2.3.2 圓的一般方程本節(jié)課選自《2019人教B版高中數(shù)學選擇性必修第一冊》第二章《平面解析幾何》，本節(jié)課主要學習圓的一般方程。本節(jié)內容是在學生學習了圓的標準方程基礎上，進一步研究圓的一般方程，發(fā)現(xiàn)圓的方程特點，即為特殊的二元二次方程。明確圓的一般方程的特點，掌握圓的方程的算法。在這一過程中，進一步體會數(shù)形結合的思想和方程思想，形成用代數(shù)的方法解決幾何問題的能力。同時，由于圓也是特殊的圓錐曲線，因此，學習了圓的方程，就為后面學習其它圓錐曲線的方程奠定了基礎。也就是說，本節(jié)內容在教材體系中起到承上啟下的作用，具有重要的地位。坐標法不僅是研究幾何問題的重要方法，而且是一種廣泛應用于其他領域的重要數(shù)學方法。通過坐標系，把點和坐標、曲線和方程聯(lián)系起來，實現(xiàn)了形和數(shù)的統(tǒng)一。課程目標學科素養(yǎng)A. 掌握圓的一般方程及其特點.B.會將圓的一般方程化為圓的標準方程.C.能熟練地指出圓心的位置和半徑的大小.D.能根據(jù)某些具體條件,運用待定系數(shù)法確定圓的方程,并能解決相關實際問題.E.結合具體實例,初步了解二元二次方程、圓的標準方程和圓的一般方程之間的關系.1.數(shù)學抽象：圓的一般方程及其特點 2.邏輯推理：圓的方程的充要條件 3.數(shù)學運算：待定系數(shù)法求圓的一般方程  4.數(shù)學建模：由圓的幾何條件寫出圓的一般方程  重點：掌握圓的一般方程及其特點難點：根據(jù)條件求圓的一般方程 多媒體教學過程教學設計意圖核心素養(yǎng)目標一、    問題導學把圓的標準方程+
中的括號展開，整理之后，得到的方程形式是什么樣的？是否所有圓的方程都能化成這種形式？一般地，圓的標準方程+可以化為+這個方程中，如果令D=   E= F=,則這個方程可以表示成:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D,E,F為常數(shù)), 稱為圓的一般方程。二、探究新知分別判斷+2與+是否是圓的方程，然后總結出x2+y2+Dx+Ey+F=0是圓的方程的充分條件。一般地 ，x2+y2+Dx+Ey+F=01.已知方程x2+y2+x+y+m=0表示一個圓,則實數(shù)m的取值范圍為　　　　　. 解析:D2+E2-4F=1+1-4m>0,得m<.答案:2.方程x3+xy2-2x2+2xy+2x=0表示的圖形是　                . 解析:由題意,得x[(x-1)2+(y+1)2]=0, 所以x=0或所以方程表示的圖形為直線x=0或點(1,-1).答案:直線x=0或點(1,-1)3.若一個二元方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓,則系數(shù)A,B,C,D,E,F應滿足什么條件?應滿足的條件是①A=C≠0;②B=0;③D2+E2-4AF>0.二、典例解析例1  已知A(2,2),B(5,3),C(3,-1).(1)求△ABC的外接圓的一般方程;(2)若點M(a,2)在△ABC的外接圓上,求a的值.解:(1)設△ABC外接圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,由題意,得  解得故△ABC的外接圓的一般方程為x2+y2-8x-2y+12=0.(2)由(1)知,△ABC的外接圓的方程為x2+y2-8x-2y+12=0,∵點M(a,2)在△ABC的外接圓上,∴a2+22-8a-2×2+12=0,即a2-8a+12=0,解得a=2或6.應用待定系數(shù)法求圓的方程時應注意的問題(1)如果由已知條件容易求得圓心坐標、半徑或需利用圓心坐標或半徑列方程,一般采用圓的標準方程,再用待定系數(shù)法求出a,b,r.(2)如果已知條件與圓心和半徑都無直接關系,一般采用圓的一般方程,再用待定系數(shù)法求出常數(shù)D,E,F.例2. 若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圓,求實數(shù)m的取值范圍,并寫出圓心坐標和半徑.解:由表示圓的條件,得(2m)2+(-2)2-4(m2+5m)>0,解得m<,即實數(shù)m的取值范圍為.圓心坐標為(-m,1),半徑為.1.形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程,判定其是否表示圓時可有如下兩種方法(1)由圓的一般方程的定義,D2+E2-4F>0成立,則表示圓,否則不表示圓.(2)將方程配方后,根據(jù)圓的標準方程的特征進行判斷.應用這兩種方法時,要注意所給方程是不是x2+y2+Dx+Ey+F=0這種標準形式,若不是,則要化為這種形式再求解.2.對于一般式方程表示圓求參類問題,也要將其化為標準方程,再將其轉化為不等式(方程)的求解問題.跟蹤訓練1(1)若方程x2+y2-4x+2y+5k=0表示圓,則實數(shù)k的取值范圍是(　　)A.(-∞,1)   B.(1,+∞)       C.(-∞,0) D.(-∞,1](2)當圓C:x2+y2-4x-2my+2m=0的面積最小時,m的取值是(　　)A.4    B.3          C.2        D.1                解析:(1)因為x2+y2-4x+2y+5k=0表示圓,則16+4-4×5k>0,所以k<1.(2)∵圓C:x2+y2-4x-2my+2m=0,∴圓C的標準方程為(x-2)2+(y-m)2=m2-2m+4,從而對于圓C的半徑r有r2=m2-2m+4=(m-1)2+3≥3,所以當m=1時,r2取得最小值,從而圓C的面積πr2在m=1時取得最小值.答案:(1)A　(2)D例3  試求圓C:x2+y2-x+2y=0關于直線l:x-y+1=0對稱的曲線C'的方程.由題意可得解得因為P(x0,y0)在圓C上,所以-x0+2y0=0,解:(方法一)設P'(x,y)為所求曲線C'上任意一點,P'關于l的對稱點為P(x0,y0),則P(x0,y0)在圓C上.所以(y-1)2+(x+1)2-(y-1)+2(x+1)=0.化簡,得x2+y2+4x-3y+5=0,即曲線C'的方程是x2+y2+4x-3y+5=0.(方法二)特殊對稱圓C關于直線l的對稱圖形仍然是圓,且半徑不變,故只需求圓心C',圓心C關于直線l:x-y+1=0的對稱點為C',因此所求圓C'的方程為(x+2)2+.1.求圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2關于點P(x0,y0)對稱的圓的方程,首先要找出圓心C(a,b)關于點P(x0,y0)的對稱點,得到對稱圓的圓心,半徑不變,即得所求圓的方程.2.求圓關于直線mx+ny+p=0對稱的圓的方程,只需求出圓心關于直線的對稱點即可.跟蹤訓練2  若圓x2+y2-2kx-4=0關于直線2x-y+3=0對稱,則k等于(　　) A. B.- C.3 D.-3解析:由題意知直線2x-y+3=0經過該圓圓心.因此將圓心(k,0)代入直線方程得k=-   .答案:B金題典例 已知定點A(a,2)在圓x2+y2-2ax-3y+a2+a=0的外部,求a的取值范圍.錯解:∵點A在圓外,∴a2+4-2a2-3×2+a2+a>0,∴a>2.錯因分析本題錯解的根源是僅利用了點在圓外的條件,而忽略了方程作為圓的方程而蘊含的a的范圍的限制.總結歸納：在討論含有參數(shù)的二元二次方程時,一定要明確,只有當D2+E2-4F>0時,二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0才表示圓,因此在與其他條件相融合時,一定不要漏掉這一隱含信息.正解:∵點A在圓外,∴解得2<a<.∴a的取值范圍為.  通過對圓的標準方程整理，開門見山，提出圓的方程特點問題。                      通過對圓的一般方程的推導，二元二次方程與圓的充要條件的探究，讓學生進一步體會方程與曲線的關系，發(fā)對展學生數(shù)學運算，數(shù)學抽象和數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。                        在典例分析和練習中讓學生熟悉圓的一般方程的特點及其算法，發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)                           在典例分析和練習中讓學生掌握運用圓的一般方程解決綜合問題，發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng) 三、達標檢測1.若圓的一般方程為x2+y2+6x+6=0,則該圓的圓心和半徑分別是(　　)A.(1,1), B.(1,2),    C.(3,0),3 D.(-3,0),答案:D2.已知圓的方程是x2+y2-2x+6y+8=0,那么經過圓心的一條直線的方程是(　　)A.2x-y+1=0            B.2x+y+1=0C.2x-y-1=0            D.2x+y-1=0解析:圓心坐標為(1,-3),檢驗知2x+y+1=0過圓心(1,-3).答案:B3.如果x2+y2-2x+y+k=0是圓的方程,則實數(shù)k的取值范圍是　　　　　. 解析:由(-2)2+12-4k>0得k<.答案:4.已知圓的方程為x2+y2-2x=0,點P(x,y)在圓上,則2x2+y2的最大值為　　　　　,最小值為　　　　　. 解析:由x2+y2-2x=0得y2=-x2+2x≥0,解得0≤x≤2,所以2x2+y2=x2+2x=(x+1)2-1∈[0,8],當x=0時,2x2+y2取最小值0,當x=2時,2x2+y2取最大值8,故2x2+y2的最小值為0,最大值為8.答案:8　05.已知圓經過三點A(-1,0),B(3,0),C(1,2),且與y軸交于M,N兩點,試求線段MN的長.解:設圓的一般式方程為:x2+y2+Dx+Ey+F=0,由于圓經過三點A(-1,0),B(3,0),C(1,2),x2+y2-2x-3=0,整理得(x-1)2+y2=4,則圓心到y軸的距離d=1,半徑r=2,故解得D=-2,E=0,F=-3.故圓的方程為故|MN|=2=2. 通過練習鞏固本節(jié)所學知識，通過學生解決問題，發(fā)展學生的數(shù)學運算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。 四、小結五、課時練 通過總結，讓學生進一步鞏固本節(jié)所學內容，提高概括能力。 本節(jié)課在學生學習了圓的標準方程的基礎上，探究圓的一般方程及其特點。教學中，注重問題導向，給學生充分的探究時間和空間，培養(yǎng)學生的探究能力，落實提升學生能力，注重提升學生邏輯推理、數(shù)學抽樣、數(shù)學運算等數(shù)學核心素養(yǎng)。  

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2.3.2 圓的一般方程

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