1.能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，并解決相應(yīng)的問題．2．體會(huì)等差數(shù)列與一元一次函數(shù)的關(guān)系．
狀元隨筆　任意兩數(shù)都有等差中項(xiàng)嗎？在一個(gè)等差數(shù)列中，中間的每一項(xiàng)都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng)嗎？[提示]　(1)是，任意兩個(gè)實(shí)數(shù)都有等差中項(xiàng)，且唯一．(2)是，利用等差中項(xiàng)可以判定給定數(shù)列是否為等差數(shù)列，即若2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N＋)，則{an}為等差數(shù)列．?
知識(shí)點(diǎn)二　等差數(shù)列的性質(zhì)(1){an}是等差數(shù)列，若正整數(shù)s，t，p，q滿足s＋t＝p＋q，則as＋at＝________．①特別地，當(dāng)p＋q＝2s(p，q，s∈N＋)時(shí)，2as＝ap＋aq.②對(duì)有窮等差數(shù)列，與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)的________，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….(2)從等差數(shù)列中，每隔一定的距離抽取一項(xiàng)，組成的數(shù)列仍為________數(shù)列．
(3)若{an}是公差為d的等差數(shù)列，則①{c＋an}(c為任一常數(shù))是公差為________的等差數(shù)列；②{can}(c為任一常數(shù))是公差為________的等差數(shù)列；③{an＋an＋k}(k為常數(shù)，k∈N＋)是公差為________的等差數(shù)列．(4)若{an}，{bn}分別是公差為d1，d2的等差數(shù)列，則數(shù)列{pan＋qbn}(p，q是常數(shù))是公差為________的等差數(shù)列．
基 礎(chǔ) 自 測(cè)?1．在等差數(shù)列{an}中，已知a4＋a8＝16，則a2＋a10＝(　　)A．12 B．16 C．20 D．24
解析：在等差數(shù)列中，由性質(zhì)可得a2＋a10＝a4＋a8＝16.
3．在等差數(shù)列{an}中，已知a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，則a2＋a8＝________．
解析：因?yàn)閍3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450.所以a5＝90，a2＋a8＝2a5＝2×90＝180.
4．設(shè)數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，則a37＋b37＝(　　)A．0 B．37 C．100 D．－37
解析：設(shè){an}，{bn}的公差分別為d1，d2，則(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2，所以{an＋bn}為等差數(shù)列．又a1＋b1＝a2＋b2＝100，所以{an＋bn}為常數(shù)列，所以a37＋b37＝100.
等差中項(xiàng)及其應(yīng)用例1　在－1與7之間順次插入三個(gè)數(shù)a，b，c使這五個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，求此數(shù)列．
跟蹤訓(xùn)練1　若m和2n的等差中項(xiàng)為4，2m和n的等差中項(xiàng)為5，求m和n的等差中項(xiàng)．
等差數(shù)列的性質(zhì)【思考探究】1．?dāng)?shù)列1，2，3，4，5，6，7，8，…是等差數(shù)列嗎？1，3，5，7，…是等差數(shù)列嗎？2，4，6，8，…是等差數(shù)列嗎，它們有什么關(guān)系？這說明了什么？
[提示]　這三個(gè)數(shù)列均是等差數(shù)列，后兩個(gè)數(shù)列是從第一個(gè)數(shù)列中每隔相同的項(xiàng)數(shù)抽取一項(xiàng)，按原來順序組成的新數(shù)列，這說明從一個(gè)等差數(shù)列中每隔相同的項(xiàng)數(shù)取一項(xiàng)，按原來的順序排列，還是一個(gè)等差數(shù)列．
2．在等差數(shù)列{an}中，若an＝3n＋1.那么a1＋a5＝a2＋a4嗎？a2＋a5＝a3＋a4成立嗎？由此你能得到什么結(jié)論？該結(jié)論對(duì)任意等差數(shù)列都適用嗎？為什么？?
[提示]　由an＝3n＋1可知a1＋a5＝a2＋a4與a2＋a5＝a3＋a4均成立，由此有若s，t，p，q∈N＋且s＋t＝p＋q，則as＋at＝ap＋aq.對(duì)于任意等差數(shù)列{an}，設(shè)其公差為d.則as＋at＝a1＋(s－1)d＋a1＋(t－1)d＝2a1＋(s＋t－2)d，ap＋aq＝a1＋(p－1)d＋a1＋(q－1)d＝2a1＋(p＋q－2)d，因s＋t＝p＋q，故as＋at＝ap＋aq對(duì)任意等差數(shù)列都適用．
3．在等差數(shù)列{an}中，2an＝an＋1＋an－1(n≥2)成立嗎？2an＝an＋k＋an－k(n＞k＞0)是否成立？
[提示]　在2的結(jié)論中令s＝t，p＝n＋1，q＝n－1，可知2an＝an＋1＋an－1成立；s＝t，p＝n＋k，q＝n－k，可知2an＝an＋k＋an－k也成立．
例2　(1)等差數(shù)列{an}，若a1＋a17為一確定常數(shù)，則下列各式也為確定常數(shù)的是(　　)A．a(chǎn)2＋a15 B．a(chǎn)2·a15C．a(chǎn)2＋a9＋a16 D．a(chǎn)2·a9·a16
【解析】因?yàn)閍1＋a17為一確定常數(shù)，又a1＋a17＝a2＋a16＝2a9，所以a2＋a16＋a9＝3a9為一確定常數(shù)，故選C.
(2)設(shè)數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列．若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，則a5＋b5＝________．?
【解析】方法一　設(shè)數(shù)列{an}，{bn}的公差分別為d1，d2，因?yàn)閍3＋b3＝(a1＋2d1)＋(b1＋2d2)＝(a1＋b1)＋2(d1＋d2)＝7＋2(d1＋d2)＝21，所以d1＋d2＝7，所以a5＋b5＝(a3＋b3)＋2(d1＋d2)＝21＋2×7＝35.方法二　∵數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列，∴數(shù)列{an＋bn}也構(gòu)成等差數(shù)列，∴2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)，∴2×21＝7＋a5＋b5，∴a5＋b5＝35.
?方法歸納1．等差數(shù)列的性質(zhì)是等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式等基礎(chǔ)知識(shí)的推廣與變形，熟練掌握和靈活應(yīng)用這些性質(zhì)可以有效、方便、快捷地解決許多等差數(shù)列問題．2．應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)解答問題的關(guān)鍵是尋找項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系，但要注意性質(zhì)運(yùn)用的條件，如若s＋t＝p＋q，則as＋at＝ap＋aq(s，t，p，q∈N＋)，需要當(dāng)序號(hào)之和相等、項(xiàng)數(shù)相同時(shí)才成立．
跟蹤訓(xùn)練2　(1)在公差為d的等差數(shù)列{an}中．已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13.
解析：方法一　化成a1和d的方程如下：(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋22d)＋(a1＋23d)＝48，即4(a1＋12d)＝48.∴4a13＝48.∴a13＝12.方法二　根據(jù)已知條件a2＋a3＋a23＋a24＝48，及a2＋a24＝a3＋a23＝2a13.得4a13＝48，∴a13＝12.
(2)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若a1－a9＋a17＝7，則a3＋a15等于(　　)A．7 B．14 C．21 D．7(n－1)
解析：因?yàn)閍1－a9＋a17＝(a1＋a17)－a9＝2a9－a9＝a9＝7，所以a3＋a15＝2a9＝2×7＝14.
(3)由公差d≠0的等差數(shù)列a1，a2，…，an組成一個(gè)新的數(shù)列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…，下列說法正確的是(　　)A．新數(shù)列不是等差數(shù)列B．新數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列C．新數(shù)列是公差為2d的等差數(shù)列D．新數(shù)列是公差為3d的等差數(shù)列
解析：因?yàn)?an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2)＝(an＋1－an)＋(an＋3－an＋2)＝2d，所以數(shù)列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…是公差為2d的等差數(shù)列．
等差數(shù)列及其應(yīng)用例3　某公司經(jīng)銷一種數(shù)碼產(chǎn)品，第一年可獲利200萬元，從第二年起由于市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)方面的原因，其利潤(rùn)每年比上一年減少20萬元，按照這一規(guī)律，如果公司不開發(fā)新產(chǎn)品，也不調(diào)整經(jīng)營(yíng)策略，從哪一年起，該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損？
【解析】　設(shè)從第一年起，第n年的利潤(rùn)為an萬元，則a1＝200，an＋1－an＝－20(n∈N＋)，∴每年的利潤(rùn)構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列{an}，從而an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝220－20n.若an

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