1．下列說法正確的是( )
A．任何事件的概率總是在(0，1)之間
B．頻率是客觀存在的，與試驗(yàn)次數(shù)無關(guān)
C．隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率一般會(huì)越來越接近概率
D．概率是隨機(jī)的，在試驗(yàn)前不能確定
2．拋擲一枚硬幣100次，正面向上的次數(shù)為48次，下列說法正確的是( )
A．正面向上的概率是0.48
B．反面向上的概率是0.48
C．正面向上的頻率是0.48
D．反面向上的頻率是0.48
3．某射箭運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射箭訓(xùn)練，射箭60次，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：
則估計(jì)他擊中的環(huán)數(shù)不小于8的概率為( )
A．0.46 B．0.55
C．0.57 D．0.63
4．在擲一枚硬幣的試驗(yàn)中，共擲了100次，“正面朝上”的頻率為0.49，則“正面朝下”的次數(shù)為( )
A．0.49 B．49
C．0.51 D．51
5．下列不能產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的是( )
A．拋擲骰子試驗(yàn)
B．拋硬幣
C．計(jì)算器
D．正方體的六個(gè)面上分別寫有1，2，2，3，4，5，拋擲該正方體
6．從存放號(hào)碼分別為1，2，3，…，10的卡片的盒子里，有放回地取100次，每次取一張卡片，并記下號(hào)碼，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：
取到號(hào)碼為奇數(shù)的頻率為________．
7．一家藥物公司試驗(yàn)一種新藥，在500個(gè)病人中試驗(yàn)，其中307人有明顯療效，120人有療效但療效一般，剩余的人無療效，則沒有明顯療效的頻率是________．
8．下面是某批乒乓球質(zhì)量檢查結(jié)果表：
(1)在上表中填上優(yōu)等品出現(xiàn)的頻率；
(2)估計(jì)該批乒乓球優(yōu)等品的概率是多少．
關(guān)鍵能力綜合練
1．氣象站在發(fā)布天氣預(yù)報(bào)時(shí)說“明天本地區(qū)降雨的概率為90%”，你認(rèn)為下列解釋正確的是( )
A．本地區(qū)有90%的地方下雨
B．本地區(qū)有90%的時(shí)間下雨
C．明天出行不帶雨具，一定被雨淋
D．明天出行不帶雨具，有90%的可能被雨淋
2．考慮擲硬幣試驗(yàn)，設(shè)事件A＝“正面朝上”，則下列論述正確的是( )
A．?dāng)S2次硬幣，事件“一個(gè)正面，一個(gè)反面”發(fā)生的概率為 eq \f(1,3)
B．?dāng)S8次硬幣，事件A發(fā)生的次數(shù)一定是4
C．重復(fù)擲硬幣，事件A發(fā)生的頻率等于事件A發(fā)生的概率
D．當(dāng)投擲次數(shù)足夠多時(shí)，事件A發(fā)生的頻率接近0.5
3．?dāng)?shù)學(xué)試卷中，共有8道單項(xiàng)選擇題，每道選擇題有4個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．某次考試，某同學(xué)說：“每個(gè)選項(xiàng)正確的概率是 eq \f(1,4)，我每題都選擇第一個(gè)選項(xiàng)，則一定有2個(gè)題選擇結(jié)果正確”，這種說法( )
A．正確 B．錯(cuò)誤
C．不一定 D．無法解釋
4．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有“米谷粒分”題：糧倉(cāng)開倉(cāng)收糧，有人送來米1 536石，驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得224粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為( )
A．169石 B．192石
C．1 367石 D．1 164石
5．(多選)小明將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子連續(xù)拋擲了30次，每次朝上的點(diǎn)數(shù)都是2，則下列說法正確的是( )
A．朝上的點(diǎn)數(shù)是2的概率和頻率均為1
B．若拋擲30 000次，則朝上的點(diǎn)數(shù)是2的頻率約為0.17
C．拋擲第31次，朝上的點(diǎn)數(shù)一定不是2
D．拋擲6 000次，朝上的點(diǎn)數(shù)為2的次數(shù)大約為1 000次
6．如果袋中裝有數(shù)量差別很大而大小相同的白球和黃球(只是顏色不同)若干個(gè)，從中任取一球，取了10次有7個(gè)白球，估計(jì)袋中數(shù)量最多的是______球．
7．商場(chǎng)在一周內(nèi)共賣出某種品牌的皮鞋300雙，商場(chǎng)經(jīng)理為考察其中各種尺碼皮鞋的銷售情況，以這周內(nèi)某天售出的40雙皮鞋的尺碼為一個(gè)樣本，分為5組，已知第3組的頻率為0.25，第1，2，4組的頻數(shù)分別為6，7，9，若第5組表示的是尺碼為40～42的皮鞋，則售出的這300雙皮鞋中尺碼為40～42的皮鞋約為________雙．
8．在一次全運(yùn)會(huì)男子羽毛球單打比賽中，運(yùn)動(dòng)員甲和乙進(jìn)入了決賽．羽毛球的比賽規(guī)則是3局2勝制，假設(shè)每局比賽甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，利用計(jì)算機(jī)模擬試驗(yàn)，估計(jì)甲獲得冠軍的概率．為此，用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生1～5之間的隨機(jī)數(shù)，當(dāng)出現(xiàn)隨機(jī)數(shù)1，2或3時(shí)，表示一局比賽甲獲勝，其概率為0.6.由于要比賽三局，所以每3個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組．例如，產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)：
423 231 423 344 114 453 525 323 152 342
345 443 512 541 125 342 334 252 324 254
相當(dāng)于做了20次重復(fù)試驗(yàn)，用頻率估計(jì)甲獲得冠軍的概率的近似值為________．
9．某射擊運(yùn)動(dòng)員為備戰(zhàn)奧運(yùn)會(huì)，在相同條件下進(jìn)行射擊訓(xùn)練，結(jié)果如下：
(1)該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，擊中靶心的概率大約是多少？
(2)假設(shè)該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊了300次，則擊中靶心的次數(shù)大約是多少？
(3)假如該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊了300次，前270次都擊中靶心，那么后30次一定都擊不中靶心嗎？
(4)假如該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊了10次，前9次中有8次擊中靶心，那么第10次一定擊中靶心嗎？
10．企業(yè)在商業(yè)活動(dòng)中有依法納稅的基本義務(wù)，不依法納稅叫做逃稅，是一種違法行為．某地區(qū)有2萬家企業(yè)，政府部門抽取部分企業(yè)統(tǒng)計(jì)其去年的收入，得到下面的頻率分布表．根據(jù)當(dāng)?shù)卣呔C合測(cè)算，企業(yè)應(yīng)繳的稅額約為收入的5%，而去年該地區(qū)企業(yè)實(shí)際繳稅的總額為291億元．
(1)估計(jì)該地區(qū)去年收入大于等于4千萬元的企業(yè)數(shù)量；
(2)估計(jì)該地區(qū)企業(yè)去年的平均收入，并以此估計(jì)該地區(qū)逃稅的企業(yè)數(shù)量．
注：每組數(shù)據(jù)以區(qū)間中點(diǎn)值為代表，假設(shè)逃稅的企業(yè)繳稅額為0，未逃稅的企業(yè)都足額繳稅．
核心素養(yǎng)升級(jí)練
1．造紙術(shù)、印刷術(shù)、指南針、火藥被稱為中國(guó)古代四大發(fā)明，此說法最早由英國(guó)漢學(xué)家艾約瑟提出并為后來許多中國(guó)的歷史學(xué)家所繼承，普遍認(rèn)為這四種發(fā)明對(duì)中國(guó)古代的政治、經(jīng)濟(jì)、文化的發(fā)展產(chǎn)生了巨大的推動(dòng)作用．某小學(xué)三年級(jí)共有學(xué)生400名，隨機(jī)抽查100名學(xué)生并提問中國(guó)古代四大發(fā)明，能說出兩種及其以上發(fā)明的有73人，據(jù)此估計(jì)該校三年級(jí)的400名學(xué)生中，對(duì)四大發(fā)明只能說出一種或一種也說不出的有( )
A．69人 B．84人
C．108人 D．115人
2．某購(gòu)物網(wǎng)站開展一種商品的預(yù)約購(gòu)買，規(guī)定每個(gè)手機(jī)號(hào)只能預(yù)約一次，預(yù)約后通過搖號(hào)的方式?jīng)Q定能否成功購(gòu)買到該商品．規(guī)則如下：(ⅰ)搖號(hào)的初始中簽率為0.19；(ⅱ)當(dāng)中簽率不超過1時(shí)，可借助“好友助力”活動(dòng)增加中簽率，每邀請(qǐng)到一位好友參與“好友助力”活動(dòng)可使中簽率增加0.05.為了使中簽率超過0.9，則至少需要邀請(qǐng)________位好友參與到“好友助力”活動(dòng)．
3．甲、乙兩臺(tái)機(jī)床同時(shí)生產(chǎn)一種零件，其質(zhì)量按測(cè)試指標(biāo)劃分：指標(biāo)大于或等于100為優(yōu)品，大于等于90且小于100為合格品，小于90為次品，現(xiàn)隨機(jī)抽取這兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)的零件各100件進(jìn)行檢測(cè)，檢測(cè)結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：
(1)試分別估計(jì)甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的零件為優(yōu)品的概率；
(2)甲機(jī)床生產(chǎn)1件零件，若是優(yōu)品可盈利160元，合格品可盈利100元，次品則虧損20元，假設(shè)甲機(jī)床某天生產(chǎn)50件零件，請(qǐng)估計(jì)甲機(jī)床該天的利潤(rùn)(單位：元)；
(3)從甲、乙機(jī)床生產(chǎn)的零件指標(biāo)在[90，95)內(nèi)的零件中，采用分層抽樣的方法抽取5件，從這5件中任意抽取2件進(jìn)行質(zhì)量分析，求這2件都是乙機(jī)床生產(chǎn)的概率．
10．3 頻率與概率
必備知識(shí)基礎(chǔ)練
1．答案：C
解析：必然事件發(fā)生的概率為1，不可能事件發(fā)生的概率為0，故A錯(cuò)；
頻率是由試驗(yàn)的次數(shù)決定的，故B錯(cuò)；
概率是頻率的穩(wěn)定值，故C正確，D錯(cuò)．
故選C.
2．答案：C
解析：對(duì)于A，正面向上的概率是0.5，是固定不變的，故錯(cuò)誤；
對(duì)于B，反面向上的概率也是0.5，是固定不變的，故錯(cuò)誤；
對(duì)于C，拋擲一枚硬幣100次，正面向上的次數(shù)為48次，根據(jù)頻率的定義可知，正面向上的頻率是0.48，正確；
對(duì)于D，拋擲一枚硬幣100次，正面向上的次數(shù)為48次，反面向上的次數(shù)為52次，根據(jù)頻率的定義可知，反面向上的頻率是0.52，故錯(cuò)誤．
故選C.
3．答案：B
解析：擊中的環(huán)數(shù)不小于8的頻率為 eq \f(12＋13＋8,60)＝0.55，因此估計(jì)相應(yīng)概率為0.55.
故選B.
4．答案：D
解析：由題意知“正面朝上”的次數(shù)為0.49×100＝49，
故“正面朝下”的次數(shù)為100－49＝51.
故選D.
5．答案：D
解析：D項(xiàng)中，出現(xiàn)2的概率為 eq \f(1,3)，出現(xiàn)1，3，4，5的概率均是 eq \f(1,6)，則D項(xiàng)不能產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)．
故選D.
6．答案：0.58
解析：由數(shù)表知，取到奇數(shù)號(hào)碼的次數(shù)是17＋5＋6＋18＋12＝58，
所以取到號(hào)碼為奇數(shù)的頻率為 eq \f(58,100)＝0.58.
7．答案：0.386
解析：由題意可得沒有明顯療效的人數(shù)為500－307＝193，
所以沒有明顯療效的頻率為 eq \f(193,500)＝0.386.
8．解析：(1)如下表所示：
(2)由表中數(shù)據(jù)可估計(jì)，這批乒乓球優(yōu)等品的概率是0.95.
關(guān)鍵能力綜合練
1．答案：D
解析：明天本地區(qū)降雨的概率為90%意味著有90%的可能會(huì)下雨，結(jié)合選項(xiàng)可知只有D正確．
故選D.
2．答案：D
解析：擲2次硬幣，事件“一個(gè)正面，一個(gè)反面”發(fā)生的概率P＝ eq \f(1,2)× eq \f(1,2)×2＝ eq \f(1,2)，A錯(cuò)誤；
擲8次硬幣，事件A發(fā)生的次數(shù)是隨機(jī)的，B錯(cuò)誤；
重復(fù)擲硬幣，事件A發(fā)生的頻率無限接近于事件A發(fā)生的概率，C錯(cuò)誤；
當(dāng)投擲次數(shù)足夠多時(shí)，事件A發(fā)生的頻率接近0.5，D正確．
故選D.
3．答案：B
解析：由概率的定義得這種說法是錯(cuò)誤的，
每題都選擇第一個(gè)選項(xiàng)，則2個(gè)題中選擇結(jié)果正確的題數(shù)的可能性分別為0，1，2.
故一定有2個(gè)題選擇結(jié)果正確是錯(cuò)誤的．
故選B.
4．答案：B
解析：由抽樣取米一把，數(shù)得224粒內(nèi)夾谷28粒，估計(jì)夾谷頻率為 eq \f(28,224)＝ eq \f(1,8)，
所以這批米內(nèi)夾谷約為1 536× eq \f(1,8)＝192石．
故選B.
5．答案：BD
解析：由題意知朝上的點(diǎn)數(shù)是2的頻率為 eq \f(30,30)＝1，概率為 eq \f(1,6)，故A錯(cuò)誤；
當(dāng)拋擲次數(shù)很多時(shí)，朝上的點(diǎn)數(shù)是2的頻率在 eq \f(1,6)≈0.17附近擺動(dòng)，故B正確；
拋擲第31次，朝上的點(diǎn)數(shù)可能是2，也可能不是2，故C錯(cuò)誤；
每次拋擲朝上的點(diǎn)數(shù)是2的概率為 eq \f(1,6)，所以拋擲6 000次朝上的點(diǎn)數(shù)為2的次數(shù)大約為6 000× eq \f(1,6)＝1 000.(理論和實(shí)際會(huì)有一定的出入)故D正確．
故選BD.
6．答案：白
解析：取了10次有7個(gè)白球，則取出白球的頻率是0.7，估計(jì)其概率是0.7，那么取出黃球的概率約是0.3，取出白球的概率大于取出黃球的概率，所以估計(jì)袋中數(shù)量最多的是白球．
7．答案：60
解析：因?yàn)榈?，2，4組的頻數(shù)分別為6，7，9，
所以第1，2，4組的頻率分別為 eq \f(6,40)＝0.15， eq \f(7,40)＝0.175， eq \f(9,40)＝0.225，
又因?yàn)榈?組的頻率為0.25，
所以第5組的頻率為1－0.25－0.15－0.175－0.225＝0.2，
所以售出的這300雙皮鞋中尺碼為40～42的皮鞋約為30×0.2＝60雙．
8．答案：0.65
解析：由題意可知，20組隨機(jī)數(shù)中甲獲勝的有：423 231 423 114 323 152 342 512 125 342 334 252 324有13組，
所以甲獲勝的頻率為 eq \f(13,20)＝0.65，
所以甲獲得冠軍的概率的近似值約為0.65.
9．解析：(1)由題意得，擊中靶心的頻率與0.9接近，故概率約為0.9.
(2)擊中靶心的次數(shù)大約為300×0.9＝270.
(3)由概率的意義，可知概率是個(gè)常數(shù)，不因試驗(yàn)次數(shù)的變化而變化．后30次中，每次擊中靶心的概率仍是0.9，所以不一定擊不中靶心．
(4)由概率的意義知，不一定．
10．解析：(1)去年收入大于等于4千萬元的頻率為0.12＋0.06＋0.02＝0.2，
所以估計(jì)該地區(qū)去年收入大于等于4千萬元的企業(yè)數(shù)量為20 000×0.2＝4 000.
(2)該地區(qū)企業(yè)去年的平均收入的估計(jì)值為1×0.3＋3×0.5＋5×0.12＋7×0.06＋9×0.02＝3(千萬元).
平均繳稅額為3×5%＝0.15(千萬元)＝0.015(億元)，
所以未逃稅的企業(yè)數(shù)量為 eq \f(291,0.015)＝19 400，
因此逃稅的企業(yè)數(shù)量為20 000－19 400＝600.
核心素養(yǎng)升級(jí)練
1．答案：C
解析：在這100名學(xué)生中，只能說出一種或一種也說不出的有100－73＝27人，
設(shè)該校三年級(jí)的400名學(xué)生中，對(duì)四大發(fā)明只能說出一種或一種也說不出的有x人，
則 eq \f(100,27)＝ eq \f(400,x)，解得x＝108人．
故選C.
2．答案：15
解析：因?yàn)閾u號(hào)的初始中簽率為0.19，所以要使中簽率超過0.9，需要增加中簽率0.9－0.19＝0.71，
因?yàn)槊垦?qǐng)到一位好友參與“好友助力”活動(dòng)可使中簽率增加0.05，
所以至少需要邀請(qǐng) eq \f(0.71,0.05)＝14.2，所以至少需要邀請(qǐng)15位好友參與到“好友助力”活動(dòng)．
3．解析：(1)因?yàn)榧讬C(jī)床生產(chǎn)的零件為優(yōu)品的頻率 eq \f(32＋8,100)＝ eq \f(2,5)，
乙機(jī)床生產(chǎn)的零件為優(yōu)品的頻率為 eq \f(29＋6,100)＝ eq \f(7,20)，
所以用頻率估計(jì)概率，估計(jì)甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的零件為優(yōu)品的概率分別為 eq \f(2,5)， eq \f(7,20).
(2)甲機(jī)床生產(chǎn)的零件每件的平均利潤(rùn)為
eq \f(1,100) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(32＋8))×160＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(12＋40))×100－8×20))＝114.4(元)，
所以估計(jì)甲機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品每件的利潤(rùn)為114.4元，
所以甲機(jī)床該天生產(chǎn)50件零件的利潤(rùn)為50×114.4＝5 720(元).
(3)由題意知，甲機(jī)床應(yīng)抽取5× eq \f(12,30)＝2(件)，乙機(jī)床應(yīng)抽取5× eq \f(18,30)＝3(件)，
記甲機(jī)床生產(chǎn)的2件零件為A，B，乙機(jī)床生產(chǎn)的3件零件為a，b，c，
若從5件中任意抽取2件，有AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，共10個(gè)樣本點(diǎn)，
其中2件都是乙機(jī)床生產(chǎn)的有ab，ac，bc，共3個(gè)樣本點(diǎn)．
所以，從這5件中任意抽取2件，這2件都是乙機(jī)床生產(chǎn)的概率P＝ eq \f(3,10).
環(huán)數(shù)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
擊中的次數(shù)
0
0
1
2
4
4
6
10
12
13
8
卡片號(hào)碼
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
取到次數(shù)
17
8
5
7
6
9
18
9
12
9
抽取球數(shù)
50
100
200
500
1 000
2 000
優(yōu)等品數(shù)
45
92
194
470
954
1 902
優(yōu)等品出
現(xiàn)的頻率
射擊次數(shù)n
10
20
50
100
200
500
擊中靶心次數(shù)m
8
19
44
92
178
455
擊中靶心的頻率
0.8
0.95
0.88
0.92
0.89
0.91
收入(千萬元)
(0，2)
[2，4)
[4，6)
[6，8)
[8，10]
頻率
0.3
0.5
0.12
0.06
0.02
測(cè)試指標(biāo)
[85，90)
[90，95)
[95，100)
[100，105)
[105，110)
甲機(jī)床
8
12
40
32
8
乙機(jī)床
7
18
40
29
6
抽取球數(shù)
50
100
200
500
1 000
2 000
優(yōu)等品數(shù)
45
92
194
470
954
1 902
優(yōu)等品出
現(xiàn)的頻率
0.9
0.92
0.97
0.94
0.954
0.951

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊(cè)電子課本

10.3 頻率與概率

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 必修 第二冊(cè)

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