第四章章末檢測(時間：120分鐘，滿分150分)(本檢測對應(yīng)學(xué)生用書P121)一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．(2021年鄭州模擬)已知數(shù)列1，，，，…，，若3是這個數(shù)列的第n項，則n＝(　　)A．20　　　 B．21　C．22　　 D．23【答案】D　【解析】由＝3＝，得2n－1＝45，即2n＝46，解得n＝23．2．已知3，a＋2，b＋4成等比數(shù)列，1，a＋1，b＋1成等差數(shù)列，則等差數(shù)列的公差為(　　)A．4或－2　　　 B．－4或2C．4　　 D．－4【答案】C　【解析】∵3，a＋2，b＋4成等比數(shù)列，1，a＋1，b＋1成等差數(shù)列，∴(a＋2)2＝3(b＋4)，2(a＋1)＝1＋b＋1，聯(lián)立解得或當(dāng)時，a＋2＝0與3，a＋2，b＋4成等比數(shù)列矛盾，應(yīng)舍去；當(dāng)時，等差數(shù)列的公差為(a＋1)－1＝a＝4．3．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋＋＋…＋>(n∈N*)成立，某初始值至少應(yīng)取(　　)A．7 B．8C．9 D．10【答案】B　【解析】1＋＋＋…＋＝>，整理得2n>128，解得n>7，所以初始值至少應(yīng)取8．4．公差不為0的等差數(shù)列{an}，其前23項和等于其前10項和，a8＋ak＝0，則正整數(shù)k＝(　　)A．24 B．25C．26 D．27【答案】C　【解析】由題意設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，d≠0，∵其前23項和等于其前10項和，∴23a1＋d＝10a1＋d，變形可得13(a1＋16d)＝0．∴a17＝a1＋16d＝0．由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a8＋a26＝2a17＝0，∴k＝26．5．(2021年長春模擬)已知等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，其前n項和為Sn，若a2＝2，S6－S4＝6a4，則a5＝(　　)A．10　　 B．16　C．24　　 D．32【答案】B　【解析】設(shè)公比為q(q>0)，S6－S4＝a5＋a6＝6a4．因為a2＝2，所以2q3＋2q4＝12q2，即q2＋q－6＝0，解得q＝2，則a5＝2×23＝16．6．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若2a8＝6＋a11，則S9的值等于(　　)A．54 B．45C．36 D．27【答案】A　【解析】∵2a8＝a5＋a11,2a8＝6＋a11，∴a5＝6．∴S9＝9a5＝54．7．已知各項都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a2a4＝4，a1＋a2＋a3＝14，則滿足an·an＋1·an＋2＞的最大正整數(shù)n的值為(　　)A．3 B．4C．5 D．6【答案】B　【解析】∵a2a4＝4，an＞0，∴a3＝2．∴a1＋a2＝12．∴消去a1，得＝6．∵q＞0，∴q＝．∴a1＝8，∴an＝8×n－1＝24－n．∴不等式anan＋1an＋2＞化為29－3n＞，當(dāng)n＝4時，29－3×4＝＞，當(dāng)n＝5時，29－3×5＝＜．∴最大正整數(shù)n＝4．8．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn滿足n(n＋1)S＋(n2＋n－1)Sn－1＝0(n∈N*)，則S1＋S2＋…＋S2019＝(　　)A．　　　　 B．C．　　　 D．【答案】D　【解析】∵n(n＋1)S＋(n2＋n－1)Sn－1＝0(n∈N*)，∴(Sn＋1)[n(n＋1)Sn－1]＝0．又Sn>0，∴n(n＋1)Sn－1＝0，∴Sn＝＝－．∴S1＋S2＋…＋S2 019＝＋＋…＋＝．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．已知n∈N*，則不列表達(dá)式能作為數(shù)列0,1,0,1,0,1,0,1…的通項公式的是(　　)A．an＝　　 B．an＝C．an＝　　 D．an＝【答案】ABC　【解析】檢驗知A，B，C都是所給數(shù)列的通項公式．10．(2020年益陽期末)設(shè)公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S17＝S18，則下列各式的值為0的是(　　)A．a17　　 B．S35C．a17－a19　 D．S19－S16【答案】BD　【解析】設(shè){an}的公差為d≠0，由S17＝S18，得a18＝0，a17＝a18－d，∵d≠0，∴a17≠0，A錯誤；S35＝＝＝0，B正確；a17－a19＝－2d≠0，C錯誤；S19－S16＝a17＋a18＋a19＝3a18＝0，D正確．11．已知等比數(shù)列{an}的公比為q，滿足a1＝1，q＝2，則(　　)A．數(shù)列{a2n}是等比數(shù)列B．數(shù)列是遞增數(shù)列C．數(shù)列{log2an}是等差數(shù)列D．數(shù)列{an}中，S10，S20，S30仍成等比數(shù)列【答案】AC　【解析】等比數(shù)列{an}中，由a1＝1，q＝2，則an＝2n－1，∴a2n＝22n－1，∴數(shù)列{a2n}是等比數(shù)列，故A正確；數(shù)列是遞減數(shù)列，故B不正確；∵log2an＝n－1，故數(shù)列{log2an}是等差數(shù)列，故C正確；數(shù)列{an}中，S10＝＝210－1，同理可得S20＝220－1，S30＝230－1，不成等比數(shù)列，故D錯誤．12．設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，其前n項和為Sn，前n項積為Tn，并滿足條件a1>1，a2 019a2 020>1，<0，下列結(jié)論正確的是(　　)A．S2 019<S2 020B．a2 019a2 021－1<0C．T2 020是數(shù)列{Tn}中的最大值D．數(shù)列{Tn}無最大值【答案】AB　【解析】若a2 019a2 020>1，則(a1q2 018)(a1q2 019)＝aq4 037>1，又由a1>1，必有q>0，則數(shù)列{an}各項均為正值，又由<0，即(a2 019－1)(a2 020－1)<0，則有或又由a1>1，必有0<q<1，則有對于A，有S2 020－S2 019＝a2 020>0，即S2 019<S2 020，則A正確；對于B，有a2 020<1，則a2 019a2 021＝a<1，則B正確；對于C，則T2 019是數(shù)列{Tn}中的最大值，C，D錯誤．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．若數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，Sn為{an}的前n項和，則S8＝________．【答案】255　【解析】由a1＝1，an＋1＝2an知{an}是以1為首項、2為公比的等比數(shù)列，所以S8＝＝＝255．14．(2021年北京一模)中國古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有這樣一道算術(shù)題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之余二，五五數(shù)之余三，問物幾何？”，將上述問題的所有正整數(shù)答案從小到大組成一個數(shù)列{an}，則a1＝________；an＝________(注：三三數(shù)之余二是指此數(shù)被3除余2，例如“5”，五五數(shù)之余三是指此數(shù)被5除余3，例如“8”)．【答案】8　15n－7　【解析】被3除余2的正整數(shù)可表示為3x＋2，被5除余3的正整數(shù)可表示為5y＋3，其中x，y∈N*，∴數(shù)列{an}為等差數(shù)列，公差為15，首項為8．∴a1＝8，an＝8＋15(n－1)＝15n－7．15．(2020年淮北期末)已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝[lg n]([x]表示不超過x的最大整數(shù))，Tn為數(shù)列{an}的前n項和，若存在k∈N*滿足Tk＝k，則k的值為__________．【答案】108　【解析】an＝當(dāng)1≤k＜10時，Tk＝0，顯然不存在；當(dāng)10≤k＜100時，Tk＝k－9＝k，顯然不存在；當(dāng)100≤k＜1 000時，Tk＝99－9＋(k－99)×2＝k，解得k＝108．16．(2021年武漢模擬)對任一實數(shù)序列A＝(a1，a2，a3，…)，定義新序列△A＝(a2－a1，a3－a2，a4－a3，…)，它的第n項為an＋1－an．假定序列△(△A)的所有項都是1，且a12＝a22＝0，則a2＝________．【答案】100　【解析】令bn＝an＋1－an，依題意知數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，且公差為1，所以bn＝b1＋(n－1)×1，a1＝a1，a2－a1＝b1，a3－a2＝b2，…，an－an－1＝bn－1，累加得an＝a1＋b1＋…＋bn－1＝a1＋(n－1)b1＋．分別令n＝12，n＝22，得①×2－②，得a2＝100．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．(10分)(2021年北京二模)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，________．是否存在正整數(shù)k(k＞1)，使得a1，ak，Sk＋2成等比數(shù)列？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．從①an＋1－2an＝0；②Sn＝Sn－1＋n(n≥2)；③Sn＝n2這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在上面問題中并作答．解：若選①an＋1－2an＝0，則a2－2a1＝0，說明數(shù)列{an}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，∴a1＝1，ak＝2k－1，Sk＋2＝＝2k＋2－1．若a1，ak，Sk＋2成等比數(shù)列，則(2k－1)2＝1×(2k＋2－1)＝2k＋2－1．左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，即不存在正整數(shù)k(k＞1)，使得a1，ak，Sk＋2成等比數(shù)列；若選②Sn＝Sn－1＋n(n≥2)，即Sn－Sn－1＝n?an＝n(n≥2)且a1＝1也適合此式．∴{an}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列．∴ak＝k，Sk＋2＝．若a1，ak，Sk＋2成等比數(shù)列，則k2＝1×?k2－5k－6＝0?k＝6(k＝－1舍去)，即存在正整數(shù)k＝6，使得a1，ak，Sk＋2成等比數(shù)列；若選③Sn＝n2，∴an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1(n≥2)，且a1＝1適合上式．若a1，ak，Sk＋2成等比數(shù)列，則(2k－1)2＝1×(k＋2)2?3k2－8k－3＝0?k＝3，即存在正整數(shù)k＝3，使得a1，ak，Sk＋2成等比數(shù)列．18．(12分)(2020年上海期中)在等差數(shù)列{an}中，a3＋a4＝－2，a5＋a7＝8．(1)求{an}的通項公式；(2)求{an}的前n項和Sn的最小值；(3)設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的前10項和，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)．解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵a3＋a4＝－2，a5＋a7＝8，∴2a1＋5d＝－2,2a1＋10d＝8，聯(lián)立解得a1＝－6，d＝2，∴an＝－6＋2(n－1)＝2n－8．(2)令an＝2n－8≤0，解得n≤4．∴當(dāng)n＝3或4時，Sn取得最小值，S3＝S4＝＝－12．(3)bn＝，∴數(shù)列{bn}的前10項和＝－2－1－1＋0＋0＋0＋1＋1＋2＋2＝2．19．(12分)設(shè)a>0，函數(shù)f(x)＝，令a1＝1，an＋1＝f(an)，n∈N*．(1)寫出a2，a3，a4的值，并猜想數(shù)列{an}的通項公式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．(1)解：∵a1＝1，∴a2＝f(a1)＝f(1)＝，a3＝f(a2)＝，a4＝f(a3)＝，猜想an＝．(2)證明：①易知n＝1時，猜想正確；②假設(shè)n＝k時，ak＝成立，則ak＋1＝f(ak)＝＝＝＝，∴n＝k＋1時成立．由①②知，對任何n∈N*，都有an＝．20．(12分)(2021年濰坊模擬)若數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn＝2an－λ(λ>0，n∈N*)．(1)求證：數(shù)列{an}為等比數(shù)列，并求an；(2)若λ＝4，bn＝(n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前2n項和T2n．(1)證明：∵Sn＝2an－λ，當(dāng)n＝1時，得a1＝λ．當(dāng)n≥2時，Sn－1＝2an－1－λ，∴Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－2an－1，∴an＝2an－1．∴數(shù)列{an}是以λ為首項，2為公比的等比數(shù)列．∴an＝λ·2n－1．(2)解：∵λ＝4，∴an＝4·2n－1＝2n＋1．∴bn＝∴T2n＝22＋3＋24＋5＋26＋7＋…＋22n＋2n＋1＝(22＋24＋…＋22n)＋(3＋5＋…＋2n＋1)＝＋＝＋n(n＋2)，∴T2n＝＋n2＋2n－．21．(12分)已知等比數(shù)列{an}滿足an＋1＋an＝9·2n－1，n∈N*．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設(shè)bn＝nan，求數(shù)列{bn}的前n項和為Sn．解：(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q．∵an＋1＋an＝9·2n－1，∴a2＋a1＝9，a3＋a2＝18．∴q＝＝＝2．又2a1＋a1＝9，∴a1＝3．∴an＝3·2n－1，n∈N*．(2)bn＝nan＝3n·2n－1，∴Sn＝1×20＋2×21＋…＋(n－1)×2n－2＋n×2n－1①．∴Sn＝1×21＋2×22＋…＋(n－1)×2n－1＋n×2n②．①－②，得－Sn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n×2n＝－n×2n＝(1－n)2n－1．∴Sn＝3(n－1)2n＋3．22．(12分)數(shù)列{an}是公比為的等比數(shù)列且1－a2是a1與1＋a3的等比中項，前n項和為Sn；數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，b1＝8，其前n項和Tn滿足Tn＝nλ·bn＋1(λ為常數(shù)且λ≠1)．(1)求數(shù)列{an}的通項公式及λ的值；(2)比較＋＋＋…＋與Sn的大小．解：(1)由題意，得(1－a2)2＝a1(1＋a3)，∴(1－a1q)2＝a1(1＋a1q2)．∵q＝，∴a1＝，∴an＝n．∵∴∴λ＝，d＝8．(2)由(1)得bn＝8n，∴Tn＝4n(n＋1)．∴＝．令Cn＝＋＋…＋＝＝，∴≤Cn＜．∵Sn＝＝1－n，∴Sn＝．∴≤Sn＜．∴Cn＜Sn．

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