高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修 第三冊(cè)5.3.1 等比數(shù)列精品課件ppt

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5.3.1 等比數(shù)列                  本節(jié)課選自《2019人教B版高中數(shù)學(xué)選擇性必修三》第五章《數(shù)列》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)等比數(shù)列.數(shù)列是高中代數(shù)的主要內(nèi)容，它與數(shù)學(xué)課程的其它內(nèi)容（函數(shù)、三角、不等式等）有著密切的聯(lián)系，又是今后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，所以在高考中占有重要地位。學(xué)生在已學(xué)習(xí)等差數(shù)列的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生類比學(xué)習(xí)等比數(shù)列，讓學(xué)生經(jīng)歷定義的形成、通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過程，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，體驗(yàn)從特殊到一般的研究方法，學(xué)會(huì)觀察、歸納、反思，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用公式的能力。發(fā)展學(xué)生邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模的的核心素養(yǎng)。課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A. 理解等比數(shù)列的定義,并能利用定義判斷或證明一個(gè)數(shù)列是否為等比數(shù)列.B.掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比中項(xiàng)的概念.C.掌握等比數(shù)列的性質(zhì),并能利用它解決有關(guān)等比數(shù)列的問題.D.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.1.數(shù)學(xué)抽象：等比數(shù)列的定義2.邏輯推理：等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：等比數(shù)列的運(yùn)用4.數(shù)學(xué)建模： 等比數(shù)列的函數(shù)特征  重點(diǎn)：等比數(shù)列定義及其性質(zhì) 難點(diǎn)：等比數(shù)列的函數(shù)特征及綜合運(yùn)用多媒體  教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖核心素養(yǎng)目標(biāo)一、    情景導(dǎo)學(xué)問題1. 觀察下列情景中的數(shù)列，回答后面的問題.       如圖所示，有些細(xì)胞在分裂時(shí)，會(huì)中1個(gè)變成2個(gè)，2個(gè)變成4個(gè)，4個(gè)變成8個(gè)……，這里細(xì)胞的個(gè)數(shù)構(gòu)成數(shù)列，1，2，4，8，16，32，…   ①
《莊子》中說“一尺之棰，日取其半，萬事不竭.” 其意思是:一尺長的木棒，每日取其一半，永遠(yuǎn)也取不完。如果記木棒的長度為1，則不斷取一半的過程中，每日之后木棒的長度構(gòu)成數(shù)列，…②（1）數(shù)列①②③在數(shù)學(xué)中都稱為等比數(shù)列，它們有什么共同點(diǎn)?你能給等比數(shù)列      下一個(gè)定義嗎？
（2）你能總結(jié)出數(shù)列①②③的通項(xiàng)公式并得出一般等比數(shù)列的通項(xiàng)公式嗎？      我們都知道，如果將錢存在銀行里，那么將會(huì)獲得利息，例如如果某年年初將1000元錢存為年利率為3%的5年定期存款，且銀行每年年底結(jié)算一次利息，則這5年中,每年年底的本息和構(gòu)成數(shù)列
1000×1.03, 1000× ，…,1000×.③    不難看出，上述數(shù)列①②③的共同特點(diǎn)是 ：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)之比都等于同一個(gè)常數(shù).具體地，數(shù)列① 從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)之比都等于2；數(shù)列 ②從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)之比都等于；數(shù)列 ②從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)之比都等于1.03.                                           1.等比數(shù)列的定義   一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第 2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母 表示(顯然 )． 符號(hào)語言：                                    ． 探究1.你能根據(jù)等比數(shù)列的定義推導(dǎo)它的通項(xiàng)公式嗎？設(shè)一個(gè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為,公比為,根據(jù)等比數(shù)列的定義，可得,即 所以 = ==,……由此可歸納出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為另外，注意到由等比數(shù)列定義可得,,………,,將這個(gè)式子兩邊分別相乘，則有因此同樣可得等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式一般地,若等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公比為,則通項(xiàng)公式為：.點(diǎn)睛： 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an中共含有四個(gè)變量,即a1, ,n,an,如果知道了其中任意三個(gè)量,就可由通項(xiàng)公式求出第四個(gè)量.二、典例解析例1.判斷以下數(shù)列是否是等比數(shù)列？如果是，指出公比；如果不是，說明理由.（1）1,10,100,1000,10000；（2）0,1,2,4,8；（3）1， .解：（1）因?yàn)?/span>=10，所以是等比數(shù)列，且公比為10.（2）因?yàn)?/span>沒有意義，因此不是等比數(shù)列.（3）因?yàn)?/span>=，所以是等比數(shù)列，且公比為.例2.已知等比數(shù)列{an} 的首項(xiàng)為a1 =27，公比（1）求a8 ；（2） 判斷18是不是這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)？如果是，求出是第幾項(xiàng)；如果不是，說明理由.解：（1）由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可知為=（2）設(shè)18是數(shù)列中的第 項(xiàng)，則=18，化簡得=2因?yàn)檫@個(gè)方程無正整數(shù)解，所以所以18不是數(shù)列中的項(xiàng).對(duì)等比數(shù)列的幾點(diǎn)說明(1)等比數(shù)列的每一項(xiàng)均不為0.(2)從“第2項(xiàng)起”是因?yàn)槭醉?xiàng)沒有“前一項(xiàng)”.(3)公比q是每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比,求公比q時(shí)不要將相鄰兩項(xiàng)比的順序顛倒.(4)在等比數(shù)列{an}中,已知a1,n,q,an四個(gè)量中的三個(gè),可以求得另一個(gè)量.(5)數(shù)列{an}是等比數(shù)列的充要條件是an=kqn,其中k,q是不為0的常數(shù).跟蹤訓(xùn)練1. 在等比數(shù)列{an}中,(1)a4=2,a7=8,求an;(2)a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n.解:(1)(方法一)因?yàn)?/span>所以由,得q3=4,從而q=,而a1q3=2,于是a1=,所以an=a1qn-1=.(方法二)因?yàn)?/span>a7=a4q3,所以q3=4.所以an=a4qn-4=2·()n-4=.(2)(方法一)因?yàn)?/span>由,得q=,從而a1=32.又an=1,所以32=1,即26-n=20,所以n=6.(方法二)因?yàn)?/span>a3+a6=q(a2+a5),所以q=.由a1q+a1q4=18,得a1=32.由an=a1qn-1=1,得n=6.探究2.在等比數(shù)列的通項(xiàng)公式中， an與的關(guān)系與以前學(xué)過的什么函數(shù)有關(guān)?因?yàn)?/span>,所以如果記則可以看出，而且;（1）當(dāng)公比q時(shí)， 是常數(shù)函數(shù)，此時(shí)數(shù)列{an}是常數(shù)列（因此，公比為1的等比數(shù)列是常數(shù)列）；
（2）公比q時(shí)，是，此時(shí)，的增減性即與也與依有關(guān).例3.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為判斷這個(gè)數(shù)列是否是等比數(shù)列，如果是求出公比，如果不是說明理由.事實(shí)上,可以證明數(shù)列{an}是等比數(shù)列的充要條件是其中都是不為0的常數(shù).解：因?yàn)?/span>所以數(shù)列{an}是等比數(shù)列,且公比為2.例4.已知等比數(shù)列{an}的公比為求證:對(duì)于任意的正整數(shù)有解:設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為,則兩式相除，整理可得即例5.已知等比數(shù)列{an}中，, 求.
解:設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為,則解得 ,3，因此探究3.如果G為與的等比中項(xiàng)，那么G能用與表示出來嗎根據(jù)等比中項(xiàng)與等比數(shù)列的定義可知，因此= 例6.已知數(shù)列{an}中，在時(shí)恒成立，求證： {an}是等比數(shù)列.證明：根據(jù)題意有，因此，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都相等，所以{an}是等比數(shù)列.探究4.設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為，求出 并比較它們的大小。你能由此總結(jié)出一個(gè)一般的結(jié)論并給出證明嗎？因?yàn)?/span>，一般地，如果{an}是等比數(shù)列， 而且正整數(shù)+t=p+q，則asat=apaq.特別地，如果2=p+q，則2as=apaq.例7.在4與之間插入3個(gè)數(shù)，使這5個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，求插入的3個(gè)數(shù)。解：（方法一）依題意，, 由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，得解得當(dāng)時(shí)，插入的3個(gè)數(shù)分別為當(dāng)時(shí)，插入的3個(gè)數(shù)分別為因此插入的3個(gè)數(shù)分別為或（方法二）因?yàn)榈缺葦?shù)列共有5項(xiàng)，即，，，，，又因?yàn)?/span>所以即，類似地，有而且與同號(hào)，因此；當(dāng) =2時(shí)， =；當(dāng) = 2時(shí)， = ；因此插入的3個(gè)數(shù)分別為或1．在一個(gè)等比數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)(有窮數(shù)列的末項(xiàng)除外)都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等比中項(xiàng)．2．等比數(shù)列的任意一項(xiàng)都可以由該數(shù)列的某一項(xiàng)和公比表示. 跟蹤訓(xùn)練2.有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是16，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和是12，求這四個(gè)數(shù).解法1：設(shè)這四個(gè)數(shù)依次為, 于是得解方程組，得 所以當(dāng)a＝4，d＝4時(shí)，所求的四個(gè)數(shù)為0,4,8,16；當(dāng)a＝9，d＝－6時(shí)，所求的四個(gè)數(shù)為15,9,3,1.故所求的四個(gè)數(shù)為0,4,8,16或15,9,3,1.解法2：設(shè)這四個(gè)數(shù)依次為, 于是得解方程組，得 所以當(dāng)a＝8，q＝2時(shí)，所求的四個(gè)數(shù)為0,4,8,16；當(dāng)a＝3，時(shí)，所求的四個(gè)數(shù)為15,9,3,1.故所求的四個(gè)數(shù)為0,4,8,16或15,9,3,1.        通過具體問題的思考和分析，歸納總結(jié)，抽象出等比數(shù)列的概念。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。                       通過等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。                            通過典型例題，加深學(xué)生對(duì)等比數(shù)列概念的理解和運(yùn)用，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素                                      通過典型例題，加深學(xué)生對(duì)等比數(shù)列函數(shù)特征的理解和運(yùn)用，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素  三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)1.給出下列命題:①若,則-a,b,-c成等比數(shù)列(abc≠0);②若b2=ac,則a,b,c成等比數(shù)列;③若an+1=anq(q為常數(shù)),則{an}是等比數(shù)列.其中正確的命題有(　　)A.0個(gè)     B.1個(gè)        C.2個(gè)      D.3個(gè)解析:①顯然正確;②中當(dāng)abc=0時(shí)不成立;③中當(dāng)q=0時(shí)不成立.故選B.答案:B2.等比數(shù)列x,3x+3,6x+6,…的第四項(xiàng)等于(　　)A.-24    B.0     C.12         D.24解析:由題意得,(3x+3)2=x(6x+6),解得x=-3或x=-1.當(dāng)x=-1時(shí),3x+3=0,不滿足題意.當(dāng)x=-3時(shí),原數(shù)列是等比數(shù)列,前三項(xiàng)分別為-3,-6,-12,故第四項(xiàng)為-24.答案:A3.已知公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn,a1=2,且a1,a3,a9成等比數(shù)列,則S8=(　　)A.56     B.72      C.88       D.40解析:由已知,得=a1a9,a1=2,故(a1+2d)2=a1(a1+8d),解得d=2或d=0(舍),故an=2+(n-1)×2=2n,S8==4(2+2×8)=72.答案:B 4.在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=3Sn(n≥1),則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為　　　　　. 解析:∵an+1=3Sn,①∴an=3Sn-1(n≥2).②①-②,得an+1-an=3an,即=4(n≥2).又a2=3,a1=1,∴=3,∴an=3×4n-2(n≥2).當(dāng)n=1時(shí),3×41-2=≠1,∴an=答案:an=5.在等比數(shù)列{an}中,a3a9=1,a1a5+a8a10=8,則a3+a9等于　　　　　. 解析:因?yàn)?/span>a1a5+a8a10==8,所以(a3+a9)2=8+2=10,所以a3+a9=±.答案:±6.已知數(shù)列{an},a1=2,an+1=2an+3.(1)求證:{an+3}是等比數(shù)列.(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.(1)證明:由an+1=2an+3,得an+1+3=2an+6=2(an+3),∴ =2.∴{an+3}是以a1+3=5為首項(xiàng),以2為公比的等比數(shù)列.(2)解:由(1)知an+3=5·2n-1,∴an=5·2n-1-3. 通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。    四、小結(jié)五、課時(shí)練通過總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力。    由于教師不僅是知識(shí)的傳授者，而且也是學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者、組織者和合作者。所以我采用“問題情景---建立模型---求解---解釋---應(yīng)用”的教學(xué)模式，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生通過對(duì)問題的親身動(dòng)手探求、體驗(yàn)，獲得不僅是知識(shí)，更重要的是掌握了在今后的發(fā)展中用這種手段去獲取更多的知識(shí)的方法。這是“教師教給學(xué)生尋找水的方法或給學(xué)生一杯水，使學(xué)生能找到一桶水乃至更多活水”的求知方式。多媒體可以使教學(xué)內(nèi)容生動(dòng)、形象、鮮明地得到展示。