應(yīng)用二元一次方程組（提高）知識(shí)講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．以含有多個(gè)未知數(shù)的實(shí)際問(wèn)題為背景，經(jīng)歷“分析數(shù)量關(guān)系，設(shè)未知數(shù)，列方程組，解方程組和檢驗(yàn)結(jié)果”的過(guò)程，體會(huì)方程組是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中含有多個(gè)未知數(shù)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型；2．熟練掌握用方程組解決雞兔同籠，增收節(jié)支，里程碑上的數(shù)等實(shí)際問(wèn)題.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、常見的一些等量關(guān)系1.和差倍分問(wèn)題：增長(zhǎng)量＝原有量×增長(zhǎng)率  較大量＝較小量＋多余量，總量＝倍數(shù)×倍量.2.增收節(jié)支問(wèn)題：（1）增長(zhǎng)（遞減）率公式：原來(lái)的量×（1+增長(zhǎng)率）=后來(lái)的量；  原來(lái)的量×（1-遞減率）=后來(lái)的量； （2）利潤(rùn)公式：利潤(rùn)=總收入-總支出 ；利潤(rùn)＝售價(jià)－成本(或進(jìn)價(jià))＝成本×利潤(rùn)率；標(biāo)價(jià)＝成本(或進(jìn)價(jià))×(1＋利潤(rùn)率) （3）銀行利率公式：利息=本金×利率×期數(shù).
本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期數(shù)＝本金×(1＋利率×期數(shù)) .
年利率＝月利率×12.月利率＝年利率×.要點(diǎn)詮釋：　 增收節(jié)支問(wèn)題常常借助列表分析問(wèn)題中所蘊(yùn)涵的數(shù)量關(guān)系，這種方法清晰明了，能夠充分突出解題過(guò)程．3.行程問(wèn)題：
　速度×時(shí)間=路程.
　順?biāo)俣?靜水速度+水流速度.
　逆水速度=靜水速度-水流速度.4.數(shù)字問(wèn)題：已知各數(shù)位上的數(shù)字，寫出兩位數(shù)，三位數(shù)等這類問(wèn)題一般設(shè)間接未知數(shù)，例如：若一個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，則這個(gè)兩位數(shù)可以表示為10b+a．要點(diǎn)二、實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程組1.列方程組解應(yīng)用題的基本思想    列方程組解應(yīng)用題，是把“未知”轉(zhuǎn)換成“已知”的重要方法，它的關(guān)鍵是把已知量和未知量聯(lián)系起來(lái)，找出題目中的等量關(guān)系．一般來(lái)說(shuō)，有幾個(gè)未知量就必須列出幾個(gè)方程，所列方程必須滿足：①方程兩邊表示的是同類量：②同類量的單位要統(tǒng)一；③方程兩邊的數(shù)要相等.2.列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟：設(shè)：用兩個(gè)字母表示問(wèn)題中的兩個(gè)未知數(shù)；列：列出方程組（分析題意，找出兩個(gè)等量關(guān)系，根據(jù)等量關(guān)系列出方程組）；解：解方程組，求出未知數(shù)的值；驗(yàn)：檢驗(yàn)求得的值是否正確和符合實(shí)際情形；答：寫出答案．要點(diǎn)詮釋：（1）解實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實(shí)際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理，不符合題意的解應(yīng)該舍去；（2）“設(shè)”、“答”兩步，都要寫清單位名稱；（3）一般來(lái)說(shuō)，設(shè)幾個(gè)未知數(shù)就應(yīng)該列出幾個(gè)方程并組成方程組.【典型例題】類型一、雞兔同籠問(wèn)題1. （2020?濟(jì)寧一模）某汽車制造廠開發(fā)一款新式電動(dòng)汽車，計(jì)劃一年生產(chǎn)安裝240輛．由于抽調(diào)不出足夠的熟練工來(lái)完成新式電動(dòng)汽車的安裝，工廠決定招聘一些新工人．他們經(jīng)過(guò)培訓(xùn)后上崗，也能獨(dú)立進(jìn)行電動(dòng)汽車的安裝．生產(chǎn)開始后，調(diào)研部門發(fā)現(xiàn)：1名熟練工和2名新工人每月可安裝8輛電動(dòng)汽車；2名熟練工和3名新工人每月可安裝14輛電動(dòng)汽車．（1）每名熟練工和新工人每月分別可以安裝多少輛電動(dòng)汽車？（2）如果工廠招聘n（0＜n＜10）名新工人，使得招聘的新工人和抽調(diào)的熟練工剛好能完成一年的安裝任務(wù)，那么工廠有哪幾種新工人的招聘方案？【思路點(diǎn)撥】（1）設(shè)每名熟練工每月可以安裝x輛電動(dòng)車，新工人每月分別安裝y輛電動(dòng)汽車，根據(jù)安裝8輛電動(dòng)汽車和安裝14輛電動(dòng)汽車兩個(gè)等量關(guān)系列出方程組，然后求解即可；（2）設(shè)調(diào)熟練工m人，根據(jù)一年的安裝任務(wù)列出方程整理用m表示出n，然后根據(jù)人數(shù)m是整數(shù)討論求解即可．【答案與解析】解：（1）設(shè)每名熟練工每月可以安裝x輛電動(dòng)車，新工人每月分別安裝y輛電動(dòng)汽車，根據(jù)題意得，解得．答：每名熟練工每月可以安裝4輛電動(dòng)車，新工人每月分別安裝2輛電動(dòng)汽車；（2）設(shè)調(diào)熟練工m人，由題意得，12（4m+2n）=240，整理得，n=10﹣2m，∵0＜n＜10，∴當(dāng)m=1，2，3，4時(shí)，n=8，6，4，2，即：①調(diào)熟練工1人，新工人8人；②調(diào)熟練工2人，新工人6人；③調(diào)熟練工3人，新工人4人；④調(diào)熟練工4人，新工人2人．【總結(jié)升華】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，解二元一次方程組，（1）理清題目數(shù)量關(guān)系列出方程組是解題的關(guān)鍵，（2）用一個(gè)未知數(shù)表示出另一個(gè)未知數(shù)，是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于考慮人數(shù)是整數(shù)．舉一反三：【變式】《九章算術(shù)》方程問(wèn)題：“五只雀、六只燕，共重1斤（等于16兩），雀重燕輕．互換其中一只，恰好一樣重．問(wèn)：每只雀、燕的重量各為多少？”【答案】解：設(shè)每只雀、燕的重量各為兩，兩，由題意得：解方程組得：答：每只雀、燕的重量各為兩和兩.類型二、增收節(jié)支問(wèn)題2. 某班學(xué)生到農(nóng)村勞動(dòng)，一名男生因病不能參加，另有三名男生體質(zhì)較弱，教師安排他們與女生一起抬土，兩人抬一筐土，其余男生全部挑土（一根扁擔(dān)，兩只筐），這樣安排勞動(dòng)時(shí)恰需筐68 個(gè)，扁擔(dān)40 根，問(wèn)這個(gè)班的男女生各有多少人？【答案與解析】解：設(shè)女生人，男生人，由題意得：解得：答：這個(gè)班的男生有32人，女生有21人.【總結(jié)升華】兩人抬土需要一根扁擔(dān)，一只筐；一人挑土需要一根扁擔(dān)，兩只筐．題中的等量關(guān)系是：參加勞動(dòng)的同學(xué)一共用去籮筐68個(gè)和40根扁擔(dān)，從而列出方程組，解出即可．舉一反三：【變式】為了拉動(dòng)內(nèi)需，全國(guó)各地汽車購(gòu)置稅補(bǔ)貼活動(dòng)在2009年正式開始．某經(jīng)銷商在政策出臺(tái)前一個(gè)月共售出某品牌汽車的手動(dòng)型和自動(dòng)型共960臺(tái)，政策出臺(tái)后的第一個(gè)月售出這兩種型號(hào)的汽車共1228臺(tái)，其中手動(dòng)型和自動(dòng)型汽車的銷售量分別比政策出臺(tái)前一個(gè)月增長(zhǎng)30％和25%．(1)在政策出臺(tái)前一個(gè)月，銷售的手動(dòng)型和自動(dòng)型汽車分別為多少臺(tái)?(2)若手動(dòng)型汽車每臺(tái)價(jià)格為8萬(wàn)元，自動(dòng)型汽車每臺(tái)價(jià)格為9萬(wàn)元．根據(jù)汽車補(bǔ)貼政策，政府按每臺(tái)汽車價(jià)格的5％給購(gòu)買汽車的用戶補(bǔ)貼，問(wèn)政策出臺(tái)后的第一個(gè)月，政府對(duì)這1228臺(tái)汽車用戶共補(bǔ)貼了多少萬(wàn)元？【答案】解：(1)設(shè)政策出臺(tái)前一個(gè)月銷售的手動(dòng)型汽車為x輛，自動(dòng)型汽車為y輛，由題意可得：解之得：．答：政策出臺(tái)前一個(gè)月銷售的手動(dòng)型汽車為560輛，自動(dòng)型汽車為400輛．(2)[560×(1+30％)×8+400×(1+25％)×9]×5％＝516.2(萬(wàn)元)答：政策出臺(tái)后的第一個(gè)月，政府對(duì)這1228臺(tái)汽車用戶共補(bǔ)貼了516.2萬(wàn)元．3.（2020?黃岡）已知A，B兩件服裝的成本共500元，鑫洋服裝店老板分別以30%和20%的利潤(rùn)率定價(jià)后進(jìn)行銷售，該服裝店共獲利130元，問(wèn)A，B兩件服裝的成本各是多少元？【思路點(diǎn)撥】 設(shè)A服裝成本為x元，B服裝成本y元，由題意得等量關(guān)系：①成本共500元；②共獲利130元，根據(jù)等量關(guān)系列出方程組，再解即可．【答案與解析】解：設(shè)A服裝成本為x元，B服裝成本y元，由題意得：，解得：，答：A服裝成本為300元，B服裝成本200元．【總結(jié)升華】主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系，列出方程組．類型三、里程碑上的數(shù)（數(shù)字問(wèn)題）4.小明的爸爸騎摩托車帶著小明在公路上勻速行駛，小明第一次注意到路邊里程碑上的數(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)它是一個(gè)兩位數(shù)且它的兩個(gè)數(shù)字之和為9，剛好過(guò)一個(gè)小時(shí)，他發(fā)現(xiàn)路邊里程碑上的數(shù)恰好是第一次看到的個(gè)位和十位數(shù)字顛倒后得到的，又過(guò)3小時(shí)，他發(fā)現(xiàn)里程碑上的數(shù)字比第一次看到的兩位數(shù)中間多個(gè)0，你知道小明爸爸騎摩托車的速度是多少嗎？【思路點(diǎn)撥】通過(guò)理解題意可知本題存在兩個(gè)等量關(guān)系，即第一次注意到路邊里程碑上的數(shù)的十位數(shù)字+個(gè)位數(shù)字=9；由于是勻速行駛，可以根據(jù)3小時(shí)所行使的路程相等來(lái)列第二個(gè)等量關(guān)系．【答案與解析】解：小明第一次注意到路邊里程碑上的兩位數(shù)的十位數(shù)字為x，個(gè)位數(shù)字為y，根據(jù)題意，得解得，即小明第一次注意到路邊里程碑上的數(shù)字為27，1小時(shí)后小明看到的程碑上的數(shù)字為72，72﹣27=45（千米/小時(shí)），答：小明爸爸騎摩托車的速度是45千米/小時(shí)．舉一反三：【變式】一個(gè)三位數(shù)是一個(gè)兩位數(shù)的5倍．如果把這個(gè)三位數(shù)放在兩位數(shù)的左邊，得到一個(gè)五位數(shù)；如果把這個(gè)三位數(shù)放在兩位數(shù)的右邊，得到另一個(gè)五位數(shù)，且后面的五位數(shù)比前面的五位數(shù)大18648，問(wèn)：兩位數(shù)、三位數(shù)各是多少？【答案】解：設(shè)兩位數(shù)是x，三位數(shù)是y,根據(jù)題意得:，解得:．答：兩位數(shù)、三位數(shù)各是37、185．類型四、行程問(wèn)題5. 某人要在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)由甲地趕往乙地，如果他以每小時(shí)50千米的速度行駛，就會(huì)遲到24分鐘，如果他以每小時(shí)70千米的速度行駛，則可提前24分鐘到達(dá)乙地，求甲乙兩地間的距離.【思路點(diǎn)撥】本題中的等量關(guān)系為：50×（規(guī)定時(shí)間+）＝兩地距離，75×（規(guī)定時(shí)間－）＝兩地距離．通過(guò)解方程組即可得出兩地間距離．【答案與解析】解：設(shè)規(guī)定的時(shí)間為x小時(shí)，甲乙兩地間的距離為y千米. 則由題意可得：     解得：  答：甲乙兩地間的距離為140千米.【總結(jié)升華】比較復(fù)雜的行程問(wèn)題可以通過(guò)畫“線條”圖幫助分析，求解時(shí)應(yīng)分清相遇、追及、相向、同向等關(guān)鍵詞．舉一反三：【變式】（2015?婁底）假如婁底市的出租車是這樣收費(fèi)的：起步價(jià)所包含的路程為0～1.5千米，超過(guò)1.5千米的部分按每千米另收費(fèi)．小劉說(shuō)：“我乘出租車從市政府到婁底汽車站走了4.5千米，付車費(fèi)10.5元．”小李說(shuō)：“我乘出租車從市政府到婁底汽車站走了6.5千米，付車費(fèi)14.5元．”問(wèn)：（1）出租車的起步價(jià)是多少元？超過(guò)1.5千米后每千米收費(fèi)多少元？   （2）小張乘出租車從市政府到婁底南站（高鐵站）走了5.5千米，應(yīng)付車費(fèi)多少元？ 【答案】解：（1）設(shè)出租車的起步價(jià)是x元，超過(guò)1.5千米后每千米收費(fèi)y元．依題意得，，解得．答：出租車的起步價(jià)是元，超過(guò)1.5千米后每千米收費(fèi)2元；（2）+（5.5﹣1.5）×2=12.5（元）．答：小張乘出租車從市政府到婁底南站（高鐵站）走了5.5千米，應(yīng)付車費(fèi)12.5元． 

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