4.3 公式法第1課時 用平方差公式進行因式分解【教學目標】【知識與技能】會用平方差公式進行因式分解.【過程與方法】經歷探索利用平方差公式進行因式分解的過程，發(fā)展學生的逆向思維，滲透數(shù)學的“互逆”、換元、整體的思想，感受數(shù)學知識的完整性.【情感態(tài)度】在探究的過程中培養(yǎng)學生獨立思考的習慣，在交流的過程中學會向別人清晰地表達自己的思維和想法，在解決問題的過程中讓學生深刻感受到“數(shù)學是有用的”.【教學重點】1．了解用公式法分解因式的意義．2．能熟練運用平方差公式因式分解．【教學難點】靈活運用公式法或已學過的提公因式法進行分解因式,正確判斷因式分解的徹底性.【教學過程】一、情境導入1．同學們，你能很快知道992－1是100的倍數(shù)嗎？你是怎么想出來的？請與大家交流．2．你能將a2－b2分解因式嗎？你是如何思考的？二、合作探究探究點一：用平方差公式因式分解【類型一】 判定能否利用平方差公式分解因式 下列多項式中能用平方差公式分解因式的是(　　)A．a2＋(－b)2              B．5m2－20mnC．－x2－y2               D．－x2＋9解析：A中a2＋(－b)2符號相同，不能用平方差公式分解因式，錯誤；B中5m2－20mn兩項都不是平方項，不能用平方差公式分解因式，錯誤；C中－x2－y2符號相同，不能用平方差公式分解因式，錯誤；D中－x2＋9＝－x2＋32，兩項符號相反，能用平方差公式分解因式，正確．故選D.方法總結：能夠運用平方差公式分解因式的多項式必須是二項式，兩項都能寫成平方的形式，且符號相反．【類型二】 利用平方差公式分解因式 分解因式：(1)a4－b4；(2)x3y2－xy4.解析：(1)a4－b4可以寫成(a2)2－(b2)2的形式，這樣可以用平方差公式進行分解因式，而其中有一個因式a2－b2仍可以繼續(xù)用平方差公式分解因式；(2)x3y2－xy4有公因式xy2，應先提公因式再進一步分解因式．解：(1)原式＝(a2＋b2)(a2－b2)＝(a2＋b2)(a－b)(a＋b)；(2)原式＝xy2(x2－y2)＝xy2(x＋y)(x－y)．方法總結：分解因式前應先分析多項式的特點，一般先提公因式，再套用公式．分解因式必須進行到每一個多項式都不能再分解因式為止．【類型三】 利用因式分解整體代換求值 已知x2－y2＝－1，x＋y＝，求x－y的值．解析：已知第一個等式左邊利用平方差公式化簡，將x＋y的值代入計算即可求出x－y的值．解：∵x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝－1，x＋y＝，∴x－y＝－2.方法總結：有時給出的條件不是字母的具體值，就需要先進行化簡，求出字母的值，但有時很難或者根本就求不出字母的值，根據(jù)題目特點，將一個代數(shù)式的值整體代入可使運算簡便．探究點二：用平方差公式因式分解的應用【類型一】 利用因式分解解決整除問題 248－1可以被60和70之間某兩個自然數(shù)整除，求這兩個數(shù)．解析：先利用平方差公式分解因式，再找出范圍內的解即可．解：248－1＝(224＋1)(224－1)＝(224＋1)(212＋1)(212－1)＝(224＋1)(212＋1)(26＋1)(26－1)．∵26＝64，∴26－1＝63，26＋1＝65，∴這兩個數(shù)是65和63.方法總結：解決整除的基本思路就是將代數(shù)式化為整式乘積的形式，然后分析被哪些數(shù)或式子整除．【類型二】 利用平方差公式進行簡便運算 利用因式分解計算：(1)1012－992；(2)5722×－4282×.解析：(1)根據(jù)平方差公式進行計算即可；(2)先提取公因式，再根據(jù)平方差公式進行計算即可．解：(1)1012－992＝(101＋99)(101－99)＝400；(2)5722×－4282×＝(5722－4282)×＝(572＋428)(572－428)×＝1000×144×＝36000.方法總結：一些比較復雜的計算，如果通過變形轉化為平方差公式的形式，則可以使運算簡便．【類型三】 因式分解的實際應用 如圖，100個正方形由小到大套在一起，從外向里相間畫上陰影，最里面一個小正方形沒有畫陰影，最外面一層畫陰影，最外面的正方形的邊長為100cm，向里依次為99cm，98cm，…，1cm，那么在這個圖形中，所有畫陰影部分的面積和是多少？解析：相鄰兩正方形面積的差表示一塊陰影部分的面積，而正方形的面積是邊長的平方，所以能用平方差公式進行因式分解．解：每一塊陰影的面積可以表示成相鄰正方形的面積的差，而正方形的面積是其邊長的平方，這樣就可以逆用平方差公式計算了．則S陰影＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(32－22)＋1＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝5050(cm2)．答：所有陰影部分的面積和是5050cm2.方法總結：首先應找出圖形中哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解．探尋規(guī)律要認真觀察、仔細思考，善用聯(lián)想來解決這類問題．三、板書設計1．平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)；2．平方差公式的特點：能夠運用平方差公式分解因式的多項式必須是二項式，兩項都能寫成平方的形式，且符號相反．四、教學反思本節(jié)課下來能很好地完成了課前設定的目標，學生能利用平方差公式來進行因式分解.學生在課堂上和老師的互動也比較好。在教學過程中，教師應該語言流暢、教態(tài)親切、語速合適、設計合理、設計中小步驟.當然,本節(jié)課也存在一些問題，其中比較突出的就是在例題的安排上對題目的把握不是很好.把所有類型的利用平方差進行因式分解的題型在同一道例題中出現(xiàn)，對于剛接觸這種方法的學生來說要求過高，也違背了小步驟教學的教學特點.   

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初中數(shù)學北師大版八年級下冊電子課本

3 公式法

版本： 北師大版

年級： 八年級下冊

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