【學(xué)習(xí)目標】
理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式，并能運用公式解決簡單的問題。能在具體的問題情景中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，并能運用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題。了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系。
【學(xué)習(xí)重難點】
理解并掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和的公式及其推導(dǎo)的思想方法。
【學(xué)習(xí)過程】
一、高考銜接
1．記等差數(shù)列的前項和為，若，，則48
2．在等差數(shù)列中，已知，則n=50
3．記等差數(shù)列的前項和為，若，則該數(shù)列的公差d=3
4．若等差數(shù)列{}的前三項和，則等于3
5．已知數(shù)列{}的通項an=－5n+2,其前n項和為Sn, 則。
二、要點梳理
1．等差數(shù)列定義：一般地，如果一個數(shù)列從第項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母表示。用遞推公式表示為或。
2．等差數(shù)列的通項公式：；
注：（1）等差數(shù)列的單調(diào)性：為遞增數(shù)列，為常數(shù)列，為遞減數(shù)列。
（2）等差數(shù)列的通項為an＝a1＋（n－1）d．可整理成an＝＋（a1－d），當(dāng)d≠0時，an是關(guān)于n的一次式，它的圖象是一條直線上，那么n為自然數(shù)的點的集合。
3．等差中項：如果，，成等差數(shù)列，那么叫做與的等差中項。其中；
即（1）A是a．b的等差中項，可以表示成2A＝a＋b。（2），，成等差數(shù)列。
4．等差數(shù)列的前和的求和公式：
注：等差數(shù)列的前n 項和公式Sn＝·n =na1＋d，可以整理成Sn＝n2＋=。當(dāng)d≠0時是關(guān)于n 的一個常數(shù)項為0的二次函數(shù)式。
5．等差數(shù)列的判定方法：
①定義法：對于數(shù)列，若(常數(shù))，則數(shù)列是等差數(shù)列；
②等差中項法：對于數(shù)列，若，則數(shù)列是等差數(shù)列。
三、精講精練
例1．已知公差大于零的等差數(shù)列的前項和為，且滿足：
（Ⅰ）求通項；（Ⅱ）若數(shù)列是等差數(shù)列，且，求非零常數(shù)。
（1）設(shè)數(shù)列的公差為由題意得：
或（舍去）所以：
（2）
由于 是一等差數(shù)列 故對一切自然數(shù)都成立
即：
或 （舍去） 所以
練習(xí)：等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知a10=30,a20=50. （1）求通項{an};（2）若Sn=242,求n。
解：（Ⅰ）由an=a1+(n－1)d,a10=30,a20=50，得方程組
解得a1=12,d=2．所以an=2n+10．
（Ⅱ）由Sn=na1+d,Sn=242，得方程12n+×2=242．
解得n=11或n=－22(舍去).
例2．設(shè)等差數(shù)列{an}的首項a1及公差d都為整數(shù),前n項和為Sn.
(Ⅰ)若a11=0,S14=98,求數(shù)列｛an｝的通項公式；
(Ⅱ)若a1≥6,a11＞0,S14≤77,求所有可能的數(shù)列｛an｝的通項公式。
解：
(Ⅰ)由S14=98得2a1+13d=14，又a11=a1+10d=0，故解得d=-2，a1=20。
因此，{an}的通項公式是an=22-2n，n=1，2，3，…
(Ⅱ)由得
由①+②得-7d＜11，即d＞-.由①+③得13d≤-1，即d≤-.于是-＜d≤-.
又d∈Z，故d=-1． ④ 將④代入①②得10＜a1≤12．
又a1∈Z，故a1=11或a1=12．
所以，所有可能的數(shù)列{an}的通項公式是an=12-n和an=13-n，n=1，2，3，…
練習(xí)：設(shè)數(shù)列{an}是公差不為零的等差數(shù)列，Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且＝9S2，
S4＝4S2，求數(shù)列的通項公式．
解：設(shè)數(shù)列的公差為由題意得：
或 因為 所以
例3．設(shè)是由正數(shù)組成的無窮數(shù)列，Sn是它的前n項之和，對任意自然數(shù)與2的等差中項等于Sn與2的等比中項。（1）寫出；（2）求數(shù)列的通項公式。
（1）由題意得：令得：
解得：
（2）將兩邊平方得：
用代替得：
兩式相減得：即：
即： 由于 所以
所以是以2為首項公差為4的等差數(shù)列
所以
練習(xí)：已知數(shù)列成等差數(shù)列，表示它的前項和，且，。
（1）求數(shù)列的通項公式；（2）數(shù)列中，從第幾項開始(含此項)以后各項均為負數(shù)？
解析：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由題意得：解得：
所以：
（2）令所以
解不等式 得：
所以數(shù)列從第8項開始（含此項）以后各項均為負數(shù)。
【達標檢測】
1．?dāng)?shù)列則是該數(shù)列的（B）。
A．第6項 B．第7項 C．第10項 D．第11項
2．若直角三角形的三邊的長組成公差為3的等差數(shù)列，則三邊的長分別為（B）。
A．5，8，11 B．9，12，15 C．10，13，16 D．15，18，21
3．等差數(shù)列中，若公差，前項和，則首項-3，項數(shù)10
4．已知數(shù)列中，，則通項
5．等差數(shù)列中，且成等比數(shù)列，求數(shù)列前20項的和。
解答：設(shè)數(shù)列的公差為，則，
， .由成等比數(shù)列得，
即，整理得，
解得或.當(dāng)時，.當(dāng)時，，
于是。
(Ⅱ)令bn=lna3n+1，n=1，2，…，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
6．設(shè)數(shù)列的前n項和為，點均在函數(shù)y＝3x－2的圖像上。
（1）求數(shù)列的通項公式； （2）設(shè)，是數(shù)列的前n項和，求使得對所有都成立的最小正整數(shù)m。
解答：（1）依題意得，即。
當(dāng)n≥2時，a；
當(dāng)n=1時，×-2×1-1-6×1-5
所以。
（2）由（I）得，
故=。
因此，使得﹤成立的m必須滿足≤，即m≥10,故滿足要求的最小整數(shù)m為10。

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5.2.1 等差數(shù)列

版本： 人教B版 (2019)

年級： 選擇性必修 第三冊

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