考點(diǎn)六：集合關(guān)系中的參數(shù)取值問(wèn)題例6．設(shè)非空集合，，．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求集合；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，（Ⅱ）若，則有：由于，有，解得：，的取值范圍為：．         【真題演練】1．已知集合，則滿足條件的集合的個(gè)數(shù)為（   ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】【詳解】求解一元二次方程，得，易知.因?yàn)?/span>，所以根據(jù)子集的定義，集合必須含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原題即求集合的子集個(gè)數(shù)，即有個(gè)，故選D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本題在求集合個(gè)數(shù)時(shí)，也可采用列舉法.列出集合的所有可能情況，再數(shù)個(gè)數(shù)即可.來(lái)年要注意集合的交集運(yùn)算，考查頻度極高.2．已知集合是平行四邊形，是矩形，是正方形，是菱形，則A． B． C． D．【答案】B【解析】【詳解】因?yàn)榱庑问瞧叫兴倪呅蔚奶厥馇樾危?/span>D?A，矩形與正方形是平行四邊形的特殊情形，所以B?A，C?A，正方形是矩形，所以C?B．故選B．3．已知集合，則中元素的個(gè)數(shù)為（       ）A．9 B．8 C．5 D．4【答案】A【解析】【分析】根據(jù)枚舉法，確定圓及其內(nèi)部整點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以共有9個(gè)，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查集合與元素關(guān)系，點(diǎn)與圓位置關(guān)系，考查學(xué)生對(duì)概念理解與識(shí)別.4．已知集合，則（  ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【詳解】試題分析：因?yàn)?/span>，所以，故選D.考點(diǎn)：集合的運(yùn)算.5．設(shè)a,b∈R，集合，則=(       )A．1 B．-1 C．2 D．-2【答案】C【解析】【分析】利用集合中元素有意義，集合相等的意義列式計(jì)算作答.【詳解】因，則，從而得，有，于是得，所以.故選：C6．已知集合，則的子集個(gè)數(shù)為（       ）A．3 B． C．7 D．8【答案】B【解析】【分析】先求出，再按照子集個(gè)數(shù)公式求解即可.【詳解】由題意得：，則的子集個(gè)數(shù)為個(gè).故選：B.7．設(shè)集合M={5，x2}，N={5x，5}．若M=N，則實(shí)數(shù)x的值組成的集合為（       ）A．{5} B．{1} C．{0，5} D．{0，1}【答案】C【解析】【分析】利用集合相等求解.【詳解】解：因?yàn)?/span>，所以，解得或，的取值集合為，故選：C8．已知集合，且下列三個(gè)關(guān)系：①；②；③有且只有一個(gè)正確，則_______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)集合相等的條件，列出、、所有的取值情況，再判斷是否符合條件，求出、、的值后代入式子求值.【詳解】由已知，若正確，則或，即或或或均與“三個(gè)關(guān)系有且只有一個(gè)正確”矛盾；若正確，則正確，不符合題意；所以正確，則有，故.故答案為：9．已知集合或，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍_________．【答案】或【解析】【分析】根據(jù)，利用數(shù)軸，列出不等式組，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】用數(shù)軸表示兩集合的位置關(guān)系，如上圖所示， 或 要使，只需或，解得或．所以實(shí)數(shù)的取值范圍或.故答案為：或         【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．下列集合中表示同一集合的是（       ）．A．，B．，C．，D．，【答案】B【解析】【分析】根據(jù)集合相等,檢查集合中的元素是否一樣即可判斷.【詳解】選項(xiàng)A，集合，為點(diǎn)集，而點(diǎn)與點(diǎn)為不同的點(diǎn)，故A錯(cuò)；選項(xiàng)C，集合為點(diǎn)集，集合為數(shù)集，故C錯(cuò)；選項(xiàng)D，集合為數(shù)集，集合為點(diǎn)集，故D錯(cuò)；選項(xiàng)B，集合，表示的都是“大于的實(shí)數(shù)”，為同一個(gè)集合．故選：B2．設(shè)集合，，則（       ）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)集合的描述確定、的元素，進(jìn)而判斷它們的包含關(guān)系即可.【詳解】由且，即，而，所以為的子集，則.故選：A3．設(shè)集合，集合，若，則的取值范圍為（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】直接由求解即可.【詳解】由可得.故選：D.4．已知集合，集合．若，則實(shí)數(shù)m的取值集合為（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)是的子集列方程，由此求得的取值集合.【詳解】由于，所以，所以實(shí)數(shù)m的取值集合為.故選：C5．集合，，則M、P之間的關(guān)系為（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】用列舉法表示集合、，即可判斷兩集合的關(guān)系；【詳解】解：因?yàn)?/span>，，所以，故選：C6．已知，，若，則的值為(       )A．1或－1 B．0或1或－1 C． D．【答案】A【解析】【分析】A＝{－1，1}，若，則＝±1，據(jù)此即可求解﹒【詳解】，，若，則＝1或－1，故a＝1或－1．故選：A．7．設(shè)，，若，則的取值范圍是（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)集合的包含關(guān)系，列不等關(guān)系，解不等式即可.【詳解】由題：，，則.故選：B二、多選題8．若?，則(       )A． B． C． D．【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)題意可知集合B最少包含1，2兩個(gè)元素，最多包含1，2，3或1，2，4三個(gè)元素.【詳解】∵?，∴B＝{1，2}或B＝{1，2，3}或B＝{1，2，4}.故選：ABC.9．下列關(guān)系式錯(cuò)誤的是（       ）A． B． C． D．【答案】AC【解析】【分析】由元素和集合之間的關(guān)系以及集合和集合之間的關(guān)系判斷4個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】A選項(xiàng)由于符號(hào)用于元素與集合間，是任何集合的子集，所以應(yīng)為，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)根據(jù)子集的定義可知正確；C選項(xiàng)由于符號(hào)用于集合與集合間，C錯(cuò)誤； D選項(xiàng)是整數(shù)集，所以正確.故選：AC.10．以下滿足的集合A有（       ）A． B． C． D．【答案】AC【解析】【分析】直接寫出符合題意要求的所有集合A，再去選項(xiàng)中選正確答案.【詳解】由題意可知，集合A包含集合，同時(shí)又是集合的真子集，則所有符合條件的集合A為,,.選項(xiàng)BD均不符合要求，排除.故選：AC三、填空題11．若一個(gè)集合是另一個(gè)集合的子集，則稱兩個(gè)集合構(gòu)成“鯨吞”；對(duì)于集合，，若這兩個(gè)集合構(gòu)成“鯨吞”，則的取值為____________．【答案】0【解析】【分析】根據(jù)題中定義，結(jié)合子集的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，顯然，符合題意；當(dāng)時(shí)，顯然集合中元素是兩個(gè)互為相反數(shù)的實(shí)數(shù)，而集合中的兩個(gè)元素不互為相反數(shù)，所以集合、之間不存在子集關(guān)系，不符合題意，故答案為：12．已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__.【答案】【解析】【分析】由可知集合中的元素都在集合中，即把集合中的元素帶入集合應(yīng)該滿足，從而得到的取值范圍.【詳解】解：，且，，解得，故的取值范圍是.故答案為：.四、解答題13．已知集合，，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】或【解析】【分析】分析得出，求得，對(duì)方程，計(jì)算得出，分、、三種情況討論，在、的前題下 ，驗(yàn)證成立，在時(shí)，可得出，可求得實(shí)數(shù)的值，綜合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)?/span>，對(duì)于方程，.當(dāng)時(shí)，，則，合乎題意；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，合乎題意；當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，則，所以，，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是或.14．已知集合．(1)若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】（1）由與，以及為的子集，確定出的范圍即可；（2）由與，以及為的子集，確定出的范圍即可；（3）分別求出與的補(bǔ)集，根據(jù)補(bǔ)集為補(bǔ)集的真子集，確定出的范圍即可．(1)，；(2)，；(3)，，，，且，． 

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