課時跟蹤檢測 （十六）  函數(shù)的單調(diào)性1．[多選]下列函數(shù)中，在(0，＋∞)內(nèi)為增函數(shù)的是(　　)A．y＝sin x　　　　　 B．y＝xexC．y＝x3＋x  D．y＝ln x－x解析：選BC　對于B，y′＝(xex)′＝ex＋xex＝ex(x＋1)>0在(0，＋∞)上恒成立，∴y＝xex在(0，＋∞)上為增函數(shù)．對于C，y′＝3x2＋1＞0在(0，＋∞)上恒成立，∴y＝x3＋x在(0，＋∞)上為增函數(shù)．對于A、D都存在x>0，使y′<0的情況．2．函數(shù)f(x)＝ln x－x的單調(diào)遞減區(qū)間為(　　)A．(－∞，0)，(1，＋∞)B．(－∞，0)∪(1，＋∞)C．(1，＋∞)D．(0,1)解析：選C　由題可得f′(x)＝－1＝(x>0)，令f′(x)<0，即<0，解得x>1或x<0，又因為x>0，所以x>1.故選C.3．已知函數(shù)f(x)＝x3－mx2＋4x－3在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍為(　　)A．[4,5]  B．[2,4]C．(－∞，2]  D．(－∞，4]解析：選D　由題得f′(x)＝x2－mx＋4，要使函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù)，則f′(x)≥0在[1,2]上恒成立，即x2－mx＋4≥0在[1,2]上恒成立，即m≤＝x＋在[1,2]上恒成立，又x＋≥2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2時，等號成立，所以m≤4.4.已知函數(shù)y＝xf′(x)的圖象如圖所示(其中f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù))，下面四個圖象中，y＝f(x)的圖象大致是(　　)  解析：選C　當(dāng)0<x<1時，xf′(x)<0，∴f′(x)<0，故y＝f(x)在(0,1)上為減函數(shù)，排除A、B.當(dāng)x>1時，xf′(x)>0，∴f′(x)>0，故y＝f(x)在(1，＋∞)上為增函數(shù)，排除D，故選C.5．[多選]若函數(shù)f(x)＝ax3－3x2＋x＋1恰好有三個單調(diào)區(qū)間，則實數(shù)a的值可以是(　　)A．－2  B．0C．1  D．3解析：選AC　∵函數(shù)f(x)＝ax3－3x2＋x＋1，∴f′(x)＝3ax2－6x＋1.由函數(shù)f(x)恰好有三個單調(diào)區(qū)間，得f′(x)有兩個不相等的零點，∴3ax2－6x＋1＝0滿足a≠0，且Δ＝36－12a>0，解得a<3，且a≠0，∴a∈(－∞，0)∪(0,3)．結(jié)合選項可知A、C符合題意，故選A、C.6．已知函數(shù)f(x)＝x2－5x＋2ln 2x，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為________．解析：因為f(x)＝x2－5x＋2ln 2x，x>0，所以f′(x)＝2x－5＋＝＝.由f′(x)>0可得(2x－1)(x－2)>0，所以x>2或0<x<，即f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，(2，＋∞)．答案：，(2，＋∞)7．若函數(shù)y＝ax3－ax2－2ax(a≠0)在[－1,2]上為增函數(shù)，則a的取值范圍為________．解析：y′＝ax2－ax－2a＝a(x＋1)(x－2)>0，∵當(dāng)x∈(－1,2)時，(x＋1)(x－2)<0，∴a<0.答案：(－∞，0)8．若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是減函數(shù)，則b的取值范圍是________．解析：∵f(x)在(－1，＋∞)上為減函數(shù)，∴f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立，∵f′(x)＝－x＋，∴－x＋≤0，∵b≤x(x＋2)在(－1，＋∞)上恒成立，令g(x)＝x(x＋2)＝(x＋1)2－1，∴g(x)min＝－1，∴b≤－1.答案：(－∞，－1]9．已知函數(shù)f(x)＝x3－3ax－1，a≠0，求f(x)的單調(diào)區(qū)間．解：f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，當(dāng)a<0時，對任意x∈R，都有f′(x)>0，即a<0時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，＋∞)．當(dāng)a>0時，由f′(x)>0，解得x>或x<－，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－)，(，＋∞)；由f′(x)<0，解得－<x<，所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－，)．即a>0時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－)，(，＋∞)；f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－，)．10．已知a∈R，函數(shù)f(x)＝x3－6x2＋3(4－a)x.(1)若曲線y＝f(x)在點(3，f(3))處的切線與直線x－3y＝0垂直，求a的值；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,4)上單調(diào)遞減，求a的取值范圍．解：(1)因為f′(x)＝3x2－12x＋12－3a，所以曲線y＝f(x)在點(3，f(3))處的切線斜率k＝f′(3)＝27－36＋12－3a＝3－3a.而直線x－3y＝0的斜率為，則3－3a＝－3，得a＝2.(2)由f(x)在(1,4)上單調(diào)遞減，得f′(x)＝3x2－12x＋12－3a≤0在(1,4)上恒成立，即a≥x2－4x＋4在(1,4)上恒成立，所以a≥(x2－4x＋4)max＝4，所以a的取值范圍是[4，＋∞)． 1．已知函數(shù)f(x)，g(x)對任意實數(shù)x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且當(dāng)x>0時，有f′(x)>0，g′(x)>0，則當(dāng)x<0時，有(　　)A．f′(x)>0，g′(x)>0B．f′(x)>0，g′(x)<0C．f′(x)<0，g′(x)>0D．f′(x)<0，g′(x)<0解析：選B　由已知，得f(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)．∵當(dāng)x>0時，f′(x)>0，g′(x)>0，∴f(x)，g(x)在(0，＋∞)上均單調(diào)遞增，∴f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，g(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，∴當(dāng)x<0時，f′(x)>0，g′(x)<0.2．已知函數(shù)f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上為減函數(shù)，函數(shù)g(x)＝x2－aln x在(1,2)上為增函數(shù)，則a＝(　　)A．1  B．2C．0  D．解析：選B　∵函數(shù)f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上為減函數(shù)，∴≥1，得a≥2.g′(x)＝2x－，依題意g′(x)≥0在(1,2)上恒成立，即2x2≥a在x∈(1,2)時恒成立，有a≤2，∴a＝2.3．已知函數(shù)f(x)＝，當(dāng)1<x<3時，下列關(guān)系正確的是(　　)A．f()<f(x)<f2(x)B．f(x)<f()<f2(x)C．f2(x)<f()<f(x)D．f2(x)<f(x)<f()解析：選A　由題意得f′(x)＝，當(dāng)1<x<3時，f′(x)>0，所以f(x)在(1,3)上單調(diào)遞增．又1<<x<3，所以f()<f(x)．由f(x)在(1,3)上單調(diào)遞增，可知當(dāng)x∈(1,3)時，f(x)>f(1)＝e，所以f2(x)>f(x)．綜上，f()<f(x)<f2(x)．4．已知函數(shù)f(x)＝x2－9ln x在區(qū)間[a－1，a＋1]上單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍．解：函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，因為f(x)＝x2－9ln x，所以f′(x)＝x－＝.當(dāng)0<x<3時，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，又函數(shù)f(x)＝x2－9ln x在區(qū)間[a－1，a＋1]上單調(diào)遞減，所以解得1<a≤2，所以實數(shù)a的取值范圍為(1,2]．5．若函數(shù)f(x)是定義域D內(nèi)某個區(qū)間I上的增函數(shù)，且F(x)＝在I上是減函數(shù)，則稱函數(shù)f(x)是I上的“單反減函數(shù)”．已知f(x)＝ln x，g(x)＝2x＋＋aln x(a∈R)．(1)判斷函數(shù)f(x)在(0,1)上是否是“單反減函數(shù)”；(2)若函數(shù)g(x)是[1，＋∞)上的“單反減函數(shù)”，求實數(shù)a的取值范圍．解：(1)函數(shù)f(x)＝ln x在(0,1)上是增函數(shù)．∵F(x)＝＝，∴F′(x)＝，∴當(dāng)x∈(0,1)時，F′(x)>0，∴F(x)在(0,1)上為增函數(shù)，∴函數(shù)f(x)在(0,1)上不是“單反減函數(shù)”．(2)∵g(x)＝2x＋＋aln x，∴g′(x)＝.∵函數(shù)g(x)是[1，＋∞)上的“單反減函數(shù)”，∴g(x)在[1，＋∞)上是增函數(shù)，∴g′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，令h(x)＝2x2＋ax－2，則h(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，∴h(1)≥0，解得a≥0.令G(x)＝，則G(x)＝2＋＋在[1，＋∞)上是減函數(shù)．又G′(x)＝－＋，∴G′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，即－＋≤0在x∈[1，＋∞)上恒成立，即ax－axln x－4≤0在x∈[1，＋∞)上恒成立．令P(x)＝ax－axln x－4，則P′(x)＝－aln x，∴解得0≤a≤4.綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為[0,4]．

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5.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用

版本： 人教A版 (2019)

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