3.1　函數(shù)的概念及其表示
3.1.2　函數(shù)的表示法
第1課時(shí)　函數(shù)的表示法
想一想：三種表示法的優(yōu)缺點(diǎn)分別是什么？提示：
練一練：1．已知函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖，則f(x)的定義域是(　　)A．(－∞，1)∪(1，＋∞)B．RC．(－∞，0)∪(0，＋∞)D．(－1，0)[解析]　由圖象，知x≠0，即x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．
2．如圖，函數(shù)f(x)的圖象是曲線OAB，其中點(diǎn)O，A，B的坐標(biāo)分別為(0，0)，(1，2)，(3，1)，則f[f(3)]的值等于____.?[解析]　據(jù)圖象，知f(3)＝1，所以f[f(3)]＝f(1)＝2.
3．已知函數(shù)f(x)，g(x)分別由下表給出：則f[g(1)]的值為____；當(dāng)g[f(x)]＝2時(shí)，x＝____.
[解析]　由g(x)對(duì)應(yīng)表，知g(1)＝3，所以f[g(1)]＝f(3)．由f(x)對(duì)應(yīng)表，得f(3)＝1，所以f[g(1)]＝f(3)＝1.由g(x)對(duì)應(yīng)表，得當(dāng)x＝2時(shí)，g(2)＝2，又g[f(x)]＝2，所以f(x)＝2.又由f(x)對(duì)應(yīng)表，得x＝1時(shí)，f(1)＝2.所以x＝1.
某商場(chǎng)新進(jìn)了10臺(tái)彩電，每臺(tái)售價(jià)3 000元，試求售出臺(tái)數(shù)x與收款數(shù)y之間的函數(shù)關(guān)系，分別用列表法、圖象法、解析法表示出來．[分析]　函數(shù)的定義域是{1，2，3，…，10}，值域是{3 000，6 000，9 000，…，30 000}，可直接列表、畫圖表示．分析題意得到表達(dá)y與x關(guān)系的解析式，注意定義域．
[解析]　(1)列表法：(2)圖象法：如圖所示：?(3)解析法：y＝3 000x，x∈{1，2，3，…，10}．
[歸納提升]　列表法、圖象法和解析法是從三個(gè)不同的角度刻畫自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，同一個(gè)函數(shù)可以用不同的方法表示．在應(yīng)用三種方法表示函數(shù)時(shí)要注意：(1)解析法：必須注明函數(shù)的定義域．(2)列表法：選取的自變量要有代表性，應(yīng)能反映定義域的特征．(3)圖象法：是否連線．
【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】? 某種筆記本的單價(jià)是5元，買x(x∈{1，2，3，4，5})個(gè)筆記本需要y元．試用函數(shù)的三種表示法表示函數(shù)y＝f(x)．[解析]　這個(gè)函數(shù)的定義域是數(shù)集{1，2，3，4，5}．用解析法可將函數(shù)y＝f(x)表示為y＝5x，x∈{1，2，3，4，5}．用列表法可將函數(shù)y＝f(x)表示為
用圖象法可將函數(shù)y＝f(x)表示為如下圖．
[分析]　(1)畫函數(shù)的圖象時(shí)首先要注意的是什么？(2)所給三個(gè)函數(shù)的大致圖象分別是什么形式的？
[解析]　(1)列表：當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，圖象是直線的一部分，觀察圖象可知，其值域?yàn)閇1，5]．
(3)列表畫圖象，圖象是拋物線y＝x2＋2x在－2≤x≤2之間的部分．由圖可得函數(shù)的值域是[－1，8]．
[歸納提升]　(1)常見函數(shù)圖象的特征：①一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)是一條直線；
(2)作函數(shù)圖象時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：①在定義域內(nèi)作圖；②圖象是實(shí)線或?qū)嶞c(diǎn)，定義域外的部分有時(shí)可用虛線來襯托整個(gè)圖象；③要標(biāo)出某些關(guān)鍵點(diǎn)，例如圖象的頂點(diǎn)、端點(diǎn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等．要分清這些關(guān)鍵點(diǎn)是實(shí)心點(diǎn)還是空心點(diǎn)．
【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】? 作出下列函數(shù)的圖象，并指出其值域．(1)y＝x2＋x(－1≤x≤1)；
[解析]　(1)用描點(diǎn)法可以作出函數(shù)的圖象如圖①.
角度1　待定系數(shù)法求解析式(1)已知一次函數(shù)f(x)滿足f[f(x)]＝4x＋6，則f(x)的解析式為_____________________________.(2)已知二次函數(shù)f(x)滿足f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，則該二次函數(shù)的解析式為______________.[分析]　已知函數(shù)類型分別為一次函數(shù)和二次函數(shù)，設(shè)出函數(shù)解析式求出參數(shù)即可．
f(x)＝2x＋2或f(x)＝－2x－6　
[解析]　(1)設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)，則f[f(x)]＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋6，所以f(x)＝2x＋2或f(x)＝－2x－6.(2)設(shè)二次函數(shù)的解析式為f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，故f(x)＝x2＋1.
角度2　換元法(或配湊法)求解析式(2)已知函數(shù)f(x＋1)＝x2－2x，則f(x)的解析式為__________________.[分析]　已知f[g(x)]求f(x)有兩種思路：一是將g(x)視為一個(gè)整體，應(yīng)用數(shù)學(xué)的整體化思想，換元求解；二是將函數(shù)解析式的右端湊成含g(x)的形式．
f(x)＝x2－4x＋3　
(2)方法一(換元法)　令x＋1＝t，則x＝t－1，t∈R，所以f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，即f(x)＝x2－4x＋3.方法二(配湊法)　因?yàn)閤2－2x＝(x2＋2x＋1)－(4x＋4)＋3＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，所以f(x＋1)＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，即f(x)＝x2－4x＋3.
角度3　方程組法求函數(shù)解析式(2)(2021·武漢四校高一聯(lián)考)已知af(x)＋f(－x)＝bx，其中a≠±1，則函數(shù)f(x)的解析式為____________________.
[歸納提升]　函數(shù)解析式的求法(1)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))，可用待定系數(shù)法．(2)換元法：已知復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的解析式，可用換元法，此時(shí)要注意新元的取值范圍．
[解析]　(1)解法一(換元法)：令x＋1＝t，∴x＝t－1，∴f(t)＝3(t－1)＋2＝3t－1，∴f(x)＝3x－1.解法二(配湊法)：f(x＋1)＝3x＋2＝3(x＋1)－1，∴f(x)＝3x－1.
∴f(t)＝t2＋2，∴f(x)＝x2＋2.
1．如圖，函數(shù)f(x)的圖象是折線段，其中點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別是(0，4)，(2，0)，(6，4)，則f[f(2)]＝(　　)A．0　　　　B．2C．4　　D．6[解析]　由圖象可得f[f(2)]＝f(0)＝4.
2．函數(shù)y＝x2－2x的定義域?yàn)閧0，1，2，3}，那么其值域?yàn)?　　)A．{－1，0，3}B．{0，1，2，3}C．{y|－1≤y≤3}D．{y|0≤y≤3}[解析]　把x＝0，1，2，3分別代入y＝x2－2x中得y的值共三個(gè)為－1，0，3，故值域?yàn)閧－1，0，3}．
3．學(xué)校升旗儀式上，徐徐上升的國(guó)旗的高度與時(shí)間的關(guān)系可以用一幅圖近似地刻畫，這幅圖是下圖中的(　　)?[解析]　根據(jù)題意，易知A符合．
4．一個(gè)面積為100 cm2的等腰梯形，上底長(zhǎng)為x cm，下底長(zhǎng)為上底長(zhǎng)的3倍，則它的高y與x的函數(shù)關(guān)系為______________.
5．(1)已知f(x)是一次函數(shù)，且f[f(x)]＝16x－25，求f(x)；(2)已知f(x)為二次函數(shù)，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，求f(x)．[解析]　(1)設(shè)f(x)＝kx＋b(k≠0)，則f[f(x)]＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝16x－25，

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