一、選擇題
1．若A，B是相互獨(dú)立事件，且P(A)＝eq \f(1,4)，P(B)＝eq \f(2,3)，則P(Aeq \(B,\s\up6(－)))＝( )
A.eq \f(1,12) B.eq \f(1,6) C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,2)
答案 A
解析 ∵A，B是相互獨(dú)立事件，且P(A)＝eq \f(1,4)，P(B)＝eq \f(2,3)，則A與eq \(B,\s\up6(－))也是相互獨(dú)立事件，∴P(Aeq \(B,\s\up6(－)))＝P(A)·P(eq \(B,\s\up6(－)))＝eq \f(1,4)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,12).故選A.
2．已知A，B是兩個(gè)相互獨(dú)立事件，P(A)，P(B)分別表示它們發(fā)生的概率，則1－P(A)P(B)是下列哪個(gè)事件的概率？( )
A．事件A，B同時(shí)發(fā)生
B．事件A，B至少有一個(gè)發(fā)生
C．事件A，B至多有一個(gè)發(fā)生
D．事件A，B都不發(fā)生
答案 C
解析 P(A)P(B)是指A，B同時(shí)發(fā)生的概率，1－P(A)P(B)是A，B不同時(shí)發(fā)生的概率，即至多有一個(gè)發(fā)生的概率．
3．在某段時(shí)間內(nèi)，甲地下雨的概率為0.3，乙地下雨的概率為0.4，假設(shè)在這段時(shí)間內(nèi)兩地是否下雨之間沒有影響，則這段時(shí)間內(nèi)，甲、乙兩地都不下雨的概率為( )
A．0.12 B．0.88
C．0.28 D．0.42
答案 D
解析 P＝(1－0.3)×(1－0.4)＝0.42.
4．袋中裝有紅、黃、藍(lán)3種顏色的球各1個(gè)，從中每次任取1個(gè)，有放回地抽取3次，則3次全是紅球的概率為( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,9) C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,27)
答案 D
解析 有放回地抽取3次，每次可看作一個(gè)獨(dú)立事件．每次取出的球?yàn)榧t球的概率為eq \f(1,3)，“3次全是紅球”為三個(gè)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生，其概率為eq \f(1,3)×eq \f(1,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,27).
5．甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行排球決賽，現(xiàn)在的情形是甲隊(duì)只要再贏一局就獲冠軍，乙隊(duì)需要再贏兩局才能得冠軍．若兩隊(duì)勝每局的概率相同，則甲隊(duì)獲得冠軍的概率為( )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(2,3) C.eq \f(3,5) D.eq \f(1,2)
答案 A
解析 問題等價(jià)為兩類：第一類，第一局甲贏，其概率P1＝eq \f(1,2)；第二類，需比賽2局，第一局甲負(fù)，第二局甲贏，其概率P2＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,4).故甲隊(duì)獲得冠軍的概率為P1＋P2＝eq \f(3,4).
二、填空題
6．某人有8把外形相同的鑰匙，其中只有一把能打開家門．一次該人醉酒回家，每次從8把鑰匙中隨便拿一把開門，試用后又不加記號放回，則該人第三次打開家門的概率是________．
答案 eq \f(49,512)
解析 由已知每次打開家門的概率為eq \f(1,8)，則該人第三次打開家門的概率為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,8)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,8)))×eq \f(1,8)＝eq \f(49,512).
7．一道數(shù)學(xué)競賽試題，甲同學(xué)解出它的概率為eq \f(1,2)，乙同學(xué)解出它的概率為eq \f(1,3)，丙同學(xué)解出它的概率為eq \f(1,4)，由甲、乙、丙三人獨(dú)立解答此題，則只有一人解出的概率為________．
答案 eq \f(11,24)
解析 只有一人解出的概率P＝eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(3,4)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,3)×eq \f(3,4)＋eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(1,4)＝eq \f(11,24).
8．國慶節(jié)放假，甲去北京旅游的概率為eq \f(1,3)，乙、丙去北京旅游的概率分別為eq \f(1,4)，eq \f(1,5).假定三人的行動(dòng)相互之間沒有影響，那么這段時(shí)間內(nèi)至少有1人去北京旅游的概率為________．
答案 eq \f(3,5)
解析 因甲、乙、丙去北京旅游的概率分別為eq \f(1,3)，eq \f(1,4)，eq \f(1,5).因此，他們不去北京旅游的概率分別為eq \f(2,3)，eq \f(3,4)，eq \f(4,5)，所以，至少有1人去北京旅游的概率為P＝1－eq \f(2,3)×eq \f(3,4)×eq \f(4,5)＝eq \f(3,5).
三、解答題
9．某班甲、乙、丙三名同學(xué)競選班委，甲當(dāng)選的概率為eq \f(4,5)，乙當(dāng)選的概率為eq \f(3,5)，丙當(dāng)選的概率為eq \f(7,10).
(1)求恰有一名同學(xué)當(dāng)選的概率；
(2)求至多有兩人當(dāng)選的概率．
解 設(shè)甲、乙、丙當(dāng)選的事件分別為A，B，C，則有
P(A)＝eq \f(4,5)，P(B)＝eq \f(3,5)，P(C)＝eq \f(7,10).
(1)因?yàn)槭录嗀，B，C相互獨(dú)立，所以恰有一名同學(xué)當(dāng)選的概率為
P(Aeq \(B,\s\up6(－))eq \(C,\s\up6(－)))＋P(eq \(A,\s\up6(－))Beq \(C,\s\up6(－)))＋P(eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－))C)
＝P(A)P(eq \(B,\s\up6(－)))P(eq \(C,\s\up6(－)))＋P(eq \(A,\s\up6(－)))P(B)P(eq \(C,\s\up6(－)))＋P(eq \(A,\s\up6(－)))P(eq \(B,\s\up6(－)))P(C)
＝eq \f(4,5)×eq \f(2,5)×eq \f(3,10)＋eq \f(1,5)×eq \f(3,5)×eq \f(3,10)＋eq \f(1,5)×eq \f(2,5)×eq \f(7,10)＝eq \f(47,250).
(2)至多有兩人當(dāng)選的概率為
1－P(ABC)＝1－P(A)P(B)P(C)＝1－eq \f(4,5)×eq \f(3,5)×eq \f(7,10)＝eq \f(83,125).
B級：“四能”提升訓(xùn)練
某田徑隊(duì)有三名短跑運(yùn)動(dòng)員，根據(jù)平時(shí)訓(xùn)練情況統(tǒng)計(jì)甲、乙、丙三人100米跑(互不影響)的成績在13 s內(nèi)(稱為合格)的概率分別為eq \f(2,5)，eq \f(3,4)，eq \f(1,3)，若對這三名短跑運(yùn)動(dòng)員的100米跑的成績進(jìn)行一次檢測，求：
(1)三人都合格的概率；
(2)三人都不合格的概率；
(3)出現(xiàn)幾人合格的概率最大．
解 設(shè)甲、乙、丙三人100米跑成績合格分別為事件A，B，C，顯然事件A，B，C相互獨(dú)立，則P(A)＝eq \f(2,5)，P(B)＝eq \f(3,4)，P(C)＝eq \f(1,3).
設(shè)恰有k人合格的概率為Pk(k＝0,1,2,3)．
(1)三人都合格的概率為
P3＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝eq \f(2,5)×eq \f(3,4)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,10).
(2)三人都不合格的概率為
P0＝P(eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－))eq \(C,\s\up6(－)))＝P(eq \(A,\s\up6(－)))P(eq \(B,\s\up6(－)))P(eq \(C,\s\up6(－)))＝eq \f(3,5)×eq \f(1,4)×eq \f(2,3)＝eq \f(1,10).
(3)恰有兩人合格的概率為
P2＝P(ABeq \(C,\s\up6(－)))＋P(Aeq \(B,\s\up6(－))C)＋P(eq \(A,\s\up6(－))BC)＝eq \f(2,5)×eq \f(3,4)×eq \f(2,3)＋eq \f(2,5)×eq \f(1,4)×eq \f(1,3)＋eq \f(3,5)×eq \f(3,4)×eq \f(1,3)＝eq \f(23,60).
恰有一人合格的概率為
P1＝1－P0－P2－P3＝1－eq \f(1,10)－eq \f(23,60)－eq \f(1,10)＝eq \f(25,60)＝eq \f(5,12).
綜合(1)(2)可知P1最大．
所以出現(xiàn)恰有一人合格的概率最大．

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10.2 事件的相互獨(dú)立性

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