| 自 學 導 引 |
　　　　切線的概念如圖，在曲線y＝f(x)上任取一點P(x，f(x))，如果當點P(x，f(x))沿著曲線y＝f(x)無限______于點P0(x0，f(x0))時，割線P0P無限趨近于一個________的位置，這個確定位置的直線______稱為曲線y＝f(x)在點P0處的切線．
【預習自測】判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)曲線y＝f(x)上的每一點都有切線．(　　)(2)直線與曲線相切，則直線與已知曲線只有一個公共點．(　　)【答案】(1)√　 (2)×
　　　　導數的幾何意義(1)函數y＝f(x)在x＝x0處的導數f′(x0)就是切線P0T的斜率k0，即k0＝____________________＝f′(x0)．(2)導數f′(x0)的幾何意義是曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線的________，物理意義是運動物體在x0時刻的__________．
【預習自測】如果曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線方程為x＋2y－3＝0，那么(　　)A．f′(x0)＞0　B．f′(x0)＜0C．f′(x0)＝0　D．f′(x0)不存在【答案】B　
(3)“函數f(x)在點x0處的導數”是一個數值，不是變數，“導函數”是一個函數，二者有本質的區(qū)別，但又有密切關系，f′(x0)是其導數y＝f′(x)在x＝x0處的一個函數值．(4)曲線的切線并不一定與曲線只有一個交點，可以有多個，甚至可以無窮多．與曲線只有一個公共點的直線也不一定是曲線的切線．
【預習自測】設函數f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，則a等于______．【答案】3　
| 課 堂 互 動 |
題型1　求曲線在某點處的切線方程　　　　求曲線y＝x3－2x在點(1，－1)處的切線方程．【解題探究】根據導數的幾何意義求切線的斜率即可．素養(yǎng)點睛：考查數學運算的核心素養(yǎng)．
求曲線y＝f(x)在P(x0，f(x0))處的切線方程的步驟(1)求函數y＝f(x)在x＝x0處的導數，即求曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處切線的斜率．(2)用點斜式寫出切線方程y＝f′(x0)(x－x0)＋f(x0)．(3)把求得的點斜式方程變形為一般式．
題型2　求曲線過某點的切線方程　　　　求過點(－1,0)與曲線y＝x2＋x＋1相切的直線方程．【解題探究】設出切點坐標，利用導數的幾何意義求出直線的斜率，寫出切線方程．素養(yǎng)點睛：考查數學運算的核心素養(yǎng)．
解得x0＝0或x0＝－2．當x0＝0時，切線斜率k＝1，過(－1,0)的切線方程為y－0＝x＋1，即x－y＋1＝0；當x0＝－2時，切線斜率k＝－3，過(－1,0)的切線方程為y－0＝－3(x＋1)，即3x＋y＋3＝0．故所求切線方程為x－y＋1＝0或3x＋y＋3＝0．
求曲線y＝f(x)過點P(x0，y0)的切線方程的步驟(1)設切點為A(xA，f(xA))，求切線的斜率k＝f′(xA)，寫出切線方程(含參)．(2)把點P(x0，y0)的坐標代入切線方程，建立關于xA的方程，解得xA的值，進而求出切線方程．
2．試求過點P(3,5)且與曲線y＝x2相切的直線方程．
題型3　利用圖象理解導數的幾何意義　　　　(1)若函數y＝f(x)的導函數在區(qū)間[a，b]上是增函數，則函數y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象可能是下圖中的(　　)
(2)已知函數y＝f(x)，y＝g(x)的導函數的圖象如圖所示，那么y＝f(x)，y＝g(x)的圖象可能是(　　)
素養(yǎng)點睛：考查數學抽象的核心素養(yǎng)．【答案】(1)A　(2)D【解析】　(1)由導數的幾何意義知，導函數遞增，則說明函數切線斜率隨x增大而變大，因此應選A．(2)從導函數的圖象可知兩個函數在x0處斜率相同，可以排除B，C．再者導函數的函數值反映的是原函數的斜率大小，可明顯看出y＝f(x)的導函數的值在減小，所以原函數的斜率慢慢變小，排除A．
導數與函數圖象升降的關系若函數y＝f(x)在x＝x0處的導數存在且f′(x0)＞0(即切線的斜率大于零)，則函數y＝f(x)在x＝x0附近的圖象是上升的；若f′(x0)＜0(即切線的斜率小于零)，則函數y＝f(x)在x＝x0附近的圖象是下降的．導數絕對值的大小反映了曲線上升和下降的快慢．
3．已知函數f(x)的圖象如圖所示，則下列不等關系中正確的是(　　)A．0＜f′(2)＜f′(3)＜f(3)－f(2)B．0＜f′(2)＜f(3)－f(2)＜f′(3)C．0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2)D．0＜f(3)－f(2)＜f′(2)＜f′(3)【答案】C　
題型4　求切點坐標　　　　已知曲線y＝x2在點P處的切線分別滿足下列條件，求點P的坐標．(1)平行于直線y＝4x－5；(2)與x軸成135°的傾斜角．【解題探究】設切點坐標，根據導數的幾何意義求切線斜率，然后利用條件(平行、傾斜角)求切點坐標．素養(yǎng)點睛：考查數學運算的核心素養(yǎng)．
求切點坐標的步驟(1)設出切點坐標；(2)利用導數或斜率公式求出斜率；(3)利用斜率關系列方程，求出切點的橫坐標；(4)把橫坐標代入曲線或切線方程，求出切點縱坐標．
4．直線l：y＝x＋a(a≠0)和曲線C：y＝x3－x2＋1相切，則a的值為__________，切點坐標為____________．
易錯警示　混淆曲線“在”或“過”某點的切線致誤　　　　求函數y＝x3－3x2＋x的圖象上過原點的切線方程．
【錯因分析】本題中原點在函數的圖象上，誤認為原點就是切點，混淆了“過原點的切線”與“在原點處的切線”的區(qū)別，導致解題失誤．求曲線的切線時，注意區(qū)分“求曲線y＝f(x)上過點M的切線”與“求曲線y＝f(x)上在點M處的切線”，前者只要求切線過M點，M點未必是切點，因此求解時應先設出切點坐標；而后者則很明確，切點就是M點．
| 素 養(yǎng) 達 成 |
函數在一點處的導數的幾何意義：曲線在這一點的切線的斜率．
2．“函數f(x)在點x0處的導數”是一個數值，不是變量，“導函數”是一個函數，二者有本質的區(qū)別，但又密切相關．f′(x0)是導函數y＝f′(x)在x＝x0處的一個函數值，求函數在一點處的導數，一般先求出函數的導函數，再計算這一點處的導數值．3．利用導數求曲線的切線方程，要注意已知點是否在曲線上．如果已知點在曲線上，則以該點為切點的切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知點不在切線上，則設出切點(x0，f(x0))，表示出切線方程，然后求出切點．
1．曲線f(x)＝x2＋3x在點A(1,4)處的切線斜率為(　　)A．2　　B．5　　C．6　　D．11【答案】B　
3．(2020年安徽期末)若曲線y＝x2＋ax在點(1，a＋1)處的切線與直線y＝7x平行，則a＝(　　)A．3B．4C．5D．6【答案】C
5．(多選)設P0為曲線f(x)＝x3＋x－2上的點，且曲線在P0處的切線平行于直線y＝4x－1，則點P0的坐標可以為(　　)A．(1,0)　　B．(2,8)C．(－1，－4)　　D．(1,4)【答案】AC　

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高中數學人教A版 (2019)選擇性必修 第二冊電子課本

5.1 導數的概念及其意義

版本： 人教A版 (2019)

年級： 選擇性必修 第二冊

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