2021-2022學(xué)年廣西欽州市第一中學(xué)高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．5名同學(xué)要在3天中各自選擇1天休息，不同的方法種類為（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)分步計數(shù)原理計算出不同的方法種類.【詳解】由于每名同學(xué)都有種選法，根據(jù)分步計算原理可知，不同的方法種類為.故選：B【點睛】本小題主要考查分步計算原理，屬于基礎(chǔ)題.2．設(shè)函數(shù)，則（       ）A．-6 B．-3 C．3 D．6【答案】C【解析】根據(jù)瞬時變化率的求解方法求解即可.【詳解】解：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義：，故選：C.【點睛】本題考查函數(shù)的瞬時變化率的求解問題，是基礎(chǔ)題.3．下對于兩個變量和進(jìn)行回歸分析，得到一組樣本數(shù)據(jù)：，，，，則下列說法正確的是（       ）①由樣本數(shù)據(jù)得到的回歸直線必經(jīng)過樣本點中心②用來刻畫回歸效果，的值越小，說明模型的擬合效果越好③殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好④用相關(guān)系數(shù)來衡量兩個變量之間線性關(guān)系的強弱時，越接近于，相關(guān)性越弱；A．①② B．①③④ C．①②③ D．①③【答案】D【分析】根據(jù)回歸方程的基本特征，相關(guān)系數(shù)與線性關(guān)系的強弱，殘差及決定系數(shù)與模型擬合效果的關(guān)系，對每一個命題逐項判斷即可.【詳解】解：由題意得：樣本中心點在回歸直線上，故①正確；越大擬合效果越好，故②不正確；殘差平方和越小的模型，擬合效果越好，故③正確；用相關(guān)系數(shù)來衡量兩個變量之間線性關(guān)系的強弱時，越接近于，相關(guān)性越強，故④不正確．故選：D4．兩個實習(xí)生每人加工一個零件．加工為一等品的概率分別為和，兩個零件是否加工為一等品相互獨立，則這兩個零件中恰有一個一等品的概率為A． B． C． D．【答案】B【詳解】記兩個零件中恰好有一個一等品的事件為A，即僅第一個實習(xí)生加工一等品(A1)與僅第二個實習(xí)生加工一等品(A2)兩種情況，則P(A)=P(A1)+P(A2)=×+×= 故選B.5．若展開式的各項系數(shù)和等于展開式的二項式系數(shù)之和，則的值為（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】令求得二項式的展開式的各項系數(shù)的和，再由解出即可.【詳解】設(shè)二項式的展開式的各項系數(shù)的和為，令可得；又設(shè)二項式系數(shù)之和為，，，，．故選：A．6．已知6個高爾夫球中有2個不合格，每次任取1個，不放回地取兩次．在第一次取到合格高爾夫球的條件下，第二次取到不合格高爾夫球的概率為（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】記事件第一次取到的是合格高爾夫球，事件第二次取到不合格高爾夫球，由題意可得事件發(fā)生所包含的基本事件數(shù)，事件發(fā)生所包含的基本事件數(shù)，然后即可求出答案.【詳解】記事件第一次取到的是合格高爾夫球事件第二次取到不合格高爾夫球由題意可得事件發(fā)生所包含的基本事件數(shù)事件發(fā)生所包含的基本事件數(shù)所以故選：B【點睛】本題考查的是條件概率，較簡單.7．已知隨機變量，，則A．0.16 B．0.32 C．0.34 D．0.68【答案】C【分析】先由對稱性求出，再利用即得解.【詳解】解：關(guān)于對稱，故，故選：C【點睛】考查正態(tài)分布在給定區(qū)間的概率，基礎(chǔ)題.8．某個國家某種病毒傳播的中期，感染人數(shù)和時間（單位：天）在天里的散點圖如圖所示，下面四個回歸方程類型中最適宜作為感染人數(shù)和時間的回歸方程類型的是（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)散點圖據(jù)曲線形狀判斷．【詳解】，，A中是常數(shù)，B中是增函數(shù)，C中是減函數(shù)，D中是減函數(shù)，散點圖所有點所在曲線的切線的斜率隨的增大，而增大，而四個選項中，A斜率不變，CD的斜率隨的增大而減小，只有B滿足．故選：B．9．在的展開式中，的系數(shù)為（       ）．A． B．5 C． D．10【答案】C【分析】首先寫出展開式的通項公式，然后結(jié)合通項公式確定的系數(shù)即可.【詳解】展開式的通項公式為：，令可得：，則的系數(shù)為：.故選：C.【點睛】二項式定理的核心是通項公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件(特定項)和通項公式，建立方程來確定指數(shù)(求解時要注意二項式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負(fù)整數(shù)，且n≥r，如常數(shù)項指數(shù)為零、有理項指數(shù)為整數(shù)等)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項．10．函數(shù)的零點個數(shù)為（       ）A． B．或 C．或 D．或或【答案】A【分析】首先求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性，最后結(jié)合零點存在定理判斷函數(shù)零點個數(shù).【詳解】因為函數(shù)，所以，因為，所以，從而在R上單調(diào)遞增，又當(dāng)時，，當(dāng)時，，由零點存在定理得：函數(shù)有且只有一個零點.故選:A.【點睛】函數(shù)零點的求解與判斷方法：(1)直接求零點：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點．(2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點．(3)利用圖象交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點的橫坐標(biāo)有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．11．5本不同的書全部分給4個學(xué)生，每個學(xué)生至少一本，不同的分法種數(shù)為(　　)A．240種 B．120種 C．96種 D．480種【答案】A【分析】由題先把5本書的兩本捆起來看作一個元素，這一個元素和其他的三個元素在四個位置全排列，根據(jù)分步計數(shù)原理兩個過程的結(jié)果數(shù)相乘即可得答案．【詳解】由題先把5本書的兩本捆起來看作一個元素共有種可能，這一個元素和其他的三個元素在四個位置全排列共有種可能，所以不同的分法種數(shù)為種，故選A.【點睛】本題考查排列組合與分步計數(shù)原理，屬于一般題．12．設(shè)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x>0時，，且g（2）=0，則不等式f（x）g（x）<0的解集是（       ）A．（-2，0）∪（2，+∞） B．（-2，0）∪（0，2）C．（-∞，-2）∪（0，2） D．（-∞，-2）∪（2，+∞）【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合已知條件求得的奇偶性、單調(diào)區(qū)間，由此解不等式求得正確答案.【詳解】令，由于分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，所以，所以是上的奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，.當(dāng)時，所以在上遞減，故在遞減，所以的解集為.故選：A二、填空題13．如圖，已知隨機變量的分布列，則_____________.010.5 【答案】0.25【分析】先計算出a，再計算期望和方差即可.【詳解】由題意知，，則，，所以．故答案為：0.25.14．有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排，要求甲、乙必須相鄰，丙、丁不能相鄰，有______種不同的站法.【答案】24【解析】利用捆綁法，將甲和乙捆綁排列，再把甲乙當(dāng)成一個整體與戊排列，再利用插空法將丙丁插入3個空位中，便可算出結(jié)果.【詳解】解：由題知，5名同學(xué)站成一排，要求甲、乙必須相鄰，丙、丁不能相鄰，故有（種）不同的方法.故答案為：24.【點睛】本題考查排列的應(yīng)用，利用捆綁法和插空法解決相鄰和不相鄰問題，屬于中檔題.15．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則的取值范圍__________.【答案】【分析】由題意得出導(dǎo)函數(shù)在上恒成立，即在上恒成立，求得即可得解.【詳解】在上恒成立，所以在上恒成立，當(dāng)，，所以，故答案為：.16．如圖是一邊長為單位：的正方形鐵片，現(xiàn)沿虛線將鐵片的四角截去四個邊長均為單位：的小正方形，做成一個無蓋方盒，則該方盒容積的最大值為 ___________.【答案】2【分析】由題意分析無蓋方盒的底面是正方形，設(shè)邊長為，則，，再利用求導(dǎo)法求解最值.【詳解】解：由題意得：設(shè)無蓋方盒的底面邊長為，則，則無蓋方盒的容積為：，，得，令，解得；令，解得函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則的最大值為 .故答案為：2三、解答題17．已知函數(shù)在處取得極值.（1）求實數(shù)的值；（2）當(dāng)時，求函數(shù)的最小值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)極值的定義可以求出實數(shù)的值；（2）求導(dǎo)，求出時的極值，比較極值和之間的大小的關(guān)系，最后求出函數(shù)的最小值.【詳解】（1），函數(shù)在處取得極值，所以有；（2）由（1）可知：，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，故函數(shù)在處取得極大值，因此，，，故函數(shù)的最小值為.【點睛】本題考查了求閉區(qū)間上函數(shù)的最小值，考查了極值的定義，考查了數(shù)學(xué)運算能力.18．某公司為招聘新員工設(shè)計了一個面試方案：應(yīng)聘者從道備選題中一次性隨機抽取道題，按照題目要求獨立完成．規(guī)定：至少正確完成其中道題便可通過．已知道備選題中應(yīng)聘者甲有道題能正確完成，道題不能完成；應(yīng)聘者乙每題正確完成的概率都是，且每題正確完成與否互不影響．(1)求甲恰好正確完成兩個面試題的概率；(2)求乙正確完成面試題數(shù)的分布列及其期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）設(shè)甲正確完成面試的題數(shù)為，則的取值范圍是．然后求出即可；（2）設(shè)乙正確完成面試的題數(shù)為，則取值范圍是，求出取每個值時的概率，即可得分布列，然后根據(jù)二項分布期望的求法求解即可.【詳解】(1)解：由題意得：設(shè)甲正確完成面試的題數(shù)為，則的取值范圍是． ；(2)設(shè)乙正確完成面試的題數(shù)為，則取值范圍是．，，，．應(yīng)聘者乙正確完成題數(shù)的分布列為 19．2021年4月22日，一則“清華大學(xué)要求從2019級學(xué)生開始，游泳達(dá)到一定標(biāo)準(zhǔn)才能畢業(yè)”的消息在體育界和教育界引起了巨大反響.游泳作為一項重要的求生技能和運動項目受到很多人的喜愛.其實，已有不少高校將游泳列為必修內(nèi)容.某中學(xué)為了解2020屆高三學(xué)生的性別和喜愛游泳是否有關(guān)，對100名高三學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表： 喜歡游泳不喜歡游泳總計男生 10 女生20  總計    已知在這100人中隨機抽取1人，抽到喜歡游泳的學(xué)生的概率為.（1）請將上述列聯(lián)表補充完整；（2）判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為喜歡游泳與性別有關(guān).附： α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828 【答案】（1）列聯(lián)表見解析；（2）有把握.【分析】（1）根據(jù)題意分析數(shù)據(jù)，完成列聯(lián)表；（2）套公式計算，對照參數(shù)下結(jié)論即可.【詳解】（1）因為在100人中隨機抽取1人抽到喜歡游泳的學(xué)生的概率為所以喜歡游泳的學(xué)生人數(shù)為.其中女生有20人，男生有40人，列聯(lián)表補充如下： 喜歡游泳不喜歡游泳合計男生401050女生203050合計6040100 （2）因為所以有99.9%的把握認(rèn)為喜歡游泳與性別有關(guān).20．2021年春季某流感病毒爆發(fā)期間，某學(xué)校從2021年2月1日到2月5日患病人數(shù)見下表：第x天12345患病人數(shù)y（人）359m19 若在一定時間內(nèi)，該學(xué)?；疾∪藬?shù)y與天數(shù)x具有線性相關(guān)關(guān)系，已知線性回歸方程恒過定點.(1)求m的值和線性回歸方程；(2)預(yù)測該學(xué)校2月幾日始“單日患病人數(shù)突破40人”.參考公式：，，，為樣本平均值.【答案】(1)，(2)該學(xué)校2月11日開始“單日患病人數(shù)突破40人”【分析】（1）利用求得，然后根據(jù)回歸直線方程的計算公式，計算出回歸直線方程.（2）根據(jù)回歸直線方程進(jìn)行預(yù)測.【詳解】(1)由題意，，，∴，解得，∵，，所以.∴，所以線性回歸方程為.(2)令得，∵x為正整數(shù)，∴.∴該學(xué)校2月11日開始“單日患病人數(shù)突破40人”.21．已知函數(shù).（1）求曲線在處的切線方程；（2）若，證明不等式在上成立.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）求出，由，可得切線斜率，利用點斜式可得曲線線在處的切線方程；（2）欲證只需證，即證在上成立，令，只需證明即可.【詳解】（1）由，得.所以，且斜率，故所求切線方程為，即；（2）證明：由題欲證只需證，即證在上成立，令，則，令，當(dāng)時，遞減；當(dāng)時，遞增，故，∴當(dāng)時，∴，即得證.【點睛】求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即在點出的切線斜率（當(dāng)曲線在處的切線與軸平行時，在處導(dǎo)數(shù)不存在，切線方程為）；（2）由點斜式求得切線方程.22．已知函數(shù)，．Ⅰ討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；Ⅱ若函數(shù)在處取得極值，對，恒成立，求實數(shù)b的取值范圍．【答案】(1) 當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間是，無單調(diào)遞增區(qū)間；當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是 (2) 【詳解】分析：（1）求導(dǎo)，解不等式，得到增區(qū)間，解不等式，得到減區(qū)間；（2）函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，可求得a=1，于是有f（x）≥bx﹣2?1+﹣≥b，構(gòu)造函數(shù)g（x）=1+﹣，g（x）min即為所求的b的值詳解：（1）在區(qū)間上， ，當(dāng)時， 恒成立， 在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時，令得，在區(qū)間上，，函數(shù)單調(diào)遞減，在區(qū)間上，，函數(shù)單調(diào)遞增.綜上所述：當(dāng)時， 的單調(diào)遞減區(qū)間是，無單調(diào)遞增區(qū)間；當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是（2）因為函數(shù)在處取得極值，所以，解得，經(jīng)檢驗可知滿足題意由已知，即，即對恒成立，令，則，易得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即.點睛：導(dǎo)數(shù)問題經(jīng)常會遇見恒成立的問題：（1）根據(jù)參變分離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；（2）若就可討論參數(shù)不同取值下的函數(shù)的單調(diào)性和極值以及最值，最終轉(zhuǎn)化為，若恒成立，轉(zhuǎn)化為;（3）若恒成立，可轉(zhuǎn)化為 

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