第1課時　橢圓的簡單幾何性質(zhì)  必備知識基礎練進階訓練第一層1．[2023·遼寧葫蘆島高二檢測]橢圓x2＋2y2＝1的焦點坐標為(　　)A．(，0)，(－，0)    B．(0，)，(0，－)C．(，0)，(－，0)    D．(0，)，(0，－)2．[2023·山西運城高二檢測]已知橢圓C：9x2＋4y2＝1，則橢圓的長軸長為(　　)A．1    B．C．    D．3．已知橢圓經(jīng)過點(－，0)，且焦點分別為F1(0，－1)，F2(0，1)，則橢圓的離心率為(　　)A．    B．C．    D．4．圓C：x2＋＝1的一個焦點是，則k的值是(　　)A．B．2C．3    D．45．[2023·山東濟南三中高二檢測]已知橢圓的焦點在y軸，焦距為2，且長軸長是短軸長的2倍，則橢圓的標準方程為(　　)A．＋y2＝1    B．＋x2＝1C．x2＋＝1    D．x2＋＝16．[2023·湖南湘潭高二測試](多選)已知橢圓C1：5x2＋y2＝5，C2：＋＝1，則(　　)A．C1，C2的焦點都在x軸上B．C1，C2的焦距相等C．C1，C2沒有公共點D．C2比C1更接近圓7．若橢圓＋＝1的焦點在x軸上，且離心率為e＝，則m＝________．8．[2023·廣東湛江高二測試]寫出一個滿足以下三個條件的橢圓的方程：________．①中心為坐標原點；②焦點在坐標軸上；③離心率為.   關鍵能力綜合練進階訓練第二層1．[2023·北京昌平二中高二檢測]已知P為橢圓C：＋＝1(a>b>0)上的點，點P到橢圓焦點的距離的最小值為2，最大值為18，則橢圓的離心率為(　　)A．    B．C．    D．2．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的兩個焦點分別為F1，F2，P是橢圓上一點，|PF1|＋|PF2|＝10，且離心率為，則橢圓C的標準方程為(　　)A．＋＝1    B．＋＝1C．＋＝1    D．＋＝13．[2023·安徽蕪湖高二檢測]已知點A，B分別是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的右、上頂點，過橢圓C上一點P向x軸作垂線，垂足恰好為左焦點F1，且AB∥OP，則橢圓C的離心率為(　　)A．B．C．    D．4．[2023·廣東廣州高二檢測]若2<m<8，橢圓C：＋＝1與橢圓D：＋＝1的離心率分別為e1，e2，則(　　)A．e1·e2的最小值為B．e1·e2的最小值為C．e1·e2的最大值為D．e1·e2的最大值為5．[2023·山東濟南高二測試](多選)已知橢圓＋＝1與橢圓＋＝1(－9<t<0)，則下列說法錯誤的是(　　)A．長軸長相等    B．短軸長相等C．離心率相等    D．焦距相等6．(多選)嫦娥五號探測器是我國第一個實施無人月面取樣返回的月球探測器．如圖所示，現(xiàn)假設該探測器沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球后，在月球附近一點P變軌進入以月球球心F為一個焦點的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點第二次變軌進入仍以F為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行．若用c1和c2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦半距，用a1和a2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長半軸長，則下列式子正確的是(　　)A．a1＋c2＝a2＋c1B．a1c2＝a2c1C．a－c＝a－c    D．>7．若橢圓短軸的兩個端點和一個焦點構(gòu)成一個正三角形的三個頂點，則橢圓的焦距與長軸長之比為________．8．[2023·山東青島高二檢測]設F1，F2是橢圓的兩個焦點，A為橢圓上的點，且AF2·F1F2＝0，cos ∠AF1F2＝，則橢圓的離心率為________．9．求滿足下列條件的橢圓的標準方程．(1)與橢圓＋＝1有相同的焦點，且經(jīng)過點(－2，3)；(2)點A(，2)，B(，－2)，C(－2，2)，D(3，0)中恰有三個點在橢圓上．        10．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)過點(1，)，且離心率e＝.(1)求橢圓C的方程；(2)若P是橢圓C上一點，F1，F2是橢圓的兩個焦點，且∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面積S.         核心素養(yǎng)升級練進階訓練第三層1．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，P為坐標平面上一點，且滿足PF1·PF2＝0的點P均在橢圓C的內(nèi)部，則橢圓C的離心率的取值范圍為(　　)A．(0，)    B．(0，)C．(，1)    D．(，1)2．[2023·河北邢臺高二檢測]設P是橢圓＋＝1上的任一點，EF為圓C：(x－)2＋y2＝1的任一條直徑，則·的最小值為________．3．給定橢圓C：＋＝1(a>b>0)，稱圓心在原點O、半徑是 的圓為橢圓C的“準圓”．已知橢圓C的一個焦點為F(，0)，其短軸的一個端點到點F的距離為.(1)求橢圓C和其“準圓”的方程； (2)若點A是橢圓C的“準圓”與x軸正半軸的交點，B，D是橢圓C上的兩相異點，且BD⊥x軸，求·的取值范圍．       第1課時　橢圓的簡單幾何性質(zhì)必備知識基礎練1．答案：C解析：由x2＋2y2＝1得x2＋＝1，∴a2＝1，b2＝，∴c＝ ＝，∴焦點坐標為(，0)，(－，0).故選C.2．答案：A解析：由橢圓C：9x2＋4y2＝1得＋＝1，所以a2＝，解得a＝，所以長軸長為2a＝1.故選A.3．答案：D解析：由于焦點為F1(0，－1)，所以焦點在y軸上，且c＝1，由于橢圓經(jīng)過點(－，0)，所以b＝，所以a＝＝，所以橢圓的離心率為＝.故選D.4．答案：B解析：∵橢圓C：x2＋＝1的一個焦點是(0，1)，焦點在y軸上，∴c＝1，a2＝k，b＝1，∴k＝c2＋b2＝2.故選B.5．答案：D解析：因為橢圓的焦點在y軸，所以設橢圓方程為＋＝1，則c2＝a2－b2＝()2＝3，且a＝2b，解得a2＝4，b2＝1，所以橢圓的標準方程為x2＋＝1.故選D.6．答案：BCD解析：對于A，因為橢圓C1的標準方程為x2＋＝1，所以C1的焦點在y上，所以A不正確；對于B，因為橢圓C1的焦距為2＝4，橢圓C2的焦距為2＝4，所以B正確；對于C，作出橢圓C1，C2的圖象，由圖象可知，橢圓C1，C2沒有公共點，所以C正確；對于D，因為橢圓C1的離心率為e1＝，C2的離心率為e2＝＝，所以e1>e2，所以D正確．故選BCD.7．答案：20解析：由題意得a2＝36，b2＝m，則c2＝36－m，故＝2＝，解得m＝20.8．答案：＋＝1(答案不唯一)解析：只要橢圓方程形如＋＝1(m>0)或＋＝1(m>0)即可．關鍵能力綜合練1．答案：B解析：因為點P到橢圓焦點的距離的最小值為2，最大值為18，所以?，所以橢圓的離心率為e＝＝.故選B.2．答案：B解析：根據(jù)橢圓定義可得|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，所以a＝5，由離心率e＝＝，所以c＝，由b2＝a2－c2＝25－5＝20，所以橢圓C的標準方程為＋＝1.故選B.3．答案：C解析：由已知得A(a，0)，B(0，b)，P(－c，)，所以＝(－a，b)，＝(－c，)，由AB∥OP得∥，所以－a·＝－b·c，所以b＝c.由a2＝b2＋c2得a＝c，所以e＝＝.故選C.4．答案：D解析：因為2<m<8，所以e1＝ ，e2＝ ，所以e1·e2＝ ＝ ≤＝，當且僅當m＝4時，等號成立，故e1·e2的最大值為，e1·e2無最小值．故選D.5．答案：ABC解析：由已知條件得橢圓＋＝1中，a＝4，b＝3，c＝＝，則該橢圓的長軸長為2a＝8，短軸長為2b＝6，離心率為e＝＝，焦距為2c＝2；在橢圓＋＝1中，焦點在x軸上，a＝，b＝，c＝＝，故這兩個橢圓只有焦距相等．故選ABC.6．答案：AD解析：∵a1－c1＝|PF|，a2－c2＝|PF|，∴a1－c1＝a2－c2，即a1＋c2＝a2＋c1，故A正確；∵a1＋c2＝a2＋c1，∴(a1＋c2)2＝(a2＋c1)2，a－c＋2a1c2＝a－c＋2a2c1，b＋2a1c2＝b＋2a2c1，∵b1>b2，∴a1c2<a2c1，故B錯誤；C錯誤；由B可知，a1c2<a2c1，則>，故D正確．故選AD.7．答案：∶2解析：由橢圓短軸的兩個端點和一個焦點構(gòu)成一個正三角形，則2b＝a，又∵b2＋c2＝a2(a>0，b>0，c>0)，所以橢圓的焦距與長軸長之比為＝＝＝＝.8．答案：解析：因為AF2·F1F2＝0，所以AF2⊥F1F2，即AF2⊥F1F2，設橢圓的焦距為2c，長軸長為2a，在Rt△AF2F1中，cos ∠AF1F2＝，|F1F2|＝2c，所以|AF1|＝＝＝c，|AF2|＝c，又|AF1|＋|AF2|＝2a，所以2c＝2a，所以橢圓的離心率為e＝＝.9．解析：(1)橢圓＋＝1的焦點坐標為(－2，0)，(2，0).所以設橢圓的標準方程為＋＝1(a>b>0)，由題意得解得所以橢圓的標準方程為＋＝1.(2)根據(jù)橢圓的對稱性，A(，2)，B(，－2)兩點必在橢圓上，因為點A和點C的縱坐標為2，A，C兩點并不關于y軸對稱，故點C不在橢圓上．所以點A(，2)，B(，－2)，D(3，0)三點在橢圓上．設橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)，代入A，D兩點得解得所以橢圓的標準方程為＋＝1.10．解析：(1)由題意橢圓的離心率e＝＝，∴a＝2c，∴b2＝a2－c2＝3c2，∴橢圓C的方程為＋＝1，又點(1，)在橢圓上，∴＋＝1，解得c2＝1.∴橢圓C的方程為＋＝1；(2)由橢圓定義知|PF1|＋|PF2|＝4，①由余弦定理知|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°，即|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝4?(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1|·|PF2|＝4，?、?/span>聯(lián)立①②得|PF1|·|PF2|＝4，∴S＝|PF1|·|PF2|sin 60°＝.核心素養(yǎng)升級練1．答案：A解析：∵PF1·PF2＝0，∴∠F1PF2＝90°，所以點P的軌跡為以F1F2為直徑的圓，且該圓在橢圓C的內(nèi)部，所以c<b，所以c2<b2＝a2－c2，所以2c2<a2，即e2<，所以0<e<.故選A.2．答案：解析：由題設，C(，0)，且E，F關于C對稱，因P是橢圓＋＝1上的任一點，設P(m，n)，則滿足＋＝1，即n2＝3－m2.·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝2－2＝||2－1，||2＝(m－)2＋n2＝m2－m＋＋3－m2＝(m－)2＋，m∈[－2，2]，∴當m＝時，||2取到最小值，此時·＝，故·的最小值為.3．解析：(1)由題意知c＝，且a＝＝，可得b＝＝1，故橢圓C的方程為＋y2＝1，其“準圓”方程為x2＋y2＝4.(2)由題意，可設B(m，n)，D(m，－n)(－<m<)，則有＋n2＝1，又A點坐標為(2，0)，所以＝(m－2，n)，＝(m－2，－n)，所以·＝(m－2)2－n2＝m2－4m＋4－(1－)＝m2－4m＋3＝2，又－<m<，所以(m－)2∈，所以·的取值范圍是[0，7＋4). 

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3.1 橢圓

版本： 人教A版 (2019)

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