數(shù)學(xué)選擇性必修 第三冊5.1.2 數(shù)列中的遞推精品ppt課件

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5.1.2 數(shù)列中的遞推                本節(jié)課選自《2019人教B版高中數(shù)學(xué)選擇性必修三》第五章《數(shù)列》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)數(shù)列中的遞推數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，是刻畫離散現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，是一種離散型函數(shù)，在日常生活中有著重要的應(yīng)用.學(xué)習(xí)數(shù)列對深化函數(shù)的學(xué)習(xí)有著積極地意義，數(shù)列遞推公式是學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)列的概念、通項公式、表示方法以及分類基礎(chǔ)上，對數(shù)列知識進一步深入和拓廣，讓學(xué)生認(rèn)識到數(shù)列遞推關(guān)系是研究數(shù)列的一個重要途徑。數(shù)列的前n項和及前n項和Sn與.的關(guān)系也是數(shù)列中的重點內(nèi)容。讓學(xué)生主動自我建構(gòu)概念，需要經(jīng)歷辨析、抽象、概括等過程，加深對概念的理解。課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A. 逐步體會遞推公式是數(shù)列的一種表示方法.B.理解遞推公式的概念及含義,能夠根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項.C..理解數(shù)列的前n項和,會根據(jù)數(shù)列的前n項和Sn求通項 1.數(shù)學(xué)抽象：數(shù)列遞推公式 2.邏輯推理：數(shù)列的前n項和與通項的關(guān)系 3.數(shù)學(xué)運算：前n項和Sn求通項4.數(shù)學(xué)建模：數(shù)列的概念 重點：數(shù)列遞推公式及數(shù)列的前n項和與通項的關(guān)系難點：用遞推公式解決有關(guān)問題、用數(shù)列的前n項和與通項的關(guān)系求通項公式 多媒體 教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計意圖核心素養(yǎng)目標(biāo)一、    情景導(dǎo)學(xué)問題1.如下是某次智力測試中的一道題，你能做出來嗎？你能用數(shù)列的語言來描述有關(guān)問題嗎？觀察1，3， 6，10，15，…中數(shù)字出現(xiàn)的規(guī)律，寫出第8個數(shù).如果將給定的數(shù)列記作數(shù)列{an}，那么相當(dāng)于是給出了數(shù)列的前5項，要求寫出數(shù)列的第8項a8，因為 ， ，，，因此，可以猜想，數(shù)列{an}應(yīng)該滿足，從而可知，，，顯然，上述數(shù)列{an}可以由1，,      完全確定.               一、數(shù)列的遞推關(guān)系       如果已知數(shù)列的首項(或前幾項),且數(shù)列的相鄰兩項或兩項以上的關(guān)系都可以用一個公式來表示,則稱這個公式為數(shù)列的遞推關(guān)系(也稱為遞推公式或遞歸公式).通項公式與遞推公式的區(qū)別與聯(lián)系 類別區(qū)別聯(lián)系通項公式an是序號n的函數(shù)式an=f(n)都是給出數(shù)列的方法,都可求出數(shù)列中任意一項遞推公式已知a1(或前幾項)及相鄰項(或相鄰幾項)間的關(guān)系式 三、典例解析例1. 分別寫出下列數(shù)列{an}的一個遞推關(guān)系，并求出各個數(shù)列的第，寫出數(shù)列的第7項；（1） 1,2,4,7,11，…    （2） -1,2,5,8,11，…    （3） 1,-2,4,-8,16，….解:（1）因為 ， ，，，所以，即從而可知， （2）因為，所以，即從而可知（3）因為所以, 即從而可知 由遞推公式寫出數(shù)列的項的方法(1)根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項,首先要弄清楚公式中各部分的關(guān)系,再依次代入計算.(2)若知道的是末項,通常將所給公式整理成用后面的項表示前面的項的形式,如an=2an+1+1.(3)若知道的是首項,通常將所給公式整理成用前面的項表示后面的項的形式,如an+1= 跟蹤訓(xùn)練1.已知數(shù)列{an}的第1項a1=1,以后的各項由公式an+1=   給出,試寫出這個數(shù)列的前5項.解:∵a1=1,an+1=,∴a2=,a3=,a4=,a5=.故該數(shù)列的前5項為1,.例2.意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在13世紀(jì)初提出了一個關(guān)于兔子繁殖的問題：假設(shè)每對新生的小兔子2個月后就長大成大兔子，且從第3個月起每個月都生1對小兔子，兔子均不死亡.由1對新生小兔子開始，記每個月的兔子對數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為{Fn}，試寫出F1，F2，F3，F4，F5，F6以及數(shù)列{Fn}的遞推關(guān)系.解:根據(jù)題意可知，前2個月內(nèi)，小兔子都還沒有長成大兔子，因此第3個月時，第1個月的那對小兔子會生1對小兔子，因此第4個月時，第1個月的那對小兔子會再生1對小兔子，因此第5個月時，除了第1個月的那對小兔子會再生1對小兔子外，第3個月出生的那對小兔子也會生1對小兔子，因此第6個月時，第1個月的那對小兔子、第3個月出生的小兔子以及第4個月出生的小兔子，都會生1對小兔子，因此  一般地，當(dāng)新生的兔子對數(shù)，又因為第 -2個月的兔子對到了第個月都能生1對兔子，因此有 例2中的數(shù)列，通常稱為斐波那契數(shù)列，可以證明，斐波那契數(shù)列 1，1，2，3，5，8,…的通項公式為因為其中的，恰好是黃金分割比，所以斐波那契數(shù)列也稱為黃金數(shù)列。令人驚奇的是斐波那契數(shù)列在很多領(lǐng)域中都有廣泛的應(yīng)用，而且自然界中處處都有斐波那契數(shù)列的影子，現(xiàn)代金融技術(shù)分析方法中還有專門的斐波那契分析法，有興趣的讀者請查閱有關(guān)資料進一步了解吧！問題2. 已知某電子書，今年上半年每個月的銷售量構(gòu)成數(shù)列，220，530，950，1360，1820，2350，假設(shè)你是該電子書的銷售人員，關(guān)于上述數(shù)列除了每一個數(shù)字的大小和增長趨勢外，你還會關(guān)心什么？作為銷售人員，一般來說還會關(guān)心上半年電子書的總銷售量，即220+530+950+1360+1820+2350=7230二、數(shù)列的前n項和一般地,給定數(shù)列{an},稱Sn=a1+a2+a3+…+an為數(shù)列{an}的前n項和.例如，對于嘗試與發(fā)現(xiàn)中的數(shù)列來說，S1=a1=220，S2=a1+a2=220+530=750，S3=a1+a2+a3=S2+a3=750+1360=2110，等等。 問題3.已知數(shù)列{an},的前項和為Sn=2+1你能寫出a1，a2，a3嗎？你能總結(jié)出一般規(guī)律嗎？因為S1=，又因為S1=a1，所以a1因為S2=，又因為S2=a1+a2,所以a2因為S3=，又因為S3=a1+a2+a3=S2+a3所以，a3三、 an與Sn的關(guān)系一般的如果數(shù)列{an}的前項和為Sn，那么當(dāng)有，Sn-1=a1+a2+a3+…+an-1Sn=a1+a2+a3+…+an所以Sn=Sn-1+an因此an=例3.已知數(shù)列{an}的前項和為求數(shù)列{an}的通項公式.解：由題意可知當(dāng)時有又因為,所以時也成立，因此由Sn求an的方法an=若a1適合an(n≥2),則用一個公式表示an,若a1不適合an(n≥2),則要用分段函數(shù)的形式表示an.此時不可不求a1而直接求an.跟蹤訓(xùn)練2. (1)若數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn=2n2-3n,求通項an;(2)若數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn=5n-3,求通項an.分析:利用an=求解.解:(1)當(dāng)n=1時,a1=S1=2×12-3×1=-1;當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-[2(n-1)2-3(n-1)]=4n-5.顯然a1=-1也適合n≥2時的an=4n-5.故數(shù)列{an}的通項公式為an=4n-5.(2)當(dāng)n=1時,a1=S1=51-3=2;當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=(5n-3)-(5n-1-3)=4×5n-1,顯然a1=2不適合n≥2時的an=4×5n-1.故數(shù)列{an}的通項公式為an=    通過正具體情境，引出數(shù)學(xué)問題，進行數(shù)學(xué)分析。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。             通過具體問題的思考和分析，幫助學(xué)生觀察、分析、歸納總結(jié)出數(shù)列遞推關(guān)系的概念。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。                 通過典例分析，深化對數(shù)列遞推關(guān)系概念的理解。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。                          通過典型例題，加深學(xué)生對數(shù)列遞推關(guān)系的理解和運用，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算的核心素                                         通過典型例題，引入數(shù)列前項和的概念，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)。  三、達標(biāo)檢測1.下列說法錯誤的是(　　)A.遞推公式也是數(shù)列的一種表示方法B.an=an-1,a1=1(n≥2)是遞推公式C.給出數(shù)列的方法只有圖像法、列表法、通項公式法D.an=2an-1,a1=2(n≥2)是遞推公式解析:通過圖像、列表、通項公式我們可以確定一個數(shù)列,另外根據(jù)遞推公式和數(shù)列的第一項,我們也可以確定數(shù)列.an=an-1(n≥2)與an=2an-1(n≥2),這兩個關(guān)系式雖然比較特殊,但都表示的是數(shù)列中的任意項與它的前后項間的關(guān)系,且都已知a1,所以都是遞推公式.答案:C2.已知數(shù)列{an}的第1項是1,第2項是2,以后各項由an=an-1+an-2(n>2)給出,則該數(shù)列的第5項等于(　　)A.6   B.7       C.8           D.9解析:∵a1=1,a2=2,an=an-1+an-2(n>2),∴a3=a2+a1=2+1=3,a4=a3+a2=3+2=5,a5=a4+a3=5+3=8.答案:C3.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和Sn=n3,則a4的值為(　　)A.15      B.37     C.27         D.64解析:當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=n3-(n-1)3,故a4=43-33=64-27=37.答案:B4.在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=an+ln,則通項公式an=　　　　　.  解析:∵an+1=an+ln,∴a2-a1=ln=ln 2,a3-a2=ln=ln,a4-a3=ln=ln,……an-an-1=ln=ln.以上(n-1)個等式相加,得an-a1=ln 2+ln+…+ln=ln n.∵a1=2,∴an=2+ln n.∵a1=2+ln 1=2,∴{an}的通項公式為2+ln n.答案:2+ln n 5.已知數(shù)列{an}滿足a1=0,an+1=an+(2n-1),寫出它的前5項,并歸納出數(shù)列的一個通項公式.解:∵a1=0,an+1=an+(2n-1),∴a2=a1+(2×1-1)=0+1=1,a3=a2+(2×2-1)=1+3=4,a4=a3+(2×3-1)=4+5=9,a5=a4+(2×4-1)=9+7=16.故該數(shù)列的一個通項公式是an=(n-1)2.  通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。    四、小結(jié)1．因為an＝Sn－Sn－1只有當(dāng)n≥2時才有意義，所以由Sn求通項公式an＝f(n)時，要分n＝1和n≥2兩種情況分別計算，然后驗證兩種情況可否用統(tǒng)一解析式表示，若不能，則用分段函數(shù)的形式表示．2．要注意通項公式和遞推公式的區(qū)別通項公式直接反映an和n之間的關(guān)系，即an是n的函數(shù)，知道任意一個具體的n值，就可以求出該項的值an；而遞推公式則是間接反映數(shù)列的式子，它是數(shù)列任意兩個(或多個)相鄰項之間的推導(dǎo)關(guān)系，不能由n直接得出an.五、課時練通過總結(jié)，讓學(xué)生進一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力。 學(xué)生學(xué)習(xí)了集合、函數(shù)的概念和性質(zhì)等基本知識，初步掌握了函數(shù)的研究方法，在觀察、抽象、概括等學(xué)習(xí)策略與學(xué)習(xí)能力方面，有了一定的基礎(chǔ).況且，數(shù)列遞推關(guān)系的學(xué)習(xí)并不需要很多的知識基礎(chǔ)，但學(xué)生自己主動地建構(gòu)概念的意識還不夠強，能力還不夠高.同時，在建立概念的過程中，學(xué)生的辨別各種刺激模式、抽象出觀察對象或事物的共同本質(zhì)特征，概括形成概念，并且用數(shù)學(xué)語言（符號）表達等方面，會表現(xiàn)出不同的水平，從而會影響整體的教學(xué).