2022-2023學(xué)年廣西欽州市第一中學(xué)高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．?dāng)?shù)列滿足，，則（    ）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】運用代入法進(jìn)行求解即可,【詳解】因為，所以，故選：A2．在5道題中有3道數(shù)學(xué)題和2道物理題，如果不放回地依次抽取2道題，則在第一次抽到數(shù)學(xué)題條件下，第二次抽到數(shù)學(xué)題的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】法一：分析出第一次抽到數(shù)學(xué)題條件下，剩余試題的特征，從而求出概率；法二：設(shè)出事件，利用條件概率公式進(jìn)行求解.【詳解】法一：因為第一次抽到數(shù)學(xué)題條件下，還剩下4道試題，有2道數(shù)學(xué)題和2道物理題，因此第二次抽到數(shù)學(xué)題的概率是；法二：設(shè)第二次抽到數(shù)學(xué)題為事件，第一次抽到數(shù)學(xué)題為事件，則，，則.故選：B3．已知，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二項分布的知識求得正確答案.【詳解】因為，所以．故選：B4．根據(jù)變量與的對應(yīng)關(guān)系（如表），求得關(guān)于的線性回歸方程為，則表中的值為（    ）2456830405070 A．60 B．55 C．50 D．45【答案】A【分析】先求得樣本點中心，再根據(jù)回歸直線過樣本點中心即可求解.【詳解】由表中數(shù)據(jù)，計算，，因為回歸直線方程過樣本中心，，解得，故選：A5．{an}是首項為1，公差為3的等差數(shù)列，如果an＝2 023，則序號n等于（    ）A．674 B．675 C．676 D．677【答案】B【分析】先求出等差數(shù)列的通項公式，再把代入求解即可.【詳解】因為數(shù)列是首項為1，公差為3的等差數(shù)列，所以.當(dāng)時，即，解得.故選：B6．已知數(shù)列對任意滿足，且，則等于（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由數(shù)列遞推公式依次計算，，，，即可得答案.【詳解】由題意可得，，，，.故選：D7．等比數(shù)列的前n項和為，若，，則（    ）A．60 B．70 C．80 D．150【答案】D【分析】根據(jù)等比數(shù)列前項和的片段和性質(zhì)，結(jié)合題意，進(jìn)行具體計算即可.【詳解】因為是等比數(shù)列，所以成等比數(shù)列，又因為，，，則，，所以，.故選：D.8．已知數(shù)列為等差數(shù)列，若，，且數(shù)列的前項和有最大值，那么取得最小正值時為（    ）A．11 B．12 C．7 D．6【答案】A【分析】根據(jù)已知條件，判斷出，的符號，再根據(jù)等差數(shù)列前項和的計算公式，即可求得.【詳解】因為等差數(shù)列的前項和有最大值，故可得，因為，故可得，即，所以，可得，又因為，故可得，所以數(shù)列的前6項和有最大值，且， 又因為，，故取得最小正值時n等于.故選：A. 二、多選題9．下列選項中能滿足數(shù)列1，0，1，0，1，0，…的通項公式的有（　?。?/span>A．  B． C．  D． 【答案】ACD【分析】根據(jù)給定的通項公式求出前幾項判斷是否符合已知數(shù)列各項.【詳解】對A：當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)為偶數(shù)時，，符合數(shù)列1，0，1，0，1，0，…的通項公式；對B：當(dāng)為奇數(shù)時，或，當(dāng)為偶數(shù)時，，不符合數(shù)列1，0，1，0，1，0，…的通項公式；對C：當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)為偶數(shù)時，，符合數(shù)列1，0，1，0，1，0，…的通項公式；對D：當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)為偶數(shù)時，，符合數(shù)列1，0，1，0，1，0，…的通項公式；故選：ACD10．下列命題中，正確的命題（    ）A．回歸直線恒過樣本點的中心，且至少過一個樣本點B．將一組數(shù)據(jù)的每個數(shù)據(jù)都加一個相同的常數(shù)后，方差不變C．用相關(guān)系數(shù)來刻畫回歸效果，越接近，說明模型的擬合效果越好D．若隨機(jī)變量，且，則【答案】BD【分析】利用回歸直線的性質(zhì)判斷A；利用波動性判斷B；利用相關(guān)系數(shù)的意義判斷C；利用正態(tài)分布的對稱性計算判斷D作答.【詳解】對于A，回歸直線恒過樣本點的中心，不一定過樣本點，A錯誤；對于B，將一組數(shù)據(jù)的每個數(shù)據(jù)都加一個相同的常數(shù)后，數(shù)據(jù)的波動性不變，方差不變，B正確；對于C，用相關(guān)系數(shù)來刻畫回歸效果，越接近，說明模型的擬合效果越好，C錯誤；對于D，隨機(jī)變量，則， D正確．故選：BD11．隨機(jī)投擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子兩次，記錄朝上一面的點數(shù)．設(shè)事件“第一次為奇數(shù)”，“第二次為奇數(shù)”，“兩次點數(shù)之和為奇數(shù)”，則（    ）A． B．與互斥C．與相互獨立 D．【答案】ABC【分析】設(shè)事件“第一次為奇數(shù)”，則，“第二次為奇數(shù)”， 則，“兩次點數(shù)之和為奇數(shù)”，則，根據(jù)概率的概念及互斥事件與相互獨立事件概率的概念求解判斷即可.【詳解】隨機(jī)投擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子兩次，記錄朝上一面的點數(shù)．設(shè)事件“第一次為奇數(shù)”，則，“第二次為奇數(shù)”， 則，“兩次點數(shù)之和為奇數(shù)”，則，則，∴，A正確；為兩次點數(shù)之和為偶數(shù)，與兩次點數(shù)之和為奇數(shù)不可能同時發(fā)生，則與互斥，B正確；,故A與相互獨立，C正確；事件A,B,C不可能同時發(fā)生，則，故D錯誤；故選：ABC.12．已知數(shù)列滿足，前n項的和為，關(guān)于，敘述正確的是（    ）A．有最小值 B．有最小值C．有最大值 D．有最大值【答案】ABC【分析】利用函數(shù)性質(zhì)研究數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合，的單調(diào)性逐項分析判斷.【詳解】對于函數(shù)可知：在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時，；當(dāng)時，.故對于數(shù)列可知：當(dāng)，則；當(dāng)，則數(shù)列為遞減數(shù)列，且；故數(shù)列有最大值，有最小值，A、C正確；又∵當(dāng)，；當(dāng)，；故當(dāng)，則；當(dāng)，則；故有最小值，B正確，D錯誤；故選：ABC. 三、填空題13．若隨機(jī)變量，則_______.（附：若隨機(jī)變量，則，）【答案】0.84135【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性，結(jié)合原則求解即可【詳解】因為，所以.故答案為：14．從一批含有13件正品、2件次品的產(chǎn)品中，不放回地任取3件，設(shè)取得的次品數(shù)為，則________．【答案】【分析】由題可得服從超幾何分布，進(jìn)而即得.【詳解】由題意知服從超幾何分布，則，所以．故答案為：.15．在等比數(shù)列中，若、是方程的兩根，則的值是______.【答案】【分析】分析出，利用韋達(dá)定理結(jié)合等比中項的性質(zhì)可求得的值.【詳解】對于方程，，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，即、同號，由韋達(dá)定理可得，則、均為負(fù)數(shù)，，，由等比中項的性質(zhì)可得，.故答案為：.16．隨機(jī)變量X的分布列如表所示，若，則_________.X－101Pab 【答案】5【分析】利用離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，列出方程組，求出，，由此能求出方差，再根據(jù)方差的性質(zhì)計算可得．【詳解】依題意可得，解得，所以，所以.故答案為：5. 四、解答題17．已知等差數(shù)列中，(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和，并求的最小值【答案】(1)(2)， 【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意列出關(guān)于的等式，聯(lián)立可得，即可求解；（2）利用等差的求和公式得到，然后判斷的正負(fù)，即可求得的最小值【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，所以，解得，所以；（2），數(shù)列首項為負(fù)的，公差大于零，是遞增數(shù)列，令即，解得，因為，所以，令即，解得，令即，解得，所以第1項是負(fù)數(shù)，第2項是0，從第3項起變成正數(shù)，所以當(dāng)或2時，取得最小值，18．某箱子中原來裝有除顏色外完全相同的6個小球，其中4個紅球，2個白球.從箱子中每次隨機(jī)取出1個球，如果取出的是紅球，則不放回;如果取出的是白球，則放回，每一次操作，稱為一次取球.(1)求取球兩次后，箱子中小球的個數(shù)為5的概率;(2)記取球兩次后，箱子中小球的個數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)分布列見解析， 【分析】（1）記“取球兩次后，箱子中小球的個數(shù)為5”為事件，然后列出事件包含的事件，根據(jù)概率公式進(jìn)行求解即可；（2）依題意可得到的所有可能取值為4，求出對應(yīng)的概率，列出分布列并求出期望即可【詳解】（1）記“取球兩次后，箱子中小球的個數(shù)為5”為事件，事件包含：“第一次取球為紅色，第二次取球為白色”和“第一次取球為白色，第二次取球為紅色”，則，取球兩次后，箱子中小球的個數(shù)為5的概率為；（2）依題意得的所有可能取值為4，則，的分布列為456的數(shù)學(xué)期望19．赤霉素在幼芽、幼根、未成熟的種子中合成，其作用是促進(jìn)細(xì)胞的生長，使得植株變高，每粒種子的赤霉素含量（單位：ng/g）直接影響該粒種子后天的生長質(zhì)量.現(xiàn)通過生物儀器采集了赤霉素含量分別為10，20，30，40，50的種子各20粒，并跟蹤每粒種子后天生長的情況，收集種子后天生長的優(yōu)質(zhì)數(shù)量（單位：粒），得到的數(shù)據(jù)如下表：赤霉素含量1020304050后天生長的優(yōu)質(zhì)數(shù)量237810(1)求關(guān)于的線性回歸方程；(2)利用（1）中的回歸方程，估計1000粒赤霉素含量為60ng/g的種子后天生長的優(yōu)質(zhì)數(shù)量.附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，.【答案】(1)(2)615 【分析】（1）求出、、、，代入公式計算可得答案；（2）將代入可得答案.【詳解】（1），，，，則，，故關(guān)于的線性回歸方程為；（2）將，代入，得到，則估計1000粒赤霉素含量為60ng/g的種子后天生長的優(yōu)質(zhì)數(shù)量為.20．某校用隨機(jī)抽樣的方法調(diào)查學(xué)生參加校外補習(xí)情況，得到的數(shù)據(jù)如下表：分?jǐn)?shù)等級人數(shù)不及格及格良好優(yōu)秀學(xué)生人數(shù)8522911參加校外補習(xí)人數(shù)51573(1)從中任取一名學(xué)生，記“該生參加了校外補習(xí)”，“該生成績?yōu)閮?yōu)秀”．求及；(2)能否在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下認(rèn)為學(xué)生成績優(yōu)秀或良好與校外補習(xí)有關(guān)？附：，其中．0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828 【答案】(1)，；(2)不能在犯錯誤的概率不超過為0.1的前提下認(rèn)為學(xué)生成績優(yōu)秀或良好與校外補習(xí)有關(guān). 【分析】（1）根據(jù)給定的數(shù)表，利用古典概率及條件概率公式計算作答.（2）根據(jù)數(shù)表完善列聯(lián)表，計算的觀測值并比對作答.【詳解】（1）由給定的數(shù)表得：，，，所以.（2）由已知得列聯(lián)表： 參加校外不參加校外合計成績優(yōu)秀或良好103040成績不為優(yōu)秀且良好204060合計3070100的觀測值為，所以不能在犯錯誤的概率不超過為0.1的前提下認(rèn)為學(xué)生成績優(yōu)秀或良好與校外補習(xí)有關(guān)．21．已知正項數(shù)列的前項和為，且，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）由已知，結(jié)合的關(guān)系可得、，根據(jù)等差數(shù)列的定義即可寫出通項公式.（2）由（1）得，應(yīng)用裂項相消法求前項和.【詳解】（1）當(dāng)時，且，所以.當(dāng)時，，所以，所以，又，所以，即是首項為1，公差為3的等差數(shù)列，故.（2）因為，所以.22．某企業(yè)年初在一個項目上投資2000萬元，據(jù)市場調(diào)查，每年獲得的利潤為投資的50%，為了企業(yè)長遠(yuǎn)發(fā)展，每年年底需要從利潤中取出500萬元進(jìn)行科研、技術(shù)改造，其余繼續(xù)投入該項目．設(shè)經(jīng)過年后，該項目的資金為萬元．(1)求和的值；(2)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(3)若該項目的資金達(dá)到翻一番，至少經(jīng)過幾年？（，）【答案】(1)，(2)證明見解析(3)年 【分析】（1）根據(jù)題意直接計算可得；（2）依題意可得遞推公式，然后構(gòu)造可證；（3）根據(jù)（2）先求通項，然后根據(jù)題意列不等式求解可得.【詳解】（1）由題意知，，（2）證明：由題意知．即，所以．由所以數(shù)列的首項為，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列．（3）由（2）知數(shù)列的首項為，公比為．所以，所以．當(dāng)，得．兩邊取常用對數(shù)得，所以，所以，因為，所以．即至少經(jīng)過年，該項目的資金達(dá)到翻一番． 

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