學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.掌握等比數(shù)列的前n項和公式及公式證明思路.
2.會用等比數(shù)列的前n項和公式解決有關(guān)等比數(shù)列的一些簡單問題．
知識點一 等比數(shù)列的前n項和公式
知識點二 等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)
1．?dāng)?shù)列{an}為公比不為－1的等比數(shù)列(或公比為－1，且n不是偶數(shù))，Sn為其前n項和，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍構(gòu)成等比數(shù)列．
2．若{an}是公比為q的等比數(shù)列，則Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)．
3．若{an}是公比為q的等比數(shù)列，S偶，S奇分別是數(shù)列的偶數(shù)項和與奇數(shù)項和，則：①在其前2n項中，eq \f(S偶,S奇)＝q；
②在其前2n＋1項中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝eq \f(a1＋a2n＋1q,1－?－q?)＝eq \f(a1＋a2n＋2,1＋q)(q≠－1)．
1．等比數(shù)列前n項和Sn不可能為0.( × )
2．若首項為a的數(shù)列既是等比數(shù)列又是等差數(shù)列，則其前n項和等于na.( √ )
3．若a∈R，則1＋a＋a2＋…＋an－1＝eq \f(1－an,1－a).( × )
4．若某數(shù)列的前n項和公式為Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0且q≠1，n∈N*)，則此數(shù)列一定是等比數(shù)列．( √ )
一、等比數(shù)列前n項和公式的基本運算
例1 在等比數(shù)列{an}中，
(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；
(2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝eq \f(5,4)，求S5；
(3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求公比q.
解 (1)由題意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1?1＋q?＝30，,a1?1＋q＋q2?＝155，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝5，,q＝5))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝180，,q＝－\f(5,6).))
從而Sn＝eq \f(1,4)×5n＋1－eq \f(5,4)或Sn＝eq \f(1 080×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,6)))n)),11).
(2)方法一 由題意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋a1q2＝10，,a1q3＋a1q5＝\f(5,4)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝8，,q＝\f(1,2)，))從而S5＝eq \f(a1?1－q5?,1－q)＝eq \f(31,2).
方法二 由(a1＋a3)q3＝a4＋a6，得q3＝eq \f(1,8)，從而q＝eq \f(1,2).
又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10，所以a1＝8，從而S5＝eq \f(a1?1－q5?,1－q)＝eq \f(31,2).
(3)因為a2an－1＝a1an＝128，所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的兩個根．
從而eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝2，,an＝64))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an＝2，,a1＝64.))又Sn＝eq \f(a1－anq,1－q)＝126，所以q＝2或eq \f(1,2).
反思感悟 等比數(shù)列前n項和運算的技巧
(1)在等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式中，共涉及五個量：a1，an，n，q，Sn，其中首項a1和公比q為基本量，且“知三求二”，常常列方程組來解答．
(2)對于基本量的計算，列方程組求解是基本方法，通常用約分或兩式相除的方法進(jìn)行消元，有時會用到整體代換，如qn，eq \f(a1,1－q)都可看作一個整體．
(3)在解決與前n項和有關(guān)的問題時，首先要對公比q＝1或q≠1進(jìn)行判斷，若兩種情況都有可能，則要分類討論．
跟蹤訓(xùn)練1 在等比數(shù)列{an}中．
(1)若a1＝eq \r(2)，an＝16eq \r(2)，Sn＝11eq \r(2)，求n和q；
(2)已知S4＝1，S8＝17，求an.
解 (1)由Sn＝eq \f(a1－anq,1－q)得，11eq \r(2)＝eq \f(\r(2)－16\r(2)q,1－q)，∴q＝－2，
又由an＝a1qn－1得，16eq \r(2)＝eq \r(2)(－2)n－1，∴n＝5.
(2)若q＝1，則S8＝2S4，不符合題意，∴q≠1，
∴S4＝eq \f(a1?1－q4?,1－q)＝1，S8＝eq \f(a1?1－q8?,1－q)＝17，兩式相除得eq \f(1－q8,1－q4)＝17＝1＋q4，
∴q＝2或q＝－2，∴a1＝eq \f(1,15)或a1＝－eq \f(1,5)，∴an＝eq \f(1,15)·2n－1或－eq \f(1,5)·(－2)n－1.
二、利用錯位相減法求數(shù)列的前n項和
例2 求數(shù)列{eq \f(n,2n)}的前n項和．
解 設(shè)Sn＝eq \f(1,2)＋eq \f(2,22)＋eq \f(3,23)＋…＋eq \f(n,2n)，則有eq \f(1,2)Sn＝eq \f(1,22)＋eq \f(2,23)＋…＋eq \f(n－1,2n)＋eq \f(n,2n＋1)，
兩式相減，得Sn－eq \f(1,2)Sn＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,22)＋eq \f(1,23)＋…＋eq \f(1,2n)－eq \f(n,2n＋1)，
即eq \f(1,2)Sn＝eq \f(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2n))),1－\f(1,2))－eq \f(n,2n＋1)＝1－eq \f(1,2n)－eq \f(n,2n＋1).
∴Sn＝2－eq \f(1,2n－1)－eq \f(n,2n)＝2－eq \f(n＋2,2n)(n∈N*)．
反思感悟 錯位相減法的適用范圍及注意事項
(1)適用范圍：它主要適用于{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{anbn}的前n項和．
(2)注意事項：
①利用“錯位相減法”時，在寫出Sn與qSn的表達(dá)式時，應(yīng)注意使兩式交錯對齊，以便于作差，正確寫出(1－q)Sn的表達(dá)式．
②利用此法時要注意討論公比q是否等于1的情況．
跟蹤訓(xùn)練2 已知等比數(shù)列{an}滿足：a1＝eq \f(1,2)，a1，a2，a3－eq \f(1,8)成等差數(shù)列，公比q∈(0,1)．
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)設(shè)bn＝(2n－1)an，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.
解 (1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，a1＝eq \f(1,2)，
因為a1，a2，a3－eq \f(1,8)成等差數(shù)列，所以2a2＝a1＋a3－eq \f(1,8)，
即得4q2－8q＋3＝0，解得q＝eq \f(1,2)或q＝eq \f(3,2)，又因為q∈(0,1)，所以q＝eq \f(1,2)，
所以an＝eq \f(1,2)·(eq \f(1,2))n－1＝eq \f(1,2n).
(2)根據(jù)題意得Sn＝1×eq \f(1,2)＋3×eq \f(1,22)＋…＋(2n－1)×eq \f(1,2n)，
eq \f(1,2)Sn＝1×eq \f(1,22)＋3×eq \f(1,23)＋…＋(2n－3)×eq \f(1,2n)＋(2n－1)×eq \f(1,2n＋1)，
兩式相減得
eq \f(1,2)Sn＝1×eq \f(1,2)＋2×eq \f(1,22)＋…＋2×eq \f(1,2n)－(2n－1)×eq \f(1,2n＋1)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)×eq \f(1－\f(1,2n－1),1－\f(1,2))－(2n－1)×eq \f(1,2n＋1)＝eq \f(3,2)－eq \f(1,2n－1)－eq \f(2n－1,2n＋1)，
所以Sn＝3－eq \f(4,2n)－eq \f(2n－1,2n)＝3－eq \f(2n＋3,2n)，n∈N*.
三、等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)
例3 (1)在等比數(shù)列{an}中，若S2＝7，S6＝91，則S4＝________.
(2)已知等比數(shù)列{an}共有2n項，其和為－240，且(a1＋a3＋…＋a2n－1)－(a2＋a4＋…＋a2n)＝80，則公比q＝________.
(3)若數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且其前n項和為Sn＝3n＋1－2k，則實數(shù)k＝________.
答案 (1)28 (2)2 (3)eq \f(3,2)
解析 (1)∵數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且易知公比q≠－1，∴S2，S4－S2，S6－S4也構(gòu)成等比數(shù)列，
即7，S4－7,91－S4構(gòu)成等比數(shù)列，∴(S4－7)2＝7(91－S4)，解得S4＝28或S4＝－21.
又S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2·(1＋q2)>0，∴S4＝28.
(2)由題意知S奇＋S偶＝－240，S奇－S偶＝80，∴S奇＝－80，S偶＝－160，∴q＝eq \f(S偶,S奇)＝2.
(3)∵Sn＝3n＋1－2k＝3·3n－2k，且{an}為等比數(shù)列，∴3－2k＝0，即k＝eq \f(3,2).
延伸探究
本例(3)中，若將條件改為“若數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且其前n項和為Sn＝a·(eq \f(1,3))n－1＋5”，再求實數(shù)a的值．
解 由Sn＝a·(eq \f(1,3))n－1＋5，可得Sn＝3a·(eq \f(1,3))n＋5，依題意有3a＋5＝0，故a＝－eq \f(5,3).
反思感悟 處理等比數(shù)列前n項和有關(guān)問題的常用方法
(1)運用等比數(shù)列的前n項和公式，要注意公比q＝1和q≠1兩種情形，在解有關(guān)的方程(組)時，通常用約分或兩式相除的方法進(jìn)行消元．
(2)靈活運用等比數(shù)列前n項和的有關(guān)性質(zhì)．
跟蹤訓(xùn)練3 (1)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S4＝1，S8＝3，則a9＋a10＋a11＋a12等于( )
A．8 B．6 C．4 D．2
答案 C
解析 S4，S8－S4，S12－S8成等比數(shù)列．即1,2，a9＋a10＋a11＋a12成等比數(shù)列．∴a9＋a10＋a11＋a12＝4.
(2)一個項數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列{an}，全部各項之和為偶數(shù)項之和的4倍，前3項之積為64，求數(shù)列的通項公式．
解 設(shè)數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q，所有奇數(shù)項、偶數(shù)項之和分別記作S奇，S偶，由題意可知，
S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶．
因為數(shù)列{an}的項數(shù)為偶數(shù)，所以有q＝eq \f(S偶,S奇)＝eq \f(1,3).
又因為a1·a1q·a1q2＝64，所以aeq \\al(3,1)·q3＝64，即a1＝12，
故所求通項公式為an＝12×(eq \f(1,3))n－1，n∈N*.
1．在數(shù)列{an}中，已知an＋1＝2an，且a1＝1，則數(shù)列{an}的前5項的和等于( )
A．－25 B．25 C．－31 D．31
答案 D
解析 因為an＋1＝2an，且a1＝1，所以數(shù)列{an}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，
所以數(shù)列{an}的前5項的和為eq \f(25－1,2－1)＝31.
2．等比數(shù)列1，x，x2，x3，…的前n項和Sn等于( )
A.eq \f(1－xn,1－x) B.eq \f(1－xn－1,1－x)
C.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1－xn,1－x)，x≠1且x≠0,n，x＝1)) D.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1－xn－1,1－x)，x≠1且x≠0,n，x＝1))
答案 C
解析 當(dāng)x＝1時，Sn＝n；當(dāng)x≠1且x≠0時，Sn＝eq \f(1－xn,1－x).
3．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S10∶S5＝1∶2，則S15∶S5等于( )
A．3∶4 B．2∶3
C．1∶2 D．1∶3
答案 A
解析 在等比數(shù)列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10，…成等比數(shù)列，因為S10∶S5＝1∶2，所以S5＝2S10，S15＝eq \f(3,4)S5，得S15∶S5＝3∶4，故選A.
4．已知在等比數(shù)列{an}中，a3＝eq \f(3,2)，S3＝eq \f(9,2)，則a1＝________.
答案 eq \f(3,2)或6
解析 方法一 當(dāng)q＝1時，a1＝a2＝a3＝eq \f(3,2)，滿足S3＝eq \f(9,2).
當(dāng)q≠1時，依題意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1q2＝\f(3,2)，,\f(a1?1－q3?,1－q)＝\f(9,2).))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝6，,q＝－\f(1,2).))綜上可得a1＝eq \f(3,2)或a1＝6.
方法二 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S3＝a1＋a2＋a3＝\f(9,2)，,a3＝\f(3,2).))所以a1＋a2＝3，所以eq \f(a1＋a2,a3)＝eq \f(1＋q,q2)＝2，
所以q＝1或q＝－eq \f(1,2).所以a1＝eq \f(3,2)或a1＝6.
5．若等比數(shù)列{an}的公比為eq \f(1,3)，且a1＋a3＋…＋a99＝60，則{an}的前100項和為________．
答案 80
解析 令X＝a1＋a3＋…＋a99＝60，Y＝a2＋a4＋…＋a100，則S100＝X＋Y，
由等比數(shù)列前n項和性質(zhì)知eq \f(Y,X)＝q＝eq \f(1,3)，所以Y＝20，即S100＝X＋Y＝80.
1．知識清單：
(1)等比數(shù)列前n項和公式．
(2)利用錯位相減法求數(shù)列的前n項和．
(3)等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)．
2．方法歸納：錯位相減法、方程(組)思想、分類討論．
3．常見誤區(qū)：
(1)忽略q＝1的情況而致錯．
(2)錯位相減法中粗心出錯．
(3)忽略對參數(shù)的討論．
1．在等比數(shù)列{an}中，a1＝2，a2＝1，則S100等于( )
A．4－2100 B．4＋2100 C．4－2－98 D．4－2－100
答案 C
解析 q＝eq \f(a2,a1)＝eq \f(1,2).S100＝eq \f(a1?1－q100?,1－q)＝eq \f(2\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))100)),1－\f(1,2))＝4(1－2－100)＝4－2－98.
2．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知S3＝8，S6＝7，則a7＋a8＋a9等于( )
A.eq \f(1,8) B．－eq \f(1,8) C.eq \f(57,8) D.eq \f(55,8)
答案 A
解析 易知q≠－1，因為a7＋a8＋a9＝S9－S6，且S3，S6－S3，S9－S6也成等比數(shù)列，
即8，－1，S9－S6成等比數(shù)列，所以8(S9－S6)＝1，即S9－S6＝eq \f(1,8)，所以a7＋a8＋a9＝eq \f(1,8).
3．若等比數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n－1＋a，則a3a5等于( )
A．4 B．8 C．16 D．32
答案 C
解析 等比數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n－1＋a，n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n－1＋a－(2n－2＋a)，
化簡得an＝2n－2.則a3a5＝2×23＝16.
4．設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，若27a4＋a7＝0，則eq \f(S4,S2)等于( )
A．10 B．9 C．－8 D．－5
答案 A
解析 設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由27a4＋a7＝0，得a4(27＋q3)＝0，
因為a4≠0，所以27＋q3＝0，則q＝－3，故eq \f(S4,S2)＝eq \f(1－q4,1－q2)＝10.
5．已知{an}是首項為1的等比數(shù)列，Sn是其前n項和，且9S3＝S6，則數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))的前5項和等于( )
A.eq \f(15,8)或5 B.eq \f(31,16)或5
C.eq \f(31,16) D.eq \f(15,8)
答案 C
解析 設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，顯然q≠1，由已知得eq \f(9?1－q3?,1－q)＝eq \f(1－q6,1－q)，解得q＝2，
∴數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是以1為首項，eq \f(1,2)為公比的等比數(shù)列，前5項和為eq \f(1×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))5)),1－\f(1,2))＝eq \f(31,16).
6．若等比數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2·3n＋r，則r＝________.
答案 －2
解析 Sn＝2·3n＋r，由等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)得r＝－2.
7．已知Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，Sn＝93，an＝48，公比q＝2，則項數(shù)n＝________，a1＝________.
答案 5 3
解析 由Sn＝93，an＝48，公比q＝2，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1?2n－1?＝93，,a1·2n－1＝48，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝3，,n＝5.))
8．設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項和為Sn，若Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差數(shù)列，則q的值為________．
答案 －2
解析 由題意知2Sn＝Sn＋1＋Sn＋2，若q＝1，則Sn＝na1，式子顯然不成立，
若q≠1，則有2eq \f(a1?1－qn?,1－q)＝eq \f(a1?1－qn＋1?,1－q)＋eq \f(a1?1－qn＋2?,1－q)，故2qn＝qn＋1＋qn＋2，即q2＋q－2＝0，∴q＝－2.
9．等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知S1，S3，S2成等差數(shù)列．
(1)求數(shù)列{an}的公比q；
(2)若a1－a3＝3，求Sn.
解 (1)依題意有a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)，由于a1≠0，故2q2＋q＝0.
又q≠0，從而q＝－eq \f(1,2).
(2)由已知可得a1－a1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))2＝3，故a1＝4.
從而Sn＝eq \f(4\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))n)),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))))＝eq \f(8,3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))n)).
10.已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1＝2，b1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，b1＋eq \f(1,2)b2＋eq \f(1,3)b3＋…＋eq \f(1,n)bn＝bn＋1－1(n∈N*)．
(1)求an與bn；
(2)記數(shù)列{anbn}的前n項和為Tn，求Tn.
解 (1)由a1＝2，an＋1＝2an，得an＝2n(n∈N*)．
由題意知：當(dāng)n＝1時，b1＝b2－1，故b2＝2.
當(dāng)n≥2時，eq \f(1,n)bn＝bn＋1－bn.整理得eq \f(bn＋1,n＋1)＝eq \f(bn,n)，又eq \f(b2,2)＝eq \f(b1,1)，
所以bn＝n(n∈N*)．
(2)由(1)知anbn＝n·2n，因此Tn＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，
2Tn＝22＋2·23＋3·24＋…＋n·2n＋1，
所以Tn－2Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1.
故Tn＝(n－1)2n＋1＋2(n∈N*)．
11．在等比數(shù)列{an}中，a1＝4，q＝5，則使Sn>107的最小正整數(shù)n的值是( )
A．11 B．10
C．12 D．9
答案 A
解析 由題意可知在等比數(shù)列{an}中，a1＝4，q＝5，∴Sn＝eq \f(4·?1－5n?,1－5)＝5n－1.
∵Sn>107，∴5n－1>107，∴n>10.01，∵n為正整數(shù)，∴n≥11，故n的最小值為11.
12．等比數(shù)列{an}的首項為2，項數(shù)為奇數(shù)，其奇數(shù)項之和為eq \f(85,32)，偶數(shù)項之和為eq \f(21,16)，這個等比數(shù)列前n項的積為Tn(n≥2)，則Tn的最大值為( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2) C．1 D．2
答案 D
解析 設(shè)數(shù)列{an}共有(2m＋1)項，由題意得S奇＝a1＋a3＋…＋a2m＋1＝eq \f(85,32)，S偶＝a2＋a4＋…＋a2m＝eq \f(21,16)，
因為項數(shù)為奇數(shù)時，eq \f(S奇－a1,S偶)＝q，即2＋eq \f(21,16)q＝eq \f(85,32)，所以q＝eq \f(1,2).
所以Tn＝a1·a2·…·an＝aeq \\al(n,1)q1＋2＋…＋n－1＝故當(dāng)n＝1或2時，Tn取最大值，為2.
13．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，稱Tn＝eq \f(S1＋S2＋…＋Sn,n)為數(shù)列a1，a2，a3，…，an的“理想數(shù)”，已知數(shù)列a1，a2，a3，a4，a5的理想數(shù)為2 014，則數(shù)列2，a1，a2，…，a5的“理想數(shù)”為( )
A．1 673 B．1 675 C.eq \f(5 035,3) D.eq \f(5 041,3)
答案 D
解析 因為數(shù)列a1，a2，…，a5的“理想數(shù)”為2 014，
所以eq \f(S1＋S2＋S3＋S4＋S5,5)＝2 014，即S1＋S2＋S3＋S4＋S5＝5×2 014，
所以數(shù)列2，a1，a2，…，a5的“理想數(shù)”為eq \f(2＋?2＋S1?＋?2＋S2?＋…＋?2＋S5?,6)＝eq \f(6×2＋5×2 014,6)＝eq \f(5 041,3).
14．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1,2Sn＝an＋1－1，則Sn＝________.
答案 eq \f(3n－1,2)
解析 當(dāng)n＝1時，則有2S1＝a2－1，∴a2＝2S1＋1＝2a1＋1＝3；
當(dāng)n≥2時，由2Sn＝an＋1－1得出2Sn－1＝an－1，上述兩式相減得2an＝an＋1－an，
∴an＋1＝3an，得eq \f(an＋1,an)＝3且eq \f(a2,a1)＝3，∴數(shù)列{an}是以1為首項，以3為公比的等比數(shù)列，
∴Sn＝eq \f(1－3n,1－3)＝eq \f(3n－1,2).
15．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，點(n，eq \f(Sn,n))(n∈N*)均在直線y＝x＋eq \f(1,2)上．若bn＝則數(shù)列{bn}的前n項和Tn＝________.
答案 eq \f(9n＋1－9,8)
解析 依題意得eq \f(Sn,n)＝n＋eq \f(1,2)，即Sn＝n2＋eq \f(1,2)n.當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋eq \f(1,2)n)－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(?n－1?2＋\f(1,2)?n－1?))＝2n－eq \f(1,2)；
當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝eq \f(3,2)，符合an＝2n－eq \f(1,2)，所以an＝2n－eq \f(1,2)(n∈N*)，則由eq \f(bn＋1,bn)＝eq \f(32?n＋1?,32n)＝32＝9，
可知{bn}為公比為9的等比數(shù)列，b1＝32×1＝9，故Tn＝eq \f(9?1－9n?,1－9)＝eq \f(9n＋1－9,8).
16．已知等差數(shù)列{an}滿足a2＝0，a6＋a8＝－10.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)求數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,2n－1)))的前n項和．
解 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，
由已知條件可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋d＝0，,2a1＋12d＝－10，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝1，,d＝－1.))
故數(shù)列{an}的通項公式為an＝2－n，n∈N*.
(2)設(shè)數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,2n－1)))的前n項和為Sn，
即Sn＝a1＋eq \f(a2,2)＋…＋eq \f(an,2n－1)，①
eq \f(Sn,2)＝eq \f(a1,2)＋eq \f(a2,4)＋…＋eq \f(an－1,2n－1)＋eq \f(an,2n).②
所以，①－②得eq \f(Sn,2)＝a1＋eq \f(a2－a1,2)＋…＋eq \f(an－an－1,2n－1)－eq \f(an,2n)＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋\f(1,4)＋…＋\f(1,2n－1)))－eq \f(2－n,2n)＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2n－1)))－eq \f(2－n,2n)＝eq \f(n,2n).
所以Sn＝eq \f(n,2n－1)，所以數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,2n－1)))的前n項和Sn＝eq \f(n,2n－1)，n∈N*.
第2課時 等比數(shù)列前n項和公式的應(yīng)用
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.能夠把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)列問題.
2.進(jìn)一步熟悉通過建立數(shù)列模型并應(yīng)用數(shù)列模型解決實際問題的過程．
知識點 等比數(shù)列前n項和的實際應(yīng)用
1．解應(yīng)用問題的核心是建立數(shù)學(xué)模型．
2．一般步驟：審題、抓住數(shù)量關(guān)系、建立數(shù)學(xué)模型．
3．注意問題是求什么(n，an，Sn)．
注意：
(1)解答數(shù)列應(yīng)用題要注意步驟的規(guī)范性：設(shè)數(shù)列，判斷數(shù)列，解題完畢要作答．
(2)在歸納或求通項公式時，一定要將項數(shù)n計算準(zhǔn)確．
(3)在數(shù)列類型不易分辨時，要注意歸納遞推關(guān)系．
(4)在近似計算時，要注意應(yīng)用對數(shù)方法，且要看清題中對近似程度的要求．
1．有一種細(xì)菌和一種病毒，每個細(xì)菌在每秒鐘殺死一個病毒的同時將自身分裂為2個，現(xiàn)在有1個這種細(xì)菌和200個這種病毒，問細(xì)菌將病毒全部殺死至少需要( )
A．6秒鐘 B．7秒鐘
C．8秒鐘 D．9秒鐘
答案 C
解析 根據(jù)題意，每秒鐘細(xì)菌殺死的病毒數(shù)成等比數(shù)列，設(shè)需要n秒細(xì)菌可將病毒全部殺死，
則1＋2＋22＋23＋…＋2n－1≥200，∴eq \f(1－2n,1－2)≥200，∴2n≥201，結(jié)合n∈N*，解得n≥8，
即至少需8秒細(xì)菌將病毒全部殺死．
2．某工廠去年產(chǎn)值為a，計劃今后5年內(nèi)每年比上年產(chǎn)值增加10%，則從今年起到第5年，這個廠的總產(chǎn)值為( )
A．1.14a B．11×(1.15－1)a
C．1.15a D．10×(1.16－1)a
答案 B
解析 從今年起到第5年，這個廠的總產(chǎn)值為
a×1.1＋a×1.12＋a×1.13＋a×1.14＋a×1.15＝a×eq \f(1.1?1.15－1?,1.1－1)＝11a(1.15－1)．
3．畫一個邊長為2的正方形，再以這個正方形的一條對角線為邊畫第2個正方形，以第2個正方形的一條對角線為邊畫第3個正方形，……，這樣共畫了10個正方形，則這10個正方形的面積和等于________．
答案 212－4
解析 依題意，這10個正方形的邊長構(gòu)成以2為首項，eq \r(2)為公比的等比數(shù)列{an}，故an＝2·(eq \r(2))n－1，
所以面積bn＝[2×(eq \r(2))n－1]2＝4·2n－1＝2n＋1，所以面積和S10＝22＋23＋…＋211＝eq \f(22－212,1－2)＝212－4.
4．某住宅小區(qū)計劃植樹不少于100棵，若第一天植樹2棵，以后每天植樹的棵數(shù)是前一天的2倍，則需要的最少天數(shù)n(n∈N*)＝________.
答案 6
解析 設(shè)每天植樹的棵數(shù)組成的數(shù)列為{an}, 由題意可知它是等比數(shù)列，且首項為2，公比為2,
其前n項和Sn＝eq \f(2?1－2n?,1－2)＝2n＋1－2，由2n＋1－2≥100，得n≥6.
一、等比數(shù)列前n項和在幾何中的應(yīng)用
例1 如圖所示，作邊長為a的正三角形的內(nèi)切圓，在這個圓內(nèi)作內(nèi)接正三角形，然后再作新三角形的內(nèi)切圓．如此下去，前n個內(nèi)切圓的面積和為________．
答案 eq \f(a2,9)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,22n)))π
解析 設(shè)第n個正三角形的內(nèi)切圓的半徑為an，∵從第二個正三角形開始每一個正三角形的邊長是前一個的eq \f(1,2)，每一個正三角形的內(nèi)切圓半徑也是前一個正三角形內(nèi)切圓半徑的eq \f(1,2)，
∴a1＝eq \f(1,2)atan 30°＝eq \f(\r(3),6)a，a2＝eq \f(1,2)a1，…，an＝eq \f(1,2)an－1，∴數(shù)列{an}是以eq \f(\r(3),6)a為首項，eq \f(1,2)為公比的等比數(shù)列，
∴an＝eq \f(\r(3),6)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n－1a，設(shè)前n個內(nèi)切圓的面積和為Sn，則Sn＝π(aeq \\al(2,1)＋aeq \\al(2,2)＋…＋aeq \\al(2,n))
＝πaeq \\al(2,1)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))2＋…＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2n－1)))2))＝πaeq \\al(2,1)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,4)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))2＋…＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))n－1))＝eq \f(4,3)×eq \f(a2,12)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4n)))π＝eq \f(a2,9)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4n)))π
＝eq \f(a2,9)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,22n)))π.
反思感悟 此類幾何問題可以轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列模型，利用等比數(shù)列的有關(guān)知識解決，要注意步驟的規(guī)范性．
跟蹤訓(xùn)練1 侏羅紀(jì)蜘蛛網(wǎng)是一種非常有規(guī)則的蜘蛛網(wǎng)，如圖，它是由無數(shù)個正方形環(huán)繞而成，且每一個正方形的四個頂點都恰好在它的外圍一層正方形四條邊的三等分點上，設(shè)外圍第一個正方形的邊長是m，有人說，如此下去，蜘蛛網(wǎng)的長度也是無限的增大，那么，試問，侏羅紀(jì)蜘蛛網(wǎng)的長度真的是無限長的嗎？設(shè)侏羅紀(jì)蜘蛛網(wǎng)的長度為Sn，則( )
A．Sn無限大 B．Sn0，
即2 000×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)))n－1))－5 000eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))n))>0，化簡得5×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))n＋2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)))n－7>0，
設(shè)x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))n，代入上式得5x2－7x＋2>0，解此不等式，得x1(舍去)．即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))n0，
∴eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))也為遞增數(shù)列，又eq \f(S8,8)>eq \f(S7,7)，∴eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))為遞增數(shù)列．又∵eq \f(S7,7)＝108 000，即1 600eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)))n－1))>8 000，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)))n>6，即lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)))n>lg 6，∴n>eq \f(lg 6,lg \f(5,4))≈8，∴大約第9年后，旅游業(yè)總收入超過8 000萬元．
1．河南洛陽龍門石窟是中國石刻藝術(shù)寶庫，現(xiàn)為世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一．某洞窟的浮雕共7層，它們構(gòu)成一幅優(yōu)美的圖案．若從下往上計算，從第二層開始，每層浮雕像個數(shù)依次是下層個數(shù)的2倍，該洞窟浮雕像總共有1 016個，則第5層浮雕像的個數(shù)為( )
A．64 B．128 C．224 D．512
答案 B
解析 設(shè)最下層的浮雕像的數(shù)量為a1，依題意有公比q＝2，n＝7，S7＝eq \f(a1?1－27?,1－2)＝1 016，
解得a1＝8，則an＝8×2n－1＝2n＋2(1≤n≤7，n∈N*)，所以a5＝27＝128.
2．公元前5世紀(jì)，古希臘哲學(xué)家芝諾發(fā)表了著名的阿基里斯悖論：他提出讓烏龜在阿基里斯前面1 000米處和阿基里斯賽跑，并且假定阿基里斯的速度是烏龜?shù)?0倍．當(dāng)比賽開始后，若阿基里斯跑了1 000米，此時烏龜便領(lǐng)先他100米；當(dāng)阿基里斯跑完下一個100米時，烏龜領(lǐng)先他10米；當(dāng)阿基里斯跑完下一個10米時，烏龜仍然領(lǐng)先他1米……所以，阿基里斯永遠(yuǎn)追不上烏龜．按照這樣的規(guī)律，若阿基里斯和烏龜?shù)木嚯x恰好為10－2米時，烏龜爬行的總距離為( )
A.eq \f(104－1,90)米 B.eq \f(105－1,900)米 C.eq \f(105－9,90)米 D.eq \f(104－9,900)米
答案 B
解析 由題意知，烏龜每次爬行的距離構(gòu)成等比數(shù)列{an}，且a1＝100，q＝eq \f(1,10)，an＝10－2；
∴烏龜爬行的總距離為Sn＝eq \f(a1－anq,1－q)＝eq \f(100－10－2×\f(1,10),1－\f(1,10))＝eq \f(105－1,900)(米)．
3．中國當(dāng)代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還．”其意思為：“有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，請問第一天走了( )
A．24里 B．48里 C．96里 D．192里
答案 D
解析 由題意可知此人每天走的路程構(gòu)成等比數(shù)列{an}，且公比為eq \f(1,2)，
由題意和等比數(shù)列的求和公式可得eq \f(a1\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))6)),1－\f(1,2))＝378，解得a1＝192，所以第一天走了192里．
4．國家男子足球隊某運動員一腳把球踢到32米高處，從此處開始計算，假設(shè)足球每次著地后又彈回到原來高度的一半再落下，則第4次著地時，該球所經(jīng)過的總路程為________米；則第5次著地時，該球所經(jīng)過的總路程為________米．
答案 88 92
解析 足球第1次落地經(jīng)過的路程為32；足球第2次落地經(jīng)過的路程為32＋32×eq \f(1,2)×2＝64；
足球第3次落地經(jīng)過的路程為64＋32×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2×2＝80；足球第4次落地經(jīng)過的路程為80＋32×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3×2＝88；
足球第5次落地經(jīng)過的路程為88＋32×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))4×2＝92.
5．將n個大小不同的正方體形狀的積木從上到下，從小到大堆成塔狀，平放在桌面上．上面一個正方體積木下底面的四個頂點正好是它下面一個正方體積木的上底面各邊的中點，按此規(guī)律不斷堆放．如果最下面的正方體積木的棱長為1，且這些正方體積木露在外面的面積之和為Sn，則Sn＝________.
答案 9－eq \f(8,2n)
解析 最底層正方體的棱長為1，則該正方體的除底面外的表面積為5×12＝5；
第二個正方體的棱長為1×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(2),2)，它的側(cè)面積為4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))2，
第3個小正方形的邊長為eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))2，它的側(cè)面積為4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))2×2；
第n個小正方形的邊長為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))n－1，它的側(cè)面積為4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))2(n－1)＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n－1，
則它們的表面積為5＋4×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3＋…＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n－1))＝5＋4×eq \f(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2n－1))),1－\f(1,2))＝9－eq \f(4,2n－1)＝9－eq \f(8,2n).
1．知識清單：
(1)構(gòu)造等比數(shù)列．
(2)建立數(shù)學(xué)模型．
2．方法歸納：構(gòu)造法、轉(zhuǎn)化法．
3．常見誤區(qū)：在實際問題中首項和項數(shù)弄錯．
1．某森林原有木材量為a m3，每年以25%的速度增長，5年后，這片森林共有木材量( )
A．a(chǎn)(1＋25%)5 B．a(chǎn)(1＋25%)4
C．4aeq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)))5－1)) D．a(chǎn)(1＋25%)6
答案 A
解析 森林中原有木材量為a，一年后為a(1＋25%)，兩年后為a(1＋25%)2，…，五年后為a(1＋25%)5.
2．某地為了保持水土資源實行退耕還林，如果2018年退耕a萬畝，以后每年比上一年增加10%，那么到2025年一共退耕( )
A．10a(1.18－1)萬畝 B．a(chǎn)(1.18－1)萬畝
C．10a(1.17－1)萬畝 D．a(chǎn)(1.17－1)萬畝
答案 A
解析 記2018年為第一年，第n年退耕an萬畝，則{an}為等比數(shù)列，且a1＝a，公比q＝1＋10%，
則問題轉(zhuǎn)化為求數(shù)列{an}的前8項和，所以數(shù)列{an}的前8項和為eq \f(a1?1－q8?,1－q)＝eq \f(a?1－1.18?,1－1.1)＝10a(1.18－1)．
所以到2025年一共退耕10a(1.18－1)萬畝．
3．我國工農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值從1997年到2017年的20年間翻了兩番，設(shè)平均每年的增長率為x，則有( )
A．(1＋x)19＝4 B．(1＋x)20＝3
C．(1＋x)20＝2 D．(1＋x)20＝4
答案 D
解析 設(shè)1997年總產(chǎn)值為1，由于我國工農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值從1997年到2017年的20年間翻了兩番，說明2017年的工農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值是1997年工農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值的4倍，則(1＋x)20＝4.
4．某人的月工資由基礎(chǔ)工資和績效工資組成，2010年每月的基礎(chǔ)工資為2 100元、績效工資為2 000元．從2011年起每月基礎(chǔ)工資比上一年增加210元、績效工資為上一年的110%.照此推算，此人2021年的年薪為(結(jié)果精確到0.1)( )
A．9.3萬元 B．10.4萬元
C．12.14萬元 D．14萬元
答案 C
解析 由題意可得，基礎(chǔ)工資是以2 100元為首項，以210元為公差的等差數(shù)列，績效工資以2 000元為首項，以1.1為公比的等比數(shù)列，則此人2021年每月的基礎(chǔ)工資為2 100＋210(12－1)＝4 410(元)，每月的績效工資為2 000×1.111≈5 706.23(元)，則此人2021年的年薪為12(4 410＋5 706.23)≈12.14(萬元)．
5．剛上班不久的小明于10月5日在某電商平臺上通過零首付購買了一部售價6 000元的手機(jī)，約定從下月5日開始，每月5日按等額本息(每期以相同的額度償還本金和利息)還款a元，1年還清；其中月利率為0.5%，則小明每月還款數(shù)a(精確到個位，參考數(shù)據(jù)：1.00511≈1.056；1.00512≈1.062；1.00513≈1.067)( )
A．488元 B．500元
C．514元 D．602元
答案 C
解析 由題意知小明第1次還款a元后，還欠本金及利息為[6 000(1＋0.5%)－a]元，
第2次還款a元后，還欠本金及利息為[6 000(1＋0.5%)2－a(1＋0.5%)－a]元，
第3次還款a元后，還欠本金及利息為[6 000(1＋0.5%)3－a(1＋0.5%)2－a(1＋0.5%)－a]元，
以此類推，則第12次還款a元后，還欠本金及利息為
[6 000(1＋0.5%)12－a(1＋0.5%)11－…－a(1＋0.5%)－a]元，
此時已全部還清，則6 000(1＋0.5%)12－a(1＋0.5%)11－…－a(1＋0.5%)－a＝0，
即6 000(1＋0.5%)12＝eq \f(a[1－?1＋0.5%?12],1－?1＋0.5%?)，解得a＝eq \f(6 000×0.005×1.00512,1.00512－1)≈eq \f(30×1.062,0.062)≈514(元)．
6．某廠去年的產(chǎn)值記為1.若計劃在今后五年內(nèi)每年的產(chǎn)值比上年增長10%，則從今年起到第五年這五年內(nèi)，這個廠的總產(chǎn)值約為________．(保留一位小數(shù)，取1.15≈1.6)
答案 6.6
解析 由題意可知，第一年要比上年增長10%，那么第一年產(chǎn)值就是1＋10%＝1.1，
第二年又比第一年增加10%，所以第二年產(chǎn)值是1.12，…，以此類推，第五年產(chǎn)值是1.15，
∴總產(chǎn)量為1.1＋1.12＋…＋1.15＝eq \f(1.1×?1－1.15?,1－1.1)≈11×0.6＝6.6.
7．農(nóng)民收入由工資收入和其他收入兩部分構(gòu)成.2015年某地區(qū)農(nóng)民人均收入為13 150元(其中工資收入為7 800元，其他收入為5 350元)．預(yù)計該地區(qū)自2016年起的6年內(nèi)，農(nóng)民的工資收入將以每年6%的年增長率增長，其他收入每年增加160元．根據(jù)以上數(shù)據(jù)，2021年該地區(qū)農(nóng)民人均收入約為_________元(其中1.064≈1.26，1.065≈1.34,1.066≈1.42)
答案 17 386
解析 農(nóng)民人均收入來源于兩部分，一是工資收入為7 800×(1＋6%)6＝7 800×1.066≈11 076(元), 二是其他收入為5 350＋6×160＝6 310(元)，因此，2021年該地區(qū)農(nóng)民人均收入為11 076＋6 310＝17 386(元)．
8．小明打算從2018年起，每年的1月1日到銀行存入a元的一年期定期儲蓄，若年利率為p，且保持不變，并約定每年到期存款本息均自動轉(zhuǎn)為新一年的定期.2019年1月1日小明去銀行繼續(xù)存款a元后，他的賬戶中一共有________元；到2022年的1月1日不再存錢且將所有的存款和利息全部取出，則可取回________元．(寫化簡后結(jié)果)
答案 ap＋2a eq \f(a,p)[(1＋p)5－(1＋p)]
解析 依題意，2019年1月1日存款a元后，帳戶中一共有a(1＋p)＋a＝(ap＋2a)元；
銀行利息為單利計息，故2022年1月1日可取出錢的總數(shù)為
a(1＋p)4＋a(1＋p)3＋a(1＋p)2＋a(1＋p)＝a·eq \f(?1＋p?[1－?1＋p?4],1－?1＋p?)＝eq \f(a,p)[(1＋p)5－(1＋p)]．
9．王某2017年12月31日向銀行貸款100 000元，銀行貸款年利率為5%，若此貸款分十年還清(2027年12月31日還清)，每年年底等額還款(每次還款金額相同)，設(shè)第n年末還款后此人在銀行的欠款額為an元．
(1)設(shè)每年的還款額為m元，請用m表示出a2；
(2)求每年的還款額(精確到1元)．
解 (1)由題意得，a2＝100 000(1＋5%)2－m(1＋5%)－m＝110 250－2.05m.
(2)因為100 000(1＋5%)10＝1.059m＋1.058m＋…＋m，
所以100 000×1.0510＝eq \f(m?1－1.0510?,1－1.05)，解得m≈12 950.
10．某地今年年初有居民住房面積為a m2，其中需要拆除的舊房面積占了一半，當(dāng)?shù)赜嘘P(guān)部門決定每年以當(dāng)年年初住房面積的10%的住房增長率建設(shè)新住房，同時每年拆除x m2的舊住房，又知該地區(qū)人口年增長率為4.9‰.
(1)如果10年后該地區(qū)的人均住房面積正好比目前翻一番，那么每年應(yīng)拆除的舊住房面積x是多少？
(2)依照(1)的拆房速度，共需多少年能拆除所有需要拆除的舊房？
注：下列數(shù)據(jù)供計算時參考：
解 (1)設(shè)今年人口為b人，則10年后人口為b(1＋4.9‰)10≈1.05b.
1年后的住房面積為a×(1＋10%)－x＝1.1a－x，
2年后的住房面積為(1.1a－x)×(1＋10%)－x＝1.12a－1.1x－x＝1.12a－x(1＋1.1)，
3年后的住房面積為(1.12a－1.1x－x)×(1＋10%)－x＝1.13a－x(1＋1.1＋1.12)，…，
10年后的住房面積a×1.110－x(1＋1.1＋1.12＋…＋1.19)≈2.6a－x·eq \f(1×?1－1.110?,1－1.1)≈2.6a－16x.
所以eq \f(2.6a－16x,1.05b)＝2×eq \f(a,b).解得x＝eq \f(a,32).
(2)全部拆除舊房還需eq \f(1,2)a÷eq \f(a,32)＝16(年)．
11．《九章算術(shù)》第三章“衰分”介紹比例分配問題，“衰分”是按比例遞減分配的意思，通常稱遞減的比例為“衰分比”．如：已知A，B，C三人分配獎金的衰分比為20%，若A分得資金1 000元，則B，C所分得資金分別為800元和640元．某科研所四位技術(shù)人員甲、乙、丙、丁攻關(guān)成功，共獲得單位獎勵68 780元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配資金，且甲與丙共獲得資金36 200元，則“衰分比”與丁所獲得的資金分別為( )
A．20%,14 580元 B．10%,14 580元
C．20%,10 800元 D．10%,10 800元
答案 B
解析 設(shè)“衰分比”為q，甲獲得的獎金為a1，則a1＋a1(1－q)＋a1(1－q)2＋a1(1－q)3＝68 780.
a1＋a1(1－q)2＝36 200，解得q＝0.1，a1＝20 000，故a1(1－q)3＝14 580.
12．2016年崇明區(qū)政府投資8千萬元啟動休閑體育新鄉(xiāng)村旅游項目．規(guī)劃從2017年起，在今后的若干年內(nèi)，每年繼續(xù)投資2千萬元用于此項目.2016年該項目的凈收入為5百萬元，并預(yù)測在相當(dāng)長的年份里，每年的凈收入均在上一年的基礎(chǔ)上增長50%.記2016年為第1年，f(n)為第1年至此后第n(n∈N*)年的累計利潤(注：含第n年，累計利潤＝累計凈收入－累計投入，單位：千萬元)，且當(dāng)f(n)為正值時，認(rèn)為該項目贏利．根據(jù)預(yù)測，該項目將從哪一年開始并持續(xù)贏利( )
A．2020 B．2021
C．2022 D．2023
答案 D
解析 由題意知，第1年至此后第n(n∈N*)年的累計投入為8＋2(n－1)＝2n＋6(千萬元)，
第1年至此后第n(n∈N*)年的累計凈收入為eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))1＋eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))2＋…＋eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))n－1
＝eq \f(\f(1,2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))n)),1－\f(3,2))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))n－1(千萬元)，∴f(n)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))n－1－(2n＋6)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))n－2n－7(千萬元)．
∵f(n＋1)－f(n)＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))n＋1－2?n＋1?－7))－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))n－2n－7))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))n－4))，
∴當(dāng)n≤3時，f(n＋1)－f(n)＜0，故當(dāng)n

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