1．若隨機事件A，B滿足P(AB)＝ eq \f(1,6)，P(A)＝ eq \f(2,3)，P(B)＝ eq \f(1,4)，則事件A與B的關系是( )
A．互斥 B．相互獨立
C．互為對立 D．互斥且獨立
2．某射擊運動員每次射擊命中目標的概率都為0.9，則他連續(xù)射擊兩次都命中的概率是( )
A．0.64 B．0.56
C．0.81 D．0.99
3．甲、乙兩個氣象站同時作氣象預報，如果甲站、乙站預報的準確率分別為0.8和0.7，那么在一次預報中兩站恰有一次準確預報的概率為( )
A．0.8 B．0.7
C．0.56 D．0.38
4．現(xiàn)有6個相同的球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球．A事件“第一次取出的球的數(shù)字是3”，B事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，C事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，D事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是6”，則( )
A.A與C相互獨立 B．A與D相互獨立
C．B與D相互獨立 D．C與D相互獨立
5．某次體育考試，甲、乙的成績達到優(yōu)秀的概率分別為0.4，0.9，兩人的成績互不影響，則甲、乙兩人的成績都未達到優(yōu)秀的概率為( )
A．0.06 B．0.36
C．0.28 D．0.64
6．“五一”勞動節(jié)放假期間，甲、乙、丙去北京旅游的概率分別為 eq \f(1,3)， eq \f(1,4)， eq \f(1,5)，假定三人的行動相互之間沒有影響，那么這段時間內至少有1人去北京旅游的概率為( )
A． eq \f(59,60) B． eq \f(3,5)C． eq \f(1,2) D． eq \f(1,60)
7．已知事件A，B相互獨立，且P(A)＝ eq \f(1,3)，P(AB)＝ eq \f(1,4)，則P(B)＝________．
關鍵能力綜合練
1．設事件A，B相互獨立，P(A)＝0.6，P(B)＝0.3，則P(A eq \(B,\s\up6(－))∪ eq \(A,\s\up6(－))B)＝( )
A．0.36 B．0.504
C．0.54 D．0.9
2．三個人獨立地破譯一份密碼，他們能單獨譯出密碼的概率分別為 eq \f(1,3)， eq \f(1,3)， eq \f(1,4)，假設他們能否破譯出密碼是相互獨立的，則此密碼被破譯的概率為( )
A． eq \f(1,3) B． eq \f(2,3)C． eq \f(1,36) D． eq \f(35,36)
3．甲、乙、丙三位同學將獨立參加英語聽力測試，根據(jù)平時訓練的經驗，甲、乙、丙三人能達標的概率分別為p、 eq \f(2,3)、 eq \f(3,5)，若三人中有人達標但沒有全部達標的概率為 eq \f(4,5)，則p＝( )
A． eq \f(1,3) B． eq \f(2,3)
C． eq \f(1,4) D． eq \f(3,4)
4.甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一球．甲先投且先投中者獲勝，約定有人獲勝或每人都已投球2次時投籃結束．設甲每次投籃投中的概率為 eq \f(1,3)，乙每次投籃投中的概率為 eq \f(1,2)，且各次投籃互不影響．則投籃結束時，乙只投了1個球的概率為( )
A． eq \f(1,3) B． eq \f(4,9)
C． eq \f(5,9) D． eq \f(2,3)
5．某大學選拔新生補充進“籃球”“電子競技”“國學”三個社團，據(jù)資料統(tǒng)計，新生通過考核選拔進入這三個社團成功與否相互獨立，2019年某新生入學，假設他通過考核選拔進入該校的“籃球”“電子競技”“國學”三個社團的概率依次為m， eq \f(1,3)，n，已知三個社團他都能進入的概率為 eq \f(1,24)，至少進入一個社團的概率為 eq \f(3,4)，且m＞n.則m＋n＝( )
A． eq \f(1,2) B． eq \f(2,3)
C． eq \f(3,4) D． eq \f(5,12)
6．拋擲一枚質地均勻的硬幣n次，記事件A＝“n次中既有正面朝上又有反面朝上”，B＝“n次中至多有一次正面朝上”，下列說法不正確的是( )
A．當n＝2時，P(A∩B)＝ eq \f(1,2)
B．當n＝2時，事件A與事件B不獨立
C．當n＝3時，P(A∪B)＝ eq \f(7,8)
D．當n＝3時，事件A與事件B不獨立
7．甲、乙兩人打靶，已知甲的命中率為0.6，乙的命中率為0.7，若甲、乙分別向同一靶子射擊一次，則該靶子被擊中的概率為________．
8．排球比賽的規(guī)則是5局3勝制，在某次排球比賽中，甲隊在每局比賽中獲勝的概率均為 eq \f(3,5)，若前2局結束后乙隊以2∶0領先，則最后乙隊獲勝的概率是________．
9．某校選拔若干名學生組建數(shù)學奧林匹克集訓隊，要求選拔過程分前后兩次進行，當?shù)谝淮芜x拔合格后方可進入第二次選拔，兩次選拔過程相互獨立．根據(jù)甲、乙、丙三人現(xiàn)有的水平，第一次選拔，甲、乙、丙三人合格的概率依次為0.5，0.6，0.4.第二次選拔，甲、乙、丙三人合格的概率依次為0.6，0.5，0.5.
(1)求第一次選拔后甲、乙兩人中只有甲合格的概率；
(2)分別求出甲、乙、丙三人經過前后兩次選拔后合格的概率；
(3)求甲、乙、丙經過前后兩次選拔后，恰有一人合格的概率．
10.某公司在一次入職面試中，共設有3輪測試，每輪測試設有一道題目，面試者能正確回答兩道題目的即可通過面試，累計答錯兩道題目的即被淘汰．已知李明能正確回答每一道題目的概率均為 eq \f(2,3)，且各輪題目能否正確回答互不影響．
(1)求李明不需要進入第三輪測試的概率；
(2)求李明通過面試的概率．
核心素養(yǎng)升級練
1．某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結果相互獨立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為p1，p2，p3，且p3>p2>p1>0.記該棋手連勝兩盤的概率為p，則( )
A．p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關
B．該棋手在第二盤與甲比賽，p最大
C．該棋手在第二盤與乙比賽，p最大
D．該棋手在第二盤與丙比賽，p最大
2．甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語，已知甲每輪猜對的概率為 eq \f(3,4)，乙每輪猜對的概率為 eq \f(2,3).在每輪活動中，甲和乙猜對與否互不影響，各輪結果也互不影響，則“星隊”在兩輪活動中猜對3個成語的概率為________.
3．某工廠有A，B，C三條生產線各自獨立地生產同一種汽車配件，已知A生產線生產的汽車配件是合格品且B生產線生產的汽車配件是合格品的概率為 eq \f(1,2)，B生產線生產的汽車配件是非合格品且C生產線生產的汽車配件是合格品的概率為 eq \f(1,5)，A生產線生產的汽車配件是合格品且C生產線生產的汽車配件是合格品的概率為 eq \f(8,15)，記事件A，B，C分別為A，B，C三條生產線各自生產的汽車配件是合格品．
(1)求事件A，B，C的概率；
(2)隨機從A，B，C三條生產線上各取1個汽車配件進行檢驗，求恰有2個合格品的概率．
10．2 事件的相互獨立性
必備知識基礎練
1．答案：B
解析：因為P(A)＝ eq \f(2,3)， P(B)＝ eq \f(1,4)，
又因為P(AB)＝ eq \f(1,6)≠0，所以有P(AB)＝P(A)P(B)，所以事件A與B相互獨立，不互斥也不對立．
故選B.
2．答案：C
解析：Ai表示“第i次擊中目標”，i＝1，2，則P(Ai)＝0.9，而運動員各次射擊是相互獨立的，即事件A1與A2相互獨立，由相互獨立事件概率的乘法公式得P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝0.9×0.9＝0.81，
連續(xù)射擊兩次都命中的概率是0.81.
故選C.
3．答案：D
解析：因為甲、乙兩個氣象站同時作氣象預報，甲站、乙站預報的準確率分別為0.8和0.7，
所以在一次預報中兩站恰有一次準確預報的概率為：
P＝0.8×(1－0.7)＋(1－0.8)×0.7＝0.38.
故選D.
4．答案：A
解析：根據(jù)題意得P(A)＝ eq \f(1,6)，P(B)＝ eq \f(1,6)，P(C)＝ eq \f(6,36)＝ eq \f(1,6)，P(D)＝ eq \f(5,36)，
所以P(AC)＝ eq \f(1,36)＝P(A)P(C)，P(AD)＝ eq \f(1,36)≠P(A)P(D)，
P(BD)＝ eq \f(1,36)≠P(B)P(D)，P(CD)＝0≠P(C)P(D)，
所以A與C相互獨立．
故選A.
5．答案：A
解析：∵甲、乙達到優(yōu)秀的概率分別為0.4，0.9，
∴甲、乙未達到優(yōu)秀的概率分別為1－0.4和1－0.9，
又∵兩人考試成績互不影響，即兩人是否達到優(yōu)秀相互獨立，
∴甲、乙兩人都未達到優(yōu)秀的概率為P＝(1－0.4)×(1－0.9)＝0.06.
故選A.
6．答案：B
解析：∵甲、乙、丙去北京旅游的概率分別為 eq \f(1,3)， eq \f(1,4)， eq \f(1,5).
∴他們不去北京旅游的概率分別為 eq \f(2,3)， eq \f(3,4)， eq \f(4,5).
∵至少有1人去北京旅游的對立事件是沒有人去北京旅游，
∴至少有1人去北京旅游的概率為：1－ eq \f(2,3)× eq \f(3,4)× eq \f(4,5)＝ eq \f(3,5).
故選B.
7．答案： eq \f(3,4)
解析：由題設P(AB)＝P(A)P(B)＝ eq \f(1,3)P(B)＝ eq \f(1,4)，則P(B)＝ eq \f(3,4).
關鍵能力綜合練
1．答案：C
解析：根據(jù)題意，A eq \(B,\s\up6(－))與 eq \(A,\s\up6(－))B互斥，A， eq \(B,\s\up6(－))相互獨立，B， eq \(A,\s\up6(－))相互獨立，A eq \(B,\s\up6(－))， eq \(A,\s\up6(－))B相互獨立，
故P(A eq \(B,\s\up6(－))∪ eq \(A,\s\up6(－))B)＝P(A eq \(B,\s\up6(－)))＋P( eq \(A,\s\up6(－))B)＝P(A)P( eq \(B,\s\up6(－)))＋P( eq \(A,\s\up6(－)))P(B)＝0.6×0.7＋0.4×0.3＝0.54.
故選C.
2．答案：B
解析：三個人獨立地破譯一份密碼，他們能單獨譯出密碼的概率分別為 eq \f(1,3)， eq \f(1,3)， eq \f(1,4)，
他們能否破譯出密碼是相互獨立的，
則三個人均未破譯密碼的概率為
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4)))＝ eq \f(2,3)× eq \f(2,3)× eq \f(3,4)＝ eq \f(1,3)，
則此密碼被破譯的概率為1－ eq \f(1,3)＝ eq \f(2,3)，
故選B.
3．答案：C
解析：事件“3人中有人達標但沒有全部達標”的對立事件為“3人都達標或全部沒有達標”，則
eq \f(2,3)× eq \f(3,5)P＋ eq \f(1,3)× eq \f(2,5)×(1－P)＝1－ eq \f(4,5)，解得P＝ eq \f(1,4).
故選C.
4．答案：B
解析：設Ak，Bk分別表示甲、乙在第k次投籃時投中，則P(Ak)＝ eq \f(1,3)，P(Bk)＝ eq \f(1,2)，(k＝1，2)，記“投籃結束時，乙只投了1個球”為事件D.
則P(D)＝P( eq \(A,\s\up6(－))1B1)＋P( eq \(A,\s\up6(－))1 eq \(B,\s\up6(－))1A2)＝P( eq \(A,\s\up6(－))1)P(B1)＋P( eq \(A,\s\up6(－))1)P( eq \(B,\s\up6(－))1)P(A2)＝ eq \f(2,3)× eq \f(1,2)＋ eq \f(2,3)× eq \f(1,2)× eq \f(1,3)＝ eq \f(4,9).
故選B.
5．答案：C
解析：由題知三個社團都能進入的概率為 eq \f(1,24)，
即m× eq \f(1,3)×n＝ eq \f(1,24)?m×n＝ eq \f(1,8)，
又因為至少進入一個社團的概率為 eq \f(3,4)，
即一個社團都沒能進入的概率為1－ eq \f(3,4)＝ eq \f(1,4)，
即(1－m)× eq \f(2,3)×(1－n)＝ eq \f(1,4)?1－m－n＋m×n＝ eq \f(3,8)，
整理得m＋n＝ eq \f(3,4).
故選C.
6．答案：D
解析：當n＝2時，所有基本事件有：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，共4種，
且n(A)＝2，n(B)＝3，n(A∩B)＝2，P(A)＝ eq \f(1,2)，P(B)＝ eq \f(3,4)，P(AB)＝ eq \f(1,2)，
所以P(A∩B)＝ eq \f(1,2)，故A正確；
P(AB)≠P(A)P(B)，所以事件A與事件B不獨立，故B正確；
當n＝3時，所有基本事件有：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)，共8種，
n(A∪B)＝7，n(A)＝6，n(B)＝4，n(AB)＝3，
所以P(A∪B)＝ eq \f(7,8)，故C正確；
P(A)＝ eq \f(3,4)，P(B)＝ eq \f(1,2)，P(AB)＝ eq \f(3,8)，P(AB)＝P(A)P(B)，所以事件A與事件B獨立，故D錯誤．
故選D.
7．答案：0.88
解析：因為甲的命中率為0.6，乙的命中率為0.7，
所以甲、乙分別向同一靶子射擊一次，該靶子被擊中的概率P＝0.6×(1－0.7)＋0.7×(1－0.6)＋0.6×0.7＝0.88.
8．答案： eq \f(98,125)
解析：最后乙隊獲勝，則需要在剩下的三局比賽中贏一局即可．
若第三局乙隊獲勝，其概率為P1＝ eq \f(2,5)；
若第三局乙隊負，第四局乙隊獲勝，其概率為P2＝ eq \f(3,5)× eq \f(2,5)＝ eq \f(6,25)；
若第三、四局乙隊負，第五局乙隊獲勝，其概率為P3＝ eq \f(3,5)× eq \f(3,5)× eq \f(2,5)＝ eq \f(18,125).
所以最后乙隊獲勝的概率為P＝P1＋P2＋P3＝ eq \f(2,5)＋ eq \f(6,25)＋ eq \f(18,125)＝ eq \f(50＋30＋18,125)＝ eq \f(98,125).
9．解析：(1)分別設甲、乙經第一次選拔后合格為事件A1，B1；
設E表示第一次選拔后甲合格、乙不合格，則
P(E)＝P(A1 eq \(B,\s\up6(－))1)＝0.5×0.4＝0.2.
(2)分別設甲、乙、丙三人經過前后兩次選拔后合格為事件A、B、C，則
P(A)＝0.5×0.6＝0.3，P(B)＝0.6×0.5＝0.3，P(C)＝0.4×0.5＝0.2.
(3)設F表示經過前后兩次選拔后，恰有一人合格，
則P(F)＝P(A eq \(B,\s\up6(－)) eq \(C,\s\up6(－)))＋P( eq \(A,\s\up6(－))B eq \(C,\s\up6(－)))＋P( eq \(A,\s\up6(－)) eq \(B,\s\up6(－))C)
＝0.3×0.7×0.8＋0.7×0.3×0.8＋0.7×0.7×0.2＝0.434＝ eq \f(217,500).
10．解析：(1)設李明通過第一、二、三輪測試分別設為事件A，B，C，可知A，B，C相互獨立．
設李明不需要進入第三輪測試為事件M，則M＝AB＋ eq \(A,\s\up6(－)) eq \(B,\s\up6(－))，
所以P(M)＝P(AB＋ eq \(A,\s\up6(－)) eq \(B,\s\up6(－)))＝P(AB)＋P( eq \(A,\s\up6(－)) eq \(B,\s\up6(－)))＝P(A)P(B)＋P( eq \(A,\s\up6(－)))P( eq \(B,\s\up6(－)))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up12(2)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3))) eq \s\up12(2)＝ eq \f(5,9)，
即李明不需要進入第三輪測試的概率為 eq \f(5,9).
(2)設李明最終通過測試為事件N，則N＝AB＋ eq \(A,\s\up6(－))BC＋A eq \(B,\s\up6(－))C，
所以P(N)＝P(AB＋ eq \(A,\s\up6(－))BC＋A eq \(B,\s\up6(－))C)＝P(AB)＋P( eq \(A,\s\up6(－))BC)＋P(A eq \(B,\s\up6(－))C)
＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up12(2)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up12(2)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up12(2)＝ eq \f(20,27)，
故李明最終通過測試的概率為 eq \f(20,27).
核心素養(yǎng)升級練
1．答案：D
解析：該棋手連勝兩盤，則第二盤為必勝盤，
記該棋手在第二盤與甲比賽，比賽順序為乙甲丙及丙甲乙的概率均為 eq \f(1,2)，
則此時連勝兩盤的概率為p甲，
則p甲＝ eq \f(1,2)[(1－p2)p1p3＋p2p1(1－p3)]＋ eq \f(1,2)[(1－p3)p1p2＋p3p1(1－p2)]
＝p1(p2＋p3)－2p1p2p3；
記該棋手在第二盤與乙比賽，且連勝兩盤的概率為p乙，
則p乙＝(1－p1)p2p3＋p1p2(1－p3)＝p2(p1＋p3)－2p1p2p3，
記該棋手在第二盤與丙比賽，且連勝兩盤的概率為p丙，
則p丙＝(1－p1)p3p2＋p1p3(1－p2)＝p3(p1＋p2)－2p1p2p3，
則p甲－p乙＝p1(p2＋p3)－2p1p2p3－[p2(p1＋p3)－2p1p2p3]＝(p1－p2)p3

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10.2 事件的相互獨立性

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