問題1：你能敘述多項式因式分解的定義嗎？
把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，這樣式子的變形，叫做因式分解(或分解因式)。
問題3：把下列各式因式分解(1)am-an (2)7x3-21x2 (3)a(x-y)+b(x-y)
問題2：我們已學(xué)過哪一種分解因式的方法?
活動探究一：觀察與思考下面兩個問題。（小組討論，3min）
★被分解的多項式含有兩項，并且能寫成（?。玻ā。驳男问剑?x2-25=x2-52， 9x2-y2 =(3x)2-y2
（2）嘗試將它們分別寫成兩個因式的乘積，并與同伴交流。
（1）觀察多項式 x2-25 和 9x2-y2，它們有什么共同特征？
x2-25=x2-52=(x+5)(x-5)；
9x2-y2 =(3x)2-y2=(3x+y)(3x-y).
(a+b)(a-b)=a2 - b2
平方差公式：(a+b)(a-b) = a2 - b2
a , b可以是數(shù)，也可以是單項式或多項式，要注意“整體”“換元”思想的運用。
把乘法公式反過來用,可以把符合公式特點的多項式因式分解,這種方法叫公式法。
（2）語言： 兩個數(shù)的平方差，等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積.
a2?b2= (a+b)(a?b)
兩個數(shù)的平方差；只有兩項
思考：什么形式的多項式可以用平方差公式分解因式？
2- 2=（ + ）（ - ）
首2-尾2=（首+尾）（首-尾）
你對平方差公式認識有多深？
a2-b2=(a+b)(a-b)
例1：將下面的多項式分解因式1) 25-16 x2 2) 9a2 - 4b2
解：25-16 x2=
9a2 - 4b2=(3a)2-(2b)2=(3a+2b)(3a-2b)
=( 5 + 4x)( 5 - 4x)
a2 - b2 = ( a + b)( a - b )
總結(jié)：正確找出a2-b2 = ( a+b)(a-b)式子中的a和b。
第一步，將兩項寫成平方的形式；第二步，找出a、b ；第三步，利用a2-b2=(a+b)(a-b)分解因式。
例2.把下列各式因式分解（1） 9( m + n)2- ( m - n )2
解： 原式=[3(m+n)]2-( m - n )2 =[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)] =(3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n) =(4m+2n)(2m+4n) =4(2m+n)(m+2n)
平方差公式中字母a、b不僅可以表示數(shù)，而且也可以表示單項式、多項式或單項式與單項式的乘積。
（2）2x3 - 8x
解：原式=2x(x2-4) =2x(x2-22) =2x(x+2)(x-2)
總結(jié)：當(dāng)多因式的各項含有公因式時，通常先提出這個公因式，然后再進一步因式分解。注意：每個因式要分解到不能再分解為止.
1：選擇題1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（ ）4m2+n2 B. 4m- (-n)2 C. -4 m2-n3 D. - m2+ n2-4a2 +1分解因式的結(jié)果應(yīng)是 （ ）-(4a+1)(4a-1) B. -( 2a –1)(2a –1)-(2a +1)(2a+1) D. -(2a+1) (2a-1)
2：把多項式9(a+b)2-4(a-b)2因式分解.
解：9(a+b)2-4(a-b)2
=[3(a+b)]2-[2(a-b)]2
=[3(a+b)+2(a-b)]
[3(a+b)-2(a-b)]
=(3a+3b+2a-2b)
(3a+3b-2a+2b)
=(5a+b)(a+5b)
3：把多項式x4-16因式分解.
=(x2+4)(x2-4)
=(x2+4)(x+2)(x-2)
注意：每個因式要分解到不能再分解為止.
如圖，在一塊長為a的正方形紙片的四角，各剪去一個邊長為b的正方形．用a 與b表示剩余部分的面積，并求當(dāng)a=3.6，b=0.8時的面積．
解:a2-4b2=(a+2b)(a-2b)cm2當(dāng)a=3.6，b=0.8時,原式=(3.6+2×0.8) (3.6-2×0.8) =5.2×2 =10.4cm2
因式分解一提 ① 對任意多項式分解因式，都必須首先考慮提取公 因式。二套 ② 對于二項式，考慮應(yīng)用平方差公式分解 三查 ③檢查：特別看看多項式因式是否分解徹底。
4.3.1 公式法（一）一、a2-b2= (a+b)(a-b)例題練習(xí)
1、把下列各式因式分解：
(1)m2n2- a2 (2)(x-y)2-(y+b)2
(3)n2- (a+b-c)2 (4)-16x4+81y4

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3 公式法

版本： 北師大版（2024）

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