第2課時(shí)　直線和橢圓的位置關(guān)系  必備知識(shí)基礎(chǔ)練進(jìn)階訓(xùn)練第一層1．直線y＝kx－k＋1與橢圓＋＝1的位置關(guān)系為(　　)A．相交    B．相切C．相離    D．不確定2．過橢圓＋y2＝1的左焦點(diǎn)作弦AB，則最短弦AB的長為(　　)A．1    B．2C．    D．43．已知橢圓C：＋＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F2，過F2且斜率為1的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝(　　)A． B．C．    D．4．[2023·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二檢測]橢圓C：＋y2＝1(m>1)的左、右焦點(diǎn)為F1，F2，經(jīng)過F1的直線與橢圓C相交于A，B，若△ABF2的周長為8，則橢圓C的焦距為(　　)A．    B．2C．2    D．45．若橢圓＋＝1的動(dòng)弦AB斜率為1，則弦中點(diǎn)坐標(biāo)可能是(　　)A．(－3，4)    B．(－，1)C．(－4，3)    D．(－，1)6．[2023·廣東深圳高二檢測](多選)已知橢圓C：＋＝1內(nèi)一點(diǎn)M(1，2)，直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且M為線段AB的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是(　　)A．橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2，0)，(－2，0)B．橢圓C的長軸長為4C．直線l的方程為x＋y－3＝0D．|AB|＝7．[2023·安徽泗縣一中高二檢測]已知直線2kx－y＋2＝0與橢圓＋＝1(m>0)恒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________．8．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)，F(，0)為其右焦點(diǎn)，過F作垂直于x軸的直線與橢圓相交所得的弦長為2，則橢圓C的方程為______________．   關(guān)鍵能力綜合練進(jìn)階訓(xùn)練第二層1．經(jīng)過橢圓＋y2＝1的一個(gè)焦點(diǎn)作傾斜角為45°的直線l，交橢圓于A，B兩點(diǎn)．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則·＝(　　)A．－3   B．－C．－3或－    D．±2．[2023·江蘇宿遷高二檢測]過點(diǎn)M(1，1)的直線l交橢圓：＋＝1于A，B兩點(diǎn)，若＝，則直線l的斜率為(　　)A．－    B．－C． D．3．[2023·湖北黃岡高二測試]已知橢圓C：＋＝1的上下頂點(diǎn)分別為A，B，一束光線從橢圓左焦點(diǎn)射出，經(jīng)過A反射后與橢圓C交于D點(diǎn)，則直線BD的斜率kBD為(　　)A．    B．C．    D．4．[2023·廣東佛山高二測試]圓錐曲線具有豐富的光學(xué)性質(zhì)，從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)．直線l：x＋2y－8＝0與橢圓C：＋＝1相切于點(diǎn)P，橢圓C的焦點(diǎn)為F1，F2，由光學(xué)性質(zhì)知直線PF1，PF2與l的夾角相等，則∠F1PF2的角平分線所在的直線的方程為(　　)A．2x－y－1＝0    B．x－y＋1＝0C．2x－y＋1＝0    D．x－y－1＝05．如圖，某市規(guī)劃在兩條道路邊沿PM，PN之間建造一個(gè)半橢圓形狀的主題公園，其中B1B2為橢圓的短軸，OA為橢圓的半長軸．已知OP＝3 km，B1B2＝2 km，∠MPN＝45°.為使OA盡可能大，其取值應(yīng)為(精確到0.1 km)(　　)A．2.9 km    B．2.8 kmC．2.7 km    D．2.6 km6．[2023·山東省臨沂一中高二檢測](多選)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)(1，)，(，)均在橢圓C上，則(　　)A．橢圓C的離心率為B．橢圓C的短軸長為2C．直線l：kx＋y－k＝0與橢圓C相交D．若點(diǎn)A，B在橢圓C上，AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，)，則直線AB的方程為y＝－x＋17．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x，y)在橢圓＋＝1上，過點(diǎn)P作圓(x－3)2＋y2＝1的切線，切點(diǎn)為M，則PM的最小值是________．8．[2023·廣東茂名高二檢測]已知橢圓C：＋＝1與動(dòng)直線l：y＝x＋m相交于A，B兩點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________；設(shè)弦AB的中點(diǎn)為M，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為________________．9．已知橢圓＋＝1，一組平行直線的斜率是1.(1)這組直線與橢圓有公共點(diǎn)時(shí)縱截距的取值范圍；(2)當(dāng)它們與橢圓相交時(shí)，求這些直線被橢圓截得的線段的中點(diǎn)所在的直線方程．     10．[2022·北京卷]已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)為A(0，1)，焦距為2.(1)求橢圓E的方程；(2)過點(diǎn)P(－2，1)作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B，C，直線AB，AC分別與x軸交于點(diǎn)M，N，當(dāng)|MN|＝2時(shí)，求k的值．      核心素養(yǎng)升級(jí)練進(jìn)階訓(xùn)練第三層1．[2023·江蘇南通高二檢測](多選)過橢圓C：＋＝1外一點(diǎn)P(x0，y0)作橢圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，如果kPA·kPB＝m(m<0)，那么點(diǎn)P的軌跡可能是(　　)A．直線    B．圓C．橢圓    D．線段2．[2022·新高考Ⅱ卷]已知橢圓＋＝1，直線l與橢圓在第一象限交于A，B兩點(diǎn)，與x軸，y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，且|MA|＝|NB|，|MN|＝2，則直線l的方程為________________．3．[2023·湖南岳陽高二檢測]已知點(diǎn)A(3，1)在橢圓＋＝1(a>b>0)上，且橢圓的焦距為4.(1)求橢圓的方程；(2)過A作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線，這兩條直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)分別為P，Q，求PQ的斜率．         第2課時(shí)　直線和橢圓的位置關(guān)系必備知識(shí)基礎(chǔ)練1．答案：A解析：直線y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒過定點(diǎn)(1，1)，又＋＝<1，所以點(diǎn)(1，1)在橢圓內(nèi)部，故直線與橢圓相交．故選A.2．答案：A解析：過橢圓＋y2＝1的左焦點(diǎn)作弦AB，則最短弦AB的長為橢圓的通徑：2×＝1.故選A.3．答案：A解析：設(shè)直線AB方程為y＝x－1，聯(lián)立橢圓方程＋＝1，整理可得7x2－8x－8＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1·x2＝－，根據(jù)弦長公式有|AB|＝·＝.故B，C，D錯(cuò)誤．故選A.4．答案：B解析：由題意△ABF2的周長＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝2a＋2a＝8，解得a＝2，故m＝a2＝4，c＝＝，則橢圓C的焦距為2.故選B.5．答案：B解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由已知得，＋＝1，＋＝1，兩式作差可得，＋＝0，整理可得＝－·＝－.AB的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x0，y0)，則有＝－.又點(diǎn)D在橢圓的內(nèi)部，所以y0<2.故選B.6．答案：BCD解析：A：由橢圓方程知：其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，±2)，錯(cuò)誤；B：a2＝8，即橢圓C的長軸長為2a＝4，正確；C：由題意，可設(shè)直線l為x＝k(y－2)＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝4，聯(lián)立橢圓方程并整理得(2k2＋1)y2＋4k(1－2k)y＋8k2－8k－6＝0，M為橢圓內(nèi)一點(diǎn)，則Δ>0，∴y1＋y2＝＝4，可得k＝－1，即直線l為x＋y－3＝0，正確；D：由C知：y1＋y2＝4，y1y2＝，則＝·＝，正確．故選BCD.7．答案：[4，9)∪(9，＋∞)解析：∵直線2kx－y＋2＝0，令，解得，所以直線2kx－y＋2＝0恒過定點(diǎn)P(0，2)，∴直線2kx－y＋2＝0與橢圓＋＝1(m>0)恒有公共點(diǎn)，即點(diǎn)P(0，2)在橢圓內(nèi)或橢圓上，∴＋≤1，即m≥4，又m≠9，否則＋＝1是圓而非橢圓，∴4≤m<9或m>9，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是[4，9)∪(9，＋∞).8．答案：＋＝1解析：將x＝c代入橢圓C的方程可得＋＝1，可得y＝±，由已知可得＝＝2，整理可得a2－a－2＝0，∵a>0，解得a＝2，所以b＝＝，因此橢圓C的方程為＋＝1.關(guān)鍵能力綜合練1．答案：B解析：由＋y2＝1，得a2＝2，b2＝1，c2＝a2－b2＝1，焦點(diǎn)為(±1，0).設(shè)直線l過右焦點(diǎn)，傾斜角為45°，直線l的方程為y＝x－1.代入＋y2＝1得x2＋2(x－1)2－2＝0，即3x2－4x＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1·x2＝0，x1＋x2＝，y1y2＝(x1－1)·(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝1－＝－，·＝x1x2＋y1y2＝0－＝－.同理當(dāng)直線l過左焦點(diǎn)時(shí)，·＝－.故選B.2．答案：B解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵＝，∴M是線段AB的中點(diǎn)．由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，，　　　①又A，B在橢圓上，則＋＝1，＋＝1，兩式作差得，＋＝＋＝0，將①式代入，可得＝－.所以直線l的斜率為－.故選B.3．答案：B解析：依題意，橢圓C：＋＝1的上頂點(diǎn)A(0，)，下頂點(diǎn)B(0，－)，左焦點(diǎn)F1(－1，0)，右焦點(diǎn)F2(1，0)，由橢圓的光學(xué)性質(zhì)知，反射光線AD必過右焦點(diǎn)F2，于是得直線AD的方程為y＝－x＋，由得點(diǎn)D(，－)，則有kBD＝＝，所以直線BD的斜率kBD為.故選B.4．答案：A解析：??P(2，3)，直線l的斜率為－，由于直線PF1，PF2與l的夾角相等，則∠F1PF2的角平分線所在的直線的斜率為2，所以所求直線方程為y－3＝2(x－2)，即2x－y－1＝0.故選A.5．答案：B解析：如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè)OA＝a，B1B2＝2，由已知設(shè)橢圓方程為＋y2＝1，又OP＝3，∠MPN＝45°，所以直線PN的方程為y＝x－3，由題意可知當(dāng)橢圓與直線相切時(shí)OA取最大值，聯(lián)立方程組，得(1＋a2)x2－6a2x＋8a2＝0，Δ＝(－6a2)2－4·(1＋a2)·8a2＝0，解得a2＝8，即OA＝a≈2.8 km.故選B.6．答案：BCD解析：設(shè)橢圓C的方程為＋＝1，(a>0，b>0)，將點(diǎn)(1，)，(，)代入橢圓C的方程，得，解得，所以橢圓C的方程為＋y2＝1，所以橢圓C的離心率為 ＝，故A錯(cuò)誤；橢圓C的短軸長為2b＝2，故B正確；由于直線l：kx＋y－k＝0，過定點(diǎn)(1，0)，點(diǎn)(1，0)在橢圓C的內(nèi)部，所以直線l：kx＋y－k＝0與橢圓C相交，故C正確；設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以，所以y－y＝－，即＝－·＝－·，又AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，)，所以＝－·＝－，即kAB＝－，所以直線AB的方程為y＝－(x－1)＋，即y＝－x＋1，故D正確．故選BCD.7．答案：解析：設(shè)圓(x－3)2＋y2＝1的圓心為A(3，0)，由題意可知PM⊥AM，∴|PM|2＝|AP|2－|AM|2，∵|AM|2＝1，∴|AP|越小，|PM|越小，而A為橢圓的右焦點(diǎn)，∴|AP|最小值是5－3＝2，∴|PM|最小值是＝.8．答案：－3<m<3　3x＋2y＝0，－<x<解析：由，得18x2＋12mx＋4m2－36＝0；設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，可得Δ＝144m2－4×18(4m2－36)＞0，可得－3<m<3.設(shè)弦AB的中點(diǎn)為M(x，y)，可得，可得3x＋2y＝0，－<x<.9．解析：(1)設(shè)平行直線的方程為y＝x＋b，將y＝x＋b代入＋＝1，整理得13x2＋8bx＋4b2－36＝0，因?yàn)橹本€與橢圓有公共點(diǎn)，所以Δ＝64b2－208(b2－9)＝－144(b2－13)≥0，解得－≤b≤.(2)令交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，由(1)知：x1＋x2＝－，而y1＋y2＝x1＋x2＋2b＝，所以線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(－，)，又知當(dāng)b＝0時(shí)，中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，故直線的斜率為k＝＝－(b≠0)，∴所在的直線方程為9x＋4y＝0.10．解析：(1)依題意可得b＝1，2c＝2，又c2＝a2－b2，所以a＝2，所以橢圓方程為＋y2＝1.(2)依題意過點(diǎn)P(－2，1)的直線為y－1＝k(x＋2)，設(shè)B(x1，y1)，C(x2，y2)，不妨令－2≤x1<x2≤2，由，消去y整理得(1＋4k2)x2＋(16k2＋8k)x＋16k2＋16k＝0，所以Δ＝(16k2＋8k)2－4(1＋4k2)(16k2＋16k)>0，解得k<0，所以x1＋x2＝－，x1·x2＝，直線AB的方程為y－1＝x，令y＝0，解得xM＝，直線AC的方程為y－1＝x，令y＝0，解得xN＝，所以|MN|＝|xN－xM|＝|－|＝＝＝＝＝2，所以|x1－x2|＝|k|(x2＋2)(x1＋2)，即 ＝|k|[x2x1＋2(x2＋x1)＋4]即 ＝|k|，即＝[16k2＋16k－2(16k2＋8k)＋4(1＋4k2)]，整理得8＝4|k|，解得k＝－4.核心素養(yǎng)升級(jí)練1．答案：BC解析：依題意可知直線PA和直線PB的斜率存在，設(shè)過P(x0，y0)的橢圓的切線方程為y－y0＝k(x－x0)，由消去y并化簡得(1＋2k2)x2＋4k(y0－kx0)x＋2k2x－4kx0y0＋2y－8＝0，其Δ＝16k2(y0－kx0)2－4(1＋2k2)(2k2x－4kx0y0＋2y－8)＝0，整理得(8－x)k2＋2x0y0k＋4－y＝0，8－x≠0，x0≠±2，其Δ＝4xy－4(8－x)(4－y)>0，整理得＋>1，符合題意，所以kPA·kPB＝＝m(m<0)，整理得＋＝1，?、?/span>＝8－>8，4－8m>4，當(dāng)m＝－1時(shí)，＝4－8m＝12，代入①得x＋y＝12(x0≠±2)，即P點(diǎn)的軌跡是圓的一部分．當(dāng)m<－1或－1<m<0時(shí)，≠4－8m，由于x0≠±2，所以P點(diǎn)的軌跡是橢圓的一部分．故選BC.2．答案：x＋y－2＝0解析：令AB的中點(diǎn)為E，因?yàn)閨MA|＝|NB|，所以|ME|＝|NE|，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＋＝1，＋＝1，所以－＋－＝0，即＋＝0，所以＝－，即kOE·kAB＝－，設(shè)直線AB：y＝kx＋m，k<0，m>0，令x＝0得y＝m，令y＝0得x＝－，即M(－，0)，N(0，m)，所以E(－，)，即k×＝－，解得k＝－或k＝(舍去)，又|MN|＝2，即|MN|＝＝2，解得m＝2或m＝－2(舍去)，所以直線AB：y＝－x＋2，即x＋y－2＝0.3．解析：(1)由題知，橢圓焦點(diǎn)在x軸上，因?yàn)?/span>，解得a2＝12，b2＝4，所以橢圓的方程為＋＝1.(2)設(shè)過PQ的直線l的方程為y＝kx＋t并與橢圓方程聯(lián)立得(1＋3k2)x2＋6ktx＋3(t2－4)＝0.設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，所以x1＋x2＝，x1x2＝.由已知，kAP＋kAQ＝0，所以＋＝0，從而(x1－3)(y2－1)＋(x2－3)(y1－1)＝0，即(x1－3)(kx2＋t－1)＋(x2－3)(kx1＋t－1)＝0，整理得2kx1x2＋(t－1－3k)(x1＋x2)－6(t－1)＝0.將上述韋達(dá)定理關(guān)系式代入并整理得(3k2－4k＋1)＋t(k－1)＝0，即(k－1)(3k－1＋t)＝0，若3k－1＋t＝0，則直線l：y＝kx＋1－3k經(jīng)過A點(diǎn)，不符合題意，所以k＝1，所以直線l的斜率為1. 

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