人教B版 (2019)選擇性必修 第三冊5.2.1 等差數(shù)列精品ppt課件

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5.2.1 等差數(shù)列(1)                 本節(jié)課選自《2019人教B版高中數(shù)學(xué)選擇性必修三》第五章《數(shù)列》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)等差數(shù)列數(shù)列是高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一，它不僅有著廣泛的實際應(yīng)用，而且起著承前啟后的作用。一方面, 數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)與函數(shù)思想密不可分；另一方面,學(xué)習(xí)數(shù)列也為進一步學(xué)習(xí)數(shù)列的極限等內(nèi)容做好準(zhǔn)備。而等差數(shù)列是在學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)列的有關(guān)概念和給出數(shù)列的兩種方法——通項公式和遞推公式的基礎(chǔ)上，對數(shù)列的知識進一步深入和拓廣。課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A. 理解等差數(shù)列的概念,并能利用等差數(shù)列的定義判斷或證明一個數(shù)列是否為等差數(shù)列.B.掌握等差數(shù)列的通項公式和等差中項的概念.C.掌握等差數(shù)列的性質(zhì),并能在具體問題中正確應(yīng)用.D.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.1.數(shù)學(xué)抽象：等差數(shù)列的概念 2.邏輯推理：等差數(shù)列通項公式及其性質(zhì)的推導(dǎo)3.數(shù)學(xué)運算：通項公式的應(yīng)用4.數(shù)學(xué)建模：等差數(shù)列的應(yīng)用 重點：等差數(shù)列概念的理解、通項公式的應(yīng)用 難點：等差數(shù)列通項公式的推導(dǎo)及等差數(shù)列的函數(shù)特征多媒體 教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計意圖核心素養(yǎng)目標(biāo)一、    情景導(dǎo)學(xué)觀察下列現(xiàn)實生活中的數(shù)列，回答后面的問題。
     我國有用12生肖紀年的習(xí)慣，例如.2017年是雞年，從2017年開始，雞年的年份為2017 ，2029， 2041，2053，2065 ，2077，…；①
      我國確定鞋號的腳長使用毫米來表示，常用確定鞋號腳長值按從大到小的順序可排列為275，270，265，260，255，250。…；②
2019年1月中，每個星期日的日期為6，13 ，20， 27.③
（1）數(shù)列①②③在數(shù)學(xué)中都稱為等差數(shù)列，它們有什么共同點？你能給等差數(shù)列下一個定義嗎？
（2）你能總結(jié)出數(shù)列①②③的通項公式并得出一般等差數(shù)列的通項公式嗎？    不難看出，上述數(shù)列①②③的共同特點是 ：從第2項起，每一項與它的前一項之差都等于同一個常數(shù).具體地，數(shù)列① 從第2項起每一項與它前一項之差都等于12；數(shù)列 ②從第2項起每一項與它前一項之差都等于-5；數(shù)列 ②從第2項起每一項與它前一項之差都等于7.1．等差數(shù)列的概念文字語言如果一個數(shù)列從第__項起，每一項與它的______的差都等于__________，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個____叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母__表示符號語言an＋1－an＝d(d為常數(shù)，n∈N*)2 ；前一項 ；同一個常數(shù) ；常數(shù) ；d 探究1.你能根據(jù)等差數(shù)列的定義推導(dǎo)它的通項公式嗎？設(shè)一個等差數(shù)列的首項為,公差為,根據(jù)等差數(shù)列的定義，可得= 所以= , = , = ,…于是  + ,+ =(+ ) + + 2,+ =(+ ) + + 3,……歸納可得+() (n)當(dāng)n時，上式為+() ，這就是說,上式當(dāng)時也成立。因此，首項為,公差為的等差數(shù)列的通項公式為+() 另外根據(jù)等差數(shù)列的定義可得：∵a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，…an－an－1＝d(n≥2)，將上述(n－1)個式子相加得an－a1＝(n－1)d(n≥2)，∴an＝a1＋(n－1)d(n≥2)，當(dāng)n＝1時，a1＝a1＋(1－1)d，符合上式，∴an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)．2.等差數(shù)列的通項公式一般地,若等差數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d,則通項公式為：an=a1+(n-1)d.點睛： 等差數(shù)列的通項公式an中共含有四個變量,即a1,d,n,an,如果知道了其中任意三個量,就可由通項公式求出第四個量.二、典例解析例1.判斷以下數(shù)列是否是等差數(shù)列？如果是，指出公差；如果不是，說明理由.（1）7,13,19,25,31；（2）2,4,7,11；（3）-1,-3,-5,-7.解：（1）因為13-7=19-13=25-19=31-25=6，所以是等差數(shù)列，且公差為6.（2）因為4-2=2，17-4=3，所以4-217-4，因此不是等差數(shù)列.（3）因為-3-（-1）=-5-（-3）=-7-（-5）=2所以是等差數(shù)列，且公差為6.例2.已知等差數(shù)列10,7,4，…（1）求這個數(shù)列的第10項；（2） -56是不是這個數(shù)列中的項？-40呢？如果是，求出是第幾項；如果不是，說明理由.解：（1）記數(shù)列{an}，則由題意知，因此數(shù)列的通項公式為，當(dāng)因此第10項為.
（2）設(shè)-56是數(shù)列中的第 項，則解得所以-56是數(shù)列的第23項。設(shè)-40是數(shù)列中的第 項，則解得所以-40不是數(shù)列中的項.1.等差數(shù)列通項公式的求法(1)等差數(shù)列的通項公式有兩個基本量:首項a1和公差d,故求通項公式主要是利用方程思想解a1,d.(2)等差數(shù)列通項公式的另兩種形式:①an=am+(n-m)d;②an=kn+b(k,b是常數(shù)).2.方程思想的應(yīng)用等差數(shù)列的通項公式是一個等式,且含有a1,an,n,d四個字母,當(dāng)把任何一個字母看作未知數(shù)時,就構(gòu)成一個方程,從而可以通過解方程的方法求出這四個字母中的任何一個.跟蹤訓(xùn)練2.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a15＝8，a60＝20，求a75.解：　法一：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，則由題意得解得故a75＝a1＋74d＝＋74×＝24.法二：∵a60＝a15＋(60－15)d，∴d＝＝，∴a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×＝24.法三：已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，可設(shè)an＝kn＋b.由a15＝8，a60＝20得解得∴a75＝75×＋4＝24.探究2.在等差數(shù)列的通項公式中， an與的關(guān)系與以前學(xué)過的什么函數(shù)有關(guān)?因為+() 所以如果記則可以看出，而且;（1）當(dāng)公差時， 是常數(shù)函數(shù)，此時數(shù)列{an}是常數(shù)列（因此，公差為0的等差數(shù)列是常數(shù)列）；
（2）公差時，是一次函數(shù)，而且的增減性依賴于公差的符號，因此，當(dāng)時， {an}是遞增數(shù)列，當(dāng)時， {an}是遞減數(shù)列.從函數(shù)角度認識等差數(shù)列{an}若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，首項為a1，公差為d，則an＝f (n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．(1)點(n，an)落在直線y＝dx＋(a1－d)上；(2)這些點的橫坐標(biāo)每增加1，函數(shù)值增加d 例3.已知數(shù)列{an}的通項公式為判斷這個數(shù)列是否是等差數(shù)列，如果是求出公差，如果不是說明理由.解：因為所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列,且公差為3.事實上,可以證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列的充要條件是其中是常數(shù).例4.已知等差數(shù)列{an}的公差為求證:對于任意的正整數(shù)有解:設(shè)等差數(shù)列的首項為,則兩式相減，整理可得即例5.已知等差數(shù)列{an}中，, 求.
解:設(shè)等差數(shù)列的首項為,則解得 , 3，因此探究3.如果A為與的等差中項，那么A能用與表示出來嗎根據(jù)等差中項與等差數(shù)列的定義可知A，因此例6.已知數(shù)列{an}中，在時恒成立，求證： {an}是等差數(shù)列.解：因為 ，所以.因此，從第2項起，每一項與它的前一項的差都相等，所以{an}是等差數(shù)列.探究4.設(shè)數(shù)列{an}的通項公式為，求出 并比較它們的大小。你能由此總結(jié)出一個一般的結(jié)論并給出證明嗎？因為，一般地，如果{an}是等差數(shù)列， 而且正整數(shù)+t=p+q則as+at=ap+aq.特別地，如果2=p+q，則2as=ap+aq.例7.如圖所示，已知某梯子共有5級，從上往下數(shù)，第1級的寬為35cm，第5級的寬為43cm，且各級的寬度從小到大構(gòu)成等差數(shù)列，求其余三級的寬度.解：（方法一）依題意，, 設(shè)公差為，則解得因此因此其余三級的寬度分別為37cm，39cm，41cm.
（方法二）因為等差數(shù)列為，，，，共5項，又因為所以即，類似地，有所以，，因此，其余三級的寬度分別為37cm，39cm，41cm.等差數(shù)列的常用性質(zhì)等差數(shù)列有很多條性質(zhì),但常用的主要有兩條:若{an}為等差數(shù)列,則(1)當(dāng)m+n=p+q(m,n,p,q∈N+)時,總有am+an=ap+aq.(2)當(dāng)m+n=2k(m,n,k∈N+)時,總有am+an=2ak.跟蹤訓(xùn)練4. (1)在等差數(shù)列{an}中,已知a1,a2 021為方程x2-10x+21=0的兩根,則a2+a2 020等于(　　)A.10 B.15       C.20           D.40(2)在等差數(shù)列{an}中,已知a3+a8=10,則3a5+a7=　　　　　. 解析:(1)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系及等差數(shù)列的性質(zhì)可得a2+a2 020=a1+a2 021=10.(2)因為數(shù)列{an}是等差數(shù)列,所以由等差數(shù)列的性質(zhì),得a3+a8=a5+a6=a4+a7=10,a4+a6=2a5,所以3a5+a7=a5+2a5+a7=a5+a4+a6+a7=2×10=20.答案:(1)A　(2)20   通過具體問題的思考和分析，歸納總結(jié)，抽象出等差數(shù)列的概念。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。                       通過等差數(shù)列通項公式的推導(dǎo)，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。                            通過典型例題，加深學(xué)生對等差數(shù)列及其通項公式的理解和運用，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算的核心素                                          通過典型例題，加深學(xué)生對等差數(shù)列及其通項公式的理解和運用，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算的核心素  三、達標(biāo)檢測1．?dāng)?shù)列{an}的通項公式為an＝5－3n，則此數(shù)列(　　)A．是公差為－3的等差數(shù)列B．是公差為5的等差數(shù)列C．是首項為5的等差數(shù)列D．是公差為n的等差數(shù)列A　[等差數(shù)列的通項公式an＝a1＋(n－1)d可以化成an＝dn＋(a1－d)．對比an＝－3n＋5.故公差為－3.故選A.]2．等差數(shù)列{an}中，已知a2＝2，a5＝8，則a9＝(　　)A．8　    B．12　　　C．16　　　D．24C　[設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，則由a2＝2，a5＝8，得解得a1＝0，d＝2，所以a9＝a1＋8d＝16.故選C.]3.已知m和2n的等差中項是4,2m和n的等差中項是5,則m和n的等差中項是(　　)A.2   B.3      C.6         D.9解析:由題意,得解得m+n=6.故m和n的等差中項是3.答案:B4.在等差數(shù)列{an}中,a3=7,a5=a2+6,則a6=　　　　. 解析:在等差數(shù)列{an}中,a3=7,a5-a2=6,∴3d=6.∴a6=a3+3d=7+6=13.答案:135.若三個數(shù)成等差數(shù)列,它們的和為9,平方和為59,則這三個數(shù)的積為　　　　　. 解析:設(shè)這三個數(shù)為a-d,a,a+d,則解得∴這三個數(shù)為-1,3,7或7,3,-1.∴它們的積為-21.答案:-21 6．若等差數(shù)列{an}的公差d≠0且a1，a2是關(guān)于x的方程x2－a3x＋a4＝0的兩根，求數(shù)列{an}的通項公式．[解]　由題意得∴解得∴an＝2＋(n－1)×2＝2n.故數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n. 通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。    四、小結(jié)五、課時練通過總結(jié)，讓學(xué)生進一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力。 普通高中學(xué)生經(jīng)過一年的高中的學(xué)習(xí)生活，已經(jīng)慢慢習(xí)慣的高中的學(xué)習(xí)氛圍，大部分學(xué)生知識經(jīng)驗已較為豐富，且對數(shù)列的知識有了初步的接觸和認識，已經(jīng)熟悉由觀察到抽象的數(shù)學(xué)活動過程，對函數(shù)、方程思想體會逐漸深刻，應(yīng)用數(shù)學(xué)公式的能力逐漸加強。他們的智力發(fā)展已到了形式運演階段，具備了較強的抽象思維能力和演繹推理能力。但也有一部分學(xué)生的基礎(chǔ)較弱，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣還不是很濃，所以我在授課時注重從具體的生活實例出發(fā)，注重引導(dǎo)、啟發(fā)、研究和探討以符合這類學(xué)生的心理發(fā)展特點，從而促進思維能力的進一步發(fā)展。