第1課時 等比數(shù)列的概念及通項公式
學習目標 1.通過實例，理解等比數(shù)列的概念.2.掌握等比中項的概念并會應用.3.掌握等比數(shù)列的通項公式并了解其推導過程.4.靈活應用等比數(shù)列通項公式的推廣形式及變形．
知識點一 等比數(shù)列的概念
1．定義：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．
2．遞推公式形式的定義：eq \f(an,an－1)＝q(n∈N*且n>1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或\f(an＋1,an)＝q，n∈N*)).
思考 為什么等比數(shù)列的各項和公比q均不能為0?
答案 由于等比數(shù)列的每一項都可能作分母，故每一項均不能為0，因此q也不能為0.
知識點二 等比中項
如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項，此時，G2＝ab.
思考 當G2＝ab時，G一定是a，b的等比中項嗎？
答案 不一定，如數(shù)列0,0,5就不是等比數(shù)列．
知識點三 等比數(shù)列的通項公式
若等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q，則an＝a1qn－1(n∈N*)．
知識點四 等比數(shù)列通項公式的推廣和變形
等比數(shù)列{an}的公比為q，則
an＝a1qn－1①
＝amqn－m②
＝eq \f(a1,q)·qn.③
其中當②中m＝1時，即化為①.
當③中q>0且q≠1時，y＝eq \f(a1,q)·qx為指數(shù)型函數(shù)．
1．數(shù)列1，－1,1，－1，…是等比數(shù)列．( √ )
2．若一個數(shù)列從第2項起每一項與前一項的比為常數(shù)，則該數(shù)列為等比數(shù)列．( × )
3．等比數(shù)列的首項不能為零，但公比可以為零．( × )
4．常數(shù)列一定為等比數(shù)列．( × )
一、等比數(shù)列中的基本運算
例1 在等比數(shù)列{an}中：
(1)a1＝1，a4＝8，求an；
(2)an＝625，n＝4，q＝5，求a1；
(3)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
解 (1)因為a4＝a1q3，
所以8＝q3，所以q＝2，
所以an＝a1qn－1＝2n－1.
(2)a1＝eq \f(an,qn－1)＝eq \f(625,54－1)＝5，
故a1＝5.
(3) 因為eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋a5＝a1q＋a1q4＝18， ①,a3＋a6＝a1q2＋a1q5＝9， ②))
由eq \f(②,①)，得q＝eq \f(1,2)，從而a1＝32.
又an＝1，
所以32×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n－1＝1，
即26－n＝20，故n＝6.
反思感悟 等比數(shù)列的通項公式涉及4個量a1，an，n，q，只要知道其中任意三個就能求出另外一個，在這四個量中，a1和q是等比數(shù)列的基本量，只要求出這兩個基本量，問題便迎刃而解．
跟蹤訓練1 在等比數(shù)列{an}中：
(1)若它的前三項分別為5，－15,45，求a5；
(2)若a4＝2，a7＝8，求an.
解 (1)因為a5＝a1q4，而a1＝5，
q＝eq \f(a2,a1)＝－3，
所以a5＝405.
(2)因為eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a4＝a1q3，,a7＝a1q6，))
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1q3＝2， ①,a1q6＝8， ②))
由eq \f(②,①)得q3＝4，
從而q＝eq \r(3,4)，而a1q3＝2，
于是a1＝eq \f(2,q3)＝eq \f(1,2)，
所以an＝a1qn－1＝
二、等比中項的應用
例2 如果－1，a，b，c，－9成等比數(shù)列，那么b＝__________，ac＝___________.
答案 －3 9
解析 因為b是－1，－9的等比中項，
所以b2＝9，b＝±3.
又等比數(shù)列奇數(shù)項符號相同，得b0)．
跟蹤訓練2 在等比數(shù)列{an}中，a1＝－16，a4＝8，則a7等于( )
A．－4 B．±4 C．－2 D．±2
答案 A
解析 因為a4是a1與a7的等比中項，
所以aeq \\al(2,4)＝a1a7，
即64＝－16a7，故a7＝－4.
三、等比數(shù)列通項公式的推廣及應用
例3 在等比數(shù)列{an}中．
(1)已知a3＝4，a7＝16，且q>0，求an；
(2)若{an}為遞增數(shù)列，且aeq \\al(2,5)＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，求通項公式an.
解 (1)∵eq \f(a7,a3)＝q7－3＝q4＝4，
∴q2＝2，又q>0，∴q＝eq \r(2)，
∴an＝a3·qn－3＝4·(eq \r(2))n－3＝(n∈N*)．
(2)由aeq \\al(2,5)＝a10＝a5·q10－5，且a5≠0，
得a5＝q5，即a1q4＝q5，
又q≠0，∴a1＝q.
由2(an＋an＋2)＝5an＋1得，2an(1＋q2)＝5qan，
∵an≠0，∴2(1＋q2)＝5q，
解得q＝eq \f(1,2)或q＝2.
∵a1＝q，且{an}為遞增數(shù)列，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝2，,q＝2.))
∴an＝2·2n－1＝2n(n∈N*)．
反思感悟 (1)應用an＝amqn－m，可以憑借任意已知項和公比直接寫出通項公式，不必再求a1.
(2)等比數(shù)列的單調(diào)性由a1，q共同確定，但只要單調(diào)，必有q>0.
跟蹤訓練3 已知等比數(shù)列{an}滿足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，則a3＋a5＋a7等于( )
A．21 B．42 C．63 D．84
答案 B
解析 設等比數(shù)列{an}的公比為q，則由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21得3(1＋q2＋q4)＝21，解得q2＝－3(舍去)或q2＝2，于是a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.
四、靈活設元求解等比數(shù)列問題
例4 (1)有四個數(shù)成等比數(shù)列，將這四個數(shù)分別減去1,1,4,13成等差數(shù)列，則這四個數(shù)的和是________．
答案 45
解析 (1)設這四個數(shù)分別為a，aq，aq2，aq3，
則a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差數(shù)列．
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2?aq－1?＝?a－1?＋?aq2－4?，,2?aq2－4?＝?aq－1?＋?aq3－13?，))
整理得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a?q－1?2＝3，,aq?q－1?2＝6，))
解得a＝3，q＝2.
因此這四個數(shù)分別是3,6,12,24，其和為45.
(2)有四個實數(shù)，前三個數(shù)成等比數(shù)列，且它們的乘積為216，后三個數(shù)成等差數(shù)列，且它們的和為12，求這四個數(shù)．
解 方法一 設前三個數(shù)分別為eq \f(a,q)，a，aq，
則eq \f(a,q)·a·aq＝216，
所以a3＝216.所以a＝6.
因此前三個數(shù)為eq \f(6,q)，6,6q.
由題意知第4個數(shù)為12q－6.
所以6＋6q＋12q－6＝12，
解得q＝eq \f(2,3).
故所求的四個數(shù)為9,6,4,2.
方法二 設后三個數(shù)為4－d,4,4＋d，
則第一個數(shù)為eq \f(1,4)(4－d)2，
由題意知eq \f(1,4)(4－d)2×(4－d)×4＝216，
解得4－d＝6.所以d＝－2.
故所求得的四個數(shù)為9,6,4,2.
反思感悟 幾個數(shù)成等比數(shù)列的設法
(1)三個數(shù)成等比數(shù)列設為eq \f(a,q)，a，aq.
推廣到一般：奇數(shù)個數(shù)成等比數(shù)列設為
…，eq \f(a,q2)，eq \f(a,q)，a，aq，aq2，…
(2)四個符號相同的數(shù)成等比數(shù)列設為
eq \f(a,q3)，eq \f(a,q)，aq，aq3.
推廣到一般：偶數(shù)個符號相同的數(shù)成等比數(shù)列設為
…，eq \f(a,q5)，eq \f(a,q3)，eq \f(a,q)，aq，aq3，aq5，…
(3)四個數(shù)成等比數(shù)列，不能確定它們的符號是否相同時，可設為a，aq，aq2，aq3.
跟蹤訓練4 在2和20之間插入兩個數(shù)，使前三個數(shù)成等比數(shù)列，后三個數(shù)成等差數(shù)列，則插入的兩個數(shù)的和為( )
A．－4或eq \f(35,2) B．4或eq \f(35,2)
C．4 D.eq \f(35,2)
答案 B
解析 設插入的第一個數(shù)為a，則插入的另一個數(shù)為eq \f(a2,2).
由a，eq \f(a2,2)，20成等差數(shù)列得2×eq \f(a2,2)＝a＋20.
∴a2－a－20＝0，解得a＝－4或a＝5.
當a＝－4時，插入的兩個數(shù)的和為a＋eq \f(a2,2)＝4.
當a＝5時，插入的兩個數(shù)的和為a＋eq \f(a2,2)＝eq \f(35,2).
1．在等比數(shù)列{an}中，若a2＝4，a5＝－32，則公比q應為( )
A．±eq \f(1,2) B．±2 C.eq \f(1,2) D．－2
答案 D
解析 因為eq \f(a5,a2)＝q3＝－8，故q＝－2.
2．(多選)已知a是1,2的等差中項，b是－1，－16的等比中項，則ab等于( )
A．6 B．－6 C．－12 D．12
答案 AB
解析 ∵a＝eq \f(1＋2,2)＝eq \f(3,2)，b2＝(－1)×(－16)＝16，b＝±4，
∴ab＝±6.
3．若等比數(shù)列的首項為4，末項為128，公比為2，則這個數(shù)列的項數(shù)為( )
A．4 B．8 C．6 D．32
答案 C
解析 由等比數(shù)列的通項公式得，128＝4×2n－1,2n－1＝32，所以n＝6.
4．等比數(shù)列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5＞a2，則an等于( )
A．(－2)n－1 B．－(－2n－1)
C．(－2)n D．－(－2)n
答案 A
解析 設公比為q，則a1q4＝－8a1q，
又a1≠0，q≠0，
所以q3＝－8，q＝－2，
又a5＞a2，
所以a2＜0，a5＞0，
從而a1＞0，即a1＝1，
故an＝(－2)n－1.
5．在等比數(shù)列{an}中，a1＝－2，a3＝－8，則數(shù)列{an}的公比為________，通項公式為an＝______________.
答案 ±2 (－2)n或－2n
解析 ∵eq \f(a3,a1)＝q2，
∴q2＝eq \f(－8,－2)＝4，即q＝±2.
當q＝－2時，an＝a1qn－1＝－2×(－2)n－1＝(－2)n；
當q＝2時，an＝a1qn－1＝－2×2n－1＝－2n.
1．知識清單：
(1)等比數(shù)列的概念．
(2)等比數(shù)列的通項公式．
(3)等比中項的概念．
(4)等比數(shù)列的通項公式推廣．
2．方法歸納：方程(組)思想、構造法、等比數(shù)列的設法．
3．常見誤區(qū)：
(1)x，G，y成等比數(shù)列?G2＝xy，但G2＝xy?x，G，y成等比數(shù)列．
(2)四個數(shù)成等比數(shù)列時設成eq \f(a,q3)，eq \f(a,q)，aq，aq3，未考慮公比為負的情況．
(3)忽視了等比數(shù)列中所有奇數(shù)項符號相同，所有偶數(shù)項符號相同而出錯．
1．在數(shù)列{an}中，若an＋1＝3an，a1＝2，則a4為( )
A．108 B．54 C．36 D．18
答案 B
解析 因為an＋1＝3an，
所以數(shù)列{an}是公比為3的等比數(shù)列，
則a4＝33a1＝54.
2．(多選)在等比數(shù)列{an}中，a1＝eq \f(1,8)，q＝2，則a4與a8的等比中項為( )
A．－4 B．4 C．－eq \f(1,4) D.eq \f(1,4)
答案 AB
解析 由題意得aeq \\al(2,6)＝a4a8，
因為a1＝eq \f(1,8)，q＝2，
所以a4與a8的等比中項為±a6＝±4.
3．在等比數(shù)列{an}中，an>0，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，則a4＋a5的值為( )
A．16 B．27 C．36 D．81
答案 B
解析 ∵a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，∴q2＝9.
∴q＝3(q＝－3舍去)，∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27.
4．數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，且a1，a3，a7為等比數(shù)列{bn}的連續(xù)三項，則數(shù)列{bn}的公比為( )
A.eq \r(2) B．4 C．2 D.eq \f(1,2)
答案 C
解析 因為a1，a3，a7為等比數(shù)列{bn}中的連續(xù)三項，
所以aeq \\al(2,3)＝a1a7，
設數(shù)列{an}的公差為d，則d≠0，
所以(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，
所以a1＝2d，
所以公比q＝eq \f(a3,a1)＝eq \f(4d,2d)＝2.
5．若正項數(shù)列{an}滿足a1＝2，aeq \\al(2,n＋1)－3an＋1an－4aeq \\al(2,n)＝0，則數(shù)列{an}的通項公式an等于( )
A．22n－1 B．2n C．22n＋1 D．22n－3
答案 A
解析 由aeq \\al(2,n＋1)－3an＋1an－4aeq \\al(2,n)＝0，
得(an＋1－4an)·(an＋1＋an)＝0.
又{an}是正項數(shù)列，
所以an＋1－4an＝0，eq \f(an＋1,an)＝4.
由等比數(shù)列的定義知數(shù)列{an}是以2為首項，
4為公比的等比數(shù)列．由等比數(shù)列的通項公式，
得an＝2×4n－1＝22n－1.
6．若{an}為等比數(shù)列，且a3＋a4＝4，a2＝2，則公比q＝________.
答案 1或－2
解析 根據(jù)題意，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1q2＋a1q3＝4，,a1q＝2，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝2，,q＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝－1，,q＝－2.))
7．已知{an}是等差數(shù)列，公差d不為零．若a2，a3，a7成等比數(shù)列，且2a1＋a2＝1，且a1＝________，d＝________.
答案 eq \f(2,3) －1
解析 ∵a2，a3，a7成等比數(shù)列，∴aeq \\al(2,3)＝a2a7，
∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，
即2d＋3a1＝0.①
又∵2a1＋a2＝1，∴3a1＋d＝1.②
由①②解得a1＝eq \f(2,3)，d＝－1.
8．已知等比數(shù)列{an}的前三項依次為a－1，a＋1，a＋4，則an＝________.
答案 4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))n－1
解析 由已知可得(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，
解得a＝5，所以a1＝4，a2＝6，
所以q＝eq \f(a2,a1)＝eq \f(6,4)＝eq \f(3,2)，
所以an＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))n－1.
9．在等比數(shù)列{an}中，a3＝32，a5＝8.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式an；
(2)若an＝eq \f(1,2)，求n.
解 (1)因為a5＝a3q2，
所以q2＝eq \f(a5,a3)＝eq \f(1,4).
所以q＝±eq \f(1,2).
當q＝eq \f(1,2)時，an＝a3qn－3＝32×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n－3＝28－n；
當q＝－eq \f(1,2)時，an＝a3qn－3＝32×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))n－3.
所以an＝28－n或an＝32×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))n－3.
(2)當an＝eq \f(1,2)時，
即28－n＝eq \f(1,2)或32×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))n－3＝eq \f(1,2)，
解得n＝9.
10．在等比數(shù)列{an}中：
(1)已知a3＝2，a5＝8，求a7；
(2)已知a3＋a1＝5，a5－a1＝15，求通項公式an.
解 (1)因為eq \f(a5,a3)＝q2＝eq \f(8,2)，
所以q2＝4，
所以a7＝a5q2＝8×4＝32.
(2)a3＋a1＝a1(q2＋1)＝5，
a5－a1＝a1(q4－1)＝15，
所以q2－1＝3，所以q2＝4，
所以a1＝1，q＝±2，
所以an＝a1qn－1＝(±2)n－1.
11．已知a，b，c，d成等比數(shù)列，且曲線y＝x2－2x＋3的頂點是(b，c)，則ad等于( )
A．3 B．2 C．1 D．－2
答案 B
解析 ∵y＝(x－1)2＋2，∴b＝1，c＝2.
又∵a，b，c，d成等比數(shù)列，∴ad＝bc＝2.
12．已知等比數(shù)列{an}滿足a1＝eq \f(1,4)，a3a5＝4(a4－1)，則a2等于( )
A．2 B．1 C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,8)
答案 C
解析 方法一 ∵a3，a5的等比中項為±a4，
∴a3a5＝aeq \\al(2,4)，a3a5＝4(a4－1)，
∴aeq \\al(2,4)＝4(a4－1)，
∴aeq \\al(2,4)－4a4＋4＝0，
∴a4＝2.
又∵q3＝eq \f(a4,a1)＝eq \f(2,\f(1,4))＝8，
∴q＝2，
∴a2＝a1q＝eq \f(1,4)×2＝eq \f(1,2).
方法二 ∵a3a5＝4(a4－1)，
∴a1q2·a1q4＝4(a1q3－1)，
將a1＝eq \f(1,4)代入上式并整理，得q6－16q3＋64＝0，
解得q＝2，
∴a2＝a1q＝eq \f(1,2).
13．(多選)已知等差數(shù)列a，b，c三項之和為12，且a，b，c＋2成等比數(shù)列，則a等于( )
A．－2 B．2 C．－8 D. 8
答案 BD
解析 由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋c＝2b，,a＋b＋c＝12，,a?c＋2?＝b2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝4，,c＝6))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝8，,b＝4，,c＝0.))
故a＝2或a＝8.
14．若數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且an＝2Sn－3，則{an}的通項公式是________．
答案 an＝3·(－1)n－1
解析 由an＝2Sn－3得an－1＝2Sn－1－3(n≥2)，
兩式相減得an－an－1＝2an(n≥2)，
∴an＝－an－1(n≥2)，
又a1＝3，故{an}是首項為3，公比為－1的等比數(shù)列，
∴an＝3·(－1)n－1.
15．已知在等差數(shù)列{an}中，a2＋a4＝16，a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比數(shù)列，把各項按如圖所示排列．則從上到下第10行，從左到右的第11個數(shù)值為________．
答案 275或8
解析 設公差為d，由a2＋a4＝16，得a1＋2d＝8，①
由a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比數(shù)列，
得(a2＋1)2＝(a1＋1)(a4＋1)，化簡得a1－d＝－1或d＝0，②
當d＝3時，an＝3n－1.由題圖可得第10行第11個數(shù)為數(shù)列{an}中的第92項，a92＝3×92－1＝275.
當d＝0時，an＝8，a92＝8.
16．設數(shù)列{an}是公比小于1的正項等比數(shù)列，已知a1＝8，且a1＋13,4a2，a3＋9成等差數(shù)列．
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)若bn＝an(n＋2－λ)，且數(shù)列{bn}是單調(diào)遞減數(shù)列，求實數(shù)λ的取值范圍．
解 (1)設數(shù)列{an}的公比為q.
由題意，可得an＝8qn－1，且0＜q＜1.
由a1＋13,4a2，a3＋9成等差數(shù)列，
知8a2＝30＋a3，
所以64q＝30＋8q2，
解得q＝eq \f(1,2)或eq \f(15,2)(舍去)，
所以an＝8×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n－1＝24－n，n∈N*.
(2)bn＝an(n＋2－λ)＝(n＋2－λ)·24－n，
由bn＞bn＋1，
得(n＋2－λ)·24－n＞(n＋3－λ)·23－n，
即λ＜n＋1，
所以λ＜(n＋1)min＝2，
故實數(shù)λ的取值范圍為(－∞，2)．

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高中數(shù)學人教A版 (2019)選擇性必修 第二冊電子課本

4.3 等比數(shù)列

版本： 人教A版 (2019)

年級： 選擇性必修 第二冊

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