第四章　4.3　4.3.1　第2課時(shí)A級(jí)——基礎(chǔ)過關(guān)練1．(多選)設(shè)數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則下面四個(gè)數(shù)列中，是等比數(shù)列的是(　　)A．{a}　　　 B．{pan}(p為非零常數(shù))C．{an·an＋1}　　　 D．{an＋an＋1}【答案】ABCD　【解析】A中，∵＝2＝q2，∴{a}是等比數(shù)列；B中，∵＝＝q，∴{pan}是等比數(shù)列；C中，∵＝＝q2，∴{an·an＋1}是等比數(shù)列；D中，∵＝＝q，∴{an＋an＋1}是等比數(shù)列．2．已知等比數(shù)列{an}中，公比q＝，a3a5a7＝64，則a4＝(　　)A．1　　 B．2　　　C．4　 D．8【答案】D　【解析】a3a5a7＝a＝64，得a5＝4．又q＝，∴a4＝＝8．3．(2021年廣西模擬)在等比數(shù)列{an}中，an>0，a1＋a2＋…＋a8＝4，a1a2…a8＝16，則＋＋…＋的值為(　　)A．2　　 B．4　C．8　 D．16【答案】A　【解析】由分?jǐn)?shù)的性質(zhì)得＋＋…＋＝＋＋…＋．因?yàn)?/span>a8a1＝a7a2＝a3a6＝a4a5，所以原式＝＝．又a1a2…a8＝16＝(a4a5)4，an>0，∴a4a5＝2，∴＋＋…＋＝2．4．(2020年駐馬店期末)若數(shù)列{an}滿足－＝0(n∈N*)，則稱{an}為“夢(mèng)想數(shù)列”，已知數(shù)列為“夢(mèng)想數(shù)列”，且b1＋b2＋b3＝2，則b3＋b4＋b5＝(　　)A．18　 B．16　C．32　 D．36【答案】A　【解析】由－＝0，得an＝3an＋1，即“夢(mèng)想數(shù)列”為公比為的等比數(shù)列．若數(shù)列為“夢(mèng)想數(shù)列”，則＝·，即bn＋1＝3bn，即數(shù)列{bn}為公比為3的等比數(shù)列．若b1＋b2＋b3＝2，則b3＋b4＋b5＝9(b1＋b2＋b3)＝18．5．正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，an＋1＜an，a2·a8＝6，a4＋a6＝5，則＝(　　)A． B．C． D．【答案】D　【解析】因?yàn)檎?xiàng)等比數(shù)列{an}中，an＋1＜an，a2·a8＝6，a4＋a6＝5，所以a4·a6＝6，a4＋a6＝5，解得a4＝3，a6＝2．所以＝＝．6．已知等比數(shù)列{an}中，a4＋a8＝－2，則a6(a2＋2a6＋a10)的值為(　　)A．4　　 B．6　　C．8　　 D．－9【答案】A　【解析】a6(a2＋2a6＋a10)＝a6a2＋2a＋a6a10＝a＋2a4a8＋a＝(a4＋a8)2．∵a4＋a8＝－2，∴a6(a2＋2a6＋a10)＝4．7．在等比數(shù)列{an}中，an＞0且a1a5＋2a3a5＋a3a7＝25，則a3＋a5＝________．【答案】5　【解析】在等比數(shù)列{an}中，an＞0且a1a5＋2a3a5＋a3a7＝25，即a＋2a3a5＋a＝25，∴(a3＋a5)2＝25，解得a3＋a5＝5．8．設(shè)等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)且a5a6＋a4a7＝18，則log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝________．【答案】10　【解析】由題意可得a5a6＋a4a7＝2a5a6＝18，解得a5a6＝9，∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)＝log3(a5a6)5＝log395＝log3310＝10．9．有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，其積為216，后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，其和為36，求這四個(gè)數(shù)．解：設(shè)這四個(gè)數(shù)為，a，aq,2aq－a，則由①，得a3＝216，a＝6③，將②變形得3aq＝36，將③代入此式得q＝2．∴這四個(gè)數(shù)為3,6,12,18．10．已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列．(1)若a1＋a2＋a3＝21，a1a2a3＝216，求an；(2)若a3a5＝18，a4a8＝72，求公比q．解：(1)∵a1a2a3＝a＝216，∴a2＝6．∴a1a3＝36且a1＋a3＝21－a2＝15．∴a1，a3是方程x2－15x＋36＝0的兩根，解方程可得兩根為3和12．當(dāng)a1＝3時(shí)，q＝＝2，∴an＝3×2n－1；當(dāng)a1＝12時(shí)，q＝，an＝12×n－1＝3×23－n．(2)由題意可得a4a8＝a3q·a5q3＝a3a5q4＝18q4＝72，∴q4＝4，∴q＝±．B級(jí)——能力提升練11．(2021年張家口二模)已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的公比為q，若a1＝q≠1，且am＝a1a2a3…a10，則m＝(　　)A．19　 B．45　C．55　 D．100【答案】C　【解析】正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的公比為q，a1＝q≠1，∴an＝q·qn－1＝qn，∵am＝a1a2a3…a10，∴qm＝q×q2×q3×…×q10＝q1＋2＋3＋…＋10＝q55．∴m＝55．12．已知各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列{an}，滿足a－a3－a11＝0，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，且b7＝a7，則b6b8＝(　　)A．2　 B．4　C．8　　 D．16【答案】B　【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得a3＋a11＝2a7，a－a3－a11＝0變?yōu)?/span>a＝2a7，解得a7＝2或a7＝0(舍去)，所以b7＝a7＝2．因?yàn)閿?shù)列{bn}是等比數(shù)列，所以b6b8＝b＝4．13．已知等比數(shù)列{an}的公比q＞0且q≠1，又a6＜0，則(　　)A．a5＋a7＞a4＋a8 B．a5＋a7＜a4＋a8C．a5＋a7＝a4＋a8 D．|a5＋a7|＞|a4＋a8|【答案】A　【解析】∵a6＜0，q＞0，∴a5，a7，a8，a4都是負(fù)數(shù)．∴a5＋a7－a4－a8＝a4(q－1)＋a7(1－q)＝(q－1)·(a4－a7)．若0＜q＜1，則q－1＜0，a4－a7＜0，則有a5＋a7－a4－a8＞0；若q＞1，則q－1＞0，a4－a7＞0，則有a5＋a7－a4－a8＞0．∴a5＋a7＞a4＋a8．14．(2021年焦作四模)在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a1a11＋2a5a9＋a3a13＝25，則a1a13的最大值是(　　)A．25　 B．　C．5　 D．【答案】B　【解析】由題意利用等比數(shù)列的性質(zhì)知，a1a11＋2a5a9＋a3a13＝a＋2a6a8＋a＝(a6＋a8)2＝25，又因?yàn)?/span>an＞0，所以a6＋a8＝5，所以a1a13＝a6a8≤2＝，當(dāng)且僅當(dāng)a6＝a8＝時(shí)取等號(hào)．15．(2021年赤峰模擬)設(shè)數(shù)列{an}中a1＝2，若等比數(shù)列{bn}滿足an＋1＝anbn，且b1 010＝1，則a2 020＝________．【答案】2　【解析】根據(jù)題意，若數(shù)列{bn}滿足an＋1＝anbn，即＝bn，則有＝×××…×＝b2 019×b2018×b2 017×…×b1，而數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，則b2 019×b2 018×b2 017×…×b1＝b＝12 019＝1，則有＝1，又由a1＝2，則a2 020＝2．16．從盛滿a(a>1)升純酒精的容器里倒出1升，然后添滿水搖勻，再倒出1升混合溶液后又用水添滿搖勻，如此繼續(xù)下去，問：第n次操作后溶液的濃度是多少？當(dāng)a＝2時(shí)，至少應(yīng)倒幾次后才能使酒精的濃度低于10%?解：設(shè)開始時(shí)溶液的濃度為1，操作一次后溶液濃度a1＝1－．設(shè)操作n次后溶液的濃度為an，則操作(n＋1)次后溶液的濃度為an＋1＝an．∴{an}是以a1＝1－為首項(xiàng)，q＝1－為公比的等比數(shù)列．∴an＝a1qn－1＝n，即第n次操作后酒精的濃度是n．當(dāng)a＝2時(shí)，由an＝n<(n∈N*)，解得n≥4．故至少應(yīng)操作4次后才能使酒精的濃度小于10%．C級(jí)——探究創(chuàng)新練17．(2021年安徽模擬)設(shè){an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列，且a1＝b1＞0，a9＝b9，則下列關(guān)系正確的是(　　)A．a5＞b5　 B．a5＜b5C．a5≥b5　 D．a5≤b5【答案】C　【解析】設(shè)等差數(shù)列{an}公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q，則b9＝b1q8＞0，∴a9＝b9＞0．又a5＝，b5＝＝，由基本不等式的性質(zhì)可得≥，∴a5≥b5．18．(2020年上海期末)定義為數(shù)列{xn}的幾何平均數(shù)，設(shè){an}是等比數(shù)列，且a1＝2－5，它的前11項(xiàng)的幾何平均數(shù)為25．若在{an}的前11項(xiàng)中抽去一項(xiàng)，剩下10項(xiàng)的幾何平均數(shù)為24，則被抽去的項(xiàng)是第________項(xiàng)．【答案】11　【解析】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，被抽去項(xiàng)為am．由等比數(shù)列{an}的前11項(xiàng)的幾何平均數(shù)為25，則有＝25，所以a1a2a3…a11＝255．又由a1＝2－5，得a1a2a3…a11＝a＝(a1q5)11＝(2－5q5)11＝55＝255，解得q＝4，故an＝2－5×4n－1＝22n－7．若在前11項(xiàng)中抽去一項(xiàng)，剩下10項(xiàng)的幾何平均數(shù)為24，則剩下10項(xiàng)的積為(24)10＝240，所以am＝＝215，所以22m－7＝215，解得m＝11，故被抽去的項(xiàng)是第11項(xiàng)． 

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第二冊(cè)電子課本

4.3 等比數(shù)列

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