第07講  不等式的基本性質(zhì)       【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1.能用不等式(組)表示實(shí)際問題的不等關(guān)系.2.初步學(xué)會作差法比較兩個實(shí)數(shù)的大小.3.掌握不等式的基本性質(zhì).4.運(yùn)用不等式的性質(zhì)解決有關(guān)問題.【基礎(chǔ)知識】知識點(diǎn)一　兩個實(shí)數(shù)大小的比較(1)a>b?a－b>0；(2)a＝b?a－b＝0；(3) a<b?a－b<0.知識點(diǎn)二  等式的性質(zhì)性質(zhì)1　如果a＝b，那么b＝a；性質(zhì)2　如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性質(zhì)3　如果a＝b，那么a±c＝b±c；性質(zhì)4　如果a＝b，那么ac＝bc；性質(zhì)5　如果a＝b，c≠0，那么＝.知識點(diǎn)三 不等式的性質(zhì)　 注意這些性質(zhì)是否可逆(易錯點(diǎn))性質(zhì)1　如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b?b<a.性質(zhì)2　如果a>b，b>c，那么a>c，即a>b，b>c?a>c.性質(zhì)3　如果a>b，那么a＋c>b＋c.性質(zhì)4　如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.性質(zhì)5　如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.性質(zhì)6　如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.     【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：實(shí)數(shù)(式)的比較大小例1．比較大?。?/span>__________填”或“【答案】【解析】【分析】由于，所以比較兩分母的大小即可【詳解】因?yàn)?/span>，且，所以所以故答案：考點(diǎn)二：利用不等式的性質(zhì)判斷命題的真假例2．（多選題）1．下列命題為真命題的是（       ）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】ABC【解析】【分析】對于A：利用同向不等式相加，即可證明；對于B、C：利用不等式的可乘性可以證明；對于D：取特殊值即可否定結(jié)論.【詳解】對于A：因?yàn)?/span>，所以.因?yàn)?/span>，利用同向不等式相加，則有.故A正確；對于B：因?yàn)?/span>，所以，所以，對兩邊同乘以，則有.故B正確；對于C：因?yàn)?/span>，所以.因?yàn)?/span>，所以.對兩邊同乘以，有，所以.故C正確；對于D：取，滿足，但是，所以不成立.故D錯誤.故選：ABC考點(diǎn)三：利用不等式的性質(zhì)證明不等式例3．（1）求證：；（2）求證：.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【解析】【分析】（1）利用作差法即證；（2）利用作差法即證.【詳解】（1）∵，∴；（2）∵，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，∴考點(diǎn)四：利用不等式的性質(zhì)求范圍例4．（1）已知，，求和的取值范圍；（2）已知，，求的取值范圍.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)不等式的性質(zhì)求解（2）由待定系數(shù)法配湊后求解【詳解】（1），又，，又，（2）設(shè)，得即而，          【真題演練】1．已知，下列選項(xiàng)中正確的是（       ）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】用不等式的基本性質(zhì)得解.【詳解】，但，，A、C錯，，所以.B正確.，但，D錯.故選:B.2．古希臘時期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是（≈0.618，稱為黃金分割比例)，著名的“斷臂維納斯”便是如此．此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是．若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且腿長為105cm，頭頂至脖子下端的長度為26 cm，則其身高可能是A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190cm【答案】B【解析】【分析】理解黃金分割比例的含義，應(yīng)用比例式列方程求解．【詳解】設(shè)人體脖子下端至肚臍的長為x cm，肚臍至腿根的長為y cm，則，得．又其腿長為105cm，頭頂至脖子下端的長度為26cm，所以其身高約為42．07+5．15+105+26=178．22，接近175cm．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查類比歸納與合情推理，滲透了邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．采取類比法，利用轉(zhuǎn)化思想解題．3．已知為非零實(shí)數(shù)，且，則下列命題成立的是A． B． C． D．【答案】C【解析】【詳解】若a<b<0,則a2>b2，A不成立；若B不成立；若a=1，b=2，則,所以D不成立 ,故選C.4．已知實(shí)數(shù)a，b，c.A．若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，則a2+b2+c2＜100B．若|a2+b+c|+|a2+b–c|≤1，則a2+b2+c2＜100C．若|a+b+c2|+|a+b–c2|≤1，則a2+b2+c2＜100D．若|a2+b+c|+|a+b2–c|≤1，則a2+b2+c2＜100【答案】D【解析】【詳解】試題分析：采用排除法：A.令可排除此選項(xiàng)，B.令可排除此選項(xiàng)，C.令可排除此選項(xiàng)，故選D．【考點(diǎn)】不等式的性質(zhì)．【方法點(diǎn)睛】對于判斷不等式恒成立問題，一般采用舉反例排除法．解答本題時能夠?qū)λ膫€選項(xiàng)逐個利用賦值的方式進(jìn)行排除，確認(rèn)成立的不等式．5．若，則下列說法正確的是（       ）A．若，，則 B．若，則C．若，則 D．若，則<【答案】C【解析】【分析】對于AB，舉例判斷，對于CD，利用不等式的性質(zhì)判斷【詳解】對于A，若，則，所以A錯誤，對于B，若，則，所以B錯誤，對于C，因?yàn)?/span>，所以由不等式的性質(zhì)可得，所以C正確，對于D，因?yàn)?/span>，所以，所以，即，所以D錯誤，故選：C6．已知，，則的取值范圍是（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求解.【詳解】解：因?yàn)?/span>，，所以，，所以，所以的取值范圍是，故選：D.7．已知，，，則的大小關(guān)系為（       ）A． B． C． D．無法確定【答案】B【解析】【分析】作差可得x-y的表達(dá)式，根據(jù)題意，分析可得x-y的正負(fù)，即可得答案.【詳解】，因?yàn)?/span>，所以，又，所以，即.故選：B8．已知且，則 的取值范圍是 _______ （答案用區(qū)間表示）【答案】（3,8）【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，求得待求量的范圍.【詳解】設(shè)，則，解得 ，即，又且，且，.故答案為：（3,8）9．若不等式的解集中的整數(shù)有且僅有1，2，3，則的取值范圍是_____【答案】【解析】【詳解】由得由整數(shù)有且僅有1，2，3知，解得10．設(shè)，，求，，的范圍.【答案】，，【解析】【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，先求出與的范圍，再由可乘性得出的范圍即可.【詳解】∵，，∴，，，，∴，，∴.故，，．         【過關(guān)檢測】1．如果，那么（       ）A．  B．  C． D． 【答案】C【解析】【分析】舉例判斷A，B，D錯誤，再證明C正確.【詳解】由已知可取，則，A錯，，B錯，，，D錯，因?yàn)?/span>，所以所以，故，C對，故選：C.2．如果，那么下面不等式一定成立的是（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)依次判斷即可.【詳解】若，則，故A錯誤；若，，則，故B錯誤；若，則，故C正確；若，則，故D錯誤.故選：C.3．已知，則的取值范圍為（        ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由不等式的性質(zhì)求解【詳解】，故，，得故選：C4．鐵路乘車行李規(guī)定如下：乘動車組列車攜帶品的外部尺寸長、寬、高之和不超過Mcm.設(shè)攜帶品外部尺寸長、寬、高分別為a、b、c（單位：cm），這個規(guī)定用數(shù)學(xué)關(guān)系式可表示為（     ）A．a + b + c ≤M B．a +b +c >M C．a + b + c ≥M D．a + b+ c <M【答案】A【解析】【分析】根據(jù)長、寬、高的和不超過Mcm可直接得到關(guān)系式.【詳解】長、寬、高之和不超過Mcm，.故選：A.5．下列命題中，正確的是（       ）A．若，， 則  B．若， 則C．若，， 則 D．若，則【答案】C【解析】【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)及特殊值一一判斷即可．【詳解】解：對于A：當(dāng)，，，，滿足，，但是，故A錯誤；對于B：當(dāng)時，故B錯誤；對于C：由，所以，因?yàn)?/span>，所以，故C正確；對于D：當(dāng)，滿足，但是，故D錯誤；故選：C6．若，，則與的大小關(guān)系為（       ）A． B． C． D．不能確定【答案】B【解析】【分析】利用作差法判斷大小即可【詳解】因?yàn)?/span>，所以，故選：B7．十六世紀(jì)中葉，英國數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“＝”作為等號使用，后來英國數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“＜”和“＞”符號，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn)，若a，b，，則下列用不等號表示的真命題是（       ）A．且，則 B．若，則C．若，則 D．若，，則【答案】C【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】對于A，當(dāng)，不等式不成立，故錯誤；對于B，取，，故錯誤；對于C，因?yàn)?/span>，所以，即，兩邊同時除以得，故正確；對于D，當(dāng)，不等式不成立，故錯誤.故選：C.（多選題）8．若，則下列不等式一定成立的是（       ）A． B． C． D．【答案】BD【解析】【分析】利用作差法對四個選項(xiàng)一一比較，即可得到正確答案.【詳解】對于A：因?yàn)?/span>，所以.所以，所以.故A錯誤；對于B、C：因?yàn)?/span>，所以.所以，所以.故B正確，C錯誤；對于D：因?yàn)?/span>，所以，所以.故       D正確.故選：BD（多選題）9．已知，，滿足，且，則下列選項(xiàng)一定成立的是（       ）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】【分析】分析的符號，由不等式的基本性質(zhì)對選項(xiàng)逐一判斷【詳解】，且，可得對于A，，故，A正確對于B，，故，B正確對于C，的符號不確定，無法比較，故C錯誤對于D，，故，D正確故選：ABD10．已知 ， ，則 _______ ．（填“>”或“<”）【答案】<【解析】【分析】作差判斷正負(fù)即可比較.【詳解】因?yàn)?/span>，所以.故答案為：<.11．對于實(shí)數(shù)a，b，c判斷以下命題的真假（1）若， 則；(        )（2）若，則；(        )（3）若， 則；(        )（4）若， 則；(        )（5）若，則．(        )【答案】     假命題     真命題     真命題     真命題     真命題【解析】【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)和實(shí)數(shù)的性質(zhì)，逐個推理運(yùn)算，即可求解.【詳解】（1）中，因?yàn)?/span>的符號不定，所以無法判定和的大小，故原命題為假命題；（2）中，因?yàn)?/span>， 所以， 可得，故原命題為真命題；（3）中，因?yàn)?/span>，所以，又因?yàn)?/span>，所以，綜合可得，故原命題為真命題．（4）中，根據(jù)實(shí)數(shù)的性質(zhì)，兩個負(fù)實(shí)數(shù)，絕對值大的反而小，故原命題為真命題．（5）中，因?yàn)?/span>且，所以且，所以且，可得，又因?yàn)?/span>，所以，故原命題為真命題．12．設(shè)，，則，的大小關(guān)系為_______.【答案】【解析】先分別將平方，再進(jìn)行大小比較即可．【詳解】，兩式的兩邊分別平方，可得，，顯然.所以. 故答案為：【點(diǎn)睛】此題主要考查了無理數(shù)的大小的比較，比較兩個實(shí)數(shù)的大小，可以采用作差法、取近似值法、比較平方法等．屬于基礎(chǔ)題.13．（1）比較與的大??；（2）已知，求證：．【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）求差法進(jìn)行大小比較即可；（2）求差法去證明即可解決.【詳解】（1）由，可得．（2），∵，∴，，，∴，∴．14．已知，求的取值范圍．【答案】【解析】【分析】先求出的取值范圍，結(jié)合即可求解.【詳解】，，兩式相加得，又，，．15．設(shè)，且，求的取值范圍.【答案】【解析】【分析】利用獨(dú)立變量的性質(zhì)即可求解.【詳解】解：設(shè)m=b-a，n=b+a-3，則m≤2，n≤1，∴a=，b=.∴2a+3b=n+m+≤11.∴2a+3b的取值范圍是.16．（1）試比較與的大小（2）已知，求，的取值范圍.【答案】（1）證明見解析；（2）；.【解析】【分析】（1）作差法證明；（2）利用不等式的性質(zhì)直接計(jì)算可得.【詳解】（1）因?yàn)?/span>所以.（2）因?yàn)?/span>，所以，所以；因?yàn)?/span>，所以，所以，所以. 

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