2022-2023學年河北省石家莊市部分學校高二下學期期中數(shù)學試題 一、單選題1．某體育用品店有5款不同的籃球、4款不同的排球，某人要買一個籃球和一個排球，不同的選法有（   ）A．9種 B．10種 C．20種 D．36種【答案】C【分析】由分步乘法原理可得出結論.【詳解】第一步，從5款不同的籃球中選一個，有5種選法；第二步，從4款不同的排球中選一個，有4種選法；故不同的選法為：種；故選：C.2．已知兩個正態(tài)分布和相應的分布密度曲線如圖，則（   ）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】由正態(tài)曲線和均值、標準差的意義判斷即可.【詳解】由圖象可得的密度曲線的對稱軸在的密度曲線的對稱軸的左側，故，由圖象可得的密度函數(shù)的最大值小于的密度函數(shù)的最大值，所以，故選：D .3．某口罩生產廠家生產醫(yī)用普通口罩、醫(yī)用外科口罩兩種產品，這兩種產品的生產比例分別為80%，20%，且這兩種產品中綁帶式口罩的比例分別為10%，20%.若從該廠生產的口罩中任選一個，則選到綁帶式口罩的概率為（   ）A．0.12 B．0.16 C．0.2 D．0.32【答案】A【分析】利用獨立事件乘法公式、互斥事件加法求概率即可.【詳解】由題意，該廠生產的口罩中任選一個，選到綁帶式口罩的概率為.故選：A4．編鐘是中國古代重要的打擊樂器，是鐘的一種.編鐘興起于周朝，盛于春秋戰(zhàn)國直至秦漢.如圖，某仿古雙層編鐘模型擺件由12枚大小不同的編鐘組成，若將這12枚編鐘重新懸掛，上層5枚，下層7枚，且要求每層的編鐘左邊都比右邊的大，則不同的懸掛方法有（   ）A．672種 B．728種 C．792種 D．800種【答案】C【分析】由于上下兩層排法都只有1種，只需從12枚中取5枚放在上層，應用組合數(shù)求結果即可.【詳解】12枚任選5枚放上層，有種，上下排法均只有1種，所以不同的懸掛方法有種.故選：C5．已知某同學投籃一次的命中率為，連續(xù)兩次均投中的概率是，若該同學在投中一次后，隨后一次也投中的概率是（   ）A． B． C． D．【答案】D【分析】結合題設及條件概率公式求條件概率即可.【詳解】若為第次投籃并投中，則，，所以.故選：D6．如圖，在墻角有一根長1米的直木棒AB緊貼墻面，墻面與底面垂直.在時，木棒的端點A以的速度豎直向下勻速運動，端點B向右沿直線運動，則端點B在這一時刻的瞬時速度為（   ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可得秒后移動，對其求導并將代入求瞬時速度.【詳解】由題意，秒后移動米，則移動米，所以，則時，瞬時速度為.故選：A7．某五面體木塊的直觀圖如圖所示，現(xiàn)準備給其5個面涂色，每個面涂一種顏色，且相鄰兩個面（有公共棱的兩個面）所涂顏色不能相同.若有6種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有（   ）A．600種 B．1080種 C．1200種 D．1560種【答案】D【分析】分三類：用5種、4種、3種顏色涂在5個面上，再由分步計數(shù)及排列組合數(shù)求不同的涂色方案.【詳解】若用5種顏色，從6種顏色任選5種再作全排，即種；若用4種顏色，從6種顏色任選4種有種，再任選一種顏色涂在其中一組對面上有種，其它3種顏色作全排有，所以，共有種；若用3種顏色，從6種顏色任選3種有種，再任選兩種顏色涂在兩組對面上種，余下的一種顏色涂在底面有1種，所以，共有種；綜上，不同的涂色方案有種.故選：D8．如圖所示的幾何體由一個正四棱錐和一個正四棱柱組合而成.已知正四棱錐的側棱長為3，正四棱柱的高為1，則該幾何體的體積的最大值為（   ）A．15 B．16 C． D．【答案】D【分析】連接與交于點，連接，證得，設正四棱柱的底面邊長為，求得，得到幾何體的體積為，令，得到，求得，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調性與最大值，即可求解.【詳解】如圖所示，連接與交于點，連接，因為四棱錐為正四棱錐，所以平面，又因為平面，所以，由題意知，正四棱錐的側棱長為，且正四棱柱的側棱長為，設正四棱柱的底面邊長為，在正方形中，可得，所以，則幾何體的體積為，令，可得且，可得，則，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，所以當時，函數(shù)取得最大值，最大值為，所以幾何體的體積的最大值為.故選：D. 二、多選題9．由數(shù)字1，2，3，5組成一個沒有重復數(shù)字的四位數(shù)，下列結論正確的是（   ）A．可以組成24個數(shù) B．可以組成18個奇數(shù)C．可以組成10個偶數(shù) D．可以組成18個比2000大的數(shù)【答案】ABD【分析】由排列組合的計算公式分析各個選項即可得出答案.【詳解】由數(shù)字1，2，3，5組成一個沒有重復數(shù)字的四位數(shù)，則有：個數(shù)，故A正確；奇數(shù)個數(shù)：先把1，3，5選1個安排到個位有種，其它數(shù)位有種，共有個，故B正確；偶數(shù)個數(shù)：先把2安排到個位有種，其它數(shù)位有種，共有個，故C不正確；當千位為3，則有個；當千位為5，則有個；當千位為2，則有個；所以可以組成18個比2000大的數(shù)，故D正確.故選：ABD.10．已知隨機變量X的分布列為：X123Pxy若，則（   ）A． B．C． D．【答案】BC【分析】由離散型隨機變量的基本概念與分布列可得,再由即可解得，從而可通過運算判斷各選項.【詳解】由離散型隨機變量的基本概念與分布列可得；又由，解得，故A錯誤，B正確；，故C正確；，故D錯誤;故選：BC.11．已知函數(shù)的導函數(shù)為，若對恒成立，則（   ）A． B．C． D．【答案】AC【分析】構造函數(shù)，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，根據函數(shù)的單調性即可得出結論.【詳解】令，則，因為對恒成立，所以，所以函數(shù)在上單調遞減，所以，即，所以，.故選：AC.12．已知定義在上的奇函數(shù)滿足當時，，若存在等差數(shù)列，其中，使得成等比數(shù)列，則a的取值可能為（   ）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】設等差數(shù)列的公差為，不妨設，由，得到，又由等比數(shù)列，設公比為，根據函數(shù)為奇函數(shù)，求得，再由，得出，轉化為在上有解，令，求得，得出函數(shù)的單調性與，結合，求得，進而結合選項，即可求解.【詳解】當時，則，因為函數(shù)是上的奇函數(shù)，所以，即函數(shù)，設等差數(shù)列的公差為，不妨設因為，可得，解得，所以，則，又因為等比數(shù)列，設公比為，可得，由且函數(shù)為奇函數(shù)，所以點關于原點對稱，所以，即，解得，所以，因為，可得，所以，即方程即在上有解，即，即在上有解，令，可得，令，即，解得，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，所以當時，，所以，解得，所以A正確；又由，，所以B正確，D不正確；令，可得，所以單調遞減，又因為，所以，即，可得，又由，所以，所以B符合題意.故選：ABC【點睛】方法技巧：對于利用導數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：1、通常要構造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構造新函數(shù)，直接把問題轉化為函數(shù)的最值問題．3、根據恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別． 三、填空題13．在的展開式中，含的項的系數(shù)為________.【答案】【分析】由二項式定理寫出展開式通項，求含的項即可知其系數(shù).【詳解】由題設，展開式通項公式為，當時，，∴含的項的系數(shù)為.故答案為：. 四、雙空題14．已知函數(shù)的導函數(shù)為，函數(shù)的圖象如圖所示，則在________處取得極大值，在________處取得極小值.【答案】          【分析】結合圖象說明當或時，，當或時，，且，由此確定函數(shù)的極值點.【詳解】由圖象可得當時，，所以，當時，，所以，當時，，所以，當時，，所以，又，，所以，所以時函數(shù)取極小值，當時函數(shù)取極大值.故答案為：；. 五、填空題15．已知甲每次投擲飛鏢中靶的概率為0.6，若甲連續(xù)投擲飛鏢n次，要使飛鏢最少中靶一次的概率超過90%，至少需要投擲飛鏢________次.（參考數(shù)據：）【答案】3【分析】設投擲飛鏢n次中靶次，則且，利用二項分布概率公式及求n的范圍，即可得結果.【詳解】若投擲飛鏢n次中靶次，則，且，所以，即，兩邊取對數(shù)有，則次，，所以至少需要投擲飛鏢3次.故答案為：316．已知關于x的不等式恒成立，則的取值范圍為________.【答案】【分析】由題可得，可構造函數(shù)，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調性，結合單調性原不等式可化為，再求函數(shù)的最大值即可.【詳解】不等式可化為，構造函數(shù)，則原不等式可化為因為，設，則，當時，，函數(shù)在上單調遞增，當時，，函數(shù)在上單調遞減，所以，所以，∴在上單調遞增，∴原不等式可化為即，由已知在上恒成立，所以，設，∴，令，得，當時，，函數(shù)在單調遞增，當時，，函數(shù)在單調遞減，∴，∴，∴的取值范圍為.故答案為：.【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵在于觀察不等式的結構特征，將其轉化為或的形式，再利用單調性化簡不等式，并結合恒成立問題處理方法求參數(shù)的范圍. 六、解答題17．第十四屆全國人民代表大會第一次會議于2023年3月5日上午開幕，3月13日上午閉幕.某校為了解學生對新聞大事的關注度，在該校隨機抽取了100名學生進行問卷調查，問卷成績近似服從正態(tài)分布，且.(1)估計抽取學生中問卷成績在90分以上的學生人數(shù)；(2)若本次問卷調查的得分不低于80分，則認為該學生對新聞大事關注度極高，在該校隨機抽取10名學生，記對新聞大事關注度極高的學生人數(shù)為，求的期望.【答案】(1)10；(2) 【分析】（1）結合正態(tài)分布密度曲線的對稱性求出問卷成績在90分以上的學生概率，由此可求問卷成績在90分以上的學生人數(shù)；（2）先求出問卷成績在80分以上的學生概率，結合二項分布定義和期望公式求解即可.【詳解】（1）因為，，所以，，所以，即抽取學生中問卷成績在90分以上的學生的概率為,所以抽取學生中問卷成績在90分以上的學生的人數(shù)為，（2）由（1），所以任意抽取一學生，該學生對新聞大事關注度極高的概率為，由已知，所以的分布列為：，，所以.18．A，B，C，D，E這5個家庭的子女人數(shù)如下表所示： ABCDE男孩01011女孩00112(1)若從這些子女中隨機選一人，已知選到的是女孩，求該女孩來自E家庭的概率；(2)若從這5個家庭中任選3個家庭，記女孩比男孩多的家庭數(shù)為X，求X的分布列及期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，期望為1.2 【分析】（1）表示選到女孩，表示選到對應家庭的孩子，應用貝葉斯公式求概率即可；（2）列舉出任選3個家庭的情況并寫出對應女孩比男孩多的家庭數(shù)，即得可能取值，進而求對應概率值，寫出分布列并求期望.【詳解】（1）由題設，表示選到女孩，表示選到對應家庭的孩子，所以，，，由，則.所以選到的是女孩，求該女孩來自E家庭的概率.（2）由題意，5個家庭中任選3個家庭有，對應女孩比男孩多的家庭數(shù)為，所以取值可能為，且，故的分布列為012所以.19．現(xiàn)有7本不同的書準備分給甲、乙、丙三人.(1)若甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得4本，則不同的分配方法有多少種？(2)若甲、乙、丙三人中，一人得3本，另外兩人每人得2本，則不同的分配方法有多少種？【答案】(1)(2) 【分析】（1）首先將7本書分成1本、2本、4本（不平均分組），再將三組作全排即可得結果；（2）首先將7本書分成3本、2本、2本（部分平均分組），再將三組作全排即可得結果；【詳解】（1）首先將7本書分成1本、2本、4本，共三組有種，再將三組分給甲、乙、丙三人有種，所以共有種.（2）首先將7本書分成3本、2本、2本，共三組有種，再將三組分給甲、乙、丙三人有種，所以共有種.20．已知函數(shù).(1)若在處取得極值，求a的值；(2)若有兩個零點，求a的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）求得，由，求得，經驗證，當時，函數(shù)取得極小值，符合題意；（2）由，當時， 單調遞減，不符合題意；當時，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調性與最小值，結合，即可求解.【詳解】（1）解：由函數(shù)，可得函數(shù)的定義域為，且，因為函數(shù)在處取得極值，所以，解得，當時，可得，當時，，單調遞減當時，，單調遞增，所以當時，函數(shù)取得極小值，符合題意.（2）解：由，其中，當時，可得，單調遞減，函數(shù)至多有一個零點，不符合題意；當時，令，解得，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，當時，函數(shù)極小值，也是最小值，最小值為，當時，，且，要使得函數(shù)有兩個零點，則滿足，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.21．某商場為了吸引顧客，舉辦了投籃得優(yōu)惠券活動，規(guī)則如下：若顧客連續(xù)投中三次，游戲過關，停止游戲，獲得9元優(yōu)惠券；若連續(xù)未投中兩次，游戲失敗，停止游戲，獲得3元優(yōu)惠券；若投籃六次仍未分出游戲過關或失敗，也停止游戲，獲得6元優(yōu)惠券.顧客小明準備參與該活動，已知小明的投籃命中率為.(1)求小明投籃五次結束游戲的概率；(2)記小明獲得的優(yōu)惠券金額為X，求X的分布列及期望.【答案】(1)(2)分布列見解析； 【分析】（1）分別考慮小明投籃五次后，游戲過關和不過關的情況，再由分類加法計數(shù)原理即可得出答案；（2）求出X的可能取值，及對應的概率，即可得出分布列，再由期望公式求出.【詳解】（1）若小明投籃五次后，游戲過關，則五次投籃的情況依次為：投中，未投中，投中，投中，投中.若小明投籃五次后，游戲失敗，則五次投籃的情況依次為：投中，未投中，投中，未投中，未投中，或未投中，投中，投中，未投中，未投中.故所求概率為.（2）根據活動規(guī)則,游戲過關的情況有4種，分別如下：①連續(xù)投中三次；②第一次未投中，之后連續(xù)投中三次；③第一次投中，第二次未投中，之后連續(xù)投中三次；④第一次投中或未投中，第二次投中，第三次未投中，之后連續(xù)投中三次.其概率為；游戲失敗的情況有7種，分別如下：①連續(xù)未投中兩次；②第一次投中，之后連續(xù)未投中兩次；③第一次投中或未投中，第二次投中，之后連續(xù)未投中兩次；④第一次未投中，第二次及第三次投中，之后連續(xù)未投中兩次；⑤第一次投中，第二次未投中,第三次投中，之后連續(xù)未投中兩次；⑥第一次投中或未投中，第二次投中，第三次未投中，第四次投中，之后連續(xù)未投中兩次；⑦第一次投中，第二次未投中，第三次及第四次投中，之后連續(xù)未投中兩次.其概率為：，投籃六次仍未分出游戲過關或失敗的概率為：.故所求分布列為：.22．已知函數(shù)，.(1)討論的單調性；(2)若，證明：.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析 【分析】（1）求導，再分和兩種情況討論，即可得出答案；（2）令，求導，令，分和兩種情況討論，得出函數(shù)的單調性，由此求出函數(shù)的單調區(qū)間，從而可求出函數(shù)的最大值，即可得證.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，，當時，，所以函數(shù)在上單調遞增，當時，令，得，當時，，當，，所以函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，綜上所述，當時，函數(shù)在上單調遞增；當時，函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減；（2）令，則，令，則，當時，令，則，當時，，當時，，所以函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，所以，又當時，，所以當時，，當時，令，則，所以函數(shù)在上單調遞增，所以，則，又，所以，所以當時，，所以函數(shù)在上單調遞減，又，所以當時，，即，當時，，即，所以函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，所以，即.【點睛】方法定睛：利用導數(shù)證明不等式的基本步驟(1)作差或變形．(2)構造新的函數(shù)h(x)．(3)利用導數(shù)研究h(x)的單調性或最值．(4)根據單調性及最值，得到所證不等式．特別地：當作差或變形構造的新函數(shù)不能利用導數(shù)求解時，一般轉化為分別求左、右兩端兩個函數(shù)的最值問題． 

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