第五章　一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用章末素養(yǎng)提升| 體 系 構(gòu) 建 | | 核 心 歸 納 | | 思 想 方 法 | 專題一　數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合的思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖象結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化．　　　　已知函數(shù)f(x)＝x3＋3ax－1，g(x)＝f ′(x)－ax－5，其中f ′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)．(1)對滿足－1≤a≤1的一切a的值，都有g(shù)(x)＜0，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；(2)設(shè)a＝－m2，當(dāng)實(shí)數(shù)m在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線y＝3只有一個(gè)公共點(diǎn)．(2)當(dāng)設(shè)a＝－m2時(shí)，函數(shù)為f(x)＝x3－3m2x－1，①當(dāng)m＝0時(shí)，f(x)＝x3－1的圖象顯然與直線y＝3只有一個(gè)公共點(diǎn)；②當(dāng)m≠0時(shí)，f ′(x)＝3x2－3m2＝0，得x＝±|m|，列表：【點(diǎn)評】對于函數(shù)交點(diǎn)問題，我們可以應(yīng)用導(dǎo)數(shù)討論根的情況：首先，由導(dǎo)數(shù)研究出相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)，并結(jié)合解析式分析出函數(shù)圖象的變化趨勢；其次，由函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、極值、奇偶性等)和變化趨勢畫出函數(shù)的示意圖；最后，根據(jù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況，確定參數(shù)的取值范圍．【答案】C　專題二　分類與整合思想分類與整合是重要的數(shù)學(xué)解題思想．它把數(shù)學(xué)問題劃分成若干個(gè)局部問題，在每一個(gè)局部問題中，原先的“不確定因素”不再影響問題的解決，當(dāng)這些局部問題都解決時(shí)，整個(gè)問題也就解決了．實(shí)質(zhì)上分類討論是“化整為零，各個(gè)擊破，再合零為整”的解題策略．引起討論的主要原因有：①參數(shù)對函數(shù)類型、導(dǎo)函數(shù)的符號、單調(diào)區(qū)間端點(diǎn)的不同影響；②函數(shù)分段；③不等式兩邊同時(shí)乘(除以)某因式時(shí)，此因式的符號；④等式變形時(shí)除以(乘)某因式時(shí)，因式是否為零；⑤數(shù)值的大小關(guān)系等．導(dǎo)數(shù)中的含參數(shù)的討論分四級：一級：最高次項(xiàng)的系數(shù)含參數(shù)a，分a＝0，a＞0，a＜0三種情況依次討論該系數(shù)．“a＝0”時(shí)，寫出不含參數(shù)的f ′(x)的最簡潔、直觀的形式；“a＞0”或“a＜0”時(shí)，把最高次項(xiàng)系數(shù)外提，化簡變形(含因式分解)到最簡潔、直觀的形式，能直接看出根來．二級：接一級，判斷方程f ′(x)＝0是否有根，即分Δ＝0，Δ＞0，Δ＜0三種情況討論．如果方程f ′(x)＝0沒有實(shí)根，說明f ′(x)＞0或f ′(x)＜0恒成立，即f(x)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，直接寫結(jié)論；如果方程f ′(x)＝0有實(shí)根，求出所有的根，然后進(jìn)入級別三．三級：接二級，判斷得出的根是否在定義域內(nèi)．①若f ′(x)＝0的根不在定義域內(nèi)，則f ′(x)＞0或f ′(x)＜0，說明函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，直接寫出結(jié)論；②若f ′(x)＝0有一個(gè)根在定義域內(nèi)，則對這個(gè)唯一的根進(jìn)行列表，求出f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間；③若f ′(x)＝0在定義域內(nèi)有兩根(包含兩等根或兩異根)，那么就進(jìn)入四級．四級：接三級，在三級中確定f ′(x)＝0在定義域內(nèi)有兩根x1，x2的情況下，討論兩根的大小．【點(diǎn)評】本題重點(diǎn)考查通過求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性，本題主要的數(shù)學(xué)思想是分類討論，即對兩根大小進(jìn)行討論．分類要做到不重不漏，層次分明．【答案】D　專題三　轉(zhuǎn)化化歸思想等價(jià)轉(zhuǎn)化是把未知的問題轉(zhuǎn)化為在已有知識范圍內(nèi)可解的問題的一種重要的思想方法．通過不斷的轉(zhuǎn)化，把不熟悉、復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為熟悉甚至模式化、簡單化的問題．不斷培養(yǎng)和訓(xùn)練轉(zhuǎn)化意識，將有利于強(qiáng)化解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)變能力，提高思維能力和技能、技巧．【分析】本題考查恒成立問題，通過對問題的挖掘，實(shí)際上是求函數(shù)的最值問題，借助導(dǎo)數(shù)工具以及不等式恒成立結(jié)論解決．【點(diǎn)評】解決本題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，求參數(shù)k的范圍問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，再通過求最值轉(zhuǎn)化為解不等式解決．利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值是解決不等式恒成立問題的一種重要方法．“構(gòu)造”是一種重要而靈活的思維方式，應(yīng)用好構(gòu)造思想解題的關(guān)鍵是：一要有明確的方向，即為什么目的而構(gòu)造；二是要弄清條件的本質(zhì)特點(diǎn)，以便重新進(jìn)行邏輯組合．3．(2020年南陽期末)已知函數(shù)f(x)＝ex＋ax－3，其中a∈R，若對于任意的x1，x2∈[1，＋∞)，且x1＜x2，都有x2·f(x1)－x1·f(x2)＜a(x1－x2)成立，則a的取值范圍是 (　　)A．[3，＋∞)　　 B．[2，＋∞)C．(－∞，3]　　 D．(－∞，2]【答案】C　| 素 養(yǎng) 提 升 | 素養(yǎng)一　導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算素養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算要求能夠在關(guān)聯(lián)的情境中確定運(yùn)算對象，提出運(yùn)算問題．能夠針對運(yùn)算問題，合理選擇運(yùn)算方法、設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，解決問題．能夠理解運(yùn)算是一種演繹推理；能夠在綜合利用運(yùn)算方法解決問題的過程中，體會程序化思想的意義和作用．在交流的過程中，能夠借助運(yùn)算探討問題．導(dǎo)數(shù)中涉及運(yùn)算涉及求導(dǎo)以及求導(dǎo)后研究函數(shù)的性質(zhì)．【答案】B　【點(diǎn)評】本題考查拉格朗日中值定理、函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的應(yīng)用，考查理解辨析能力與運(yùn)算求解能力，解決問題關(guān)鍵是利用定義結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行求解．例2　在許多實(shí)際問題中，一個(gè)因變量往往與幾個(gè)自變量有關(guān)，即因變量的值依賴于幾個(gè)自變量，這樣的函數(shù)稱為多元函數(shù)．例如，某種商品的市場需求量不僅僅與其市場價(jià)格有關(guān)，而且與消費(fèi)者的收入以及這種商品的其他代用品的價(jià)格等因素有關(guān)，即決定該商品需求量的因素不止一個(gè)而是多個(gè)．我們常常用偏導(dǎo)數(shù)來研究多元函數(shù)．以下是計(jì)算二元函數(shù)z＝f(x，y)＝2x2＋y＋3xy2在(1,2)處偏導(dǎo)數(shù)的全過程：fx ′(x，y)＝4x＋3y2，fy ′(x，y)＝1＋6xy，所以fx ′(1,2)＝4×1＋3×22＝16，fy ′(1,2)＝1＋6×1×2＝13．由上述過程，二元函數(shù)z＝g(x，y)＝ln(x2＋y2)，則gx ′(1,2)＋gy ′(1,2)＝__________．【點(diǎn)評】本題主要考查歸納推理，與導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，解題關(guān)鍵是看懂新定義中計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)的過程．素養(yǎng)二　導(dǎo)數(shù)中的邏輯推理能夠跟已學(xué)過的知識有關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)命題，通過對條件與結(jié)果的分析，探索論證的思路，選擇合適的論證方法予以證明，并能用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言表述論證過程；能夠通過舉反例說明某些數(shù)學(xué)結(jié)論不成立．導(dǎo)數(shù)中的推理證明問題主要是通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性．【思路點(diǎn)撥】求出f(x)＝g(ex)，得到g(n)＝f(m)＝g(em)，求出m＝ln n，則mn＝n·ln n，n∈(0,1)，令h(x)＝xln x，x∈(0,1)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出h(x)的最小值即mn的最小值即可．【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道常規(guī)題．【思路分析】(1)f(x)＝(x＋3)ex－3，定義域?yàn)镽，求導(dǎo)，分析單調(diào)性，進(jìn)而得函數(shù)f(x)的最值；(2)問題可以轉(zhuǎn)化為，當(dāng)x≥0時(shí)，(x＋1)ex－(mx2＋2x＋1)≥0恒成立，令g(x)＝(x＋1)ex－(mx2＋2x＋1)，只需要g(x)min≥0即可，接下來分類討論求g(x)min即可．【點(diǎn)評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，理解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性之間的聯(lián)系是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的邏輯推理能力和運(yùn)算能力．| 鏈 接 高 考 | 【分析】先驗(yàn)證點(diǎn)在曲線上，再求導(dǎo)，代入切線方程公式即可．【答案】5x－y＋2＝0　【點(diǎn)評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．【答案】D　【點(diǎn)評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題，采用選項(xiàng)檢驗(yàn)，排除思想解題，有時(shí)事半功倍．例3．(2019年新課標(biāo)Ⅱ)曲線y＝2sin x＋cos x在點(diǎn)(π，－1)處的切線方程為 (　　)A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在x＝π時(shí)的導(dǎo)數(shù)，再由直線的點(diǎn)斜式方程得答案．【答案】C　【解析】　由y＝2sin x＋cos x，得y ′＝2cos x－sin x，∴y ′|x＝π＝2cos π－sin π＝－2，∴曲線y＝2sin x＋cos x在點(diǎn)(π，－1)處的切線方程為y＋1＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0．【點(diǎn)評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，熟記基本初等函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．例4．已知曲線y＝aex＋xln x在點(diǎn)(1，ae)處的切線方程為y＝2x＋b，則 (　　)A．a(chǎn)＝e，b＝－1　 B．a(chǎn)＝e，b＝1C．a(chǎn)＝e－1，b＝1 D．a(chǎn)＝e－1，b＝－1【分析】求得函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由切線方程，可得ae＋1＋0＝2，可得a，進(jìn)而得到切點(diǎn)，代入切線方程可得b的值．【答案】D　【解析】　y＝aex＋xln x的導(dǎo)數(shù)為y ′＝aex＋ln x＋1，在點(diǎn)(1，ae)處的切線方程為y＝2x＋b，可得ae＋1＋0＝2，解得a＝e－1，又切點(diǎn)為(1,1)，可得1＝2＋b，即b＝－1．【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，考查直線方程的運(yùn)用，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．例5．(2020年新課標(biāo)Ⅰ)曲線y＝ln x＋x＋1的一條切線的斜率為2，則該切線的方程為____________．【分析】求得函數(shù)y＝ln x＋x＋1的導(dǎo)數(shù)，設(shè)切點(diǎn)為(m，n)，可得切線的斜率，解方程可得切點(diǎn)，進(jìn)而得到所求切線的方程．【答案】y＝2x　【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程，考查直線方程的運(yùn)用，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．【答案】1　【點(diǎn)評】本題主要考查求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．　　　導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用例7．(2020年江蘇)某地準(zhǔn)備在山谷中建一座橋梁，橋址位置的豎直截面圖如圖所示：谷底O在水平線MN 上，橋AB與MN平行，OO ′為鉛垂線(O ′在AB上)．由k＞0，當(dāng)0＜x＜20時(shí)，y ′＜0，函數(shù)y單調(diào)遞減；當(dāng)20＜x＜40時(shí)，y ′＞0，函數(shù)y單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝20時(shí)，y取得最小值，即總造價(jià)最低．答：O ′E為20米時(shí)，橋墩CD與EF的總造價(jià)最低．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求最值的應(yīng)用，考查運(yùn)算能力和分析問題與解決問題的能力，屬于中檔題．　　　導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值等綜合性問題例8．(2021年新高考Ⅰ)函數(shù)f(x)＝|2x－1|－2ln x的最小值為________．【答案】1　【點(diǎn)評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，以及運(yùn)算能力，屬于中檔題．【分析】(1)(ⅰ)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線方程；(ⅱ)根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性極值的關(guān)系，即可求出；(2)要證不等式成立，只要證明(x1－x2)[f ′(x1)＋f ′(x2)]－2[f(x1)－f(x2)]＞0，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)最值的關(guān)系，以及放縮法即可證明．【點(diǎn)評】本題是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，對不等式進(jìn)行證明，屬于難題．

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