第30講 幾何三大變換之翻折翻折的性質(zhì)（軸對(duì)稱的性質(zhì)）如圖，將△ABC沿著DE翻折，使得點(diǎn)A落在BC的點(diǎn)F處結(jié)論有：①（即AD=DF，AE=EF，∠A=∠DFE，∠ADE=∠FDE，∠AED=∠FED）②DE垂直平分AF 函數(shù)的對(duì)稱變換①一次函數(shù)關(guān)于x軸對(duì)稱后的解析式：關(guān)于y軸對(duì)稱后的解析式：②二次函數(shù)關(guān)于x軸對(duì)稱后的解析式：關(guān)于y軸對(duì)稱后的解析式：【例題講解】例題1.如圖，中，，，的平分線與的垂直平分線交于點(diǎn)，將沿在上，在上）折疊，點(diǎn)與點(diǎn)恰好重合，則的度數(shù)是______解：如圖，連接、，，為的平分線，，又，，是的垂直平分線，，，，為的平分線，，，，點(diǎn)在的垂直平分線上，又是的垂直平分線，點(diǎn)是的外心，，將沿在上，在上）折疊，點(diǎn)與點(diǎn)恰好重合，，，在中，，故選：． 例題2.如圖，將邊長(zhǎng)為6cm的正方形ABCD折疊，使點(diǎn)D落在AB邊的中點(diǎn)E處，折痕為與邊AD、BC交于點(diǎn)F、H，點(diǎn)C落在Q處，EQ與BC交于點(diǎn)G.（1）尺規(guī)作圖作出折痕FH；（2）求折痕FH的長(zhǎng)；（3）求△EBG的周長(zhǎng)；（4）若將題目中的“點(diǎn)E為AB中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E為AB上任意一點(diǎn)”，其它條件不變，則△EBG的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化，若不變，請(qǐng)求出該值，若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由.例題3、如圖，矩形中，，，為上一點(diǎn)，將沿翻折至，與相交于點(diǎn)，且，則的長(zhǎng)為　   　．解：四邊形是矩形，，，，由折疊的性質(zhì)可知，，，，在和中，，，，，，設(shè)，則，，，，根據(jù)勾股定理得：，即，解得：，，故答案為：4.8．
例題4.如圖1，在矩形紙片中，，，點(diǎn)是中點(diǎn)，將這張紙片依次折疊兩次；第一次折疊紙片使點(diǎn)與點(diǎn)重合，如圖2，折痕為，連接、；第二次折疊紙片使點(diǎn)與點(diǎn)重合，如圖3，點(diǎn)落到處，折痕為，連接，則________．解：如圖2中，作于．設(shè)，則，，，，在中，，，解得，，，，，，，，，，，，，如圖3中，，，，，，，，．方法二，．故答案為．   例5.如圖，已知的三個(gè)頂點(diǎn)、、，，作關(guān)于直線的對(duì)稱圖形（1）若，試求四邊形面積的最大值；（2）若點(diǎn)恰好落在軸上，試求的值．解：（1）如圖1，與四邊形關(guān)于直線對(duì)稱，四邊形是平行四邊形，，，，，四邊形、是平行四邊形，，．、、、，，，，．，當(dāng)時(shí)，最大值為9； （2）當(dāng)點(diǎn)恰好落在軸上，如圖2，，，，，．，△，，，．由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得．在中，，整理得．，，．    例題6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的邊、分別在軸和軸的正半軸上，為邊的中點(diǎn)，一拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)、（1）求點(diǎn)、的坐標(biāo)（用含的式子表示）；（2）把沿直線折疊后點(diǎn)落在點(diǎn)處，連接并延長(zhǎng)與線段的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，①若拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求拋物線的解析式；②若拋物線與線段相交，直接寫出拋物線的頂點(diǎn)到達(dá)最高位置時(shí)的坐標(biāo)：解：（1）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，或；（2）①如圖，設(shè)與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)．把沿直線折疊后點(diǎn)落在點(diǎn)處，△，，，，，矩形中，，，，．設(shè)，則，在△中，，，解得，，，，點(diǎn)坐標(biāo)為，，易求直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)坐標(biāo)為．代入得（舍，，拋物線的解析式為：．②當(dāng)時(shí)，，即拋物線與直線的交點(diǎn)為，拋物線與線段相交，，，解得：，，當(dāng)時(shí)，有最大值，又，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，當(dāng)時(shí)，頂點(diǎn)到達(dá)最高位置，，拋物線頂點(diǎn)到達(dá)最高位置時(shí)的坐標(biāo)為，．        【鞏固練習(xí)】1、如圖，在矩形中，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，沿折疊，點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處，若，，則的值為________. 2.如圖，先將一平行四邊形紙片沿，折疊，使點(diǎn)，，在同一直線上，再將折疊的紙片沿折疊，使落在上，則　　度． 3、點(diǎn)E、F分別在一張長(zhǎng)方形紙條ABCD的邊AD、BC上，將這張紙條沿著直線EF對(duì)折后如圖，BF與DE交于點(diǎn)G，長(zhǎng)方形紙條的寬AB=2cm，那么這張紙條對(duì)折后的重疊部分的面積的最小值為_____________。4.如圖①，在長(zhǎng)方形中，點(diǎn)在上，并且，分別以、為折痕進(jìn)行折疊并壓平，如圖②，若圖②中，則的度數(shù)為　　（用含的代數(shù)式表示）．    5、在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師組織大家利用矩形進(jìn)行圖形變換的探究活動(dòng)．第一小組的同學(xué)將矩形紙片按如下順序進(jìn)行操作：對(duì)折、展平，得折痕（如圖；再沿折疊，使點(diǎn)落在上的點(diǎn)處（如圖，請(qǐng)求出的度數(shù)．    6.如圖，在中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，將沿著直線折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，那么的值為　　．  7、如圖，直線與軸，軸分別交于點(diǎn)和，是上的一點(diǎn)，若將沿折疊，點(diǎn)恰好落在軸上的點(diǎn)處，則直線的解析式為　　．  8.如圖①，點(diǎn)為一等腰直角三角形紙片的斜邊的中點(diǎn)，是邊上的一點(diǎn)，將這張紙片沿折成如圖②，使與邊相交于點(diǎn)，若圖①中，則圖②中的周長(zhǎng)為　　． 9.如圖，正方形的邊長(zhǎng)是16，點(diǎn)在邊上，，點(diǎn)是邊上不與點(diǎn)、重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把沿折疊，點(diǎn)落在處．若恰為等腰三角形，則的長(zhǎng)為　　．10.已知中，，，，是邊上一點(diǎn)，交于點(diǎn)，將沿翻折得到△，若△是直角三角形，則長(zhǎng)為_________． 11.如圖，中，，，，將邊沿翻折，使點(diǎn)落在上的點(diǎn)處；再將邊沿翻折，使點(diǎn)落在的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)處，兩條折痕與斜邊分別交于點(diǎn)、，則線段的長(zhǎng)為________ 12、如圖，中，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)， 將沿翻折得到，連，則線段的長(zhǎng)等于_____ 13.如圖所示，四邊形是矩形，點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為，，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)（與端點(diǎn)、不重合），過(guò)點(diǎn)作直線交折線于點(diǎn)．（1）記的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，若矩形關(guān)于直線的對(duì)稱圖形為四邊形，試探究與矩形的重疊部分的面積是否發(fā)生變化？若不變，求出該重疊部分的面積；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由．      14.如圖，將二次函數(shù)的圖象在軸下方的部分沿軸翻折，圖象的其余部分保持不變，形成新的圖象，當(dāng)直線與此圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求的取值范圍________． 15.如圖1，在矩形中，，，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)、點(diǎn)重合），點(diǎn)在邊上，將和分別沿、折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合，且、、三點(diǎn)共線．（1）若點(diǎn)平分線段，則此時(shí)的長(zhǎng)為多少？（2）若線段與線段所在的平行直線之間的距離為2，則此時(shí)的長(zhǎng)為多少？（3）在“線段”、“線段”、“點(diǎn)”這三者中，是否存在兩個(gè)在同一條直線上的情況？若存在，求出此時(shí)的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
16．如圖，矩形中，，，是邊上一點(diǎn)，將沿直線對(duì)折，得到．（1）當(dāng)平分時(shí)，求的長(zhǎng)；（2）連接，當(dāng)時(shí)，求的面積；（3）當(dāng)射線交線段于點(diǎn)時(shí)，求的最大值．  17．如圖1，已知矩形紙片中，，若將該紙片沿著過(guò)點(diǎn)的直線折疊（折痕為，點(diǎn)恰好落在邊的中點(diǎn)處．（1）求矩形的邊的長(zhǎng)．（2）若為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，折疊紙片，使得與重合，折痕為，其中在邊上，在邊上，如圖2所示．設(shè) ， ，試求與的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量的取值范圍．（3）①當(dāng)折痕的端點(diǎn)在上時(shí)，求當(dāng)為等腰三角形時(shí)的值；②當(dāng)折痕的端點(diǎn)在上時(shí)，設(shè)折疊后重疊部分的面積為，試求與之間的函數(shù)關(guān)系式．
18．如圖， 已知矩形中，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)， 在邊上以每秒 1 個(gè)單位的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)， 連接，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．（1） 若，求當(dāng)，，三點(diǎn)在同一直線上時(shí)對(duì)應(yīng)的的值 ．（2） 已知滿足： 在動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)到點(diǎn)的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中， 有且只有一個(gè)時(shí)刻，使點(diǎn)到直線的距離等于 3 ，求所有這樣的的取值范圍 ．    19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)，分別在軸和軸的正半軸上，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，翻折矩形，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，得到折痕，設(shè)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，折痕所在直線與軸相交于點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，的拋物線為．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)（用含的式子表示）；（2）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求該拋物線的解析式；（3）在（2）的條件下，設(shè)線段的中點(diǎn)為，在線段上方的拋物線上是否存在點(diǎn)，使？若存在，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．
參看答案1.解：根據(jù)題意可得：在中：，，則，又，，，故．故答案為：．  2.解：根據(jù)沿直線折疊的特點(diǎn)，△，△，，，，，點(diǎn)，，在同一直線上，，將折疊的紙片沿折疊，使落在上，，故答案為：45．  3.  4.解：，，、△都為、、 的三角形，，，，，，．故答案為：．   5.解：如圖2，連接，由題意得垂直平分，故，由翻折可得，，△為等邊三角形，，，；  6.解：是翻折而成，，，是等腰直角三角形，，由三角形外角性質(zhì)得，，設(shè)，，則，，在中，由勾股定理得，，即，解得，，故答案為：  7.解：法一：當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，所以，即，因?yàn)辄c(diǎn)與關(guān)于對(duì)稱，所以的中點(diǎn)為，，即在直線上，設(shè)直線的解析式為，把；，代入可得．法二：直線與軸，軸分別交于點(diǎn)和，，設(shè)，則，又直線的解析式為故答案為．  8.解：如圖，作于，于，于，連接．，，，，，．，，，，在和中，，，，的周長(zhǎng)，，，（解法二：連接，只要證明，即可推出的周長(zhǎng)故答案為．  9.解：如圖1所示：當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作，則．當(dāng)時(shí)，．由，，得．由翻折的性質(zhì)，得．，，，當(dāng)時(shí)，則（易知點(diǎn)在上且不與點(diǎn)、重合）．如圖2所示：當(dāng)時(shí)，，，點(diǎn)、在的垂直平分線上，垂直平分，由折疊可知點(diǎn)與點(diǎn)重合，不符合題意，舍去．綜上所述，的長(zhǎng)為16或．故答案為：16或．   10.解：在中，，，，，，，即，設(shè)，則，，，在△中，，△是直角三角形，①當(dāng)落在邊上時(shí)，，，，；②點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，解得（不合題意舍去），．故長(zhǎng)為或．故答案為：或．   11.解：中，，，，，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，，，，，，，△，，，  12.解： 如圖連接交于，作于．在中，，，，，，，，，點(diǎn)在的垂直平分線上 ．，點(diǎn)在的垂直平分線上，是直角三角形，垂直平分線段，，，，在中，，  13.解：（1）四邊形是矩形，點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為，，，若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，則若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，則若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，則①若直線與折線的交點(diǎn)在上時(shí)，即，如圖1，此時(shí)；②若直線與折線的交點(diǎn)在上時(shí)，即，如圖2此時(shí)，，，； （2）如圖3，設(shè)與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，則矩形與矩形的重疊部分的面積即為四邊形的面積．由題意知，，，四邊形為平行四邊形根據(jù)軸對(duì)稱知，又，，，平行四邊形為菱形．過(guò)點(diǎn)作，垂足為，設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為，由題意知，，，，，，則在中，由勾股定理知：，，．矩形與矩形的重疊部分的面積不發(fā)生變化，面積始終為．   14.. 解：二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，、，，當(dāng)直線與有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，，△，解得，所以當(dāng)時(shí)，直線與此圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與點(diǎn)，之間時(shí)，直線與此圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，解得，所以的取值范圍為或．故答案為或．   15.解：（1）由和分別沿、折疊，得到和，則，，，，．，．，，．，．四邊形是矩形，，，，在和中，，，，，． （2）由題意，得或．當(dāng)時(shí)，，，．，，，．當(dāng)時(shí)，，，．，．．故的長(zhǎng)為1或3． （3）①若與點(diǎn)在同一直線上，如圖2，連接，點(diǎn)在上，在和中，，，．設(shè)，則，在中，，，，．解得．②若與在同一直線上，如圖3，，，，，．   16.【解答】解：（1）由折疊性質(zhì)得：，，平分，，，四邊形是矩形，，，；（2）延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，如圖1所示：四邊形是矩形，，，由折疊性質(zhì)得：，，，，，，設(shè)，則，，，在中，由勾股定理得：，，解得：，，，，，；（3）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖2所示：四邊形是矩形，，，，，，，，可以看到點(diǎn)是在以為圓心3為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，所以當(dāng)射線與圓相切時(shí)，最大，此時(shí)、、三點(diǎn)共線，如圖3所示：由折疊性質(zhì)得：，，，在和中，，，，由勾股定理得：，，的最大值．   17.【解答】解：（1）根據(jù)題意得：，四邊形是矩形，，，，為的中點(diǎn)，，根據(jù)勾股定理得：，；（2）根據(jù)題意得：，在中，，．，其中，；（3）①當(dāng)點(diǎn)在上，，，而，．為等腰三角形，只可能；過(guò)點(diǎn)作于，如圖3所示：則，，在中，．．解得：．②當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，在上；如圖4所示：根據(jù)題意得：垂直平分，，，，四邊形是平行四邊形，又，四邊形是菱形，折疊后重疊部分的面積的面積，設(shè)，在中，，．解得：，．  18.【解答】解： （1） 如圖 1 中， 設(shè)． 則．、、共線，，，，，，在中，，，或（舍 棄） ，，時(shí)，、、共線 ．（2） 如圖 2 中， 當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)， 點(diǎn)在的下方， 點(diǎn)到的距離為 3 ．作于，于． 則，易證四邊形是矩形，，，，，，，，，， （當(dāng)時(shí)， 直線上方還有一個(gè)點(diǎn)滿足條件， 見圖如圖 3 中， 當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)， 點(diǎn)在的上方， 點(diǎn)到的距離為 3 ．作于，延長(zhǎng)交于． 則，在中，，由，，，，綜上所述， 在動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)到點(diǎn)的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中， 有且只有一個(gè)時(shí)刻，使點(diǎn)到直線的距離等于 3 ，這樣的的取值范圍．  19.【解答】解：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)得：，，，，，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理得：，即，解得：，點(diǎn)的坐標(biāo)為：，；（2）方法一：四邊形是矩形，，，，，，，，，，，即，解得：，，，，作于，如圖1所示：則，，，，即，，，，，，把點(diǎn)，，，，代入得：，解得：，，，拋物線的解析式為：；（3）存在；點(diǎn)的坐標(biāo)為：，，或，；理由如下：如圖2所示：，，，線段的中點(diǎn)為，，，點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)的坐標(biāo)為：，；由拋物線的對(duì)稱性得另一點(diǎn)的坐標(biāo)為，；在線段上方的拋物線上存在點(diǎn)，使，點(diǎn)的坐標(biāo)為：，，或，．   

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