初中數(shù)學(xué)人教版八年級(jí)下冊(cè)17.1 勾股定理課后測(cè)評(píng)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?專題17.5勾股定理與折疊問題專項(xiàng)提升訓(xùn)練
班級(jí)：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事項(xiàng)：
本試卷試題解答30道，共分成三個(gè)層組：基礎(chǔ)過關(guān)題（第1-10題）、能力提升題（第11-20題）、培優(yōu)壓軸題（第21-30題），每個(gè)題組各10題，可以靈活選用．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．
一、單選題
1．（2022春·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，矩形ABCD邊AD沿折痕AE折疊，使點(diǎn)D落在BC上的F處，已知AB=8，△ABF的面積為24，則EC等于（??）

A．3 B．103 C．5 D．83
【答案】A
【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，得AD=AF，F(xiàn)E=ED；根據(jù)S△ABF=12×AB×BF=24，解出BF，可得AF的值，根據(jù)直角三角形△EFC，利用勾股定理，即可求出EC．
【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，AB=DC=8，AD=BC，
∵△AFE是△ADE沿折痕AE折疊得到的，
∴AD=AF，F(xiàn)E=ED，
∵S△ABF=12×AB×BF=24，
∴BF=6，
∴在直角三角形△ABF中，AB2+BF2=AF2，
∴82+62=AF2，
∴AF=10，
∴BC=AD=AF=10，F(xiàn)C=4，
設(shè)CE=x，
∴DE=EF=8?x，
∴在直角三角形△EFC，CE2+FC2=EF2，
∴x2+42=8?x2，
∴x=3，
∴CE=3．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)，勾股定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握折疊的性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用．
2．（2022春·廣東深圳·八年級(jí)深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谥校┤鐖D，在矩形紙片ABCD中，AB=12，BC=5，點(diǎn)E在AB上，將△DAE沿DE折疊，使點(diǎn)A落在對(duì)角線BD上的點(diǎn)A'處，則AE的長為（　?。?br />
A．103 B．3 C．5 D．83
【答案】A
【分析】根據(jù)勾股定理即可求出BD的長，設(shè)A'E=x，則BE=12?x，在Rt△A'EB中根據(jù)勾股定理列方程求解即可．
【詳解】解：∵AB=12，BC=5，
∴AD=5，
∴BD=122+52=13，
根據(jù)折疊可得：AD=A'D=5，
∴A'B=13?5=8，
設(shè)AE=x，則A'E=x，BE=12?x，
在Rt△A'EB中：(12?x)2=x2+82，
解得：x=103，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．
3．（2022春·河南鄭州·八年級(jí)?？计谥校┰赗t△ABC中，AB=10，BC=6，∠C=90°．現(xiàn)將△ABC按如圖那樣折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，折痕為DE，則AE的長是（????）

A．152 B．254 C．4 D．5
【答案】B
【分析】先利用勾股定理求得AC的長，再設(shè)AE=x，再根據(jù)圖形翻折變換的性質(zhì)得出BE=x，CE=8?x，再根據(jù)勾股定理求出x的值．
【詳解】解：設(shè)AE=x，則CE=8?x，
∵△BDE是△ADE翻折而成，
∴BE=x，
在RtΔBCE中，BE2=BC2+CE2，即x2=62+8?x2，
解得x=254．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查的是圖形翻折變換的性質(zhì)及勾股定理，熟知“折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等”的知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵．
4．（2022春·陜西西安·八年級(jí)西安市曲江第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D，有一個(gè)直角三角形紙片ABC，∠C=90°，AC=5，BC=12，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，則CD的長為（????）

A．3 B．103 C．154 D．5
【答案】B
【分析】設(shè)CD=x，則BD=12?x，根據(jù)折疊可知，DE=CD=x，AE=AC=5，根據(jù)勾股定理求出AB=13，得出BE=8，在Rt△BDE中，根據(jù)勾股定理列出x的方程，解方程即可．
【詳解】解：設(shè)CD=x，則BD=12?x，根據(jù)折疊可知，DE=CD=x，AE=AC=5，
根據(jù)勾股定理可知，AB=AC2+BC2=52+122=13，
則BE=AB?AE=13?5=8，
在Rt△BDE中，根據(jù)勾股定理可得，BD2=BE2+DE2，
即12?x2=82+x2，
解得：x=103，故B正確．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，折疊的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程．
5．（2022春·廣東深圳·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在等腰直角三角形紙片ABC中，∠C=90°，把紙片沿EF對(duì)折后，點(diǎn)A恰好落在BC上的點(diǎn)D處，CE=1，AC=4，則下列結(jié)論：①BC=2CD；②BD>CE；③∠CED+∠DFB=2∠EDF；④△DCE與△BDF的周長相等．一定正確的是（????）

A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【分析】由CE=1，AC=4，得AE=3，由折疊得DE=AE=3，根據(jù)勾股定理得CD的長，據(jù)此求解可判斷①正確；因?yàn)锽D=4?22，CE=1，所以BD>CE，可判斷②正確；由∠EDF=∠A=∠B=45°，得2∠EDF=90°，再推導(dǎo)出∠CDE=135°?∠BDF，則∠CED+∠DFB=∠CED+∠CDE=90°，據(jù)此求解可判斷③正確；根據(jù)勾股定理求得AB的長，可△DCE與△BDF的周長相等，可判斷④正確，于是得到問題的答案．
【詳解】解：∵CE=1，AC=4，
∴AE=AC?CE=3，
由折疊得DE=AE=3，
∵AC=BC=4，∠C=90°，
∴CD=DE2?CE2=32?12=22，
∴2CD=2×22=4，
∴BC=2CD，故①正確；
∵BD=4?22，CE=1，且4?22>1，
∴BD>CE，故②正確；
∵∠EDF=∠A=∠B=45°，
∴2∠EDF=90°，
∵∠CDE=180°?∠EDF?∠BDF=135°?∠BDF，
∠DFB=180°?∠B?∠BDF=135°?∠BDF，
∴∠CDE=∠DFB，
∴∠CED+∠DFB=∠CED+∠CDE=90°，
∴∠CED+∠DFB=2∠EDF，故③正確；
∵AB=AC2+BC2=42+42=42，BD=4?22，DF=AF，
∴BF+DF+BD=BF+AF+BD=AB+BD
=42+4?22=22+4，
∵CD+DE+CE=CD+AE+CE=CD+AC=22+4，
∴CD+DE+CE=BF+DF+BD，
∴△DCE與△BDF的周長相等，故④正確，
綜上，①②③④均正確，
故選：D．
【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查等腰直角三角形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，根據(jù)勾股定理求得CD=22、AB=42是解題的關(guān)鍵．
6．（2022春·廣東茂名·八年級(jí)信宜市第二中學(xué)?？计谥校┤鐖D，等腰直角三角形紙片ABC中，∠C=90°，把紙片沿EF對(duì)折后，點(diǎn)A恰好落在BC上的點(diǎn)D處，點(diǎn)CE=1，AC=4，則下列結(jié)論：①BD>CE；②BC=2CD；③△DCE與△BDF的周長相等．正確的個(gè)數(shù)是（　?。?br />
A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)
【答案】D
【分析】在等腰Rt△ABC中，可得AC=4=BC，即AB=AC2+BC2=42，由折疊可得，DE=AE=3，即CD=DE2?CE2=22，則有BD=BC?DC=4?22＞1，可判斷①正確；根據(jù)BC=4，CD=22，可得BC=4，2CD=4，即②正確；根據(jù)△DCE的周長為：CE+DE+CD=4+22，由折疊可得，DF=AF，則有△BDF的周長為：AB+BD=4+22，可得③正確，即問題得解．
【詳解】在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，
∴∠A=∠B=45°，AC=4=BC，
∴AB=AC2+BC2=42+42=42，
∵CE=1，
∴AE=AC?CE=3，
即由折疊可得，DE=AE=3，
∴在Rt△CDE中，CD=DE2?CE2=22，
∴BD=BC?DC=4?22＞1，
∴BD>CE，故①正確；
∵BC=4，CD=22，
∴BC=4，2CD=4，
∴BC=2CD，故②正確；
∵AC=BC=4，∠C=90°，
∴AB=42，
∵△DCE的周長為：CE+DE+CD=1+3+22=4+22，
由折疊可得，DF=AF，
∴△BDF的周長為：DF+BF+BD=AF+BF+BD=AB+BD=42+4?22=4+22，
∴△DCE與△BDF的周長相等，故③正確；
即正確的有三個(gè)，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊問題，折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．還考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的知識(shí)，掌握折疊的性質(zhì)以及勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．
7．（2022春·江蘇·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，三角形紙片ABC中，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，連接AD，把ΔABD沿著直線AD翻折，得到ΔAED，DE交AC于點(diǎn)G，連接BE交AD于點(diǎn)F，若DG=EG,AF=4,AB=5，ΔAEG的面積為154，則BD的長是（????）

A．13 B．10 C．7 D．5
【答案】B
【分析】利用折疊和中線的性質(zhì)，得到ΔABD的面積，利用勾股定理求出BF，利用三角形的面積公式求出AD，進(jìn)而求出DF，再利用勾股定理求出BD即可．
【詳解】解：∵DG=EG,
∴AG為ΔAEG的中線，
∴S△ADE=2SΔAEG=152，
∵翻折，
∴S△ADB=S△ADE=152，AD⊥BE，
∴∠AFD=∠BFD=90°，
∵AF=4,AB=5，
∴BF=AB2?AF2=52?42=3，
∵S△ADB=12AD?BF=12AD×3=152，
∴AD=5，
∴DF=AD?AF=5?4=1，
∴BD=BF2+DF2=32+12=10；
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理與折疊問題．熟練掌握折疊的性質(zhì)以及三角形的中線平分面積，以及勾股定理是解題的關(guān)鍵．
8．（2022秋·山東濱州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，有一塊直角三角形紙片，∠C=90°，AC＝6，BC＝8．若要在邊CA上找一點(diǎn)D，使得紙片沿直線BD折疊時(shí)，BC邊恰好落在斜邊AB上，則點(diǎn)D到頂點(diǎn)C的距離是(????)

A．2 B．83 C．3 D．103
【答案】B
【分析】紙片沿直線BD折疊時(shí)，BC邊恰好落在斜邊AB上，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是E，先根據(jù)勾股定理求得AB的長，再根據(jù)折疊的性質(zhì)求得AE，BE的長，從而利用勾股定理可求得CD的長．
【詳解】解：紙片沿直線BD折疊時(shí)，BC邊恰好落在斜邊AB上，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是E，如圖所示，
∵∠C=90°，AC＝6，BC＝8．
∴AB=AC2+BC2=62+82=10，
由折疊的性質(zhì)得：BE＝BC＝8，∠BED＝∠C＝90°，CD＝DE，
∴AE＝AB－BE＝10﹣8＝2，∠AED＝180°－∠BED＝90°，
設(shè)CD＝DE＝x，則AD＝AC﹣CD＝6－x，
在Rt△DEA中，AE2+DE2=AD2，
∴22+x2=6?x2，
解得：x＝83，
∴CD＝83，
即點(diǎn)D到頂點(diǎn)C的距離是83．
故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)；熟記折疊的性質(zhì)并利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．
9．（2022秋·遼寧鐵嶺·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，將△ABE沿AE折疊，使點(diǎn)B落在矩形內(nèi)點(diǎn)F處，連接CF．則CF的長為（????）

A．185 B．165 C．125 D．95
【答案】A
【分析】連接BF，由翻折變換可知BF⊥AE，BE=EF，由點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)可知BE=3，根據(jù)勾股定理即可求得AE；根據(jù)三角形的面積公式可得12×AB×BE=12×AE×BH，據(jù)此可求得BH，進(jìn)而可得到BF的長度；結(jié)合題意可知FE=BE=EC，進(jìn)而可得∠BFC=90°，在Rt△BFC中，利用勾股定理求出CF的長度即可．
【詳解】解：連接BF，
∵BC=6，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，

∴BE=3，
又∵AB=4，
∴AE=AB2+BE2=5，
∵12×AB×BE=12×AE×BH，
∴BH=125，
則BF=245，
∴FE=BE=EC，
∴∠EBF=∠EFB，∠EFC=∠ECF，
而∠EBF+∠EFB+∠EFC+∠ECF=180°，
∴∠BFC=∠EFB+∠EFC =90°，
∴ CF=62?(245)2=185．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形與折疊，勾股定理，掌握折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．
10．（2022秋·廣西欽州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知矩形紙片ABCD，AB=4，BC=3，點(diǎn)P在BC邊上，將△CDP沿DP折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，PE，DE分別交AB于點(diǎn)O，F(xiàn)，且OP=OF，則DF的長為（????）

A．3911 B．4513 C．175 D．5717
【答案】C
【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)與矩形的性質(zhì)得到DC=DE=4，CP=EP，∠E=∠C=90°，再由三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得OE=OB，EF=BP，從而有BF=EP=CP，設(shè)BF=EP=CP=x，可得用x表示的AF、DF的長，再有勾股定理求得x的值從而得到DF的長．
【詳解】解：由矩形的性質(zhì)得到：DC=AB=4，AD=BC=3，∠A=∠B=∠C=90°，
由折疊的性質(zhì)，得：DC=DE=4，CP=EP，∠E=∠C=90°，
在△OEF、△OBP中，
∠EOF=∠BOP∠E=∠BOF=OP，
∴△OEF≌△OBP
∴OE=OB、EF=BP，
∴BF=EP=CP
設(shè)BF=EP=CP=x，
則AF=4-x，BP=EF=3-x，DF=DE-EF=4-（3-x）=x+1，
在Rt△ADF中，AF2+AD2=DF2 ，
即（4?x）2+9=（x+1）2，
∴x=125，
∴DF=x+1=175
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形得性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，三角形的判定定理與性質(zhì)，勾股定理等性質(zhì)，利用三角形全等的判定定理與性質(zhì)與線段的和差求出BF=EP=CP是關(guān)鍵．
二、填空題
11．（2022春·江蘇南京·八年級(jí)期中）如圖，矩形ABCD中，AB=5,BC=3，將矩形沿BE折疊，使頂點(diǎn)A落在CD上的點(diǎn)F處，其中E在AD上連接AF，則AE=______．

【答案】53##123
【分析】由折疊的性質(zhì)，可知EF=AE，BF=AB=5，在Rt△BCF中，由勾股定理可得CF=BF2?BC2=4，即可知DF=CD?CD=1，設(shè)AE=EF=x，則DE=3?x，在Rt△DEF中，由勾股定理可得DF2+DE2=EF2，即有12+(3?x)2=x2，求解即可獲得答案．
【詳解】解：∵四邊形ABCD為矩形，AB=5,BC=3，
∴∠A=∠D=∠C=90°，CD=AB=5，AD=BC=3，
由折疊的性質(zhì)，可知EF=AE，BF=AB=5，
∴在Rt△BCF中，由勾股定理可得CF=BF2?BC2=52?32=4，
∴DF=CD?CD=5?4=1，
設(shè)AE=EF=x，則DE=AD?AE=3?x，
∴在Rt△DEF中，由勾股定理可得DF2+DE2=EF2，
即12+(3?x)2=x2，
解得x=53，
∴AE=53．
故答案為：53．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)，熟練掌握折疊的性質(zhì)和勾股定理是解題關(guān)鍵．
12．（2022春·四川成都·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，將長方形ABCD折疊，使頂點(diǎn)D恰好落在BC邊上F處，折痕交于點(diǎn)E，已知AB=8，AD=10，則DE=___________．

【答案】5
【分析】先根據(jù)長方形的性質(zhì)得AD=BC=10，AB=CD=8，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得AF=AD=10，EF=DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理計(jì)算出BF=6，則CF=BC?BF=4，設(shè)CE=x，則DE=EF=8?x，然后在Rt△ECF中根據(jù)勾股定理得到x2+42=(8?x)2，再解方程得到DE的長．
【詳解】解：∵四邊形ABCD為長方形，
∴AD=BC=10，AB=CD=8，∠B=∠C=∠D=90°，
由折疊可知，
∴AF=AD=10，EF=DE，
在Rt△ABF中，∵BF=AF2?AB2=6，
∴CF=BC?BF=10?6=4，
設(shè)CE=x，則DE=EF=8?x，
在Rt△ECF中，∵CE2+FC2=EF2，
∴x2+42=(8?x)2，
解得x=3，
即DE=5，
故答案為：5．
【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握折疊的性質(zhì)和勾股定理是解決問題的關(guān)鍵．
13．（2022春·河南平頂山·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，長方形ABCD中，AD=BC=6，AB=CD=10．點(diǎn)E為線段DC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，△ADE與△AD'E關(guān)于直線AE對(duì)稱，當(dāng)△AD'B為直角三角形時(shí)，DE為______

【答案】2
【分析】假設(shè)△AD'B為直角三角形，可得Rt△BCE，設(shè)DE=x，則D'E=x，EC=10?x，根據(jù)勾股定理即可求解．
【詳解】解：如圖所示，

△ADE與△AD'E關(guān)于直線AE對(duì)稱，AD=BC=6，AB=CD=10，當(dāng)△AD'B為直角三角形時(shí)，
∵∠D=∠AD'E=∠AD'B=90°，
∴點(diǎn)E，D'，B在同一條直線上，則有Rt△AD'B，Rt△BCE，
∴設(shè)DE=x，則D'E=x，EC=10?x，
∴BD'=AB2?D'A2=102?62=8，則BE=8+x，
∴BE2=CE2+CB2，即(8+x)2=(10?x)2+62，解方程得，x=2，
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】本題主要考察長方形的性質(zhì)與直角三角形的勾股定理得綜合，掌握長方形的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．
14．（2022春·四川成都·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，長方形紙片ABCD的邊CD上有一點(diǎn)E，連接AE，將長方形紙片沿AE折疊，使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F處，若AB=6，AD=10，則EC的長為________．

【答案】83
【分析】由折疊可知：AD=AF=10，DE=EF，設(shè)EC=x,則DE=EF=6?x.在Rt△ECF中，利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題．
【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC=10，AB=CD=6，∠B=∠BCD=90°
由折疊可知：AD=AF=10，DE=EF，
設(shè)EC=x,則DE=EF=6?x,
在Rt△ABF中BF=AF2?AB2=102?62=8，
∴CF=BC?BF=10?8=2，
在Rt△ECF中，EF2=CE2+CF2，
∴6?x2=x2+22，
∴x=83，
∴EC=83，
故答案為：83．
【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握方程的思想方法是解題的關(guān)鍵．
15．（2022春·山西運(yùn)城·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，一張長方形紙片ABCD，AB=4，AD=6．先對(duì)折長方形紙片使AB與CD重合，得到折痕EF，再將△ABM沿AM折疊，當(dāng)點(diǎn)B'恰好落在折痕EF上時(shí)，則BM的長為______．

【答案】16?473
【分析】根據(jù)對(duì)折長方形紙片使AB與CD重合，得到折痕EF，求得AF，根據(jù)將△ABM沿AM折疊，當(dāng)點(diǎn)B'恰好落在折痕EF上，得到AB=AB'=4，BM=B'M，在Rt△AB'F和Rt△MEB'中，應(yīng)用勾股定理即可求解．
【詳解】解：在長方形ABCD中，∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD=4，BC=AD=6，
∵對(duì)折長方形紙片使AB與CD重合，得到折痕EF，
∴ AF=12AD=3， BE=12BC=3，∠AFE=∠DFE=90°，∠BEF=∠CEF=90°，
∴ ∠BAF=∠B=∠AFE=90°，
∴四邊形ABEF是矩形，
∴ EF=AB=4，
∵將△ABM沿AM折疊，當(dāng)點(diǎn)B'恰好落在折痕EF上，
∴ AB=AB'=4，BM=B'M，
在Rt△AB'F中，AB'2=AF2+B'F2，
即42=32+B'F2，
∴B'F=7，
∴B'E=EF?B'F=4?7，
在Rt△MEB'中，B'M2=ME2+B'E2，
即B'M2=3?B'M2+4?72，
∴B'M=16?473，
∴BM=B'M=16?473，
故答案為：16?473．
【點(diǎn)睛】本題考查矩形的判定及其性質(zhì)，折疊性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)D形折疊的性質(zhì)求得相等的量．
16．（2022春·江蘇·八年級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，點(diǎn)D為斜邊AB的中點(diǎn)，連接CD，將△BCD沿CD翻折，使B落在點(diǎn)E處，點(diǎn)F為直角邊AC上一點(diǎn)，連接DF，將△ADF沿DF翻折，使點(diǎn)A與點(diǎn)E重合，則AF的長為_____．

【答案】74
【分析】先求出AC，再由翻折可得∠B=∠DEC，∠A=∠DEF，CE=BC=6，AF=EF，從而可證∠FEC=90°，設(shè)AF=EF=x，則CF=AC?AF=8?x，用勾股定理即可得答案．
【詳解】解：∵∠ACB=90°，AB=10，BC=6，
∴AC=AB2?BC2=8，
由翻折可知：∠B=∠DEC，∠A=∠DEF，CE=BC=6，AF=EF，
∵∠A+∠B=90°，
∴∠DEF+∠DEC=90°，即∠FEC=90°，
∴EF2+CE2=CF2，
設(shè)AF=EF=x，則CF=AC?AF=8?x，
∴x2+62=8?x2，
解得x=74，
∴AF=74，
故答案為：74．
【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形中的翻折問題，解題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì)，證明∠FEC=90°，從而用勾股定理解決問題．
17．（2022春·重慶·八年級(jí)校考期中）如圖，在△ABC中，AB=7，BC=23，點(diǎn)D為BC上一點(diǎn)，連接AD，將△ABD沿AD翻折，得到△AED，連接BE．若BE=DE，S△ACD=S△AED，則AC=____________．

【答案】31
【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到△ABD≌△AED，可得BD=DE，∠BDA=∠EDA，S△ABD=S△AED，根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)得∠BDA=∠EDA=12∠EDB=30°，根據(jù)S△ACD=S△AED，S△ABD=S△AED，得CD=DB，設(shè)BH=x，則DH=DB+BH=3+x，根據(jù)含30°得直角三角形的性質(zhì)和勾股定理列方程求解即可．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作AH⊥CB交CB得延長線于點(diǎn)H，
∵將△ABD沿AD翻折，得到△AED，
∴△ABD≌△AED，
∴BD=DE，∠BDA=∠EDA，S△ABD=S△AED，
∵BE=DE，
∴BE=DE=DB，
∴△EDB時(shí)等邊三角形，
∴∠EDB=60°，
∴∠BDA=∠EDA=12∠EDB=30°，
∵S△ACD=S△AED，S△ABD=S△AED，
∴S△ACD=S△ABD，即12CD·AH=12DB·AH，
∴CD=DB，
∵BC=CD+DB=23，
∴CD=DB=3，
設(shè)BH=x，則DH=DB+BH=3+x，
∵∠BDA=30°，∠H=90°，
∴AH=33DH=3+x·33=1+33x，
在Rt△ABH中，由勾股定理得，BH2+AH2=AB2，
∴x2+1+33x2=72，
解得x1=3，x2=?332（舍去），
∴BH=3，AH=2，
∴CH=CB+BH=23+3=33，
在Rt△CHA中，由勾股定理得，CH2+AH2=AC2，
∴332+22=AC2，
∴AC=332+22=31，
故答案為：31．

【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、一元二次方程的應(yīng)用、含30°得直角三角形的性質(zhì)和勾股定理，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)求解是解決本題的關(guān)鍵．
18．（2022春·陜西寶雞·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A0，4、B6，0．現(xiàn)將ΔACD折疊，使點(diǎn)A落在OB邊的中點(diǎn)A'處，折痕為CD，其中點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)D在AB邊上，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為___________．

【答案】0，78
【分析】由A0，4、B6，0，A' 是OB邊的中點(diǎn)，可得OA'，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)表示出OC、AC，在RtΔA'OC中，用勾股定理即可得答案．
【詳解】解：∵A0，4、B6，0，
∴OA=4 ，OB=6，
∵A'是OB邊的中點(diǎn)，
∴OA'=12OB=3，
∵ΔACD折疊得到ΔA'CD，
∴AC=A'C ，AD=A'D，
設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(0，m) ，
OC=m ，
∴AC=OA?OC=4?m ，
在RtΔA'OC中由勾股定理可得，
m2+32=(4?m)2 ，
解得：m=78 ，
故答案為：0，78．
【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形中的翻折變換，解題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì)，熟練應(yīng)用勾股定理列方程．
19．（2022春·廣東深圳·八年級(jí)深圳市羅湖中學(xué)統(tǒng)考期中）如圖，已知點(diǎn)E是長方形ABCD中AD邊上一點(diǎn)，將四邊形BCDE沿直線BE折疊，折疊后點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C'，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D'，若點(diǎn)A在C'D'上，且AB=10，BC=8，則AE=___________．

【答案】5
【分析】根據(jù)翻折的性質(zhì)可知BC'=BC=8，C'D'=AB=10，∠C'=∠D'=∠DAB=90°，在Rt△AC'B中，由勾股定理可得AC'=AB2?BC'2=102?82=6，則AD'=C'D'?AC'=10?6=4，在 Rt△AD'E中，設(shè)AE=x，則 D'E=DE=AD?AE=8?x，由勾股定理可列出方程42+(8?x)2=x2，即可求解．
【詳解】解：∵ 四邊形ABCD為長方形，
∴根據(jù)翻折的性質(zhì)可得：BC'=BC=8，C'D'=AB=10，∠C'=∠D'=∠DAB=90°，
在Rt△AC'B中，由勾股定理可得AC'=AB2?BC'2=102?82=6，
∴ AD'=C'D'?AC'=10?6=4，
在 Rt△AD'E中，設(shè)AE=x，則 D'E=DE=AD?AE=8?x，
由勾股定理可得：AD'2+D'E2=AE2,
即42+(8?x)2=x2
解得：x=5，
即 AE=5，
故答案為：5．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了翻折變換，矩形的性質(zhì)，勾股定理及其應(yīng)用，熟練掌握矩形的性質(zhì)和勾股定理等是解題的關(guān)鍵．
20．（2022秋·四川成都·八年級(jí)成都外國語學(xué)校校考期中）如圖，在ABC中，∠A=45°，∠B=30°，AC=2，點(diǎn)M、N分別是邊AB、AC上的動(dòng)點(diǎn)，沿MN所在的直線折疊∠A，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P始終落在邊BC上，若PMB為直角三角形，則AM的長為_____．

【答案】2或2+63
【分析】分兩種情形：如圖1中，當(dāng)∠CMB=90°時(shí)，由題意可知點(diǎn)P與C重合，如圖2中，當(dāng)∠MPB=90°時(shí)，分別求解即可．
【詳解】解：如圖1中，當(dāng)∠CMB=90°時(shí)，由題意可知點(diǎn)P與C重合，

在Rt△ACM中，
∵∠A=45°，AC=2，
∴AM=CM=2，
在Rt△BCM中，
∵∠B=30°，CM=2，
∴BM=3CM=6，
∴AB=AM+BM=2+6，
如圖2中，當(dāng)∠MPB=90°時(shí)，

由翻折可知，AM=PM，
在Rt△PMB中，
∵∠B=30°，
∴BM=2PM=2AM，
∴3AM=AB，
∴AM=2+63．
綜上所述，滿足條件的AM的值為2或2+63．
故答案為：2或2+63．
【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．
三、解答題
21．（2022春·山東棗莊·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)E在矩形ABCD的AB邊上，將△ADE沿DE翻折，點(diǎn)A恰好落在BC邊上的點(diǎn)F處，若CD＝3BF，BE＝4，求AD的長．

【答案】15
【分析】設(shè)BF＝x，由折疊的性質(zhì)可得AB=CD＝3x，AE=EF=3x?4，根據(jù)勾股定理可求出BF、CD的長，再設(shè)AD=BC=y，則DF=y，CF=y?3，根據(jù)勾股定理即可求解AD．
【詳解】由折疊的性質(zhì)可知AE=EF，AD=DF，
設(shè)BF＝x，則AB=CD＝3x，AE=EF=3x?4，
在Rt△BEF中：BE2+BF2=EF2，
42+x2=(3x?4)2
解得：8x2=24x
x=3或x=0（舍）
∴BF＝3，CD＝9，
設(shè)AD=BC=y，則DF=y，CF=y?3，
在Rt△DFC中：CD2+CF2=DF2，
92+(y?3)2=y2
解得：y=15
∴AD的長為15．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊變換、矩形的性質(zhì)、勾股定理的運(yùn)用，合理利用勾股定理轉(zhuǎn)換是解題關(guān)鍵．
22．（2019秋·河南漯河·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，把長方形紙片ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)B落在邊AD上的點(diǎn)B'處，點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處.

（1）試說明B'E=BF；
（2）設(shè)AE=a，AB=b，BF=c，試猜想a，b，c之間的關(guān)系，并說明理由.
【答案】（1）證明見解析；（2）a，b，c之間的關(guān)系是a2+b2=c2．理由見解析．
【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)、平行的性質(zhì)及等角對(duì)等邊即可說明；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)將AE、AB、BF都轉(zhuǎn)化到直角三角形△A'B'E中，由勾股定理可得a，b，c之間的關(guān)系．
【詳解】（1）由折疊的性質(zhì) ，得B'F=BF，∠B'FE=∠BFE，
在長方形紙片ABCD中，AD∥BC，
∴∠B'EF=∠BFE，
∴∠B'FE=∠B'EF，
∴B'F=B'E，
∴B'E=BF．
（2）a，b，c之間的關(guān)系是a2+b2=c2．理由如下：
由（1）知B'E=BF=c，由折疊的性質(zhì)，
得∠A'=∠A=90°，A'E=AE=a，A'B'=AB=b．
在△A'B'E中，∠A'=90°，
所以A'E2+A'B'2=B'E2，所以a2+b2=c2．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，靈活利用折疊的性質(zhì)進(jìn)行線段間的轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．
23．（2022春·四川成都·八年級(jí)四川省蒲江縣蒲江中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在長方形紙片ABCD中，AB=4,BC=3，點(diǎn)P在BC邊上，將△CDP沿DP折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，PE,DE分別交AB于點(diǎn)G，F(xiàn)，若GE=GB，

(1)試說明△GEF≌△GBP
(2)求BF的長
【答案】(1)見解析
(2)125

【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得出DC=DE=4,CP=EP可得出△GEF≌△GBP；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出EF=BP,GF=GP，設(shè)BF=EP=CP=x，則AF=4?x,BP=3?x=EF,DF=DE?EF=4?3?x=x+1，
Rt△ADF中，根據(jù)勾股定理，可得到x的值．
【詳解】（1）解：根據(jù)折疊可知：△DCP≌△DEP，
∴DC=DE=4,CP=EP．
在△GEF和△GBP中，
∠EGF=∠BGPGE=GB∠E=∠B，
∴△GEF≌△GBPASA；
（2）解：∵△GEF≌△GBP，
∴EF=BP,GF=GP，
∴BF=EP=CP，
設(shè)BF=EP=CP=x，則AF=4?x,BP=3?x=EF,DF=DE?EF=4?3?x=x+1，
∵∠A=90°，
∴Rt△ADF中，AF2+AD2=DF2，
∴4?x2+32=1+x2，
∴x=125，
∴BF=125．
【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，設(shè)要求的線段長為x，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切?，運(yùn)用勾股定理列出方程是解決問題的關(guān)鍵．
24．（2022春·廣東深圳·八年級(jí)深圳市光明區(qū)公明中學(xué)校考期中）如圖，有一張三角形紙片，三邊長分別為AC=6，BC=8，AB=10．

(1)求證：∠BAC+∠ABC=90°；
(2)將△ABC沿DE折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，求CD的長．
【答案】(1)見解析
(2)74

【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理證明△ABC為直角三角形，即可得出答案；
（2）由折疊知：DA=DB，設(shè)CD=x，則AD=BD=8?x，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程，解方程即可得出答案．
【詳解】（1）證明：∵在△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，
∴AC2=36，BC2=64，AB2=100，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC為直角三角形，
即∠BAC+∠ABC=90°；
（2）解：由折疊知：DA=DB，△ACD為直角三角形，
在Rt△ACD中，AC2＋CD2=AD2①，
設(shè)CD=x，則AD=BD=8?x，
代入①式得62+x2=8?x2
化簡(jiǎn)得36=64?16x，
解得：x=74，
即CD的長為74．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理及其逆定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理及其逆定理．
25．（2022春·廣東深圳·八年級(jí)校考期中）如圖1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，AB=13

(1)如圖2，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，△ABC沿著AE折疊，點(diǎn)C恰好與斜邊AB上點(diǎn)D重合，求CE的長．
(2)如圖3，點(diǎn)F為斜邊上AB上動(dòng)點(diǎn)，連接CF，在點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)過程中，若△BCF為等腰三角形，請(qǐng)直接寫出AF的長．
【答案】(1)103
(2)AF=1或132

【分析】（1）設(shè)CE=x，則BE=12?x，根據(jù)折疊的性質(zhì)得出DE=CE=x，AD=AC=5，∠BDE=90°，在Rt△BDE中，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可求解；
（2）根據(jù)等腰三角形的定義，分類討論，即可求解．
【詳解】（1）解：設(shè)CE=x，則BE=12?x
∵∠ACB=90°，AC=5，AB=13
∴BC=12
∵△ABC沿著AE折疊，點(diǎn)C恰好與斜邊AB上點(diǎn)D重合
∴DE=CE=x，AD=AC=5，∠BDE=90°，
∴BD=AB?AD=8
在Rt△BDE中，∠BDE=90°
∴82+x2=12?x2
解得x=103，
∴CE=103；
（2）解：∵△BCF是等腰三角形，
①BC=BF =12，
∴AF=AB?BF=13?12=1，
②當(dāng)FB=FC時(shí)，如圖，

∴∠B=∠FCB，
又∵∠FCB+∠FCA=90°,∠A+∠B=90°，
∴∠A=∠FCA，
∴FC=FA，
∴FA=FB=12AB=132．
③∵點(diǎn)F為斜邊上AB上動(dòng)點(diǎn)，所以CB=CF不存在，
綜上所述，AF=1或132．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，等腰三角形的定義，等腰三角形的判定，掌握分類討論思想是解題的關(guān)鍵．
26．（2022秋·山東臨沂·八年級(jí)?？计谥校┰赗t△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D，E分別是AB和CB上的點(diǎn)，把△ABC沿著直線DE折疊，頂點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)B'．

(1)如圖1，如果點(diǎn)B'恰好與頂點(diǎn)A重合，求CE的長；
(2)如圖2，如果點(diǎn)B'恰好落在直角邊AC的中點(diǎn)上，求CE的長．
【答案】(1)74；
(2)5516．

【分析】（1）利用勾股定理求出AB的長，再利用翻折得到AE=BE，在Rt△ACE中利用勾股定理即可求出CE的長；
（2）點(diǎn)B'是直角邊AC的中點(diǎn)，可以得到B'C的長度，再利用翻折得到B'E=BE，在Rt△B'CE中利用勾股定理即可求出CE的長．
（1）
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8
∴AB=AC2+BC2=10
根據(jù)折疊的性質(zhì)，
∴△ADE≌△BDE
∴AE=BE
設(shè)CE為x，則：AE=BE =8-x
在Rt△ACE中：x2+62=8?x2
解得：x=74
即CE的長為：74．
（2）
解：∵點(diǎn)B'是直角邊AC的中點(diǎn)
∴B'C=12AC=3
根據(jù)折疊的性質(zhì)，
∴△B'DE≌△BDE
∴B'E=BE
設(shè)CE為x，則：B'E=BE =8-x
在Rt△B'CE中：x2+32=8?x2
解得：x=5516
即CE的長為：5516．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理以及圖形的變換中的折疊問題．在折疊過程中，對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵；在直角三角形中，知道一條邊長以及另外兩條邊的關(guān)系時(shí)，通常采用方程思想來解題．
27．（2022春·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在長方形ABCD中，AB=8，AD=12，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，將△ABE沿直線AE 折疊，點(diǎn)B落在B'點(diǎn)處，連接B'C，

(1)求線段AE的長
(2)判斷AE與B'C 的位置關(guān)系，并說明理由
(3)求線段B'C的長
【答案】(1)AE=10
(2)AE∥B'C，理由見解析
(3)B'C=365

【分析】（1）由BC=12，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，得出BE=12BC=6，再由勾股定理求解即可；
（2）由△ABE沿直線AE折疊，點(diǎn)B落在B'點(diǎn)處，得到BE=B'E，再由點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，得到B'E=CE，由三角形外角和定理，得出∠BEB'=∠EB'C+∠ECB'，則∠AEB=∠ECB'，即可判斷
（3）連接BB'交AE于H，由△ABE沿直線AE折疊，點(diǎn)B落在B'點(diǎn)處，BB'⊥AE，即BH是△ABE的高，再由面積不變，得：AB?BE=AE?BH，得到BH的長度，由AE∥B'C，得∠BB'C=90°，用勾股定理即可求解．
【詳解】（1）解：∵ BC=12，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，
∴BE=12BC=6，
∴AE=AB2+BE2=10；
（2）AE∥B'C，
理由如下：∵將△ABE沿直線AE折疊，點(diǎn)B落在B'點(diǎn)處，
∴∠AEB=∠AEB'，BE=B'E，
∵點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，
∴BE=CE，
∴B'E=CE，
∴∠EB'C=∠ECB'，
而∠BEB'=∠EB'C+∠ECB'，
∴∠AEB+∠AEB'=∠EB'C+∠ECB'，
∴2∠AEB=2∠ECB'，
∴∠AEB=∠ECB'，
∴AE∥B'C；
（3）連接BB'交AE于H，如圖：

由（1）得AE=10，
∵將△ABE沿直線AE折疊，點(diǎn)B落在B'點(diǎn)處，
∴BB'⊥AE，即BH是△ABE的高，
∴BH=B'H，
由面積不變，得：
AB?BE=AE?BH
∴BH=AB?BEAE=6×810=245
∴BB'=BH+B'H=485，
由（2）知，AE∥B'C，
∴∠BB'C=∠BHE=90°，
∴B'C=BC2?BB'2=365．
【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形得性質(zhì)，等腰三角形得判定，兩直線平行的判定，平行線的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，能夠準(zhǔn)確識(shí)圖，并化出輔助線是解題關(guān)鍵．
28．（2022春·浙江衢州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AC上，連結(jié)AD，DE．將△ABD沿AD翻折，將△DCE沿DE翻折，翻折后，點(diǎn)B，C分別落在點(diǎn)B'，C'處，且邊DB'與DC'在同一直線上，連結(jié)AC'．

(1)求證：△ADE是直角三角形；
(2)當(dāng)BD為何值時(shí)，△ADC'是以AD為腰的等腰三角形．
【答案】(1)見詳解
(2)78或43

【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠ABD=∠AB'D,∠CDE=∠C'DE，再根據(jù)平角的性質(zhì)可得∠ABD+∠AB'D+∠CDE+∠C'DE=180°，從而推算出∠AB'D+∠C'DE=90°，最終得到∠ADE=90°；
（2）根據(jù)AD=DC'和AD=AC'兩種情況展開討論，當(dāng)AD=DC'，設(shè)BD=x可得DC=4?x，根據(jù)折疊的性質(zhì)得AD=DC=4?x，再根據(jù)勾股定理建立方程，解方程即可得到答案；當(dāng)AD=AC'，可得B'是DC'的中點(diǎn)，設(shè)BD=x，DC=4?x，可得DB'=4?x2，根據(jù)折疊的性質(zhì)得BD=DB'，建立方程解方程即可得到答案．
【詳解】（1）證明：根據(jù)題意得∠ABD=∠AB'D,∠CDE=∠C'DE，
∵∠ABD+∠AB'D+∠CDE+∠C'DE=180°，
∴2∠AB'D+2∠C'DE=180°，
∴∠AB'D+∠C'DE=90°，
∴∠ADE=90°，
∴△ADE是直角三角形；
（2）當(dāng)AD=DC'時(shí)，設(shè)BD=x，
得DC=4?x，
∵DC'=DC，
∴AD=DC=4?x，
在Rt△ABC中AB2+BD2=AD2,
∴9+x2=4?x2，
∴x=78；
當(dāng)AD=AC'時(shí)，
∵AB'⊥DC'，
∴B'是DC'的中點(diǎn)，
∵DC'=DC，
∴DB'=12DC，
設(shè)BD=x，則DC=4?x，
∴DB'=4?x2，
∵BD=DB'，
∴x=4?x2，
∴x=43，
∴當(dāng)BD=78或BD=43時(shí)，△ADC'是以AD為腰的等腰三角形．

【點(diǎn)睛】本題考查圖形的折疊、直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用折疊的性質(zhì)，根據(jù)題意建立方程．
29．（2022春·江蘇蘇州·八年級(jí)?？计谥校┰陂L方形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD=5，BC=AD=4．

(1)如圖1，P為BC邊上一點(diǎn)，將△ABP沿直線AP翻折至△APQ的位置，其中點(diǎn)Q是點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)Q落在CD邊上時(shí)，請(qǐng)你直接寫出DQ的長為　?。?br /> (2)如圖2，點(diǎn)E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥DE交BC邊于點(diǎn)F，將△BEF沿直線EF翻折得△B'EF，連接DB'，當(dāng)△DEB'是以DE為腰的等腰三角形時(shí)，求AE的長；
(3)如圖3，點(diǎn)M是射線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△ADM沿DM翻折，其中點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為A'，當(dāng)A'，M，C三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出AM的長．
【答案】(1)3
(2)53或910
(3)2或8

【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得AB=AQ=5，再由勾股定理，即可求解；
（2）分兩種情況討論：當(dāng)DE=DB'時(shí)，過點(diǎn)D作DJ⊥EB'于點(diǎn)J．先證明△DEA≌△DEJ，可得AE=EJ=JB'，從而得到BE=2AE，可求出AE，當(dāng)DE=EB'時(shí)，設(shè)BE=EB'=DE=x，則AE=5?x，根據(jù)DE2=AD2+AE2，求出x，即可求解；
（3）分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)M在線段AB上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)M在AB的延長線上時(shí)，即可求解．
【詳解】（1）解： ∵四邊形ABCD是長方形，
∴∠D=90°，
由翻折變換的性質(zhì)可知AB=AQ=5，
∵AD=4，
∴DQ=AQ2?AD2=52?42=3，
故答案為：3；
（2）解：如圖，當(dāng)DE=DB'時(shí)，過點(diǎn)D作DJ⊥EB'于點(diǎn)J．

∵DE=DB'，DJ⊥EB'，
∴EJ=JB'，
∵DE⊥EF，
∴∠BEF+∠DEA=90°，∠FEB'+∠DEB'=90°，
∵∠BEF=∠B'EF，
∴∠DEJ=∠DEA，
∵∠A=∠DJE=90°，DE=DE，
∴△DEA≌△DEJAAS，
∴AE=EJ=JB'，
∵EB=EB'，
∴BE=2AE，
∵AB=5，
∴AE=13AB=53；
如圖，當(dāng)DE=EB'時(shí)，

設(shè)BE=EB'=DE=x，則AE=5?x，
∵DE2=AD2+AE2，
∴x2=42+5?x2，
∴x=4110，
∴AE=AB?BE=5?4110=910．
綜上所述，AE的長為53或910；
（3）解：如圖，當(dāng)點(diǎn)M在線段AB上時(shí)，

∵四邊形ABCD是長方形，
∴AB∥CD，
∴∠CDM=∠AMD，
∵∠AMD=∠A'MD，
∴∠CDM=∠CMD，
∴CD=CM=5，
∵∠CBM=90°，
∴BM=CM2?BC2=52?42=3，
∴AM=AB?BM=5?3=2．
如圖，當(dāng)點(diǎn)M在AB的延長線上時(shí)，同法可證CD=CM=5，

∵∠CBM=90°，CB=4，
∴BM=CM2?CB2=52?42=3，
∴AM=AB+BM=5+3=8．
綜上所述，滿足條件的AM的長為2或8．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，圖形的折疊問題，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握勾股定理，圖形的折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
30．（2022春·江蘇蘇州·八年級(jí)蘇州市胥江實(shí)驗(yàn)中學(xué)校校考期中）如圖，長方形ABCD中，AB=6，AD=8，點(diǎn)P在邊BC上，且不與點(diǎn)B、C重合；將△APB沿直線AP折疊得到△APB'，點(diǎn)B'落在矩形ABCD的內(nèi)部，延長PB'交直線AD于點(diǎn)F．

(1)證明FA=FP；
(2)當(dāng)P為BC中點(diǎn)時(shí)，求AF的值；
(3)連接B'C，求△PCB'周長的最小值；
【答案】(1)證明見解析
(2)AF=132
(3)12

【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)證明∠FAP=∠APF，即可證明FA=FP；
（2）由折疊的性質(zhì)可知B'P=BP=4，∠AB'P=∠B=90°，AB'=AB=6，設(shè)AF=PF=x，則B'F=PF?B'P=x?4，在Rt△AB'F中，由勾股定理得： x2=x?42+62，據(jù)此求解即可；
（3）由題意得C△PCB'=8+B'C則要使△PCB'的周長最小，即要使B'C最小，故當(dāng)A、B'、C三點(diǎn)共線時(shí)B'C最小，據(jù)此求解即可．
【詳解】（1）解：∵四邊形ABCD是長方形，
∴AD∥BC，
∴∠APB=∠FAP，
由折疊的性質(zhì)可知∠APB=∠APF，
∴∠FAP=∠APF，
∴FA=FP
（2）解：∵P是BC的中點(diǎn)，
∴BP=12BC=4，
由折疊的性質(zhì)可知B'P=BP=4，∠AB'P=∠B=90°，AB'=AB=6，
設(shè)AF=PF=x，則B'F=PF?B'P=x?4，
在Rt△AB'F中，由勾股定理得：AF2=B'F2+AB'2，
∴x2=x?42+62，
解得x=132，
∴AF=132；
（3）解：由題意得C△PCB'=PC+B'C+B'P=PC+B'C+BP=8+B'C，
∴要使△PCB'的周長最小，即要使B'C最小，
∴當(dāng)A、B'、C三點(diǎn)共線時(shí)B'C最小，
連接AC，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=AB2+BC2=10，
∴B'C最小值=AC?AB'=4，
∴△PCB'的周長最小值為8+4=12；

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，折疊的性質(zhì)，勾股定理，兩點(diǎn)之間線段最短等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．

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