3．2.1　雙曲線及其標準方程  必備知識基礎練進階訓練第一層1．[2023·山西太原高二測試]已知F1，F2分別是雙曲線x2－＝1的左右焦點，點P在該雙曲線上，若|PF1|＝5，則|PF2|＝(　　)A．4    B．4或6C．3    D．3或72．已知點M(－2，0)，N(2，0)，動點P滿足條件|PM|－|PN|＝2.則動點P的軌跡方程為(　　)A．－＝1(x>0)    B．－＝1C．－＝1(x>0)    D．－＝13．若方程－＝1表示雙曲線，則m的取值范圍是(　　)A．－2<m<2    B．m>－2C．m≥0    D．m≥24．若雙曲線－＝1(b>0)的焦點為F1(－5，0)，F2(5，0)，則b＝(　　)A．3　　　B．4    C．5　　　D．5．焦距為10，且＝的雙曲線的標準方程為(　　)A.－＝1B．－＝1C．－＝1D．－＝1或－＝16．[2023·黑龍江綏化高二檢測](多選)已知方程＋＝1表示曲線C，則(　　)A．當1<t<4時，曲線C一定是橢圓B．當t>4或t<1時，曲線C一定是雙曲線C．若曲線C是焦點在x軸上的橢圓，則1<t<D．若曲線C是焦點在y軸上的雙曲線，則t>47．如果雙曲線－＝1上的一點P到焦點F1的距離等于16，那么點P到另一個焦點F2的距離是________．8．經(jīng)過點(，2)且焦點為(0，－5)，(0，5)的雙曲線的標準方程是________．   關鍵能力綜合練進階訓練第二層1．若圓x2＋y2－4x－9＝0與y軸的兩個交點A，B都在雙曲線上，且A、B兩點恰好將此雙曲線的焦距三等分，則此雙曲線的標準方程為(　　)A．－＝1    B．－＝1C．－＝1    D．－＝12．如圖，已知A，B兩地相距600 m，在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地早1 s，且聲速為340 m/s.以線段AB的中點為坐標原點，的方向為x軸的正方向建立平面直角坐標系xOy，則炮彈爆炸點的軌跡方程為(　　)A．－＝1(x<0)B．－＝1(x<0)C．－＝1(x>0)D．－＝1(x>0)3．設F1，F2是雙曲線－＝1的兩個焦點，P是雙曲線上的一點，且3|PF1|＝5|PF2|，則△PF1F2的面積等于(　　)A．24    B．15C．12    D．304．已知雙曲線－＝1(m>0)，直線l過其上焦點F2，交雙曲線上支于A，B兩點，且|AB|＝4，F1為雙曲線下焦點，△ABF1的周長為18，則m值為(　　)A．8    B．9C．10    D．5．已知F1，F2分別是雙曲線C：－＝1的左、右焦點，P是C上一點，且位于第一象限，PF1·PF2＝0，則P的縱坐標為(　　)A．1　　　B．2    C．　　　D．6．[2023·山東菏澤高二檢測](多選)已知點P在雙曲線－＝1上，F1，F2分別是左、右焦點，若△PF1F2的面積為20，則下列判斷正確的有(　　)A．點P到x軸的距離為B．|PF1|＋|PF2|＝C．△PF1F2為鈍角三角形D．∠F1PF2＝7．[2023·江蘇連云港高二測試]經(jīng)過M(－，1)，N(4，－3)兩點的雙曲線的標準方程是____________．8．已知雙曲線的焦點與橢圓＋＝1的左、右頂點相同，且經(jīng)過橢圓的右焦點，則雙曲線的方程為________．9．已知定圓O1和O2的半徑分別為1和2，O1O2＝4，動圓M與圓O1內(nèi)切，且與圓O2外切．試建立適當?shù)淖鴺讼?，寫出動圓圓心M的軌跡方程，并說明軌跡是何種曲線．        10.雙曲線C：－＝1上一點(2，)到左、右兩焦點距離的差為2.(1)求雙曲線的方程； (2)設F1，F2是雙曲線的左、右焦點，P是雙曲線上的點，若|PF1|＋|PF2|＝6，求△PF1F2的面積．         核心素養(yǎng)升級練進階訓練第三層1．若點P在曲線C1：－＝1上，點Q在曲線C2：(x－5)2＋y2＝1上，點R在曲線C3：(x＋5)2＋y2＝1上，則|PQ|－|PR|的最大值是(　　)A．9    B．10C．11    D．122．[2023·山東德州高二測試]已知圓C被x軸截得的弦長為4，被y軸分成兩部分的弧長之比為1∶2，則圓心C的軌跡方程為________，若點M(，1)，N(，0)，則△CMN周長的最小值為________．3．已知△ABC的兩個頂點A，B分別為橢圓x2＋4y2＝4的左焦點和右焦點，且三個內(nèi)角A，B，C滿足關系式sin B－sin A＝sin C.(1)求線段AB的長度；(2)求頂點C的軌跡方程．      3．2.1　雙曲線及其標準方程必備知識基礎練1．答案：D解析：由雙曲線定義知：||PF1|－|PF2||＝2a＝2，而|PF1|＝5，又c－a＝1且c＋a＝3，∴|PF2|＝3或7.故選D.2．答案：A解析：因為M(－2，0)，N(2，0)，所以|MN|＝4，動點P滿足條件|PM|－|PN|＝2<|MN|，所以點P的軌跡是以M，N為焦點的雙曲線的右支，∵點M(－2，0)，N(2，0)，動點P滿足條件|PM|－|PN|＝2，∴c＝2，a＝，∴b＝＝＝，∴動點P的軌跡方程為－＝1(x>0).故選A.3．答案：A解析：因為方程－＝1表示雙曲線，所以(2＋m)(2－m)>0，解得－2<m<2.故選A.4．答案：B解析：由題意得：9＋b2＝25，解得b＝±4.因為b>0，所以b＝4.故選B.5．答案：D解析：由題意知2c＝10，c＝5，又＝，c2＝b2＋a2，∴a2＝9，b2＝16，∴所求雙曲線的標準方程為－＝1或－＝1.故選D.6．答案：BD解析：對于A，當t＝時，曲線C是圓，故A錯誤；對于B，當t>4時，曲線C是焦點在y軸上的雙曲線，當t<1時，曲線C是焦點在x軸上的雙曲線，故B正確；對于C，若曲線C是焦點在x軸上的橢圓，則，解得1<t<，故C錯誤；對于D，若曲線C是焦點在y軸上的雙曲線，則，解得t>4，故D正確．故選BD.7．答案：32解析：雙曲線－＝1的焦點在y軸上，對應a＝8，b＝6，c＝10，2a＝16，由于a＋c＝18>16＝|PF1|，所以|PF1|<|PF2|，所以|PF2|－|PF1|＝|PF2|－16＝16，|PF2|＝32.8．答案：－＝1解析：雙曲線的焦點在y軸上，且c＝5，因為雙曲線過點(，2)，根據(jù)雙曲線的定義得2a＝＝6，則a＝3，則b2＝c2－a2＝16，所以雙曲線的標準方程為－＝1.關鍵能力綜合練1．答案：B解析：將x＝0代入x2＋y2－4x－9＝0解得A，B點坐標分別為(0，－3)，(0，3)，因為A，B兩點都在雙曲線上，且將此雙曲線的焦距三等分，所以雙曲線焦點在y軸上且，解得，所以雙曲線方程為－＝1.故選B.2．答案：B解析：設炮彈爆炸點P的坐標為(x，y)，則|PB|－|PA|＝340×1＝340<600，所以P的軌跡是以A，B為焦點，實軸長為340的雙曲線的左支．因為2a＝340，所以a＝170，又|AB|＝600＝2c，所以c＝300，b2＝c2－a2＝90 000－28 900＝61 100，故炮彈爆炸點的軌跡方程為－＝1(x<0).故選B.3．答案：A解析：由3|PF1|＝5|PF2|，可得|PF1|＝|PF2|，又P是雙曲線－＝1上的一點，則|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝4，則|PF2|＝6，|PF1|＝10，又|F1F2|＝8，則|PF2|2＋|F1F2|2＝|PF1|2，則PF2⊥F1F2，則△PF1F2的面積等于|PF2|·|F1F2|＝×6×8＝24.故選A.4．答案：D解析：由題意知|AB|＋|AF1|＋|BF1|＝18.又|AB|＝4，所以|AF1|＋|BF1|＝14.根據(jù)雙曲線的定義可知2＝|AF1|－|AF2|＝|BF1|－|BF2|，所以4＝|AF1|＋|BF1|－(|AF2|＋|BF2|)＝14－4＝10，解得＝，所以m＝.故選D.5．答案：C解析：因為PF1·PF2＝0，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝32.由雙曲線的定義可得|PF1|－|PF2|＝4，所以2|PF1|·|PF2|＝|PF1|2＋|PF2|2－(|PF1|－|PF2|)2，解得|PF1|·|PF2|＝8，故△PF1F2的面積為|PF1|·|PF2|＝4.設P的縱坐標為h，則△PF1F2的面積為|F1F2|·h＝4，解得h＝.所以P的縱坐標為.故選C.6．答案：B解析：設點P(xP，yP).因為雙曲線C：－＝1，所以c＝＝5.又S△PF1F2＝×2c|yP|＝×10×|yP|＝20，所以|yP|＝4，故A錯誤．將|yP|＝4代入－＝1得－＝1，得|xP|＝.由雙曲線的對稱性，不妨取點P的坐標為(，4)，得|PF2|＝ ＝.由雙曲線的定義得|PF1|＝|PF2|＋2a＝＋8＝，所以|PF1|＋|PF2|＝＋＝，故B正確．在△PF1F2中，|PF1|＝>2c＝10>|PF2|＝，且cos ∠PF2F1＝＝－<0，則∠PF2F1為鈍角，所以△PF1F2為鈍角三角形，故C正確．由余弦定理得cos ∠F1PF2＝＝≠，所以∠F1PF2≠，故D錯誤．故選BC.7．答案：－＝1解析：方法一　當雙曲線焦點在x軸上時，設雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)，由題意得，，解得，所以雙曲線方程為－＝1.當雙曲線焦點在y軸上時，設雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)，由題意得，，方程組無解．綜上，雙曲線方程為－＝1.方法二　設雙曲線方程為mx2－ny2＝1(mn>0)，則，解得∴所求雙曲線方程為－＝1.8．答案：x2－＝1解析：橢圓＋＝1的左頂點為(－2，0)，右頂點為(2，0)，右焦點為(1，0)，所以雙曲線中，又c2＝a2＋b2，所以b2＝3，所以雙曲線方程為x2－＝1.9．解析：由題意，定圓O1和O2的半徑分別為1和2，且O1O2＝4，以O1O2所在的直線為x軸，以線段O1O2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系，如圖所示，則O1(－2，0)，O2(2，0)，設動圓的圓心為M(x，y)，半徑為R，因為動圓M與圓O1內(nèi)切，且與圓O2外切，則滿足，所以|MO2|－|MO1|＝3(常數(shù))且3<4＝|O1O2|，根據(jù)雙曲線的定義，可得點M的軌跡為以O1，O2為焦點的雙曲線的一支，且2a＝3，2c＝4，可得a＝，c＝2，所以b2＝c2－a2＝，所以所求軌跡方程為－＝1(x≤－)，即點M的軌跡為以O1，O2為焦點的雙曲線的左支．10．解析：(1)由題意得2a＝2，得a＝1，因為點(2，)在雙曲線C：－＝1上，所以－＝1，解得b2＝1，所以雙曲線的方程為x2－y2＝1.(2)由(1)可得c＝＝，所以F1(－，0)，F2(，0)，不妨設點P在雙曲線的右支上，則|PF1|－|PF2|＝2a＝2，因為|PF1|＋|PF2|＝6，所以|PF1|＝4，|PF2|＝2，因為|F1F2|＝2c＝2，所以由余弦定理得cos ∠F1PF2＝＝＝，因為∠F1PF2∈(0，π)，所以sin ∠F1PF2＝＝，所以△PF1F2的面積為|PF1||PF2|sin∠F1PF2＝×4×2×＝.核心素養(yǎng)升級練1．答案：B解析：在雙曲線C1中，a＝4，b＝3，c＝5，易知兩圓圓心分別為雙曲線C1的兩個焦點，記點F1(－5，0)，F2(5，0)，當|PQ|－|PR|取最大值時，P在雙曲線C1的左支上，所以|PQ|－|PR|≤|PF2|＋1－(|PF1|－1)＝|PF2|－|PF1|＋2＝2a＋2＝10.故選B.2．答案：x2－＝1　－1解析：如圖1，因為圓C被x軸截得的弦長為4，被y軸分成兩部分的弧長之比為1∶2，所以|AB|＝4，∠DCE＝120°，所以DE，AB中點F，G，則|AG|＝2，∠DCF＝60°，DF⊥FC，AG⊥GC，所以|CF|＝|DC|，故設C(x，y)，圓C半徑為r，則|GC|＝|y|，|CF|＝|x|，|CF|＝|x|＝|DC|＝r，|AC|＝r＝＝，所以r2＝4x2＝4＋y2，即x2－＝1，所以圓心C的軌跡方程為x2－＝1，表示雙曲線，焦點為N(，0)，F1(－，0).　如圖2，連接CF1，由雙曲線的定義得|CF1|－|CN|＝2，即|CF1|－2＝|CN|，所以△CMN周長為|CM|＋|CN|＋|MN|＝|CM|＋|CF1|＋|MN|－2，因為|CM|＋|CF1|≥|MF1|＝，|MN|＝1，所以△CMN周長的最小值為－1.3．解析：(1)∵橢圓的方程為x2＋4y2＝4，∴橢圓的方程為＋y2＝1，a2＝4，b2＝1，c2＝3，∴c＝.∵A，B分別為橢圓＋y2＝1的左焦點和右焦點，∴A(－，0)，B(，0)，∴|AB|＝2，∴線段AB的長度為2.(2)△ABC中根據(jù)正弦定理得：＝＝＝2R(R為△ABC外接圓半徑)，∴sin A＝，sin B＝，sin C＝，∵sin B－sin A＝sin C，∴－＝×，∴|AC|－|BC|＝|AB|＝<|AB|＝2.∴C點的軌跡是以A，B為左右焦點的雙曲線的右支，且不包含右頂點，設該雙曲線方程為－＝1(x>a1)，且|AC|－|BC|＝＝2a1，|AB|＝2＝2c1，∴a1＝，c1＝，b＝c－a＝，∴頂點C的軌跡方程為－＝1(x>).

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3.2 雙曲線

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