第26講 存在性問題之相似三角形相似存在性問題常涉及的思想方法為反證法，即將問題“何種情況下相似？”轉(zhuǎn)化為“相似時(shí)能得到何種情況”【例題講解】例題1、如圖，在直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)，，如果點(diǎn)在軸上與不重合），當(dāng)和相似時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為　　．解：點(diǎn)在軸上，兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)該與對(duì)應(yīng)，若與對(duì)應(yīng)，則，；若與對(duì)應(yīng)，則，或者．點(diǎn)坐標(biāo)為：，或．故答案為：，或．②如圖，在中，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊運(yùn)動(dòng)，速度為；動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊運(yùn)動(dòng)，速度為；如果、兩動(dòng)點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，那么何時(shí)與相似？  解：當(dāng)時(shí)，有即所以當(dāng)時(shí)，有即所以所以 例題2.將三角形紙片按如圖所示的方式折疊，使點(diǎn)落在邊上，記為點(diǎn)，折痕為．已知，，若以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，那么的長(zhǎng)度是　　．解：根據(jù)△與相似時(shí)的對(duì)應(yīng)情況，有兩種情況：①△時(shí)，，又因?yàn)?/span>，，，所以，解得；②△時(shí)，，又因?yàn)?/span>，，，，所以，解得．故的長(zhǎng)度是或2．故答案為：或2． 例題3.如圖，已知是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)、同時(shí)從、兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿、勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度是，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度是，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，、兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，解答下列問題：（1）當(dāng)時(shí)，判斷的形狀，并說明理由；（2）作交于點(diǎn)，連接，當(dāng)為何值時(shí)，．解：（1）是等邊三角形當(dāng)時(shí)，又是等邊三角形；（2），是等邊三角形，四邊形是平行四邊形又，，，解得當(dāng)時(shí)，．
例題4.如圖，已知的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為、、．（1）求經(jīng)過、、三點(diǎn)的拋物線解析式；（2）設(shè)直線交軸于點(diǎn)，連接，求證：；（3）設(shè)拋物線與軸交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，試問以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似嗎？解析：（1）設(shè)函數(shù)解析式為：，由函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)A（﹣4，0）、B（1，0）、C（﹣2，6），
可得，解得：，故經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線解析式為：
（2）設(shè)直線BC的函數(shù)解析式為y=kx+b，由題意得：，解得：，即直線BC的解析式為．故可得點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，2），從而可得： ，CE=，故可得出AE=CE；
 （3）相似．理由如下：設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b，則，解得：，即直線AD的解析式為．聯(lián)立直線AD與直線BC的函數(shù)解析式可得：，解得：，即點(diǎn)F的坐標(biāo)為，則，又∵AB=5，，∴，∴，又∵∠ABF=∠CBA，∴△ABF∽△CBA．故以A、B、F為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似 例題5.如圖，拋物線與直線交于，兩點(diǎn)，交軸與，兩點(diǎn)，連接，，已知，．（Ⅰ）求拋物線的解析式和的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）條件下，為軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，問：是否存在點(diǎn)使得以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．解：（Ⅰ）把，代入，得，解得：．拋物線的解析式為．聯(lián)立，解得：或，點(diǎn)的坐標(biāo)為．過點(diǎn)作軸于，如圖1．，，，，，，．，，．同理：，，，；（Ⅱ）（1）存在點(diǎn)，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似．過點(diǎn)作軸于，則．設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由在軸右側(cè)可得，則．，，．若點(diǎn)在點(diǎn)的下方，①如圖2①，當(dāng)時(shí)，則．，，，．．則．把代入，得：，整理得：，解得：（舍去），（舍去）．②如圖2②，當(dāng)時(shí)，則．同理可得：，則，把代入，得：，整理得：，解得：（舍去），，，；若點(diǎn)在點(diǎn)的上方，①當(dāng)時(shí)，則，同理可得：點(diǎn)的坐標(biāo)為．②當(dāng)時(shí)，則．同理可得：點(diǎn)的坐標(biāo)為，．綜上所述：滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為、，、，．    【鞏固練習(xí)】1、如圖，在△ABC中，AB=4，AC=3，點(diǎn)D、E分別為AB、AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，AD=1，當(dāng)AE的長(zhǎng)為多少時(shí)，A、D、E三點(diǎn)組成的三角形和△ABC相似？；  2.如圖，直線與軸、軸分別交于點(diǎn)、，點(diǎn)、是直線與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，且的面積為1．（1）求雙曲線的函數(shù)解析式；（2）若在軸上有一動(dòng)點(diǎn)，使得以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，求點(diǎn)的坐標(biāo)．     3.如圖，矩形中，，，動(dòng)點(diǎn)在邊上，與點(diǎn)、不重合，過點(diǎn)作的垂線，交直線于點(diǎn)．設(shè)，．（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍．（2）當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．（3）若直線與線段延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，當(dāng)與相似時(shí)，求的長(zhǎng)． 4.閱讀理解：如圖1，在四邊形的邊上任取一點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)、點(diǎn)重合），分別連接，，可以把四邊形分成三個(gè)三角形，如果其中有兩個(gè)三角形相似，我們就把叫做四邊形的邊上的相似點(diǎn)；如果這三個(gè)三角形都相似，我們就把叫做四邊形的邊上的強(qiáng)相似點(diǎn)．解決問題：（1）如圖1，，試判斷點(diǎn)是否是四邊形的邊上的相似點(diǎn)，并說明理由；（2）如圖2，在矩形中，，，且，，，四點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格（網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為的格點(diǎn)（即每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)）上，試在圖2中畫出矩形的邊上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)；拓展探究：（3）如圖3，將矩形沿折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處．若點(diǎn)恰好是四邊形的邊上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)，試探究和的數(shù)量關(guān)系．  5.如圖，已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)，．（1）求二次函數(shù)的解析式：（2）求證：是直角三角形；（3）若點(diǎn)在第二象限，且是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作垂直軸于點(diǎn)，是否存在以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．     
6.如圖，某拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為與軸交于點(diǎn)，與軸交于、兩點(diǎn)（1）求拋物線的解析式．（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與直線交于點(diǎn)，連接、，求的面積．（3）點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線，與拋物線交于點(diǎn)，問是否存在點(diǎn)，使得以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．    
7.如圖，直線與軸、軸分別交于點(diǎn)、，經(jīng)過、兩點(diǎn)的拋物線與軸的負(fù)半軸上另一交點(diǎn)為，且．（1）求該拋物線的解析式及拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)是射線上一點(diǎn)，且以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，求點(diǎn)的坐標(biāo)．     
8.如圖，已知二次函數(shù)，為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)，頂點(diǎn)為點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，交軸于點(diǎn)，交該二次函數(shù)圖象于點(diǎn)，連結(jié)．（1）求該二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若將該二次函數(shù)圖象向下平移個(gè)單位，使平移后得到的二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)落在的內(nèi)部（不包括的邊界），求的取值范圍；（3）點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)所構(gòu)成的三角形與相似，請(qǐng)直接寫出所有點(diǎn)的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果，不必寫解答過程）．   9.如圖所示，已知拋物線，與軸從左至右依次相交于、兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)的直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為．（1）若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，求拋物線的函數(shù)解析式；（2）若在第三象限內(nèi)的拋物線上有點(diǎn)，使得以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，求點(diǎn)的坐標(biāo)；        
10.如圖，已知拋物線的方程與軸相交于點(diǎn)、，與軸相交于點(diǎn)，且點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)．（1）若拋物線過點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；（2）在第四象限內(nèi)，拋物線上是否存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．  
11、如圖，已知拋物線是實(shí)數(shù)且與軸的正半軸分別交于點(diǎn)、（點(diǎn)位于點(diǎn)的左側(cè)），與軸的正半軸交于點(diǎn)．（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為　　，點(diǎn)的坐標(biāo)為　 　（用含的代數(shù)式表示）；（2）請(qǐng)你探索在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)，使得四邊形的面積等于，且是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？如果存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由；（3）請(qǐng)你進(jìn)一步探索在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)，使得，和中的任意兩個(gè)三角形均相似（全等可作相似的特殊情況）？如果存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．
參考答案1.解：①如圖1，∵∠A=∠A，∴當(dāng) 時(shí)，△ADE和△ABC相似，∴ ，解得：AE= ；②如圖2，∵∠A=∠A，∴當(dāng) 時(shí)，△ADE和△ACB相似，∴ ，解得：AE= ，綜合上述：AE的長(zhǎng)為 或 ；   2.解：（1）當(dāng)時(shí)，，．點(diǎn)，，解得：或（舍去），．點(diǎn)在雙曲線上，，雙曲線的函數(shù)解析式為．（2）為直角三角形，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在點(diǎn)的下方，，有存在兩種情況（如圖所示）①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；②當(dāng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為．點(diǎn)在直線上，，，直線．當(dāng)時(shí)，，．，，，，，，．，，即，解得：，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．綜上可知：點(diǎn)的坐標(biāo)為或．  3.解（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴DC=AB=2，∠ADC=∠BCD=90°．
又∵AF⊥DE，∴∠ADF=∠DCE=90°，∠DAF=∠EDC=90°-∠DFA，
∴△ADF∽△DCE，∴∴，即∵點(diǎn)E在線段BC上，與點(diǎn)B、C不重合，
∴0<y<4，∴0<即0<x<8，∴（0<x<8）；
（2）①當(dāng)點(diǎn)F線段DC上時(shí)，
∵CF=1，∴DF=x=2-1=1，此時(shí)；
②當(dāng)點(diǎn)F線段DC延長(zhǎng)線上時(shí)，
∵CF=1，∴DF=x=2+1=3，此時(shí)∴當(dāng)CF=1時(shí)，EC的長(zhǎng)為．（3）在中，在中，∵AD//BC∴△ADF∽△GCF∴∴∵∴∴當(dāng)△DBE與△DFG相似時(shí),可分以下兩種情況：①△DEB∽△GFD，如圖，有∴∴解得②△DEB∽△DFG, 如圖，有∴∴解得綜上所述：DF的長(zhǎng)為或   4.解析：（1）點(diǎn)E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn)．理由：∵∠A=55°，∴∠ADE+∠DEA=125°．∵∠DEC=55°，∴∠BEC+∠DEA=125°∴∠ADE=∠BEC．∵∠A=∠B，∴△ADE∽△BEC．∴點(diǎn)E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點(diǎn)．（2）作圖如下：
（3）∵點(diǎn)E是四邊形ABCM的邊AB上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)，∴△AEM∽△BCE∽△ECM，∴∠BCE=∠ECM=∠AEM．由折疊可知：△ECM≌△DCM∴∠ECM=∠DCM，CE=CD∴∠BCE=∠BCD=30°∴BE=CE=AB在Rt△BCE中，tan∠BCE==tan30°∴，∴   5.解：（1）由題意得，函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，，故可得：，解得：，故二次函數(shù)關(guān)系式為：．（2）由（1）所求函數(shù)關(guān)系式可得點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，，又點(diǎn)，，，，，滿足，是直角三角形． （3）存在點(diǎn)的坐標(biāo)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，．設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，，則，，①若，則，即，解得：或（因?yàn)辄c(diǎn)在第二象限，故舍去）；代入可得，即坐標(biāo)為，；②若，則，即，解得：或（因?yàn)辄c(diǎn)在第二象限，故舍去）．代入可得，即坐標(biāo)為：，．綜上所述，滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè)，即，、，．   6.解：（1）依題意，設(shè)拋物線的解析式為，將代入，得：，解得，所以拋物線的解析式：，即； （2）與軸交于、兩點(diǎn)，、；設(shè)直線的解析式為：，代入點(diǎn)的坐標(biāo)后，得：，解得，直線；拋物線的對(duì)稱軸為：，則；，，，即：，是直角三角形，且；； （3）由題意知：軸，則，若與相似，則有：①，即軸；將點(diǎn)縱坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，得：，解得；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以，、，．②；易知，直線，聯(lián)立拋物線的解析式有：，，解得、；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以、．綜上，存在符合條件的點(diǎn)，且坐標(biāo)為：，、，、、．  7.解：（1）令，則，解得，令，則，點(diǎn)，，，，，點(diǎn)，把點(diǎn)、、的坐標(biāo)代入拋物線解析式得，，解得，該拋物線的解析式為，，頂點(diǎn)； （2），，，，，是等腰直角三角形，，，，，，①和是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，，，即，解得，過點(diǎn)作軸于，則，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，； ②和是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，，，即，解得，過點(diǎn)作軸于，則，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為，或時(shí)，以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似．   8.解：（1）把點(diǎn)，點(diǎn)代入二次函數(shù)得，  解得二次函數(shù)解析式為，配方得，點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）設(shè)直線解析式為，把點(diǎn)，代入得， 解得直線的解析式為，如圖所示，對(duì)稱軸直線與兩邊分別交于點(diǎn)、點(diǎn)把代入直線解析式解得，則點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，解得；（3）連接，作軸并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則點(diǎn)坐標(biāo)為，，把代入解得，則點(diǎn)坐標(biāo)為，，，，，由此可知，若點(diǎn)在上，則，則點(diǎn)與點(diǎn)必為相似三角形對(duì)應(yīng)點(diǎn)①若有，則有，，，，，若點(diǎn)在軸右側(cè)，作軸，，把代入，解得，；同理可得，若點(diǎn)在軸左側(cè)，則把代入，解得；②若有，則有，若點(diǎn)在軸右側(cè)，把代入，解得；若點(diǎn)在軸左側(cè)，把代入，解得；．所有符合題意得點(diǎn)坐標(biāo)有4個(gè)，分別為，，，．   9.解：（1），點(diǎn)的坐標(biāo)為、點(diǎn)兩的坐標(biāo)為，直線經(jīng)過點(diǎn)，，，當(dāng)時(shí)，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在拋物線上，，解得，，則拋物線的解析式為； （2）如圖1中，作軸于，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)時(shí)，，，即，，即，解得或1（舍棄），當(dāng)時(shí)，，，，，，解得或（舍棄），則，點(diǎn)坐標(biāo)．當(dāng)時(shí)，，，即，，，，解得或1（舍棄），當(dāng)時(shí)，，，，即，，解得或（不合題意舍棄），則點(diǎn)坐標(biāo)，綜上所述，符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)和．   10.解：（1）依題意，將代入拋物線解析式得：，解得．（2）分兩種情形討論：①當(dāng)時(shí)，如解答圖2所示．則，，．由函數(shù)解析式可得：，，即，，，作軸于點(diǎn)，則，．設(shè)，，又點(diǎn)在拋物線上，，，，，．此時(shí)，，，又，，，，．②當(dāng)時(shí)，如解答圖3所示．則，．，，，，設(shè)，又點(diǎn)在拋物線上，，，，，，，，，又，整理得：，顯然不成立．綜合①②得，在第四象限內(nèi)，拋物線上存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，．    11.解：（1）令，即，解得：或，是實(shí)數(shù)且，點(diǎn)位于點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，令，解得：，點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為：，； （2）存在，假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，使得四邊形的面積等于，且是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，連接．則，．過作軸，軸，垂足分別為、，．四邊形是矩形．．．，，即．由解得由得，即，解得符合題意．的坐標(biāo)為，； （3）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，使得，和中的任意兩個(gè)三角形均相似．，，．要使與相似，只能，即軸．，，．只能．此時(shí)，由軸知軸．．要使與相似，只能或．當(dāng)時(shí)，．．由得：．解得：．，．點(diǎn)的坐標(biāo)是．當(dāng)時(shí)，，，即．又，．即．解得：，此時(shí)符合題意，點(diǎn)的坐標(biāo)是．綜上可知，存在點(diǎn)或，使得，和中的任意兩個(gè)三角形均相似．           

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