習(xí)題課　有關(guān)球的切接問(wèn)題必備知識(shí)基礎(chǔ)練　1．一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體，其外接球的體積為(　　)A．48π    B．32πC．12π    D．4π2．已知圓柱的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為2，則該圓柱的外接球的體積為(　　)A．    B．C．    D．3．已知某圓錐的母線長(zhǎng)為5，其側(cè)面展開(kāi)圖的面積為15π，則該圓錐外接球的表面積為(　　)A．    B．40πC．    D．36π4．古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，則球的體積與圓柱的體積之比為(　　)A.    B．C．    D．5．三棱錐B-ACD的頂點(diǎn)都在同一球面上，其中BA、BC、BD兩兩垂直，且BA＝3，BC＝4，BD＝5，則該球的表面積為(　　)A．100π    B．64πC．50π    D．36π6．已知圓臺(tái)上下底面半徑分別為3、4，圓臺(tái)的母線與底面所成的角為45°.且該圓臺(tái)上下底面圓周都在某球面上，則該球的體積為(　　)A．100π    B．C．200π    D．7．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，則與正方體的各棱都相切的球的表面積是________．8．已知長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a，b，c，若a∶b∶c＝4∶2∶1，且其外接球的表面積為25π，則該長(zhǎng)方體的體積為_(kāi)_______．  關(guān)鍵能力綜合練　 1．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝4，AB＝3，AA1＝12，∠BAC＝90°，且三棱柱的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積是(　　)A．125π    B．144πC．169π    D．244π2．將一個(gè)直角邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形繞其直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所得圓錐的內(nèi)切球的表面積為(　　)A．(2－2)π    B．(48－32)πC．(24－16)π    D．(108－72)π3．已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長(zhǎng)分別為3和4，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為(　　)A．100π    B．128πC．144π    D．192π4．已知正三棱柱ABC-A1B1C1所有棱長(zhǎng)都為6，則此三棱柱外接球的表面積為(　　)A．48π    B．64πC．84π    D．144π5．已知棱長(zhǎng)為a的正四面體的外接球表面積為S1，內(nèi)切球表面積為S2，則S1∶S2＝(　　)A．9    B．3C．4    D．6．已知正三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，其側(cè)棱長(zhǎng)為2，底面邊長(zhǎng)為4，則球O的表面積是(　　)A．32π    B．32πC．24π    D．24π7．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽(yáng)馬．如圖，四棱錐P-ABCD是陽(yáng)馬，PA＝5，AB＝3，BC＝4，則該陽(yáng)馬的外接球的表面積為(　　)A．    B．50πC．100π    D．8．一個(gè)正六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的高為，底面周長(zhǎng)為3，那么這個(gè)球的體積是________．9．如圖幾何體是由一個(gè)正四棱柱和正四棱錐組成的，已知正四棱柱和正四棱錐的高相等，且底面邊長(zhǎng)均為2，若該幾何體的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)球的表面上，則這個(gè)球的表面積為_(kāi)_______． 10．如圖，正四棱錐S-ABCD中，SH是這個(gè)正四棱錐的高，SM是斜高，且SH＝2，SM＝2.(1)求這個(gè)四棱錐的全面積；(2)分別求出該幾何體外接球與內(nèi)切球的半徑．        核心素養(yǎng)升級(jí)練　 1．在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，E，F分別為線段AB，BC的中點(diǎn)，連接DE，DF，EF，將△ADE，△CDF，△BEF分別沿DE，DF，EF折起，使A，B，C三點(diǎn)重合，得到三棱錐O-DEF，則該三棱錐外接球的表面積為(　　)A．3π    B．πC．6π    D．24π  2.在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．如圖，三棱錐D-ABC為一個(gè)鱉臑，其中DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝2，AM⊥DC，M為垂足，則三棱錐M-ABC的外接球的表面積為_(kāi)_______．3．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝60°，AC＝AA1，若三棱錐A1-ABC的外接球的半徑為，則三棱錐A1-ABC的體積的最大值為_(kāi)_______．      習(xí)題課　有關(guān)球的切接問(wèn)題必備知識(shí)基礎(chǔ)練1．答案：D解析：因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2，所以其體對(duì)角線為＝2，所以外接球的直徑即為2，即外接球的半徑R＝，所以外接球的體積V＝πR3＝π×()3＝4π.故選D.2．答案：B解析：如圖，O為外接球球心，母線BB1長(zhǎng)度為2，底面半徑r＝O2B＝1，易得外接球半徑R＝OB＝＝，∴外接球體積V＝π()3＝.故選B.3．答案：A解析：由題意，可設(shè)圓錐的底面半徑為r，則πr×5＝15π，故r＝3，則圓錐的高h＝＝4，設(shè)該圓錐外接球的半徑為R，則R2＝32＋(4－R)2，解得R＝，故該圓錐外接球的表面積為4π×()2＝，故選A.4．答案：B解析：設(shè)球的半徑為r，則圓柱的底面半徑為r，圓柱的高為2r，所以球的體積為V球＝πr3，圓柱的體積為V圓柱＝πr2×2r＝2πr3，所以球的體積與圓柱的體積之比為＝＝.故選B.5．答案：C解析：在三棱錐B-ACD中，BA、BC、BD兩兩垂直，將該三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體BCED-AFGH，則長(zhǎng)方體BCED-AFGH的體對(duì)角線長(zhǎng)為BG＝＝5，所以三棱錐B-ACD的外接球半徑為R＝＝，因此，該三棱錐外接球的表面積為S＝4πR2＝50π.故選C.6．答案：B解析：由題意，軸截面如圖所示，AE＝DE＝1，若球體半徑為R，則R2－9＝(1＋)2，可得R＝5.所以該球體積為πR3＝.故選B.7.答案：8π解析：過(guò)正方體的對(duì)角面作截面如圖，故球的半徑r＝，∴其表面積S＝4π×()2＝8π.8．答案：8解析：由a∶b∶c＝4∶2∶1，不妨設(shè)a＝4k，b＝2k，c＝k(k>0).因?yàn)殚L(zhǎng)方體的外接球的直徑為其體對(duì)角線，設(shè)外接球的半徑為r，則有(2r)2＝a2＋b2＋c2，即4r2＝16k2＋8k2＋k2＝25k2.而外接球的表面積為25π，所以S＝4πr2＝25k2π＝25π，解得k＝1.所以a＝4，b＝2，c＝1，所以該長(zhǎng)方體的體積為V＝abc＝4×2×1＝8.關(guān)鍵能力綜合練1．答案：C解析：∵三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面，AC＝4，AB＝3，∠BAC＝90°，AA1＝12，∴可將棱柱ABC-A1B1C1補(bǔ)成長(zhǎng)方體，且長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為3，4，12.∴長(zhǎng)方體的對(duì)角線＝13，即為球的直徑．∴球的半徑R＝，∴球的表面積為S＝4πR2＝4π×()2＝169π.故選C.2.答案：B解析：依題意，作圓錐的軸截面等腰直角三角形，截得其內(nèi)切球的大圓是此等腰直角三角形的內(nèi)切圓，圓錐的底面半徑為2，則其母線長(zhǎng)為2.設(shè)圓錐的內(nèi)切球半徑為r，則×2r＋×2r＋×4×r＝×4×2，所以r＝2(－1)，所以球表面積為S＝4πr2＝16(3－2)π＝(48－32)π.故選B.3．答案：A解析：設(shè)正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑為r1，r2，所以2r1＝，2r2＝，即r1＝3，r2＝4，設(shè)球心到上下底面的距離分別為d1，d2，球的半徑為R，所以d1＝，d2＝，故|d1－d2|＝1或d1＋d2＝1，即|－|＝1或＋＝1，解得R2＝25符合題意，所以球的表面積為S＝4πR2＝100π.故選A.4．答案：C解析：如圖，D為棱BC的中點(diǎn)，G為正△ABC的中心，O為外接球的球心，根據(jù)直棱柱外接球的性質(zhì)可知OG∥AA1，OG＝AA1＝3，外接球半徑R＝OC，∵正△ABC的邊長(zhǎng)為6，則CG＝2，∴R2＝OC2＝OG2＋CG2＝21，外接球的表面積S＝4πR2＝84π.故選C.5．答案：A解析：如圖所示，設(shè)點(diǎn)O是內(nèi)切球的球心，正四面體棱長(zhǎng)為a，由圖形的對(duì)稱性知，點(diǎn)O也是外接球的球心．設(shè)內(nèi)切球半徑為r，外接球半徑為R.在Rt△BEO中，BO2＝BE2＋EO2，即R2＝(a)2＋r2，又R＋r＝a，可得R＝3r，S1∶S2＝R2∶r2＝9.故選A.6．答案：D解析：如圖所示：設(shè)O1為正三角形ABC的中心，連接PO1，則PO1⊥平面ABC，球心O在PO1上，設(shè)球O的半徑為R，連接AO，AO1，∵正三角形ABC的邊長(zhǎng)為4，∴O1A＝4××＝，又∵PA＝2，∴在Rt△PO1A中，PO1＝＝ ＝，在Rt△OO1A中，OA＝R，OO1＝PO1－PO＝－R，O1A＝，∴R2＝(－R)2＋()2，解得R＝，∴球O的表面積為4πR2＝24π.故選D.7．答案：B解析：連接AC，BD，交于O1，取PC中點(diǎn)O，連接OO1，如圖所示因?yàn)?/span>O，O1分別為PC，AC的中點(diǎn)，所以OO1∥PA，又PA⊥平面ABCD，所以OO1⊥平面ABCD，所以O到A，B，C，D的距離都相等，又PO＝OC，所以O為該四棱錐的外接球的球心，在Rt△PAC中，PA＝5，AC＝＝＝5，所以PC＝＝＝5，所以該四棱錐的外接球的半徑R＝＝，所以該陽(yáng)馬的外接球的表面積S＝4πR2＝4π×()2＝50π.故選B.8．答案：解析：設(shè)正六棱柱ABCDEF-A′B′C′D′E′F′，正六邊形的周長(zhǎng)為3，則邊長(zhǎng)為，則AD＝×2＝1，矩形ADD′A′經(jīng)過(guò)球心，AD′就是外接球的直徑，AD′＝＝＝2，外接球的半徑R＝＝1，則外接球的體積為＝＝.9．答案：9π解析：設(shè)正四棱柱和正四棱錐的高為h，則其外接球的半徑為R＝＝＝h＋h＝h，解得h＝1，所以R＝，故球的表面積為S＝4πR2＝9π.10．解析：(1)連接HM，HC.在△SHM中，HM＝＝＝2，故AB＝4.所以SABCD＝4×4＝16，S△SAB＝×4×2＝4，故這個(gè)四棱錐的全面積為16＋16；(2)由題幾何體外接球球心在線段SH上，設(shè)為O，設(shè)外接球的半徑為R.因?yàn)?/span>AB＝4，所以HC＝2，在△OHC中，由勾股定理得：OC2＝HC2＋OH2，即R2＝8＋(R－2)2，解得：R＝3.設(shè)內(nèi)接球的半徑為r.VS-ABCD＝×16×2＝，VS-ABCD＝×(16＋16)×r所以＝×(16＋16)×r，解得：r＝2(－1).核心素養(yǎng)升級(jí)練1．答案：C解析：在正方形ABCD中，AD⊥AE，CD⊥CF，BE⊥BF，折起后OD，OE，OF兩兩垂直，故該三棱錐外接球即以OD，OE，OF為棱的長(zhǎng)方體的外接球．因?yàn)?/span>OD＝2，OE＝1，OF＝1，所以2R＝＝，所以R＝，所以該三棱錐外接球的表面積為S表＝4πR2＝6π，故選C.2.答案：8π解析：取AC的中點(diǎn)O，連接MO、BO，則AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝2，所以AC＝2，則AO＝BO＝CO＝，又AM⊥DC，所以MO＝AC＝，所以點(diǎn)O就是三棱錐M-ABC的外接球的球心，所以三棱錐M-ABC的外接球的球半徑為，所以三棱錐M-ABC的外接球的表面積為4π×()2＝8π.3．答案：6解析：設(shè)直三棱柱ABC-A1B1C1的上、下底面三角形的外接圓圓心分別為O1，O2，外接球球心為O，則O為O1O2中點(diǎn)，根據(jù)已知條件可知O1O2＝AA1＝AC.設(shè)上下底面三角形外接圓半徑為BO1＝r，設(shè)O1O2＝AC＝AA1＝2x，則OO1＝x，OB＝，在△ABC中，由正弦定理得，＝2r?＝2r?x＝r，在Rt△BO1O中由勾股定理得，x2＋r2＝7，即(r)2＋r2＝7，則r＝2，x＝，AC＝AA1＝2，由圓的知識(shí)得，當(dāng)且僅當(dāng)AB＝BC時(shí)，△ABC的面積取得最大值為×(2)2＝3，所以三棱錐A1-ABC的體積最大值為×3×AA1＝×2＝6.

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