一、單選題
1．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）如圖，已知正三棱柱，E，F(xiàn)分別是棱上的點(diǎn)．記與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）在正方體中，P為的中點(diǎn)，則直線與所成的角為（ ）
A．B．C．D．
3．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）已知正方體（如圖所示），則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2019·全國·高考真題）設(shè)，為兩個(gè)平面，則的充要條件是
A．內(nèi)有無數(shù)條直線與平行
B．內(nèi)有兩條相交直線與平行
C．，平行于同一條直線
D．，垂直于同一平面
5．（2018·全國·高考真題）在正方體中，為棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的正切值為
A．B．C．D．
二、多選題
6．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知正方體，則（ ）
A．直線與所成的角為B．直線與所成的角為
C．直線與平面所成的角為D．直線與平面ABCD所成的角為
7．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點(diǎn)，M，N為正方體的頂點(diǎn)．則滿足的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空題
8．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)有下列四個(gè)命題：
p1：兩兩相交且不過同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi).
p2：過空間中任意三點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面.
p3：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行.
p4：若直線l平面α，直線m⊥平面α，則m⊥l.
則下述命題中所有真命題的序號(hào)是__________.
①②③④
9．（2019·北京·高考真題）已知l，m是平面外的兩條不同直線．給出下列三個(gè)論斷：
①l⊥m；②m∥；③l⊥．
以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題：__________．
四、解答題
10．（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，M，N分別為的中點(diǎn)，.
（1）證明：；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
11．（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）如圖：在正方體中，為中點(diǎn)，與平面交于點(diǎn)．
（1）求證：為的中點(diǎn)；
（2）點(diǎn)是棱上一點(diǎn)，且二面角的余弦值為，求的值．
12．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，在長方體中，點(diǎn)分別在棱上，且，．
（1）證明：點(diǎn)在平面內(nèi)；
（2）若，，，求二面角的正弦值．
13．（2020·北京·統(tǒng)考高考真題）如圖，在正方體中， E為的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．
14．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，在長方體中，點(diǎn)，分別在棱，上，且，．證明：
（1）當(dāng)時(shí)，；
（2）點(diǎn)在平面內(nèi)．
15．（2019·全國·高考真題）圖1是由矩形和菱形組成的一個(gè)平面圖形，其中， ，將其沿折起使得與重合，連結(jié)，如圖2.
（1）證明圖2中的四點(diǎn)共面，且平面平面；
（2）求圖2中的四邊形的面積.
參考答案：
1．A
【分析】先用幾何法表示出，再根據(jù)邊長關(guān)系即可比較大?。?br>【詳解】如圖所示，過點(diǎn)作于，過作于，連接，
則，，，
，，，
所以，
故選：A．
2．D
【分析】平移直線至，將直線與所成的角轉(zhuǎn)化為與所成的角，解三角形即可.
【詳解】
如圖，連接，因?yàn)椤危?br>所以或其補(bǔ)角為直線與所成的角，
因?yàn)槠矫?，所以，又，?br>所以平面，所以，
設(shè)正方體棱長為2，則，
，所以.
故選：D
3．D
【分析】根據(jù)異面直線的定義，垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，判斷選項(xiàng).
【詳解】A.，與相交，所以與異面，故A錯(cuò)誤；
B.與平面相交，且，所以與異面，故B錯(cuò)誤；
C.四邊形是矩形，不是菱形，所以對角線與不垂直，故C錯(cuò)誤；
D.連結(jié)，，，，所以平面，所以，故D正確.
故選：D
4．B
【分析】本題考查了空間兩個(gè)平面的判定與性質(zhì)及充要條件，滲透直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)，利用面面平行的判定定理與性質(zhì)定理即可作出判斷．
【詳解】由面面平行的判定定理知：內(nèi)兩條相交直線都與平行是的充分條件，由面面平行性質(zhì)定理知，若，則內(nèi)任意一條直線都與平行，所以內(nèi)兩條相交直線都與平行是的必要條件，故選B．
【點(diǎn)睛】面面平行的判定問題要緊扣面面平行判定定理，最容易犯的錯(cuò)誤為定理記不住，憑主觀臆斷，如：“若，則”此類的錯(cuò)誤．
5．C
【分析】利用正方體中，，將問題轉(zhuǎn)化為求共面直線與所成角的正切值，在中進(jìn)行計(jì)算即可.
【詳解】在正方體中，，所以異面直線與所成角為，
設(shè)正方體邊長為，則由為棱的中點(diǎn)，可得，所以，
則.故選C.
【點(diǎn)睛】求異面直線所成角主要有以下兩種方法：
（1）幾何法：①平移兩直線中的一條或兩條，到一個(gè)平面中；②利用邊角關(guān)系，找到（或構(gòu)造）所求角所在的三角形；③求出三邊或三邊比例關(guān)系，用余弦定理求角；
（2）向量法：①求兩直線的方向向量；②求兩向量夾角的余弦；③因?yàn)橹本€夾角為銳角，所以②對應(yīng)的余弦取絕對值即為直線所成角的余弦值.
6．ABD
【分析】數(shù)形結(jié)合，依次對所給選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.
【詳解】如圖，連接、，因?yàn)?，所以直線與所成的角即為直線與所成的角，
因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，則，故直線與所成的角為，A正確；
連接，因?yàn)槠矫?，平面，則，
因?yàn)?，，所以平面?br>又平面，所以，故B正確；
連接，設(shè)，連接，
因?yàn)槠矫?，平面，則，
因?yàn)?，，所以平面?br>所以為直線與平面所成的角，
設(shè)正方體棱長為，則，，，
所以，直線與平面所成的角為，故C錯(cuò)誤；
因?yàn)槠矫妫詾橹本€與平面所成的角，易得，故D正確.
故選：ABD
7．BC
【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理可得BC的正誤，平移直線構(gòu)造所考慮的線線角后可判斷AD的正誤.
【詳解】設(shè)正方體的棱長為，
對于A，如圖（1）所示，連接，則，
故（或其補(bǔ)角）為異面直線所成的角，
在直角三角形，，，故，
故不成立，故A錯(cuò)誤.
對于B，如圖（2）所示，取的中點(diǎn)為，連接，，則，，
由正方體可得平面，而平面，
故，而，故平面，
又平面，，而，
所以平面，而平面，故，故B正確.
對于C，如圖（3），連接，則，由B的判斷可得，
故，故C正確.
對于D，如圖（4），取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，
則，
因?yàn)?，故，故?br>所以或其補(bǔ)角為異面直線所成的角，
因?yàn)檎襟w的棱長為2，故，，
，，故不是直角，
故不垂直，故D錯(cuò)誤.
故選：BC.
8．①③④
【分析】利用兩交線直線確定一個(gè)平面可判斷命題的真假；利用三點(diǎn)共線可判斷命題的真假；利用異面直線可判斷命題的真假，利用線面垂直的定義可判斷命題的真假.再利用復(fù)合命題的真假可得出結(jié)論.
【詳解】對于命題，可設(shè)與相交，這兩條直線確定的平面為；
若與相交，則交點(diǎn)在平面內(nèi)，
同理，與的交點(diǎn)也在平面內(nèi)，
所以，，即，命題為真命題；
對于命題，若三點(diǎn)共線，則過這三個(gè)點(diǎn)的平面有無數(shù)個(gè)，
命題為假命題；
對于命題，空間中兩條直線相交、平行或異面，
命題為假命題；
對于命題，若直線平面，
則垂直于平面內(nèi)所有直線，
直線平面，直線直線，
命題為真命題.
綜上可知，，為真命題，，為假命題，
為真命題，為假命題，
為真命題，為真命題.
故答案為：①③④.
【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合命題的真假，同時(shí)也考查了空間中線面關(guān)系有關(guān)命題真假的判斷，考查推理能力，屬于中等題.
9．如果l⊥α，m∥α，則l⊥m或如果l⊥α，l⊥m，則m∥α.
【分析】將所給論斷，分別作為條件、結(jié)論加以分析.
【詳解】將所給論斷，分別作為條件、結(jié)論，得到如下三個(gè)命題：
（1）如果l⊥α，m∥α，則l⊥m. 正確；
（2）如果l⊥α，l⊥m，則m∥α.正確；
（3）如果l⊥m，m∥α，則l⊥α.不正確，有可能l與α斜交、l∥α.
【點(diǎn)睛】本題主要考查空間線面的位置關(guān)系、命題、邏輯推理能力及空間想象能力.
10．（1）證明見解析；（2）．
【分析】（1）要證，可證，由題意可得，，易證，從而平面，即有，從而得證；
（2）取中點(diǎn)，根據(jù)題意可知，兩兩垂直，所以以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，再分別求出向量和平面的一個(gè)法向量，即可根據(jù)線面角的向量公式求出．
【詳解】（1）在中，，，，由余弦定理可得，
所以，．由題意且，平面，而平面，所以，又，所以．
（2）由，，而與相交，所以平面，因?yàn)?，所以，取中點(diǎn)，連接，則兩兩垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系,
則,
又為中點(diǎn)，所以.
由（1）得平面，所以平面的一個(gè)法向量
從而直線與平面所成角的正弦值為．
【點(diǎn)睛】本題第一問主要考查線面垂直的相互轉(zhuǎn)化，要證明，可以考慮，
題中與有垂直關(guān)系的直線較多，易證平面，從而使問題得以解決；第二問思路直接，由第一問的垂直關(guān)系可以建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)線面角的向量公式即可計(jì)算得出．
11．（1）證明見解析；（2）．
【分析】(1)首先將平面進(jìn)行擴(kuò)展，然后結(jié)合所得的平面與直線的交點(diǎn)即可證得題中的結(jié)論；
(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間直角坐標(biāo)系求得相應(yīng)平面的法向量，然后解方程即可求得實(shí)數(shù)的值.
【詳解】(1)如圖所示，取的中點(diǎn)，連結(jié)，
由于為正方體，為中點(diǎn)，故，
從而四點(diǎn)共面，即平面CDE即平面，
據(jù)此可得：直線交平面于點(diǎn)，
當(dāng)直線與平面相交時(shí)只有唯一的交點(diǎn)，故點(diǎn)與點(diǎn)重合，
即點(diǎn)為中點(diǎn).
(2)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向分別為軸，軸，軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，
不妨設(shè)正方體的棱長為2，設(shè)，
則：，
從而：，
設(shè)平面的法向量為：，則：
，
令可得：，
設(shè)平面的法向量為：，則：
，
令可得：，
從而：，
則：，
整理可得：，故（舍去）.
【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何中的線面關(guān)系和二面角的求解問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力，對于立體幾何中角的計(jì)算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.
12．（1）證明見解析；（2）.
【分析】（1）方法一:連接、，證明出四邊形為平行四邊形，進(jìn)而可證得點(diǎn)在平面內(nèi)；
（2）方法一：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可計(jì)算出二面角的余弦值，進(jìn)而可求得二面角的正弦值.
【詳解】（1）［方法一］【最優(yōu)解】：利用平面基本事實(shí)的推論
在棱上取點(diǎn)，使得，連接、、、，如圖1所示.
在長方體中，，所以四邊形為平行四邊形，則，而，所以，所以四邊形為平行四邊形，即有，同理可證四邊形為平行四邊形，，，因此點(diǎn)在平面內(nèi).
［方法二］：空間向量共線定理
以分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖2所示．
設(shè)，則．
所以．故．所以，點(diǎn)在平面內(nèi)．
［方法三］：平面向量基本定理
同方法二建系，并得，
所以．
故．所以點(diǎn)在平面內(nèi)．
［方法四］：
根據(jù)題意，如圖3，設(shè)．
在平面內(nèi)，因?yàn)?，所以?br>延長交于G，
平面，
平面．
，
所以平面平面①．
延長交于H，同理平面平面②．
由①②得，平面平面．
連接，根據(jù)相似三角形知識(shí)可得．
在中，．
同理，在中，．
如圖4，在中，．
所以，即G，，H三點(diǎn)共線．
因?yàn)槠矫?，所以平面，得證．
［方法五］：
如圖5，連接，則四邊形為平行四邊形，設(shè)與相交于點(diǎn)O，則O為的中點(diǎn)．聯(lián)結(jié)，由長方體知識(shí)知，體對角線交于一點(diǎn)，且為它們的中點(diǎn)，即，則經(jīng)過點(diǎn)O，故點(diǎn)在平面內(nèi)．
（2）［方法一］【最優(yōu)解】：坐標(biāo)法
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，如圖2.
則、、、，
，，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
由，得取，得，則，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
由，得，取，得，，則，
，
設(shè)二面角的平面角為，則，.
因此，二面角的正弦值為.
［方法二］：定義法
在中，，即，所以．在中，，如圖6，設(shè)的中點(diǎn)分別為M，N，連接，則，所以為二面角的平面角．
在中，．
所以，則．
［方法三］：向量法
由題意得，
由于，所以．
如圖7，在平面內(nèi)作，垂足為G，
則與的夾角即為二面角的大小．
由，得．
其中，，解得，．
所以二面角的正弦值．
［方法四］：三面角公式
由題易得，．
所以．
．
．
設(shè)為二面角的平面角，由二面角的三個(gè)面角公式，得
，所以．
【整體點(diǎn)評(píng)】（1）方法一：通過證明直線，根據(jù)平面的基本事實(shí)二的推論即可證出，思路直接，簡單明了，是通性通法，也是最優(yōu)解；方法二：利用空間向量基本定理證明；方法三：利用平面向量基本定理；方法四：利用平面的基本事實(shí)三通過證明三點(diǎn)共線說明點(diǎn)在平面內(nèi)；方法五：利用平面的基本事實(shí)以及平行四邊形的對角線和長方體的體對角線互相平分即可證出．
（2）方法一：利用建立空間直角坐標(biāo)系，由兩個(gè)平面的法向量的夾角和二面角的關(guān)系求出；方法二：利用二面角的定義結(jié)合解三角形求出；方法三：利用和二面角公共棱垂直的兩個(gè)向量夾角和二面角的關(guān)系即可求出，為最優(yōu)解；方法四：利用三面角的余弦公式即可求出．
13．（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）證明出四邊形為平行四邊形，可得出，然后利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論；也可利用空間向量計(jì)算證明；
（Ⅱ）可以將平面擴(kuò)展，將線面角轉(zhuǎn)化，利用幾何方法作出線面角，然后計(jì)算；也可以建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計(jì)算求解 .
【詳解】（Ⅰ）[方法一]：幾何法
如下圖所示：
在正方體中，且，且，
且，所以，四邊形為平行四邊形，則，
平面，平面，平面；
[方法二]:空間向量坐標(biāo)法
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體的棱長為，則、、、，，，
設(shè)平面的法向量為，由，得，
令，則，，則.
又∵向量,,
又平面，平面；
（Ⅱ）[方法一]：幾何法
延長到，使得，連接，交于，
又∵，∴四邊形為平行四邊形，∴，
又∵,∴,所以平面即平面,
連接，作,垂足為,連接,
∵平面,平面,∴，
又∵,∴直線平面,
又∵直線平面,∴平面平面,
∴在平面中的射影在直線上,∴直線為直線在平面中的射影，∠為直線與平面所成的角，
根據(jù)直線直線，可知∠為直線與平面所成的角.
設(shè)正方體的棱長為2，則,,∴,
∴,
∴,
即直線與平面所成角的正弦值為.
[方法二]：向量法
接續(xù)（I)的向量方法，求得平面平面的法向量，
又∵,∴，
∴直線與平面所成角的正弦值為.
[方法三]：幾何法+體積法
如圖，設(shè)的中點(diǎn)為F，延長，易證三線交于一點(diǎn)P．
因?yàn)椋?br>所以直線與平面所成的角，即直線與平面所成的角．
設(shè)正方體的棱長為2，在中，易得，
可得．
由，得，
整理得．
所以．
所以直線與平面所成角的正弦值為．
[方法四]：純體積法
設(shè)正方體的棱長為2，點(diǎn)到平面的距離為h，
在中，，
，
所以，易得．
由，得，解得，
設(shè)直線與平面所成的角為，所以．
【整體點(diǎn)評(píng)】（Ⅰ）的方法一使用線面平行的判定定理證明，方法二使用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行證明；
（II）第一種方法中使用純幾何方法，適合于沒有學(xué)習(xí)空間向量之前的方法，有利用培養(yǎng)學(xué)生的集合論證和空間想象能力，第二種方法使用空間向量方法，兩小題前后連貫，利用計(jì)算論證和求解，定為最優(yōu)解法；方法三在幾何法的基礎(chǔ)上綜合使用體積方法，計(jì)算較為簡潔；方法四不作任何輔助線，僅利用正余弦定理和體積公式進(jìn)行計(jì)算，省卻了輔助線和幾何的論證，不失為一種優(yōu)美的方法.
14．（1）證明見解析；（2）證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)正方形性質(zhì)得，根據(jù)長方體性質(zhì)得,進(jìn)而可證平面,即得結(jié)果；
（2）只需證明即可，在上取點(diǎn)使得,再通過平行四邊形性質(zhì)進(jìn)行證明即可.
【詳解】
（1）因?yàn)殚L方體,所以平面,
因?yàn)殚L方體,所以四邊形為正方形
因?yàn)槠矫?因此平面,
因?yàn)槠矫?所以；
（2）在上取點(diǎn)使得,連,
因?yàn)?所以
所以四邊形為平行四邊形，
因?yàn)樗运狞c(diǎn)共面，所以四邊形為平行四邊形， ，所以四點(diǎn)共面，
因此在平面內(nèi)
【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直判定定理、線線平行判定，考查基本分析論證能力，屬中檔題.
15．(1)見詳解；(2)4.
【分析】(1)因?yàn)檎奂埡驼澈喜桓淖兙匦?，和菱形?nèi)部的夾角，所以，依然成立，又因和粘在一起，所以得證.因?yàn)槭瞧矫娲咕€，所以易證.(2) 欲求四邊形的面積，需求出所對應(yīng)的高，然后乘以即可．
【詳解】(1)證：，，又因?yàn)楹驼吃谝黄?
，A，C，G，D四點(diǎn)共面.
又.
平面BCGE，平面ABC，平面ABC平面BCGE，得證.
(2)取的中點(diǎn)，連結(jié).因?yàn)?，平面BCGE，所以平面BCGE，故，
由已知，四邊形BCGE是菱形，且得，故平面DEM．
因此．
在中，DE=1，，故．
所以四邊形ACGD的面積為4.
【點(diǎn)睛】很新穎的立體幾何考題．首先是多面體粘合問題，考查考生在粘合過程中哪些量是不變的．再者粘合后的多面體不是直棱柱，最后將求四邊形的面積考查考生的空間想象能力.

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16-直線、平面平行的判斷與性質(zhì)-五年（2018-2022）高考數(shù)學(xué)真題按知識(shí)點(diǎn)分類匯編

16-直線、平面平行的判斷與性質(zhì)-五年（2018-2022）高考數(shù)學(xué)真題按知識(shí)點(diǎn)分類匯編
五年2018-2022高考數(shù)學(xué)真題按知識(shí)點(diǎn)分類匯編17-直線、平面垂直的判斷與性質(zhì)（含解析）

五年2018-2022高考數(shù)學(xué)真題按知識(shí)點(diǎn)分類匯編17-直線、平面垂直的判斷與性質(zhì)（含解析）
五年2018-2022高考數(shù)學(xué)真題按知識(shí)點(diǎn)分類匯編16-直線、平面平行的判斷與性質(zhì)（含解析）

五年2018-2022高考數(shù)學(xué)真題按知識(shí)點(diǎn)分類匯編16-直線、平面平行的判斷與性質(zhì)（含解析）
五年2018-2022高考數(shù)學(xué)真題按知識(shí)點(diǎn)分類匯編15-空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系（含解析）

五年2018-2022高考數(shù)學(xué)真題按知識(shí)點(diǎn)分類匯編15-空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系（含解析）
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