1.通過(guò)生活中的實(shí)例，理解等差數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式的意義．2．能在具體的問(wèn)題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，并解決相應(yīng)的問(wèn)題．3．體會(huì)等差數(shù)列與一元一次函數(shù)的關(guān)系．
教 材 要 點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)一　等差數(shù)列的概念如果一個(gè)數(shù)列{an}從第____項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)之差都等于________常數(shù)d，那么這個(gè)數(shù)列{an}就稱為等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)d稱為等差數(shù)列的________．
狀元隨筆　等差數(shù)列的定義用符號(hào)怎么表示？[提示]　an＋1－an＝d(n≥1，n∈N＋，d為常數(shù))．
知識(shí)點(diǎn)二　等差數(shù)列的通項(xiàng)公式若等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為d，則其通項(xiàng)an＝________．?
狀元隨筆　等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是什么函數(shù)模型？[提示]　d ≠0時(shí)，一次函數(shù)；d＝0時(shí)，常值函數(shù)．
知識(shí)點(diǎn)三　等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝a1＋(n－1)d如果記f(x)＝dx＋a1－d，則等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝f(n)，而且：①當(dāng)公差d＝0時(shí)，f(x)是常數(shù)函數(shù)，此時(shí)數(shù)列{an}是________(因此，公差為0的等差數(shù)列是常數(shù)列)；②當(dāng)公差d≠0時(shí)，f(x)是一次函數(shù)，而且f(x)的增減性依賴于公差d的符號(hào)，an相應(yīng)的函數(shù)是一次函數(shù)；點(diǎn)(n，an)分布在以d 為斜率的直線上，是這條直線上的一列孤立的點(diǎn)．因此，當(dāng)________時(shí)，{an}是遞增數(shù)列；當(dāng)________時(shí)，{an}是遞減數(shù)列.
　基 礎(chǔ) 自 測(cè)?1．下列數(shù)列中不是等差數(shù)列的為(　　)A．6，6，6，6，6 B．－2，－1，0，1，2C．5，8，11，14 D．0，1，3，6，10
解析：A中給出的是常數(shù)列，是等差數(shù)列，公差為0；B中給出的數(shù)列是等差數(shù)列，公差為1；C中給出的數(shù)列是等差數(shù)列，公差為3；D中給出的數(shù)列第2項(xiàng)減去第1項(xiàng)等于1，第3項(xiàng)減去第2項(xiàng)等于2，故此數(shù)列不是等差數(shù)列．
2．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝2n＋5，則此數(shù)列(　　)A．是公差為2的等差數(shù)列B．是公差為5的等差數(shù)列C．是首項(xiàng)為5的等差數(shù)列D．是公差為n的等差數(shù)列
解析：∵an＋1－an＝2(n＋1)＋5－(2n＋5)＝2，∴{an}是公差為2的等差數(shù)列．
3．已知等差數(shù)列{an}中，首項(xiàng)a1＝4，公差d＝－2，則通項(xiàng)公式an＝________．
解析：∵a1＝4，d＝－2，∴an＝4＋(n－1)×(－2)＝6－2n.
4．已知等差數(shù)列－5，－2，1，…，則該數(shù)列的第20項(xiàng)為________．
解析：公差d＝－2－(－5)＝3，a20＝－5＋(20－1)d＝－5＋19×3＝52.
等差數(shù)列的概念例1　(1)已知數(shù)列{an}滿足a1＝3，且an＝an＋1＋3(n∈N*)，則下列說(shuō)法正確的是(　　)A．?dāng)?shù)列{an}是以3為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列B．?dāng)?shù)列{an}是以3為首項(xiàng)，－3為公差的等差數(shù)列C．?dāng)?shù)列{an}是以－3為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列D．?dāng)?shù)列{an}是以－3為首項(xiàng)，－3為公差的等差數(shù)列
【解析】 因?yàn)閿?shù)列{an}滿足a1＝3，且an＝an＋1＋3(n∈N*)，即an＋1－an＝－3(n∈N*)，所以數(shù)列{an}是以3為首項(xiàng)，－3為公差的等差數(shù)列．故選B.
方法歸納?判斷一個(gè)數(shù)列是否是等差數(shù)列，關(guān)鍵是看它是否符合等差數(shù)列的定義，逐一檢驗(yàn)定義中“從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)減去它前面一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)”即可．
等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用【思考探究】　在等差數(shù)列{an}中，能用a1，d兩個(gè)基本量表示an，那么能否用{an}中任意一項(xiàng)am和d表示an??
[提示]　由an＝a1＋(n－1)d，①am＝a1＋(m－1)d，②兩式相減可得：an－am＝(n－m)d，則an＝am＋(n－m)d.??
例2　(1)在等差數(shù)列{an}中，已知a4＝7，a10＝25，求通項(xiàng)公式an；
狀元隨筆　設(shè)出基本量a1，d.利用方程組的思想求解，當(dāng)然也可以利用等差數(shù)列的一般形式an＝am＋(n－m)d求解．?
跟蹤訓(xùn)練2　(1)已知等差數(shù)列{an}中，a4＝8，a8＝4，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為________．
解析：設(shè){an}的公差為d，則a8－a4＝4d，∴d＝－1.∴an＝a8＋(n－8)d＝4＋(n－8)×(－1)＝12－n.
答案： an＝12－n
等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系例3　已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝pn＋q，其中p，q為常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？若是，首項(xiàng)和公差分別是多少？?
【解析】　取數(shù)列{an}中任意兩項(xiàng)an和an－1(n>1)，求差得an－an－1＝(pn＋q)－[p(n－1)＋q]＝pn＋q－(pn－p＋q)＝p.它是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù)，所以{an}是等差數(shù)列．由于an＝pn＋q＝q＋p＋(n－1)p，所以首項(xiàng)a1＝p＋q，公差d＝p.
方法歸納根據(jù)等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，可知{an}為等差數(shù)列?an＝pn＋q(p，q為常數(shù))，此結(jié)論可用來(lái)判斷{an}是否為等差數(shù)列，也揭示了等差數(shù)列的函數(shù)本質(zhì)．
跟蹤訓(xùn)練3　(1)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且an＝an2＋n(n∈N＋)，則實(shí)數(shù)a＝________．
解析：∵{an}是等差數(shù)列，且an＝an2＋n，∴an是關(guān)于n的一次函數(shù)，∴a＝0.
(2)已知等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3－2n(n∈N＋)，則它的公差d為(　　)A．2 B．3 C．－2 D．－3
解析：方法一　由等差數(shù)列的定義，得d＝a2－a1＝－1－1＝－2.方法二　an＝3－2n＝－2n＋3，由等差數(shù)列的函數(shù)特征知，d＝－2.

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5.2.1 等差數(shù)列

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