?五年2018-2022高考數(shù)學(xué)真題按知識(shí)點(diǎn)分類匯編17-直線、平面垂直的判斷與性質(zhì)（含解析）

一、單選題
1．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）在正方體中，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，則（????）
A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面平面
2．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）在長(zhǎng)方體中，已知與平面和平面所成的角均為，則（????）
A． B．AB與平面所成的角為
C． D．與平面所成的角為
3．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）如圖，已知正三棱柱，E，F(xiàn)分別是棱上的點(diǎn)．記與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（????）

A． B． C． D．
4．（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）如圖已知正方體，M，N分別是，的中點(diǎn)，則（????）

A．直線與直線垂直，直線平面
B．直線與直線平行，直線平面
C．直線與直線相交，直線平面
D．直線與直線異面，直線平面
5．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）已知正方體（如圖所示），則下列結(jié)論正確的是（????）

A． B． C． D．
6．（2019·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）如圖，點(diǎn)為正方形的中心，為正三角形，平面平面是線段的中點(diǎn)，則

A．，且直線是相交直線
B．，且直線是相交直線
C．，且直線是異面直線
D．，且直線是異面直線
7．（2018·全國(guó)·高考真題）在長(zhǎng)方體中，，與平面所成的角為，則該長(zhǎng)方體的體積為
A． B． C． D．
8．（2018·全國(guó)·高考真題）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，每條棱所在直線與平面所成的角都相等，則截此正方體所得截面面積的最大值為
A． B． C． D．

二、多選題
9．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知正方體，則（????）
A．直線與所成的角為 B．直線與所成的角為
C．直線與平面所成的角為 D．直線與平面ABCD所成的角為
10．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）如圖，四邊形為正方形，平面，，記三棱錐，，的體積分別為，則（????）

A． B．
C． D．
11．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點(diǎn)，M，N為正方體的頂點(diǎn)．則滿足的是（????）
A． B．
C． D．

三、填空題
12．（2019·全國(guó)·高考真題）已知∠ACB=90°，P為平面ABC外一點(diǎn)，PC=2，點(diǎn)P到∠ACB兩邊AC，BC的距離均為，那么P到平面ABC的距離為___________．
13．（2018·全國(guó)·高考真題）已知圓錐的頂點(diǎn)為，母線，所成角的余弦值為，與圓錐底面所成角為45°，若的面積為，則該圓錐的側(cè)面積為__________．

四、解答題
14．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為．

(1)求A到平面的距離；
(2)設(shè)D為的中點(diǎn)，，平面平面，求二面角的正弦值．
15．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）如圖，四面體中，，E為的中點(diǎn)．

(1)證明：平面平面；
(2)設(shè)，點(diǎn)F在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求與平面所成的角的正弦值．
16．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）在四棱錐中，底面．

(1)證明：；
(2)求PD與平面所成的角的正弦值．
17．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）如圖，四面體中，，E為AC的中點(diǎn)．

(1)證明：平面平面ACD；
(2)設(shè)，點(diǎn)F在BD上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求三棱錐的體積．
18．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角為．設(shè)M，N分別為的中點(diǎn)．

(1)證明：；
(2)求直線與平面所成角的正弦值．
19．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn)．

（1）證明：；
（2）當(dāng)為何值時(shí)，面與面所成的二面角的正弦值最小?
20．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）在四棱錐中，底面是正方形，若．

（1）證明：平面平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值．
21．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點(diǎn).

（1）證明：；
（2）若是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.
22．（2021·全國(guó)·高考真題）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，.

（1）求三棱錐的體積；
（2）已知D為棱上的點(diǎn)，證明：.
23．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，M為的中點(diǎn)，且．

（1）證明：平面平面；
（2）若，求四棱錐的體積．
24．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，側(cè)面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點(diǎn)，P為AM上一點(diǎn)，過(guò)B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.

（1）證明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；
（2）設(shè)O為△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直線B1E與平面A1AMN所成角的正弦值.
25．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)分別在棱上，且，．

（1）證明：點(diǎn)在平面內(nèi)；
（2）若，，，求二面角的正弦值．
26．（2020·北京·統(tǒng)考高考真題）如圖，在正方體中， E為的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．
27．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點(diǎn)，∠APC=90°．

（1）證明：平面PAB⊥平面PAC；
（2）設(shè)DO=，圓錐的側(cè)面積為，求三棱錐P?ABC的體積.
28．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）如圖，已知三棱柱ABC–A1B1C1的底面是正三角形，側(cè)面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點(diǎn)，P為AM上一點(diǎn)．過(guò)B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．

（1）證明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；
（2）設(shè)O為△A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB1C1F，且∠MPN=，求四棱錐B–EB1C1F的體積．
29．（2020·浙江·統(tǒng)考高考真題）如圖，三棱臺(tái)ABC—DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC =2BC．

（I）證明：EF⊥DB；
（II）求DF與面DBC所成角的正弦值．
30．（2020·海南·高考真題）如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD底面ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為．

（1）證明：平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q為上的點(diǎn)，QB=，求PB與平面QCD所成角的正弦值．
31．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）已知點(diǎn)，分別是正方形的邊，的中點(diǎn).現(xiàn)將四邊形沿折起，使二面角為直二面角，如圖所示.

（1）若點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
32．（2020·江蘇·統(tǒng)考高考真題）在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別是AC，B1C的中點(diǎn)．

（1）求證：EF∥平面AB1C1；
（2）求證：平面AB1C⊥平面ABB1．
33．（2018·全國(guó)·高考真題）如圖，在三棱錐中，，，為的中點(diǎn)．

（1）證明：平面；
（2）若點(diǎn)在棱上，且二面角為，求與平面所成角的正弦值．
34．（2018·全國(guó)·高考真題）如圖，四邊形為正方形，分別為的中點(diǎn)，以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且.
（1）證明：平面平面；
（2）求與平面所成角的正弦值.

35．（2019·全國(guó)·高考真題）如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn).

（1）證明：MN∥平面C1DE；
（2）求點(diǎn)C到平面C1DE的距離．
36．（2018·全國(guó)·高考真題）如圖，在三棱錐中，，，為的中點(diǎn)．
????（1）證明：平面；
????（2）若點(diǎn)在棱上，且，求點(diǎn)到平面的距離．

37．（2019·浙江·高考真題）如圖，已知三棱柱，平面平面,，分別是的中點(diǎn).

（1）證明：；
（2）求直線與平面所成角的余弦值.
38．（2019·天津·高考真題） 如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，為等邊三角形，平面平面，，，，

（Ⅰ）設(shè)分別為的中點(diǎn)，求證：平面；
（Ⅱ）求證：平面；
（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.
39．（2019·全國(guó)·高考真題）如圖，長(zhǎng)方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點(diǎn)E在棱AA1上，BE⊥EC1.

（1）證明：BE⊥平面EB1C1；
（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值.
40．（2018·全國(guó)·高考真題）如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形所在的平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點(diǎn)．
（1）證明：平面平面；
（2）當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，求面與面所成二面角的正弦值．

41．（2019·全國(guó)·高考真題）如圖，長(zhǎng)方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點(diǎn)E在棱AA1上，BE⊥EC1.

（1）證明：BE⊥平面EB1C1；
（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱錐的體積．
42．（2019·北京·高考真題）如圖，在四棱錐P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E為PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PC上，且．
（Ⅰ）求證：CD⊥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)G在PB上，且．判斷直線AG是否在平面AEF內(nèi)，說(shuō)明理由．

43．（2019·全國(guó)·高考真題）圖1是由矩形和菱形組成的一個(gè)平面圖形，其中， ，將其沿折起使得與重合，連結(jié)，如圖2.
（1）證明圖2中的四點(diǎn)共面，且平面平面；
（2）求圖2中的四邊形的面積.

44．（2018·全國(guó)·高考真題）如圖，在平行四邊形中，，，以為折痕將△折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且．
（1）證明：平面平面；
（2）為線段上一點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，且，求三棱錐的體積．

45．（2018·北京·高考真題）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，，、分別為、的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）求證：平面平面；
（Ⅲ）求證：平面.
46．（2018·全國(guó)·高考真題）如圖，矩形所在平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點(diǎn)．
（1）證明：平面平面；
（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？說(shuō)明理由．

47．（2019·北京·高考真題）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底部ABCD為菱形，E為CD的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若∠ABC=60°，求證：平面PAB⊥平面PAE；
（Ⅲ）棱PB上是否存在點(diǎn)F，使得CF∥平面PAE？說(shuō)明理由.
48．（2019·江蘇·高考真題）如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別為BC，AC的中點(diǎn)，AB=BC．

求證：（1）A1B1∥平面DEC1；
（2）BE⊥C1E．
49．（2018·浙江·高考真題）如圖，已知多面體均垂直于平面．

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．


參考答案：
1．A
【分析】證明平面，即可判斷A；如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，分別求出平面，，的法向量，根據(jù)法向量的位置關(guān)系，即可判斷BCD.
【詳解】解：在正方體中，
且平面，
又平面，所以，
因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，
所以，所以，
又，
所以平面，
又平面，
所以平面平面，故A正確；
選項(xiàng)BCD解法一：
如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，
則，
，
則，，

設(shè)平面的法向量為，
則有，可取，
同理可得平面的法向量為，
平面的法向量為，
平面的法向量為，
則，
所以平面與平面不垂直，故B錯(cuò)誤；
因?yàn)榕c不平行，
所以平面與平面不平行，故C錯(cuò)誤；
因?yàn)榕c不平行，
所以平面與平面不平行，故D錯(cuò)誤，
故選：A.

選項(xiàng)BCD解法二：
解：對(duì)于選項(xiàng)B，如圖所示，設(shè)，，則為平面與平面的交線，
在內(nèi)，作于點(diǎn)，在內(nèi)，作，交于點(diǎn)，連結(jié)，
則或其補(bǔ)角為平面與平面所成二面角的平面角，

由勾股定理可知：，，
底面正方形中，為中點(diǎn)，則，
由勾股定理可得，
從而有：，
據(jù)此可得，即，
據(jù)此可得平面平面不成立，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C，取的中點(diǎn)，則，
由于與平面相交，故平面平面不成立，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D，取的中點(diǎn)，很明顯四邊形為平行四邊形，則，
由于與平面相交，故平面平面不成立，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；

故選：A.

2．D
【分析】根據(jù)線面角的定義以及長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征即可求出．
【詳解】如圖所示：

不妨設(shè)，依題以及長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征可知，與平面所成角為，與平面所成角為，所以，即，，解得．
對(duì)于A，，，，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，過(guò)作于，易知平面，所以與平面所成角為，因?yàn)?，所以，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，，，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，與平面所成角為，，而，所以．D正確．
故選：D．

3．A
【分析】先用幾何法表示出，再根據(jù)邊長(zhǎng)關(guān)系即可比較大?。?br /> 【詳解】如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)作于，連接，

則，，，
，，，
所以，
故選：A．

4．A
【分析】由正方體間的垂直、平行關(guān)系，可證平面，即可得出結(jié)論.
【詳解】
連，在正方體中，
M是的中點(diǎn)，所以為中點(diǎn)，
又N是的中點(diǎn)，所以，
平面平面，
所以平面.
因?yàn)椴淮怪保圆淮怪?br /> 則不垂直平面，所以選項(xiàng)B,D不正確；
在正方體中，，
平面，所以，
，所以平面，
平面，所以，
且直線是異面直線，
所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)A正確.
故選：A.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：熟練掌握正方體中的垂直、平行關(guān)系是解題的關(guān)鍵，如兩條棱平行或垂直，同一個(gè)面對(duì)角線互相垂直，正方體的對(duì)角線與面的對(duì)角線是相交但不垂直或異面垂直關(guān)系.
5．D
【分析】根據(jù)異面直線的定義，垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，判斷選項(xiàng).
【詳解】A.，與相交，所以與異面，故A錯(cuò)誤；
B.與平面相交，且，所以與異面，故B錯(cuò)誤；
C.四邊形是矩形，不是菱形，所以對(duì)角線與不垂直，故C錯(cuò)誤；
D.連結(jié)，，，，所以平面，所以，故D正確.

故選：D
6．B
【解析】利用垂直關(guān)系，再結(jié)合勾股定理進(jìn)而解決問(wèn)題．
【詳解】如圖所示， 作于，連接，過(guò)作于．
連，平面平面．
平面，平面，平面，
與均為直角三角形．設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2，易知，
．，故選B．

【點(diǎn)睛】本題考查空間想象能力和計(jì)算能力， 解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形．
7．C
【分析】首先畫出長(zhǎng)方體，利用題中條件，得到，根據(jù)，求得，可以確定，之后利用長(zhǎng)方體的體積公式求出長(zhǎng)方體的體積.
【詳解】在長(zhǎng)方體中，連接，

根據(jù)線面角的定義可知，
因?yàn)?，所以，從而求得?br /> 所以該長(zhǎng)方體的體積為，故選C.
【點(diǎn)睛】該題考查的是長(zhǎng)方體的體積的求解問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，需要明確長(zhǎng)方體的體積公式為長(zhǎng)寬高的乘積，而題中的條件只有兩個(gè)值，所以利用題中的條件求解另一條邊的長(zhǎng)就顯得尤為重要，此時(shí)就需要明確線面角的定義，從而得到量之間的關(guān)系，從而求得結(jié)果.
8．A
【分析】首先利用正方體的棱是3組每組有互相平行的4條棱，所以與12條棱所成角相等，只需與從同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱所成角相等即可，從而判斷出面的位置，截正方體所得的截面為一個(gè)正六邊形，且邊長(zhǎng)是面的對(duì)角線的一半，應(yīng)用面積公式求得結(jié)果.
【詳解】根據(jù)相互平行的直線與平面所成的角是相等的，
所以在正方體中，
平面與線所成的角是相等的，
所以平面與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等的，
同理平面也滿足與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等，
要求截面面積最大，則截面的位置為夾在兩個(gè)面與中間的，
且過(guò)棱的中點(diǎn)的正六邊形，且邊長(zhǎng)為，
所以其面積為，故選A.
點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)平面被正方體所截得的截面多邊形的面積問(wèn)題，首要任務(wù)是需要先確定截面的位置，之后需要從題的條件中找尋相關(guān)的字眼，從而得到其為過(guò)六條棱的中點(diǎn)的正六邊形，利用六邊形的面積的求法，應(yīng)用相關(guān)的公式求得結(jié)果.
9．ABD
【分析】數(shù)形結(jié)合，依次對(duì)所給選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.
【詳解】如圖，連接、，因?yàn)?，所以直線與所成的角即為直線與所成的角，
因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，則，故直線與所成的角為，A正確；

連接，因?yàn)槠矫?，平面，則，
因?yàn)?，，所以平面?br /> 又平面，所以，故B正確；
連接，設(shè)，連接，
因?yàn)槠矫妫矫?，則，
因?yàn)椋?，所以平面?br /> 所以為直線與平面所成的角，
設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，則，，，
所以，直線與平面所成的角為，故C錯(cuò)誤；
因?yàn)槠矫?，所以為直線與平面所成的角，易得，故D正確.
故選：ABD

10．CD
【分析】直接由體積公式計(jì)算，連接交于點(diǎn)，連接，由計(jì)算出，依次判斷選項(xiàng)即可.
【詳解】
設(shè)，因?yàn)槠矫妫瑒t，
，連接交于點(diǎn)，連接，易得，
又平面，平面，則，又，平面，則平面，
又，過(guò)作于，易得四邊形為矩形，則，
則，，
，則，，，
則，則，，，故A、B錯(cuò)誤；C、D正確.
故選：CD.

11．BC
【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理可得BC的正誤，平移直線構(gòu)造所考慮的線線角后可判斷AD的正誤.
【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，
對(duì)于A，如圖（1）所示，連接，則，
故（或其補(bǔ)角）為異面直線所成的角，
在直角三角形，，，故，
故不成立，故A錯(cuò)誤.

對(duì)于B，如圖（2）所示，取的中點(diǎn)為，連接，，則，，
由正方體可得平面，而平面，
故，而，故平面，
又平面，，而，
所以平面，而平面，故，故B正確.

對(duì)于C，如圖（3），連接，則，由B的判斷可得，
故，故C正確.

對(duì)于D，如圖（4），取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，
則，
因?yàn)?，故，故?br /> 所以或其補(bǔ)角為異面直線所成的角，

因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2，故，，
，，故不是直角，
故不垂直，故D錯(cuò)誤.
故選：BC.
12．.
【分析】本題考查學(xué)生空間想象能力，合理畫圖成為關(guān)鍵，準(zhǔn)確找到在底面上的射影，使用線面垂直定理，得到垂直關(guān)系，勾股定理解決．
【詳解】作分別垂直于，平面，連，
知，，
平面，平面，

，．，
，
，為平分線，
，又，
．

【點(diǎn)睛】畫圖視角選擇不當(dāng)，線面垂直定理使用不夠靈活，難以發(fā)現(xiàn)垂直關(guān)系，問(wèn)題即很難解決，將幾何體擺放成正常視角，是立體幾何問(wèn)題解決的有效手段，幾何關(guān)系利于觀察，解題事半功倍．
13．
【分析】先根據(jù)三角形面積公式求出母線長(zhǎng),再根據(jù)母線與底面所成角得底面半徑，最后根據(jù)圓錐側(cè)面積公式求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)槟妇€，所成角的余弦值為，所以母線，所成角的正弦值為，因?yàn)榈拿娣e為，設(shè)母線長(zhǎng)為所以，
因?yàn)榕c圓錐底面所成角為45°，所以底面半徑為，
因此圓錐的側(cè)面積為．
【整體點(diǎn)評(píng)】根據(jù)三角形面積公式先求出母線長(zhǎng)，再根據(jù)線面角求出底面半徑，最后根據(jù)圓錐側(cè)面積公式求出側(cè)面積，思路直接自然，是該題的最優(yōu)解．
14．(1)
(2)

【分析】（1）由等體積法運(yùn)算即可得解；
（2）由面面垂直的性質(zhì)及判定可得平面，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法即可得解.
【詳解】（1）在直三棱柱中，設(shè)點(diǎn)A到平面的距離為h，
則，
解得，
所以點(diǎn)A到平面的距離為；
（2）取的中點(diǎn)E,連接AE,如圖，因?yàn)?，所?
又平面平面，平面平面，
且平面，所以平面，
在直三棱柱中，平面，
由平面，平面可得，，
又平面且相交，所以平面，
所以兩兩垂直，以B為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

由（1）得，所以，，所以，
則,所以的中點(diǎn)，
則，,
設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，
可取，
設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，
可取，
則，
所以二面角的正弦值為.

15．(1)證明過(guò)程見解析
(2)與平面所成的角的正弦值為

【分析】（1）根據(jù)已知關(guān)系證明，得到，結(jié)合等腰三角形三線合一得到垂直關(guān)系，結(jié)合面面垂直的判定定理即可證明；
（2）根據(jù)勾股定理逆用得到，從而建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合線面角的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.
（1）
因?yàn)?，E為的中點(diǎn)，所以；
在和中，因?yàn)椋?br /> 所以，所以，又因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以；
又因?yàn)槠矫?，，所以平面?br /> 因?yàn)槠矫?，所以平面平?
（2）
連接，由（1）知，平面，因?yàn)槠矫妫?br /> 所以，所以，
當(dāng)時(shí)，最小，即的面積最小.
因?yàn)?，所以?br /> 又因?yàn)?，所以是等邊三角形?br /> 因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以，，
因?yàn)椋?
在中，，所以.
以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，所以，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，取，則，
又因?yàn)椋裕?br /> 所以，
設(shè)與平面所成的角的正弦值為，
所以，
所以與平面所成的角的正弦值為.


16．(1)證明見解析；
(2).

【分析】（1）作于，于，利用勾股定理證明，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，從而可得平面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證；
（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可得出答案.
（1）
證明：在四邊形中，作于，于，
因?yàn)椋?br /> 所以四邊形為等腰梯形，
所以，
故，，
所以，
所以，
因?yàn)槠矫?，平面?br /> 所以，
又，
所以平面，
又因?yàn)槠矫妫?br /> 所以；

（2）
解：如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，
，
則，
則，
設(shè)平面的法向量，
則有，可取，
則，
所以與平面所成角的正弦值為.


17．(1)證明詳見解析
(2)

【分析】（1）通過(guò)證明平面來(lái)證得平面平面.
（2）首先判斷出三角形的面積最小時(shí)點(diǎn)的位置，然后求得到平面的距離，從而求得三棱錐的體積.
【詳解】（1）由于，是的中點(diǎn)，所以.
由于，所以，
所以，故，
由于，平面，
所以平面，
由于平面，所以平面平面.
（2）[方法一]：判別幾何關(guān)系
依題意，，三角形是等邊三角形，
所以，
由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以.
，所以，
由于，平面，所以平面.
由于，所以，
由于，所以，
所以，所以，
由于，所以當(dāng)最短時(shí)，三角形的面積最小
過(guò)作，垂足為，
在中，，解得，
所以，
所以
過(guò)作，垂足為，則，所以平面，且，
所以，
所以.

[方法二]：等體積轉(zhuǎn)換
，，
是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，

連接






18．(1)證明見解析；
(2)．

【分析】（1）過(guò)點(diǎn)、分別做直線、的垂線、并分別交于點(diǎn)、，由平面知識(shí)易得，再根據(jù)二面角的定義可知，，由此可知，，，從而可證得平面，即得；
（2）由（1）可知平面，過(guò)點(diǎn)做平行線，所以可以以點(diǎn)為原點(diǎn)，，、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量，以及，即可利用線面角的向量公式解出．
【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)、分別做直線、的垂線、并分別交于點(diǎn)、．
∵四邊形和都是直角梯形，，，由平面幾何知識(shí)易知，，則四邊形和四邊形是矩形，∴在Rt和Rt，，
∵，且，
∴平面是二面角的平面角，則，
∴是正三角形，由平面，得平面平面，
∵是的中點(diǎn)，，又平面，平面，可得，而，∴平面，而平面．
（2）因?yàn)槠矫妫^(guò)點(diǎn)做平行線，所以以點(diǎn)為原點(diǎn)， ，、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則，

設(shè)平面的法向量為
由，得，取，
設(shè)直線與平面所成角為，
∴．


19．（1）證明見解析；（2）
【分析】（1）方法二：通過(guò)已知條件，確定三條互相垂直的直線，建立合適的空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量證明線線垂直；
（2）方法一：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出二面角的平面角的余弦值最大，進(jìn)而可以確定出答案；
【詳解】（1）[方法一]：幾何法
因?yàn)椋裕?br /> 又因?yàn)?，，所以平面．又因?yàn)?，?gòu)造正方體，如圖所示，

過(guò)E作的平行線分別與交于其中點(diǎn)，連接，
因?yàn)镋，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，所以是BC的中點(diǎn)，
易證，則．
又因?yàn)椋裕?br /> 又因?yàn)?，所以平面?br /> 又因?yàn)槠矫?，所以?br /> [方法二] 【最優(yōu)解】：向量法
因?yàn)槿庵侵比庵酌妫?br /> ，，，又，平面．所以兩兩垂直．
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．

，．
由題設(shè)（）．
因?yàn)椋?br /> 所以，所以．
[方法三]：因?yàn)?，，所以，故，，所以，所以?br /> （2）[方法一]【最優(yōu)解】：向量法
設(shè)平面的法向量為，
因?yàn)椋?br /> 所以，即．
令，則
因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛椋?br /> 設(shè)平面與平面的二面角的平面角為，
則．
當(dāng)時(shí)，取最小值為，
此時(shí)取最大值為．
所以，此時(shí)．
[方法二] ：幾何法
如圖所示，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)S，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)T，則平面平面．

作，垂足為H，因?yàn)槠矫?，?lián)結(jié)，則為平面與平面所成二面角的平面角．
設(shè)，過(guò)作交于點(diǎn)G．
由得．
又，即，所以．
又，即，所以．
所以．
則，
所以，當(dāng)時(shí)，．
[方法三]：投影法
如圖，聯(lián)結(jié)，

在平面的投影為，記面與面所成的二面角的平面角為，則．
設(shè)，在中，．
在中，，過(guò)D作的平行線交于點(diǎn)Q．
在中，．
在中，由余弦定理得，，，
，，
當(dāng)，即，面與面所成的二面角的正弦值最小，最小值為．
【整體點(diǎn)評(píng)】第一問(wèn)，方法一為常規(guī)方法，不過(guò)這道題常規(guī)方法較為復(fù)雜，方法二建立合適的空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量求解是最簡(jiǎn)單，也是最優(yōu)解；方法三利用空間向量加減法則及數(shù)量積的定義運(yùn)算進(jìn)行證明不常用，不過(guò)這道題用這種方法過(guò)程也很簡(jiǎn)單，可以開拓學(xué)生的思維.
第二問(wèn)：方法一建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出二面角的平面角是最常規(guī)的方法，也是最優(yōu)方法；方法二：利用空間線面關(guān)系找到，面與面所成的二面角，并求出其正弦值的最小值，不是很容易找到；方法三：利用面在面上的投影三角形的面積與面積之比即為面與面所成的二面角的余弦值，求出余弦值的最小值，進(jìn)而求出二面角的正弦值最小，非常好的方法，開闊學(xué)生的思維．
20．（1）證明見解析；（2）.
【分析】（1）取的中點(diǎn)為，連接，可證平面，從而得到面面.
（2）在平面內(nèi)，過(guò)作，交于，則，建如圖所示的空間坐標(biāo)系，求出平面、平面的法向量后可求二面角的余弦值.
【詳解】
（1）取的中點(diǎn)為，連接.
因?yàn)椋?，則，
而，故.
在正方形中，因?yàn)椋?，故?br /> 因?yàn)椋?，故為直角三角形且?br /> 因?yàn)?，故平面?br /> 因?yàn)槠矫?，故平面平?
（2）在平面內(nèi)，過(guò)作，交于，則，
結(jié)合（1）中的平面，故可建如圖所示的空間坐標(biāo)系.

則，故.
設(shè)平面的法向量，
則即，取，則，
故.
而平面的法向量為，故.
二面角的平面角為銳角，故其余弦值為.
21．(1)證明見解析；(2).
【分析】(1)由題意首先證得線面垂直，然后利用線面垂直的定義證明線線垂直即可；
(2)方法二：利用幾何關(guān)系找到二面角的平面角，然后結(jié)合相關(guān)的幾何特征計(jì)算三棱錐的體積即可.
【詳解】（1）因?yàn)?，O是中點(diǎn)，所以，
因?yàn)槠矫?，平面平面?br /> 且平面平面，所以平面．
因?yàn)槠矫?，所?
（2）[方法一]：通性通法—坐標(biāo)法
如圖所示，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為y軸，垂直且過(guò)O的直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，設(shè),

所以，
設(shè)為平面的法向量，
則由可求得平面的一個(gè)法向量為．
又平面的一個(gè)法向量為，
所以，解得．
又點(diǎn)C到平面的距離為，所以，
所以三棱錐的體積為．
[方法二]【最優(yōu)解】：作出二面角的平面角
如圖所示，作，垂足為點(diǎn)G．
作，垂足為點(diǎn)F，連結(jié)，則．

因?yàn)槠矫?，所以平面?br /> 為二面角的平面角．
因?yàn)椋裕?br /> 由已知得，故．
又，所以．
因?yàn)椋?br /> ．
[方法三]：三面角公式
考慮三面角，記為，為，，
記二面角為．據(jù)題意，得．
對(duì)使用三面角的余弦公式，可得，
化簡(jiǎn)可得．①
使用三面角的正弦公式，可得，化簡(jiǎn)可得．②
將①②兩式平方后相加，可得，
由此得，從而可得．

如圖可知，即有，
根據(jù)三角形相似知，點(diǎn)G為的三等分點(diǎn)，即可得，
結(jié)合的正切值，
可得從而可得三棱錐的體積為．
【整體點(diǎn)評(píng)】(2)方法一：建立空間直角坐標(biāo)系是解析幾何中常用的方法，是此類題的通性通法，其好處在于將幾何問(wèn)題代數(shù)化，適合于復(fù)雜圖形的處理；
方法二：找到二面角的平面角是立體幾何的基本功，在找出二面角的同時(shí)可以對(duì)幾何體的幾何特征有更加深刻的認(rèn)識(shí)，該法為本題的最優(yōu)解.
方法三：三面角公式是一個(gè)優(yōu)美的公式，在很多題目的解析中靈活使用三面角公式可以使得問(wèn)題更加簡(jiǎn)單、直觀、迅速.
22．(1)；(2)證明見解析.
【分析】（1）先證明為等腰直角三角形，然后利用體積公式可得三棱錐的體積；
（2）將所給的幾何體進(jìn)行補(bǔ)形，從而把線線垂直的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，然后再由線面垂直可得題中的結(jié)論.
【詳解】（1）由于，，所以，
又AB⊥BB1，，故平面，
則，為等腰直角三角形，
，.
（2）由（1）的結(jié)論可將幾何體補(bǔ)形為一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體，如圖所示，取棱的中點(diǎn)，連結(jié)，

正方形中，為中點(diǎn)，則，
又，
故平面，而平面，
從而.
【點(diǎn)睛】求三棱錐的體積時(shí)要注意三棱錐的每個(gè)面都可以作為底面，例如三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，我們就選擇其中的一個(gè)側(cè)面作為底面，另一條側(cè)棱作為高來(lái)求體積．對(duì)于空間中垂直關(guān)系（線線、線面、面面）的證明經(jīng)常進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.
23．（1）證明見解析；（2）．
【分析】（1）由底面可得，又，由線面垂直的判定定理可得平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可證出平面平面；
（2）由（1）可知，，由平面知識(shí)可知，，由相似比可求出，再根據(jù)四棱錐的體積公式即可求出．
【詳解】（1）因?yàn)榈酌?，平面?br /> 所以，
又，，
所以平面，
而平面，
所以平面平面．
（2）[方法一]：相似三角形法
由（1）可知．
于是，故．
因?yàn)?，所以，即?br /> 故四棱錐的體積．
[方法二]：平面直角坐標(biāo)系垂直垂直法
???由（2）知,所以．
建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)．

因?yàn)椋?，，，?br /> 從而．
所以，即．下同方法一.
[方法三]【最優(yōu)解】：空間直角坐標(biāo)系法
??建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，所以，，，，．
所以，，．
所以．
所以，即．下同方法一.
[方法四]：空間向量法
???由，得．
所以．
即．
又底面，在平面內(nèi)，
因此，所以．
所以，
由于四邊形是矩形，根據(jù)數(shù)量積的幾何意義，
得，即．
所以，即．下同方法一.
【整體點(diǎn)評(píng)】(2)方法一利用相似三角形求出求出矩形的另一個(gè)邊長(zhǎng)，從而求得該四棱錐的體積；
方法二構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，利用直線垂直的條件得到矩形的另一個(gè)邊長(zhǎng)，從而求得該四棱錐的體積；
方法三直接利用空間直角坐標(biāo)系和空間向量的垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求得矩形的另一個(gè)邊長(zhǎng),為最常用的通性通法，為最優(yōu)解；
方法四利用空間向量轉(zhuǎn)化求得矩形的另一邊長(zhǎng).
24．（1）證明見解析；（2）.
【分析】（1）由分別為，的中點(diǎn)，，根據(jù)條件可得，可證，要證平面平面，只需證明平面即可；
（2）連接，先求證四邊形是平行四邊形，根據(jù)幾何關(guān)系求得，在截取，由（1）平面，可得為與平面所成角，即可求得答案.
【詳解】（1）分別為，的中點(diǎn)，
，
又，
，
在中，為中點(diǎn)，則，
又側(cè)面為矩形，
，
，
，
由，平面，
平面，
又，且平面，平面，
平面，
又平面，且平面平面
，
，
又平面，
平面，
平面，
平面平面.
(2)[方法一]：幾何法
如圖，過(guò)O作的平行線分別交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，
由于平面，平面，，
平面，平面，所以平面平面．
又因平面平面，平面平面，所以．

因?yàn)?，，，所以面?br /> 又因，所以面，
所以與平面所成的角為．
令，則，由于O為的中心，故．
在中，，
由勾股定理得．
所以．
由于，直線與平面所成角的正弦值也為．
[方法二]【最優(yōu)解】：幾何法
因?yàn)槠矫妫矫嫫矫?，所以?br /> 因?yàn)椋运倪呅螢槠叫兴倪呅危?br /> 由（Ⅰ）知平面，則為平面的垂線．
所以在平面的射影為．
從而與所成角的正弦值即為所求．
在梯形中，設(shè)，過(guò)E作，垂足為G，則．
在直角三角形中，．
[方法三]：向量法
由（Ⅰ）知，平面，則為平面的法向量．
因?yàn)槠矫?，平面，且平面平面?br /> 所以．
由（Ⅰ）知，即四邊形為平行四邊形，則．
因?yàn)镺為正的中心，故．
由面面平行的性質(zhì)得，所以四邊形為等腰梯形．
由P，N為等腰梯形兩底的中點(diǎn)，得，則．
設(shè)直線與平面所成角為，，則．
所以直線與平面所成角的正弦值．
[方法四]：基底法
不妨設(shè)，則在直角中，．
以向量為基底，
從而，，．
，，
則，．
所以．
由（Ⅰ）知平面，所以向量為平面的法向量．
設(shè)直線與平面所成角，則．
故直線與平面所成角的正弦值為．
[方法五]：坐標(biāo)法

過(guò)O過(guò)底面ABC的垂線，垂足為Q，以Q為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，AO=AB=2，
則，
所以，
所以
易得為平面A1AMN的一個(gè)法向量，
則直線B1E與平面A1AMN所成角的正弦值為
【整體點(diǎn)評(píng)】(2)方法一：幾何法的核心在于找到線面角，本題中利用平行關(guān)系進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化是解決問(wèn)題的關(guān)鍵；
方法二：等價(jià)轉(zhuǎn)化是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，構(gòu)造直角三角形是求解角度的正弦值的基本方法；
方法三：利用向量法的核心是找到平面的法向量和直線的方向向量，然后利用向量法求解即可；
方法四：基底法是立體幾何的重要思想，它是平面向量基本定理的延伸，其關(guān)鍵之處在于找到平面的法向量和直線的方向向量.
方法五：空間坐標(biāo)系法是立體幾何的重要方法，它是平面向量的延伸，其關(guān)鍵之處在于利用空間坐標(biāo)系確定位置，找到平面的法向量和直線的方向向量.
25．（1）證明見解析；（2）.
【分析】（1）方法一:連接、，證明出四邊形為平行四邊形，進(jìn)而可證得點(diǎn)在平面內(nèi)；
（2）方法一：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可計(jì)算出二面角的余弦值，進(jìn)而可求得二面角的正弦值.
【詳解】（1）［方法一］【最優(yōu)解】：利用平面基本事實(shí)的推論
在棱上取點(diǎn)，使得，連接、、、，如圖1所示.

在長(zhǎng)方體中，，所以四邊形為平行四邊形，則，而，所以，所以四邊形為平行四邊形，即有，同理可證四邊形為平行四邊形，，，因此點(diǎn)在平面內(nèi).
［方法二］：空間向量共線定理

以分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖2所示．
設(shè)，則．
所以．故．所以，點(diǎn)在平面內(nèi)．
［方法三］：平面向量基本定理
同方法二建系，并得，
所以．
故．所以點(diǎn)在平面內(nèi)．
［方法四］：
根據(jù)題意，如圖3，設(shè)．
在平面內(nèi)，因?yàn)?，所以?br />
延長(zhǎng)交于G，
平面，
平面．
，
所以平面平面①．
延長(zhǎng)交于H，同理平面平面②．
由①②得，平面平面．
連接，根據(jù)相似三角形知識(shí)可得．
在中，．
同理，在中，．

如圖4，在中，．
所以，即G，，H三點(diǎn)共線．
因?yàn)槠矫?，所以平面，得證．
［方法五］：
如圖5，連接，則四邊形為平行四邊形，設(shè)與相交于點(diǎn)O，則O為的中點(diǎn)．聯(lián)結(jié)，由長(zhǎng)方體知識(shí)知，體對(duì)角線交于一點(diǎn)，且為它們的中點(diǎn)，即，則經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，故點(diǎn)在平面內(nèi)．

（2）［方法一］【最優(yōu)解】：坐標(biāo)法
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，如圖2.
則、、、，
，，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
由，得取，得，則，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
由，得，取，得，，則，
，
設(shè)二面角的平面角為，則，.
因此，二面角的正弦值為.
［方法二］：定義法

在中，，即，所以．在中，，如圖6，設(shè)的中點(diǎn)分別為M，N，連接，則，所以為二面角的平面角．??
在中，．
所以，則．
［方法三］：向量法

由題意得，
由于，所以．
如圖7，在平面內(nèi)作，垂足為G，
則與的夾角即為二面角的大小．
由，得．
其中，，解得，．
所以二面角的正弦值．
［方法四］：三面角公式
由題易得，．
所以．
．
．
設(shè)為二面角的平面角，由二面角的三個(gè)面角公式，得
，所以．
【整體點(diǎn)評(píng)】（1）方法一：通過(guò)證明直線，根據(jù)平面的基本事實(shí)二的推論即可證出，思路直接，簡(jiǎn)單明了，是通性通法，也是最優(yōu)解；方法二：利用空間向量基本定理證明；方法三：利用平面向量基本定理；方法四：利用平面的基本事實(shí)三通過(guò)證明三點(diǎn)共線說(shuō)明點(diǎn)在平面內(nèi)；方法五：利用平面的基本事實(shí)以及平行四邊形的對(duì)角線和長(zhǎng)方體的體對(duì)角線互相平分即可證出．
（2）方法一：利用建立空間直角坐標(biāo)系，由兩個(gè)平面的法向量的夾角和二面角的關(guān)系求出；方法二：利用二面角的定義結(jié)合解三角形求出；方法三：利用和二面角公共棱垂直的兩個(gè)向量夾角和二面角的關(guān)系即可求出，為最優(yōu)解；方法四：利用三面角的余弦公式即可求出．
26．（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）證明出四邊形為平行四邊形，可得出，然后利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論；也可利用空間向量計(jì)算證明；
（Ⅱ）可以將平面擴(kuò)展，將線面角轉(zhuǎn)化，利用幾何方法作出線面角，然后計(jì)算；也可以建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計(jì)算求解 .
【詳解】（Ⅰ）[方法一]：幾何法
如下圖所示：

在正方體中，且，且，
且，所以，四邊形為平行四邊形，則，
平面，平面，平面；
[方法二]:空間向量坐標(biāo)法
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則、、、，，，
設(shè)平面的法向量為，由，得，
令，則，，則.
又∵向量,,
又平面，平面；
（Ⅱ）[方法一]：幾何法
延長(zhǎng)到，使得，連接，交于，
又∵，∴四邊形為平行四邊形，∴，
又∵,∴,所以平面即平面,
連接，作,垂足為,連接,
∵平面,平面,∴，
又∵,∴直線平面,
又∵直線平面,∴平面平面,
∴在平面中的射影在直線上,∴直線為直線在平面中的射影，∠為直線與平面所成的角，
根據(jù)直線直線，可知∠為直線與平面所成的角.
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則,,∴,
∴,
∴,
即直線與平面所成角的正弦值為.

[方法二]：向量法
接續(xù)（I)的向量方法，求得平面平面的法向量，
又∵,∴，
∴直線與平面所成角的正弦值為.
[方法三]：幾何法+體積法
如圖，設(shè)的中點(diǎn)為F，延長(zhǎng)，易證三線交于一點(diǎn)P．
因?yàn)椋?br /> 所以直線與平面所成的角，即直線與平面所成的角．
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，在中，易得，
可得．
由，得，
整理得．
所以．
所以直線與平面所成角的正弦值為．

[方法四]：純體積法
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)到平面的距離為h，
在中，，
，
所以，易得．
由，得，解得，
設(shè)直線與平面所成的角為，所以．
【整體點(diǎn)評(píng)】（Ⅰ）的方法一使用線面平行的判定定理證明，方法二使用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行證明；
（II）第一種方法中使用純幾何方法，適合于沒(méi)有學(xué)習(xí)空間向量之前的方法，有利用培養(yǎng)學(xué)生的集合論證和空間想象能力，第二種方法使用空間向量方法，兩小題前后連貫，利用計(jì)算論證和求解，定為最優(yōu)解法；方法三在幾何法的基礎(chǔ)上綜合使用體積方法，計(jì)算較為簡(jiǎn)潔；方法四不作任何輔助線，僅利用正余弦定理和體積公式進(jìn)行計(jì)算，省卻了輔助線和幾何的論證，不失為一種優(yōu)美的方法.
27．（1）證明見解析；（2）.
【分析】（1）根據(jù)已知可得，進(jìn)而有≌，可得
，即，從而證得平面，即可證得結(jié)論；
（2）將已知條件轉(zhuǎn)化為母線和底面半徑的關(guān)系，進(jìn)而求出底面半徑，由正弦定理，求出正三角形邊長(zhǎng)，在等腰直角三角形中求出，在中，求出，即可求出結(jié)論.
【詳解】（1）連接，為圓錐頂點(diǎn)，為底面圓心，平面，
在上，，
是圓內(nèi)接正三角形，，≌，
，即，
平面平面，平面平面；
（2）設(shè)圓錐的母線為，底面半徑為，圓錐的側(cè)面積為，
，解得，，
在等腰直角三角形中，，
在中，，
三棱錐的體積為.

【點(diǎn)睛】本題考查空間線、面位置關(guān)系，證明平面與平面垂直，求錐體的體積，注意空間垂直間的相互轉(zhuǎn)化，考查邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于中檔題.
28．（1）證明見解析；（2）.
【分析】（1）由分別為，的中點(diǎn)，，根據(jù)條件可得，可證，要證平面平面，只需證明平面即可；
（2）根據(jù)已知條件求得和到的距離，根據(jù)椎體體積公式，即可求得.
【詳解】（1）分別為，的中點(diǎn)，

又

在等邊中，為中點(diǎn)，則
又側(cè)面為矩形，



由，平面
平面
又，且平面，平面，
平面
又平面，且平面平面


又平面
平面
平面
平面平面
（2）過(guò)作垂線，交點(diǎn)為，
畫出圖形，如圖

平面
平面，平面平面

又

為的中心.

故：，則，
平面平面，平面平面，
平面
平面
又在等邊中
即
由（1）知，四邊形為梯形
四邊形的面積為：
，
為到的距離，
.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了證明線線平行和面面垂直，及其求四棱錐的體積，解題關(guān)鍵是掌握面面垂直轉(zhuǎn)為求證線面垂直的證法和棱錐的體積公式，考查了分析能力和空間想象能力，屬于中檔題.
29．（I）證明見解析；（II）
【分析】（）方法一：作交于，連接，由題意可知平面，即有，根據(jù)勾股定理可證得，又，可得，，即得平面，即證得；
（II）方法一：由，所以與平面所成角即為與平面所成角，作于，連接，即可知即為所求角，再解三角形即可求出與平面所成角的正弦值．
【詳解】（）[方法一]：幾何證法
作交于，連接．
∵平面平面，而平面平面，平面，
∴平面，而平面，即有．
∵，
∴．
在中，，即有，∴．
由棱臺(tái)的定義可知，，所以，，而，
∴平面，而平面，∴．
[方法二]【最優(yōu)解】：空間向量坐標(biāo)系方法
作交于O．
∵平面平面，而平面平面，平面，
∴平面，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示.
設(shè)OC=1,∵，，
∴,∴，
∴,,
,
∴BC⊥BD,又∵棱臺(tái)中BC//EF,∴EF⊥BD；

[方法三]：三余弦定理法
∵平面ACFD平面ABC，∴,
∴，
又∵DC =2BC．
∴,即,
又∵，∴．
（II）[方法一]：幾何法
因?yàn)?，所以與平面所成角即為與平面所成角．
作于，連接，由（1）可知，平面，
因?yàn)樗云矫嫫矫?，而平面平面?br /> 平面，∴平面．
即在平面內(nèi)的射影為，即為所求角．
在中，設(shè)，則，，
∴．
故與平面所成角的正弦值為．

[方法二]【最優(yōu)解】：空間向量坐標(biāo)系法
設(shè)平面BCD的法向量為,
由（）得,,
∴令,則,,,
，,
由于，∴直線與平面所成角的正弦值為．
[方法三]：空間向量法
以為基底,

不妨設(shè)，則
(由（）的結(jié)論可得）．
設(shè)平面的法向量為，
則由得取，得．
設(shè)直線與平面所成角為，
則直線與平面所成角也為，
由公式得．
[方法四]：三余弦定理法
由，
可知H在平面的射影G在的角平分線上．
設(shè)直線與平面所成角為，則與平面所成角也為．
由由（）的結(jié)論可得，
由三余弦定理，得，
從而．
[方法五]：等體積法
設(shè)H到平面DBC的距離為h，
設(shè),則,
設(shè)直線與平面所成角為，由已知得與平面所成角也為．
由，,
求得，所以．
【整體評(píng)價(jià)】（）的方法一使用幾何方法證明，方法二利用空間直角坐標(biāo)系方法，簡(jiǎn)潔清晰，通性通法，確定為最優(yōu)解；方法三使用了兩垂直角的三余弦定理得到，進(jìn)而證明，過(guò)程簡(jiǎn)潔，確定為最優(yōu)解（II）的方法一使用幾何做法，方法二使用空間坐標(biāo)系方法，為通性通法，確定為最優(yōu)解；方法三使用空間向量的做法，避開了輔助線的求作；方法四使用三余弦定理法，最為簡(jiǎn)潔，確定為最優(yōu)解；方法五采用等體積轉(zhuǎn)化法，避免了較復(fù)雜的輔助線.
30．（1）證明見解析；（2）.
【分析】（1）利用線面平行的判定定理以及性質(zhì)定理，證得，利用線面垂直的判定定理證得平面，從而得到平面；
（2）根據(jù)題意，建立相應(yīng)的空間直角坐標(biāo)系，得到相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)，之后求得平面的法向量以及向量的坐標(biāo)，求得，即可得到直線與平面所成角的正弦值.
【詳解】（1）證明：
在正方形中，，
因?yàn)槠矫?，平面?br /> 所以平面，
又因?yàn)槠矫?，平面平面?br /> 所以，
因?yàn)樵谒睦忮F中，底面是正方形，所以
且平面，所以
因?yàn)?br /> 所以平面；
（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)?，則有，
設(shè)，則有，
因?yàn)镼B=，所以有
設(shè)平面的法向量為，
則，即，
令，則，所以平面的一個(gè)法向量為，則

根據(jù)直線的方向向量與平面法向量所成角的余弦值的絕對(duì)值即為直線與平面所成角的正弦值，所以直線與平面所成角的正弦值等于
所以直線與平面所成角的正弦值為.
【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)立體幾何的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有線面平行的判定和性質(zhì)，線面垂直的判定和性質(zhì)，利用空間向量求線面角，利用基本不等式求最值，屬于中檔題目.
31．（1）證明見解析；（2）.
【分析】（1）要證明線面平行，可轉(zhuǎn)化為證明面面平行；
（2）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，可知平面，再結(jié)合線面角的定義，可得得到直線與平面所成角的正弦值.
【詳解】證明：（1）連接，
設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，，
在中，又因?yàn)辄c(diǎn)為中點(diǎn)，
所以.

同理可證得，
又因?yàn)?，分別為正方形的邊，的中點(diǎn)，
故，所以.
又因?yàn)?，所以平面平?
又因?yàn)槠矫?，所以平?
（2）因?yàn)闉檎叫?，，分別是，的中點(diǎn)，
所以四邊形為矩形，則.
又因?yàn)槎娼菫橹倍娼牵矫嫫矫?，平面?br /> 所以平面，
則為直線在平面內(nèi)的射影，
因?yàn)闉橹本€與平面所成的角.
不妨設(shè)正方形邊長(zhǎng)為，則，
在中，，
因?yàn)槠矫妫矫?，所以?br /> 在中，，
，
即為直線與平面所成角的正弦值.
32．（1）證明詳見解析；（2）證明詳見解析.
【分析】（1）通過(guò)證明，來(lái)證得平面.
（2）通過(guò)證明平面，來(lái)證得平面平面.
【詳解】（1）由于分別是的中點(diǎn)，所以.
由于平面,平面，所以平面.
（2）由于平面，平面，所以.
由于，所以平面,
由于平面，所以平面平面.

【點(diǎn)睛】本小題主要考查線面平行的證明，考查面面垂直的證明，屬于中檔題.
33．（1）證明見解析；（2）.
【分析】（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得PO垂直AC，再通過(guò)計(jì)算，根據(jù)勾股定理得PO垂直O(jiān)B，最后根據(jù)線面垂直判定定理得結(jié)論；
（2）方法一：根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)方程組解出平面PAM一個(gè)法向量，利用向量數(shù)量積求出兩個(gè)法向量夾角，根據(jù)二面角與法向量夾角相等或互補(bǔ)關(guān)系列方程，解得M坐標(biāo)，再利用向量數(shù)量積求得向量PC與平面PAM法向量夾角，最后根據(jù)線面角與向量夾角互余得結(jié)果．
【詳解】（1）因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，所以，且．
連結(jié)．
因?yàn)?，所以為等腰直角三角形?br /> 且 ，由知．
由知，平面．
（2）［方法一］：【通性通法】向量法
如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，建立空間直角坐標(biāo)系 ．

由已知得
取平面的法向量．
設(shè)，則．
設(shè)平面的法向量為．
由得 ，
可取
所以 ．由已知得 ．
所以 ．解得(舍去)， ．
所以 ．
又 ，所以 ．
所以與平面所成角的正弦值為．
［方法二］：三垂線＋等積法
由（1）知平面，可得平面平面．如圖5，在平面內(nèi)作，垂足為N，則平面．在平面內(nèi)作，垂足為F，聯(lián)結(jié)，則，故為二面角的平面角，即．

設(shè)，則，在中，．在中，由，得，則．設(shè)點(diǎn)C到平面的距離為h，由，得，解得，則與平面所成角的正弦值為．
［方法三］：三垂線＋線面角定義法
由（1）知平面，可得平面平面．如圖6，在平面內(nèi)作，垂足為N，則平面．在平面內(nèi)作，垂足為F，聯(lián)結(jié)，則，故為二面角的平面角，即．同解法1可得．

在中，過(guò)N作，在中，過(guò)N作，垂足為G，聯(lián)結(jié)．在中，．因?yàn)?，所以?br /> 由平面，可得平面平面，交線為．在平面內(nèi)，由，可得平面，則為直線與平面所成的角．
設(shè)，則，又，所以直線與平面所成角的正弦值為．
［方法四］：【最優(yōu)解】定義法
如圖7，取的中點(diǎn)H，聯(lián)結(jié)，則．過(guò)C作平面的垂線，垂足記為T（垂足T在平面內(nèi)）．聯(lián)結(jié)，則即為二面角的平面角，即，得．

聯(lián)結(jié)，則為直線與平面所成的角．在中，，所以．
【整體點(diǎn)評(píng)】（2）方法一：根據(jù)題目條件建系，由二面角的向量公式以及線面角的向量公式硬算即可求出，是該類型題的通性通法；
方法二：根據(jù)三垂線法找到二面角的平面角，再根據(jù)等積法求出點(diǎn)到面的距離，由定義求出線面角，是幾何法解決空間角的基本手段；
方法三：根據(jù)三垂線法找到二面角的平面角，再利用線面角的等價(jià)轉(zhuǎn)化，然后利用定義法找到線面角解出，是幾何法解決線面角的基本思想，對(duì)于該題，略顯麻煩；
方法四：直接根據(jù)二面角的定義和線面角的定義解決，原理簡(jiǎn)單，計(jì)算簡(jiǎn)單，是該題的最優(yōu)解．
34．（1）證明見解析；（2）.
【分析】（1）依題可知，，利用線面垂直的判定定理可得平面，再利用面面垂直的判定定理即可證出平面平面；
（2）方法一：依題意建立相應(yīng)的空間直角坐標(biāo)系，求得平面的法向量，設(shè)與平面所成角為，利用線面角的向量公式即可求出．
【詳解】（1）由已知可得，，，又，所以平面.
又平面，所以平面平面；
（2）[方法一]：向量法
作，垂足為.由（1）得，平面.
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，設(shè)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

由（1）可得，.又，，所以.又，，故，可得.
則 為平面的法向量.
設(shè)與平面所成角為，則.
所以與平面所成角的正弦值為.
[方法2]：向量法
如圖3所示以E為原點(diǎn)建系．設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2，由（1）知，平面，則平面，故．易求，則點(diǎn)P到直線的距離為，從而．

又，故，而平面的一個(gè)法向量，故與平面所成角的正弦值．
[方法3]：【最優(yōu)解】定義法
如圖4，作，垂足為H，聯(lián)結(jié)．

由（1）知，平面,因此為與平面所成的角．
設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，則，在中，．
又因?yàn)椋芍?，．又因?yàn)椋栽谥?，?br /> 所以與平面所成角的正弦值為．
[方法4]：等積法
不妨設(shè)，則．，又，所以平面．設(shè)點(diǎn)P到平面的距離為d，根據(jù)，即，解得．于是與平面所成角的正弦值為．
【整體點(diǎn)評(píng)】（2）方法一：建立空間直角坐標(biāo)系利用線面角的向量公式求解，可算作通性通法；
方法二：同方法一，只是建系方式不一樣；
方法三：利用線面角的定義求解，計(jì)算量小，是該題的最優(yōu)解；
方法四：利用等積法求出點(diǎn)P到平面的距離，再根據(jù)線面角的正弦公式即可求出，是線面角的常見求法．
35．（1）見解析；
（2）.
【分析】（1）利用三角形中位線和可證得，證得四邊形為平行四邊形，進(jìn)而證得，根據(jù)線面平行判定定理可證得結(jié)論；
（2）根據(jù)題意求得三棱錐的體積，再求出的面積，利用求得點(diǎn)C到平面的距離，得到結(jié)果.
【詳解】（1）連接，

，分別為，中點(diǎn)????為的中位線
且
又為中點(diǎn)，且 且
四邊形為平行四邊形
，又平面，平面
平面
（2）在菱形中，為中點(diǎn)，所以，
根據(jù)題意有，，
因?yàn)槔庵鶠橹崩庵杂衅矫妫?br /> 所以，所以，
設(shè)點(diǎn)C到平面的距離為，
根據(jù)題意有，則有，
解得，
所以點(diǎn)C到平面的距離為.
【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)立體幾何的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有線面平行的判定，點(diǎn)到平面的距離的求解，在解題的過(guò)程中，注意要熟記線面平行的判定定理的內(nèi)容，注意平行線的尋找思路，再者就是利用等積法求點(diǎn)到平面的距離是文科生?？嫉膬?nèi)容.
36．（1）證明見解析；（2）．
【分析】（1）連接，欲證平面，只需證明即可；
（2）方法一：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，只需論證的長(zhǎng)即為所求，再利用平面幾何知識(shí)求解即可.
【詳解】（1）因?yàn)锳P=CP=AC=4，O為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)P⊥AC，且OP=．
連結(jié)OB．因?yàn)锳B=BC=，，所以△ABC為等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB==2．由知，OP⊥OB．
由OP⊥OB，OP⊥AC，，知PO⊥平面ABC．

（2）［方法一］：【最優(yōu)解】定義法
作CH⊥OM，垂足為H．又由（1）易知平面，從而OP⊥CH，
所以CH⊥平面POM．故CH的長(zhǎng)為點(diǎn)C到平面POM的距離．
由題設(shè)可知OC==2，CM==，∠ACB=45°．
所以O(shè)M=，CH==．
所以點(diǎn)C到平面POM的距離為．
［方法二］：等積法
設(shè)C到平面的距離為h，由（1）知即為P到平面的距離，且．又，在中，，則由余弦定理得，
則，即，則．即點(diǎn)C到平面POM的距離為．
［方法三］：向量法
如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，，，，，．

設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，則，所以，點(diǎn)C到平面的距離為．
【整體點(diǎn)評(píng)】（2）方法一：根據(jù)定義法求點(diǎn)到面的距離，是解決點(diǎn)面距問(wèn)題的首選方法，特別是題目中含有面面垂直的條件，計(jì)算簡(jiǎn)單，是該題的最優(yōu)解；
方法二：根據(jù)等積法求點(diǎn)到面的距離，也是解決點(diǎn)面距問(wèn)題的常用方法；
方法三：當(dāng)題目中有較好的建系條件，利用向量法解決點(diǎn)面距，思想簡(jiǎn)單，過(guò)程稍繁．
37．（1）證明見解析；（2）.
【分析】(1)由題意首先證得線面垂直，然后利用線面垂直的定義即可證得線線垂直；
(2)建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得直線的方向向量和平面的法向量，然后結(jié)合線面角的正弦值和同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得線面角的余弦值.
【詳解】(1)如圖所示，連結(jié)，

等邊中，，則，
平面ABC⊥平面，且平面ABC∩平面，
由面面垂直的性質(zhì)定理可得：平面，故，
由三棱柱的性質(zhì)可知，而，故，且，
由線面垂直的判定定理可得：平面，
結(jié)合?平面，故.
(2)在底面ABC內(nèi)作EH⊥AC，以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EH,EC,方向分別為x,y,z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)，則，,，
據(jù)此可得：，
由可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，
利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：，由于，
故直線EF的方向向量為：
設(shè)平面的法向量為，則：
，
據(jù)此可得平面的一個(gè)法向量為，
此時(shí)，
設(shè)直線EF與平面所成角為，則.
【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何中的線線垂直的判定和線面角的求解問(wèn)題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力；解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過(guò)嚴(yán)密推理，同時(shí)對(duì)于立體幾何中角的計(jì)算問(wèn)題，往往可以利用空間向量法，通過(guò)求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.
38．（I）見解析；（II）見解析；（III）.
【分析】（I）連接，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，以及三角形中位線的性質(zhì)，得到，利用線面平行的判定定理證得結(jié)果；
（II）取棱的中點(diǎn)，連接，依題意，得，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)以及線面垂直的性質(zhì)得到，利用線面垂直的判定定理證得結(jié)果；
（III）利用線面角的平面角的定義得到為直線與平面所成的角，放在直角三角形中求得結(jié)果.
【詳解】（I）證明：連接，易知，，

又由，故，
又因?yàn)槠矫?，平面?br /> 所以平面.
（II）證明：取棱的中點(diǎn)，連接，

依題意，得，
又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫?br /> 所以平面，又平面，故，
又已知，，
所以平面.
（III）解：連接，


由（II）中平面，
可知為直線與平面所成的角.
因?yàn)闉榈冗吶切?，且為的中點(diǎn)，
所以，又，
在中，，
所以，直線與平面所成角的正弦值為.
【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線與平面平行、直線與平面垂直、平面與平面垂直、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力和推理能力.
39．（1）證明見解析；（2）
【分析】（1）利用長(zhǎng)方體的性質(zhì)，可以知道側(cè)面，利用線面垂直的性質(zhì)可以證明出，這樣可以利用線面垂直的判定定理，證明出平面；
（2）以點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)，以分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，，求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用，可以求出之間的關(guān)系，分別求出平面、平面的法向量，利用空間向量的數(shù)量積公式求出二面角的余弦值的絕對(duì)值，最后利用同角的三角函數(shù)關(guān)系，求出二面角的正弦值.
【詳解】（1）證明：因?yàn)槭情L(zhǎng)方體，所以側(cè)面，而平面，所以
又，，平面，因此平面；
（2）
[方法一]【三垂線定理】
由（1）知，，又E為的中點(diǎn)，所以，為等腰直角三角形，所以．
如圖2，聯(lián)結(jié)，與相交于點(diǎn)O，因?yàn)槠矫妫裕?br /> 又，所以平面．
作，垂足為H，聯(lián)結(jié)，由三垂線定理可知，則為二面角平面角的補(bǔ)角．

設(shè)，則，由，得．
在中，，所以，
即二面角的正弦值為．
[方法二]【利用平面的法向量】
設(shè)底面邊長(zhǎng)為1，高為，所以．
因?yàn)槠矫?，所以，即?br /> 所以，解得．
因?yàn)槠矫?，所以，又，所以平面?br /> 故為平面的一個(gè)法向量．
因?yàn)槠矫媾c平面為同一平面，故為平面的一個(gè)法向量，
在中，因?yàn)椋逝c成角，
所以二面角，的正弦值為．
[方法三]【利用體積公式結(jié)合二面角的定義】
設(shè)底面邊長(zhǎng)為1，高為，所以．
因?yàn)槠矫?，所以，即?br /> 所以，解得．
因?yàn)椋允侵苯侨切?，?br /> 因?yàn)槠矫?，所以到平面的距離相等設(shè)為．
同理，A，E到平面的距離相等，都為1，所以，
即，解得．
設(shè)點(diǎn)B到直線的距離為，在中，由面積相等解得．
設(shè)為二面角的平面角，，
所以二面角的正弦值為．
[方法四]【等價(jià)轉(zhuǎn)化后利用射影面積計(jì)算】
由（1）的結(jié)論知，又，易證，所以，所以，
即二面角的正弦值與二面角的正弦值相等．
設(shè)的中點(diǎn)分別為F，G，H，顯然為正方體，所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如圖3所示，
在正方體中求二面角的正弦值．

設(shè)相交于點(diǎn)O，易證平面，
所以是在平面上的射影．
令正方體的棱長(zhǎng)，
則，，，．
設(shè)二面角為，由，則，
所以．
即二面角的正弦值為．
[方法五]【結(jié)合（1）的結(jié)論找到二面角的平面角進(jìn)行計(jì)算】
如圖4，分別取中點(diǎn)F，G，H，聯(lián)結(jié)．
過(guò)G作，垂足為P，聯(lián)結(jié)．
易得E，F(xiàn)，G，H共面且平行于面．

由（1）可得面．因?yàn)槊?，所以?br /> 又因?yàn)镋為中點(diǎn)，所以，且均為等腰三角形．
設(shè)，則，四棱柱為正方體．
在及中有．
所以與均為直角三角形且全等．
又因?yàn)?，所以為二面角（即）的一個(gè)平面角．
在中，．
所以，
所以．
故二面角的正弦值為．
[方法六]【最優(yōu)解：空間向量法】
以點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)，以分別為軸，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

，
因?yàn)椋?br /> 所以，
所以，，
設(shè)是平面的法向量，
所以，
設(shè)是平面的法向量，
所以，
二面角的余弦值的絕對(duì)值為，
所以二面角的正弦值為.
【整體點(diǎn)評(píng)】(2)方法一：三垂線定理是立體幾何中尋找垂直關(guān)系的核心定理；
方法二：利用平面的法向量進(jìn)行計(jì)算體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，是垂直關(guān)系的進(jìn)一步應(yīng)用；
方法三：體積公式可以計(jì)算點(diǎn)面距離，結(jié)合點(diǎn)面距離可進(jìn)一步計(jì)算二面角的三角函數(shù)值；
方法四：射影面積法體現(xiàn)等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，是將角度問(wèn)題轉(zhuǎn)化為面積問(wèn)題的一種方法；
方法五：利用第一問(wèn)的結(jié)論找到二面角，然后計(jì)算其三角函數(shù)值是一種常規(guī)的思想；
方法六：空間向量是處理立體幾何的常規(guī)方法，在二面角不好尋找的時(shí)候利用空間向量是一種更好的方法.
40．（1）證明見解析；（2）．
【分析】（1）方法一：先證平面CMD,得,再證，由線面垂直的判定定理可得DM⊥平面BMC，即可根據(jù)面面垂直的判定定理證出；
（2）方法一：先建立空間直角坐標(biāo)系，然后判斷出的位置，求出平面和平面的法向量，進(jìn)而求得平面與平面所成二面角的正弦值．
【詳解】（1）［方法一］：【最優(yōu)解】判定定理
由題設(shè)知,平面CMD⊥平面ABCD,交線為CD.因?yàn)锽C⊥CD,BC平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.因?yàn)镸為上異于C，D的點(diǎn),且DC為直徑，所以DM⊥CM.
又 BCCM=C,所以DM⊥平面BMC.而DM平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.
［方法二］：判定定理
由題設(shè)知,平面CMD⊥平面ABCD,交線為CD.因?yàn)?，平面ABCD,所以平面，而平面，所以，因?yàn)镸為上異于C，D的點(diǎn),且DC為直徑，所以DM⊥CM.又，所以，平面，而平面，所以平面平面．
［方法三］：向量法
建立直角坐標(biāo)系，如圖2，設(shè)，
所以，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，即，
取平面的一個(gè)法向量，
同理可得，平面的一個(gè)法向量，因?yàn)辄c(diǎn)在以為圓心，半徑為的圓上，所以，，即，而，所以平面平面．

（2）［方法一］：【通性通法】向量法
以D為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)閤軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D?xyz.

當(dāng)三棱錐M?ABC體積最大時(shí)，M為的中點(diǎn).
由題設(shè)得，

設(shè)是平面MAB的法向量,則
即，可取.
是平面MCD的一個(gè)法向量,因此，，
所以面MAB與面MCD所成二面角的正弦值是.
［方法二］：幾何法（作平行線找公共棱）
如圖3，當(dāng)點(diǎn)M與圓心O連線時(shí)，三棱錐體積最大．過(guò)點(diǎn)M作，易證為所求二面角的平面角．在中，，即面MAB與面MCD所成二面角的正弦值是．

［方法三］：【最優(yōu)解】面積射影法
設(shè)平面與平面所成二面角的平面角為．
由題可得在平面上的射影圖形正好是．
取和的中點(diǎn)分別為N和O，則可得，，所以由射影面積公式有，所以，即面MAB與面MCD所成二面角的正弦值是．
［方法四］：定義法
如圖4，可知平面與平面的交線l過(guò)點(diǎn)M，可以證明．分別取的中點(diǎn)O，E，聯(lián)結(jié)，可證得直線平面，于是平面，所以，故是面與面所成二面角的平面角．

在中，，則，所以，即面與面所成二面角的正弦值為．
【整體點(diǎn)評(píng)】（1）方法一：利用面面垂直的判定定理尋找合適的線面垂直即可證出，是本題的最優(yōu)解；
方法二：同方法一，只不過(guò)找的線面垂直不一樣；
方法三：利用向量法，計(jì)算兩個(gè)平面的法向量垂直即可，思路簡(jiǎn)單，運(yùn)算較繁．
（2）方法一：直接利用向量法解決無(wú)棱二面角問(wèn)題，是該類型題的通性通法；
方法二：作平行線找公共棱，從而利用二面角定義找到二面角的平面角，是傳統(tǒng)解決無(wú)棱二面角問(wèn)題的方式；
方法三：面積射影法也是傳統(tǒng)解決無(wú)棱二面角問(wèn)題的方式，是本題的最優(yōu)解；
方法四：同方法二，通過(guò)找到二面角的公共棱，再利用定義找到平面角，即可解出．
41．（1）見詳解；（2）18
【分析】（1）先由長(zhǎng)方體得，平面，得到，再由，根據(jù)線面垂直的判定定理，即可證明結(jié)論成立；
（2）先設(shè)長(zhǎng)方體側(cè)棱長(zhǎng)為，根據(jù)題中條件求出；再取中點(diǎn)，連結(jié)，證明平面，根據(jù)四棱錐的體積公式，即可求出結(jié)果.
【詳解】（1）因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體中，平面；
平面，所以，
又，，且平面，平面，
所以平面；????
（2）[方法一]【利用體積公式計(jì)算體積】
如圖6，設(shè)長(zhǎng)方體的側(cè)棱長(zhǎng)為，則．
由（1）可得．所以，即．
又，所以，即，解得．
取中點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)，因?yàn)?，則，所以平面，
從而四棱錐的體積：
．

[方法二]【最優(yōu)解：利用不同幾何體之間體積的比例關(guān)系計(jì)算體積】
取的中點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)．由（Ⅰ）可知，
所以．故．
【整體點(diǎn)評(píng)】(2)方法一：利用體積公式計(jì)算體積需要同時(shí)計(jì)算底面積和高，是計(jì)算體積的傳統(tǒng)方法；
方法二：利用不同幾何體之間的比例關(guān)系計(jì)算體積是一種方便有效快速的計(jì)算體積的方法，核心思想為等價(jià)轉(zhuǎn)化.
42．(Ⅰ)見解析；
(Ⅱ) ；
(Ⅲ)見解析.
【分析】(Ⅰ)由題意利用線面垂直的判定定理即可證得題中的結(jié)論；
(Ⅱ)建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合兩個(gè)半平面的法向量即可求得二面角F-AE-P的余弦值；
(Ⅲ)首先求得點(diǎn)G的坐標(biāo)，然后結(jié)合平面的法向量和直線AG的方向向量可判斷直線是否在平面內(nèi).
【詳解】(Ⅰ)由于PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，則PA⊥CD，
由題意可知AD⊥CD，且PA∩AD=A，
由線面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD.
(Ⅱ)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，平面ABCD內(nèi)與AD垂直的直線為x軸，AD,AP方向?yàn)閥軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

易知：，
由可得點(diǎn)F的坐標(biāo)為，
由可得，
設(shè)平面AEF的法向量為：，則
，
據(jù)此可得平面AEF的一個(gè)法向量為：，
很明顯平面AEP的一個(gè)法向量為，
，
二面角F-AE-P的平面角為銳角，故二面角F-AE-P的余弦值為.
(Ⅲ)易知，由可得，
則，
注意到平面AEF的一個(gè)法向量為：，
其且點(diǎn)A在平面AEF內(nèi)，故直線AG在平面AEF內(nèi).
43．(1)見詳解；(2)4.
【分析】(1)因?yàn)檎奂埡驼澈喜桓淖兙匦?，和菱形?nèi)部的夾角，所以，依然成立，又因和粘在一起，所以得證.因?yàn)槭瞧矫娲咕€，所以易證.(2) 欲求四邊形的面積，需求出所對(duì)應(yīng)的高，然后乘以即可．
【詳解】(1)證：，，又因?yàn)楹驼吃谝黄?
，A，C，G，D四點(diǎn)共面.
又.
平面BCGE，平面ABC，平面ABC平面BCGE，得證.
(2)取的中點(diǎn)，連結(jié).因?yàn)?，平面BCGE，所以平面BCGE，故，
由已知，四邊形BCGE是菱形，且得，故平面DEM．
因此．
在中，DE=1，，故．
所以四邊形ACGD的面積為4.

【點(diǎn)睛】很新穎的立體幾何考題．首先是多面體粘合問(wèn)題，考查考生在粘合過(guò)程中哪些量是不變的．再者粘合后的多面體不是直棱柱，最后將求四邊形的面積考查考生的空間想象能力.
44．(1)證明見解析；(2)1.
【分析】(1)根據(jù)題意可得，又 BA⊥AD，利用線面垂直的判定定理證得AB⊥平面ACD，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可證得；
(2)方法一：根據(jù)平面知識(shí)求出，再求得三棱錐的高，即可根據(jù)三棱錐的體積公式求出.
【詳解】（1）由已知可得，=90°，．
又BA⊥AD，且，所以AB⊥平面ACD．
又AB平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC．

（2）［方法一］：定義法
由已知可得，DC=CM=AB=3，DA=．又，所以．
作QE⊥AC，垂足為E，則．
由已知及（1）可得DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE=1．
因此，三棱錐的體積為
．
［方法二］：轉(zhuǎn)化法
由（1）知，，又，所以平面，則．因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所以?br /> 【整體點(diǎn)評(píng)】（2）方法一：根據(jù)三棱錐的體積公式求底面積和高，是求三棱錐體積的通性通法；
方法二：根據(jù)題目的等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為求易求的三棱錐體積，也是求三棱錐體積的通性通法．
45．（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）見解析.
【分析】（1）欲證，只需證明即可；
（2）先證平面，再證平面平面；
（3）取中點(diǎn)，連接，證明，則平面.
【詳解】（Ⅰ）∵，且為的中點(diǎn)，∴.
∵底面為矩形，∴，∴；
（Ⅱ）∵底面為矩形，∴.
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，又平面，∴.
又，，、平面，平面，
∵平面，∴平面平面；
（Ⅲ）如圖，取中點(diǎn)，連接.

∵分別為和的中點(diǎn)，∴，且.
∵四邊形為矩形，且為的中點(diǎn)，∴，
∴，且，∴四邊形為平行四邊形，
∴，又平面，平面，∴平面.
【點(diǎn)睛】證明面面關(guān)系的核心是證明線面關(guān)系，證明線面關(guān)系的核心是證明線線關(guān)系.證明線線平行的方法：（1）線面平行的性質(zhì)定理；（2）三角形中位線法；（3）平行四邊形法. 證明線線垂直的常用方法：（1）等腰三角形三線合一；（2）勾股定理逆定理；（3）線面垂直的性質(zhì)定理；（4）菱形對(duì)角線互相垂直.
46．（1）證明見解析
（2）存在，理由見解析
【詳解】分析：（1）先證,再證，進(jìn)而完成證明．
（2）判斷出P為AM中點(diǎn)，，證明MC∥OP，然后進(jìn)行證明即可．
詳解：（1）由題設(shè)知，平面CMD⊥平面ABCD，交線為CD．
因?yàn)锽C⊥CD，BC平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM．
因?yàn)镸為上異于C，D的點(diǎn)，且DC為直徑，所以DM⊥CM．
又BC∩CM=C，所以DM⊥平面BMC．
而DM平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC．
（2）當(dāng)P為AM的中點(diǎn)時(shí)，MC∥平面PBD．
證明如下：連結(jié)AC交BD于O．因?yàn)锳BCD為矩形，所以O(shè)為AC中點(diǎn)．
連結(jié)OP，因?yàn)镻為AM 中點(diǎn)，所以MC∥OP．
MC平面PBD，OP平面PBD，所以MC∥平面PBD．

點(diǎn)睛：本題主要考查面面垂直的證明，利用線線垂直得到線面垂直，再得到面面垂直，第二問(wèn)先斷出P為AM中點(diǎn)，然后作輔助線，由線線平行得到線面平行，考查學(xué)生空間想象能力，屬于中檔題．
47．（Ⅰ）見解析；
（Ⅱ）見解析；
（Ⅲ）見解析.
【分析】(Ⅰ)由題意利用線面垂直的判定定理即可證得題中的結(jié)論；
(Ⅱ)由幾何體的空間結(jié)構(gòu)特征首先證得線面垂直，然后利用面面垂直的判斷定理可得面面垂直；
(Ⅲ)由題意，利用平行四邊形的性質(zhì)和線面平行的判定定理即可找到滿足題意的點(diǎn).
【詳解】（Ⅰ）證明：因?yàn)槠矫?所以；
因?yàn)榈酌媸橇庑危?
因?yàn)?平面,
所以平面.
（Ⅱ）證明：因?yàn)榈酌媸橇庑吻?，所以為正三角形，所?
因?yàn)?所以；
因?yàn)槠矫?，平?
所以；
因?yàn)?br /> 所以平面，
平面,所以平面平面.
（Ⅲ）存在點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，滿足平面；理由如下:

分別取的中點(diǎn)，連接,
在三角形中，且；
在菱形中，為中點(diǎn)，所以且，所以且，即四邊形為平行四邊形，所以;
又平面，平面，所以平面.
【點(diǎn)睛】本題主要考查線面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，立體幾何中的探索問(wèn)題等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.
48．（1）見解析；（2）見解析.
【分析】(1)由題意結(jié)合幾何體的空間結(jié)構(gòu)特征和線面平行的判定定理即可證得題中的結(jié)論；
(2)由題意首先證得線面垂直，然后結(jié)合線面垂直證明線線垂直即可.
【詳解】（1）因?yàn)镈，E分別為BC，AC的中點(diǎn)，

所以ED∥AB.
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，
所以A1B1∥ED.
又因?yàn)镋D?平面DEC1，A1B1平面DEC1，
所以A1B1∥平面DEC1.
（2）因?yàn)锳B=BC，E為AC的中點(diǎn)，所以BE⊥AC.
因?yàn)槿庵鵄BC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC.
又因?yàn)锽E?平面ABC，所以CC1⊥BE.
因?yàn)镃1C?平面A1ACC1，AC?平面A1ACC1，C1C∩AC=C，
所以BE⊥平面A1ACC1.
因?yàn)镃1E?平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.
【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力和推理論證能力.
49．（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）方法一：通過(guò)計(jì)算，根據(jù)勾股定理得,再根據(jù)線面垂直的判定定理得結(jié)論；
（Ⅱ）方法一：找出直線AC1與平面ABB1所成的角，再在直角三角形中求解即可.
【詳解】（Ⅰ）［方法一］：幾何法
由得，
所以，即有.
由，得，
由得，
由，得，所以，即有，又，因此平面.
［方法二］：向量法
如圖，以AC的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以射線OB，OC為x，y軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.

由題意知各點(diǎn)坐標(biāo)如下：

因此,
由得；由得，
所以平面.
（Ⅱ）［方法一］：定義法
如圖，過(guò)點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，連結(jié).

由平面得平面平面，
由得平面，
所以是與平面所成的角.
由得，
所以，故.
因此，直線與平面所成的角的正弦值是.
［方法二］：向量法
設(shè)直線與平面所成的角為.
由(I)可知,
設(shè)平面的法向量.
由即，可取，
所以.
因此，直線與平面所成的角的正弦值是.
［方法三］：【最優(yōu)解】定義法+等積法
設(shè)直線與平面所成角為，點(diǎn)到平面距離為d（下同）．因?yàn)槠矫?，所以點(diǎn)C到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離．由條件易得，點(diǎn)C到平面的距離等于點(diǎn)C到直線的距離，而點(diǎn)C到直線的距離為，所以．故．
［方法四］：定義法+等積法
設(shè)直線與平面所成的角為，由條件易得，所以，因此．
于是得，易得．
由得，解得．
故．
［方法五］：三正弦定理的應(yīng)用
設(shè)直線與平面所成的角為，易知二面角的平面角為，易得，
所以由三正弦定理得．
［方法六］：三余弦定理的應(yīng)用
設(shè)直線與平面所成的角為，如圖2，過(guò)點(diǎn)C作，垂足為G，易得平面，所以可看作平面的一個(gè)法向量．

結(jié)合三余弦定理得．
［方法七］：轉(zhuǎn)化法＋定義法
如圖3，延長(zhǎng)線段至E，使得．

聯(lián)結(jié)，易得，所以與平面所成角等于直線與平面所成角．過(guò)點(diǎn)C作，垂足為G，聯(lián)結(jié)，易得平面，因此為在平面上的射影，所以為直線與平面所成的角．易得，，因此．
［方法八］：定義法＋等積法
如圖4，延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，易知，又，所以，故面．設(shè)點(diǎn)到平面的距離為h，由得，解得．

又，設(shè)直線與平面所成角為，所以．
【整體點(diǎn)評(píng)】（Ⅰ）方法一：通過(guò)線面垂直的判定定理證出，是該題的通性通法；
方法二： 通過(guò)建系，根據(jù)數(shù)量積為零，證出；
（Ⅱ）方法一：根據(jù)線面角的定義以及幾何法求線面角的步驟，“一作二證三計(jì)算”解出；
方法二：根據(jù)線面角的向量公式求出；
方法三：根據(jù)線面角的定義以及計(jì)算公式，由等積法求出點(diǎn)面距，即可求出，該法是本題的最優(yōu)解；
方法四：基本解題思想同方法三，只是求點(diǎn)面距的方式不同；
方法五：直接利用三正弦定理求出；
方法六：直接利用三余弦定理求出；
方法七：通過(guò)直線平移，利用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和線面角的定義解出；
方法八：通過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化以及線面角的定義，計(jì)算公式，由等積法求出點(diǎn)面距，即求出．

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