中考培優(yōu)競(jìng)賽專題經(jīng)典講義第29講存在性問(wèn)題之特殊四邊形-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

第29講存在性問(wèn)題之特殊四邊形菱形存在性問(wèn)題,抓住鄰邊相等(即等腰三角形)和對(duì)角線垂直；矩形存在性問(wèn)題,抓住內(nèi)角90°與對(duì)角線相等；正方形存在性問(wèn)題,抓住等腰直角三角形的性質(zhì)即可.【例題講解】例題1.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),沿BA方向以2cm/s的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng);同時(shí),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿CB方向以1cm/s的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),將△BPQ沿BC翻折,點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)P',設(shè)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t秒,若四邊形QPB P'為菱形,求t的值.解:若四邊形QPBP為菱形,t=2秒理由如下:∵∠C=90°,AC=BC,∴△ABC是等腰直角三角形,∴∠ABC=45°,∵點(diǎn)P的速度是每秒cm,點(diǎn)Q的速度是每秒1cm,∴BP=tcm,BQ=(6－t)cm,∵四邊形QPBP'為菱形,∴t×=,解得:t=2;即若四邊形QPBP'為菱形的值為2秒. 例題2.如圖，已知O(0,0),A(4,0),B(4,3).動(dòng)點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā),以每秒3個(gè)單位的速度,沿△OAB的邊OA、AB作勻速運(yùn)動(dòng);動(dòng)直線l從AB位置出發(fā),以每秒1個(gè)單位的速度向x軸負(fù)方向作勻速平移運(yùn)動(dòng).若它們同時(shí)出發(fā),運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒,當(dāng)直線l運(yùn)動(dòng)到O時(shí),它們都停止運(yùn)動(dòng).當(dāng)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí),設(shè)直線l分別與OA、OB交于C、D,試問(wèn):四邊形CPBD是否可能為菱形？若能,求出此時(shí)t的值;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由,并說(shuō)明如何改變直線l的出發(fā)時(shí)間,使得四邊形CPBD會(huì)是菱形.解:四邊形CPBD不可能為菱形.如圖所示,根據(jù)題意可得,AC＝t,AP=3t－4,BP=3－AP=7－3t,OC=4－t,因?yàn)?/span>CD∥AB,所以△OCD∽△OAB,所以,即,解得:CD=(4－t),因?yàn)?/span>CD=BP,所以(4－t)=7－3t,解得:t=,所以BP=,在△ACP中,由勾股定理得,CP＝,因?yàn)?/span>CP≠BP,所以四邊形CPBD不可能為菱形.若要使四邊形CPBD為菱形,設(shè)直線比P點(diǎn)遲x秒出發(fā),則AC=t－x,AP=3t－4,BP=CP=7－3t,因?yàn)樗倪呅?/span>CPBD為菱形,則CP∥OB,所以△ACP∽△AOB,則,則,,解得: ,即直線比P點(diǎn)遲秒出發(fā)時(shí)可使四邊形CPBD為菱形. 例題3.如圖,直線y=x+3與y軸交于點(diǎn)A,與x軸交于點(diǎn)B,點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿BA邊向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)Q以相同的速度從坐標(biāo)原點(diǎn)O出發(fā)沿OB邊向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.(1)求點(diǎn)A,B的坐標(biāo)；(2)在點(diǎn)P,Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,是否存在點(diǎn)N,使得以點(diǎn)A,P,Q,N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形?若存在,求t的值并直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解:(1)對(duì)于直線y=x+3,令x=0,得到y=3,令y=0得到x=4,∴A(0,3),B(4,0);(2)存在以點(diǎn)APQN為頂點(diǎn)的四邊形是矩形,①如圖2所示,當(dāng)∠APQ=90°時(shí),∠BPQ=∠AOB=90°,由(2)得:cos∠PBQ=,即,解得:t=此時(shí)N坐標(biāo)為(,)②如果∠PAQ=90°,∠OAB為銳角,∠PAQ<∠OAB,∴不成立,∠PAQ≠90°③如果∠AQP=90°,當(dāng)Q與O重合時(shí),t=0,此時(shí)N坐標(biāo)為(4,3),當(dāng)0<t≤5時(shí)如圖3所示過(guò)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M. 由①得：MB＝t，∴QM=OB－OQ－BM=4－t,∵∠AOQ=∠QMP=∠AQP=90°,∴∠OAQ=∠MQP，∴Rt△AOQ∽Rt△QMP∴,即，解得:t=,此時(shí)N坐標(biāo)為(,)綜上所述:當(dāng)t的值為0, ,時(shí),以點(diǎn)APQN為頂點(diǎn)的四邊形是矩形,點(diǎn)N的坐標(biāo)分別為(4,3) (,), (,) 例題4.如圖,拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A(－1,0),B(3,0)兩點(diǎn),頂點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是M'.(1)求拋物線的解析式；(2)是否存在過(guò)A,B兩點(diǎn)的拋物線,其頂點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q,使得四邊形APBQ為正方形?若存在,求出此拋物線的解析式;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解:(1)根據(jù)題意,拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－1,0),B(3,0),則將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入拋物線解析式可得: ,②+3×①得:12+4c=0,解得c=－3,代入①得b=－2,故原方程組的解為，所以拋物線的表達(dá)式為y＝x2－2x－3.(2)存在.如圖所示,四邊形APBQ是正方形.因?yàn)樗倪呅?/span>APBQ是正方形,所以該拋物線頂點(diǎn)肯定在AB的中垂線上,且AB=PQ,AB與PQ相互垂直平分,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(1,2)或P(1,－2).①當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為P(1,2)時(shí),設(shè)拋物線解析式為y=a(x－1)2+2.因?yàn)閽佄锞€過(guò)A、B兩點(diǎn),所以將點(diǎn)A坐標(biāo)代入函數(shù)解析式得a(－1－1)2+2=0,解得a=,故拋物線的解析式為：y=(x－1)2+2。②當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為P(1,－2)時(shí),設(shè)拋物線解析式為y=a'(x－1)2－2。因?yàn)閽佄锞€過(guò)A、B點(diǎn),所以將點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式得a'(－1－1)2－2=0,解得a'=,故拋物線的解析式為y=(x－1)2－2。綜上所述：存在過(guò)A、B兩點(diǎn)的拋物線y=(x－1)2+2或y=(x－1)2－2,其頂點(diǎn)P關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q,使得四邊形APBQ是正方形.【鞏固訓(xùn)練】1.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=6cm,點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),沿BA方向以每秒cm的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng);同時(shí),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿CB方向以每秒1cm的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),將△BPQ沿BC翻折,點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)P',設(shè)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t秒,若四邊形QPBP'為菱形,則t的值為 . 2.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn),B點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0),與y軸交于C(0,－3),點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn).(1)求二次函數(shù)解析式；(2)連接PO、PC,并將△POC沿y軸對(duì)折,得到四邊形POP'C,那么是否存在點(diǎn)P,使得四邊形POP'C為菱形？若存在,請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由； 3.如圖，矩形的頂點(diǎn)、分別在、的正半軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，一次函數(shù)的圖象與邊、分別交于點(diǎn)、，并且滿足．點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）求的值；（2）連結(jié)，若三角形的面積與四邊形的面積之比為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）設(shè)點(diǎn)是軸上方平面內(nèi)的一點(diǎn)，以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，求點(diǎn)的坐標(biāo)． 4. 如圖1，已知中，，，．點(diǎn)由出發(fā)沿方向向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)由出發(fā)沿方向向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，它們的速度均為．以、為邊作平行四邊形，連接，交于點(diǎn)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為（單位：．解答下列問(wèn)題：（1）用含有的代數(shù)式表示　　．（2）當(dāng)為何值時(shí)，平行四邊形為矩形．（3）如圖2，當(dāng)為何值時(shí)，平行四邊形為菱形． 5.如圖1，在直角梯形中，，，，．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．連接交于點(diǎn)，連接．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．（1）填空：　　；　　．（用含的代數(shù)式表示）（2）取何值時(shí)，梯形面積等于梯形面積的；（3）如圖2，將沿翻折，得，請(qǐng)問(wèn)是否存在某時(shí)刻，使四邊形為正方形？說(shuō)明理由． 6. 如圖，二次函數(shù)的圖象與軸分別交于、兩點(diǎn)，頂點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)是．（1）若，求二次函數(shù)的關(guān)系式；（2）在（1）的條件下，求四邊形的面積；（3）是否存在拋物線，使得四邊形為正方形？若存在，請(qǐng)求出此拋物線的函數(shù)關(guān)系式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸、軸分別相交于點(diǎn)、．點(diǎn)是線段上動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，點(diǎn)為軸上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)、，以、為邊作．（1）求的長(zhǎng)（用含的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)時(shí)，是否存在點(diǎn)，使得頂點(diǎn)恰好落在軸上？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若存在唯一的位置，使得為矩形，請(qǐng)求出所有滿足條件的的值．
參考答案1.答案：22.解:(1)將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入y=x2+bx+c,得,將②代入①,得b=－2.故二次函數(shù)的解析式為y=x2－2x－3. (2)如圖1所示,假設(shè)拋物線上存在點(diǎn)P,使四邊形POP'C為形,連接PP'交CO于點(diǎn)E,因?yàn)樗倪呅?/span>POP'C為菱形,所以PC=PO,PE⊥CO.故OE=EC=,即點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為.由x2－2x－3=－,得x=或x=,當(dāng)x=時(shí),點(diǎn)P不在直線BC下方,故舍去.故存在這樣的點(diǎn),此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,) 3.解：（1）中，令，解得，則的坐標(biāo)是，，，，則的坐標(biāo)是，把的坐標(biāo)代入得，解得：；（2），三角形的面積與四邊形的面積之比為，．設(shè)的橫坐標(biāo)是，則，解得：，把代入得．則的坐標(biāo)是；（3）當(dāng)四邊形是菱形時(shí)，如圖（1），的縱坐標(biāo)是，把代入，得，解得：，則的坐標(biāo)是，，則的坐標(biāo)是，；當(dāng)四邊形是菱形時(shí)，如圖（2），設(shè)的橫坐標(biāo)是，則縱坐標(biāo)是，則，解得：或0（舍去）．則的坐標(biāo)是，．則的中點(diǎn)是，．則的坐標(biāo)是，．故的坐標(biāo)是，或，． 4.解：（1）中，，，．由勾股定理得：，點(diǎn)由出發(fā)沿方向向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，速度均為，，，四邊形為平行四邊形，；（2）當(dāng)是矩形時(shí)，，，即解之當(dāng)時(shí)，是矩形；（3）當(dāng)是菱形時(shí)，，則即解之當(dāng)時(shí)，是菱形． 5.解：（1）如圖1．，．在直角梯形中，，，于點(diǎn)，四邊形為矩形，，；（2）如圖1．梯形的面積等于梯形面積的，，解得．當(dāng)時(shí)，梯形面積等于梯形面積的；（3）存在時(shí)刻，能夠使四邊形為正方形．理由如下：，，．將沿翻折，得，，，．若四邊形為正方形，則，，，，，，當(dāng)時(shí)，四邊形為正方形．故答案為：；． 6.解：（1）在二次函數(shù)的圖象上，，解得，二次函數(shù)的關(guān)系式為；（2），頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，對(duì)稱軸為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，頂點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)是，；（3）存在拋物線，使得四邊形為正方形．理由如下：令，則，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，，則，，所以，，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：，頂點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)是，四邊形為正方形，，整理得，，解得，，又拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，△，解得，的值為，故存在拋物線，使得四邊形為正方形． 7.解：（1），，，，，，，，，即，；（2），，，，點(diǎn)落在軸上，（如圖，，，，即，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，；（3）取的中點(diǎn)，過(guò)作軸于點(diǎn)，．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，①時(shí)，如圖3，，，，根據(jù)題意，得，解得，②當(dāng)時(shí)，顯然不存在滿足條件的的值；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與原點(diǎn)重合，（圖；（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，①當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，如圖5，易證，即，解得；②當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)不重合時(shí)，如圖6，，，由題意，得即，解得，綜上所述：或0或或．

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