專題11.1 與三角形有關(guān)的線段（能力提升）-2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊《同步考點解讀·專題訓(xùn)練》（人教版）一、選擇題．1．三角形一邊上的中線把原三角形分成兩個（   ）A．形狀相同的三角形 B．面積相等的三角形C．直角三角形         D．周長相等的三角形2．畫△ABC中AC邊上的高，下列四個畫法中正確的是（　?。?/span>A． B．C．  D．3．已知三角形的兩邊長分別為3cm和5cm，則該三角形的第三邊的長度可能是（    ）A．5cm B．2cm C．8cm D．15cm4．以下列數(shù)據(jù)為長度的三條線段，能組成三角形的是（  ）A．2 cm、3cm、5cm B．2 cm、3 cm、4 cmC．3 cm、5 cm、9 cm D．8 cm、4 cm、4 cm5．下列關(guān)于三角形的分類，有如圖所示的甲、乙兩種分法，則（   ）A．甲分法錯誤，乙分法正確 B．甲分法正確，乙分法錯誤C．甲、乙兩種分法均正確 D．甲、乙兩種分法均錯誤6．下列各組數(shù)中，不可能成為一個三角形的三邊的長的一組數(shù)是（  ）A．5，6，7 B．5，7，13 C．5，8，8 D．5，12，137．下列三條線段能組成三角形的是（　　）A．7、17、10 B．17、10、24 C．24、17、6 D．2、2、8．如圖，CM是△ABC的中線，△BCM的周長比△ACM的周長大3cm，BC＝8cm，則AC的長為（    ）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm9．如圖中，三角形的個數(shù)為(   )A．3個 B．4個 C．5個 D．6個10．如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC平分∠BAD，AB＞AD，下列結(jié)論正確的是（    ）A．           B．C．           D．的大小關(guān)系不確定二、填空題．11．若△ABC中，∠ACB是鈍角，AD是BC邊上的高，若AD＝2，BD＝3．CD＝1，則△ABC的面積等于_____．12．如果將長度為a-2、a+5和a+2的三根線段首尾順次相接可以得到一個三角形，那么a的取值范圍是________________13．BD是△ABC的中線，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周長的差是_____．14．木工師傅有兩根長分別為80cm、150cm的木條，要再找一根木條，將它們釘成一個三角形框架，現(xiàn)有70cm、200cm、300cm三根木條，他可選擇長為______的木條．15．三個數(shù)3，在數(shù)軸上從左到右依次排列，且以這三個數(shù)為邊長能構(gòu)成三角形，則的取值范圍為______16．如圖，直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于點D，AB＝3，AD＝1.8，BD＝2.4，DC＝3.2，BC＝4，則點A到BD的距離是______．17．如圖，李叔叔家的凳子壞了，于是他給凳子加了兩根木條，這樣凳子就比較牢固了，他所應(yīng)用的數(shù)學(xué)原理是__________________．18．小明用5根木條釘了一個五邊形框架，發(fā)現(xiàn)它很容易變形，為了使這個框架不變形，他至少要釘________ 根木條加固．三、解答題．19．已知在△ABC中，AB＝2，BC＝3，AC的長為奇數(shù)，求AC的長．    20．已知a，b，c是的三邊長，且，若三角形的周長是小于18的偶數(shù)．（1）求c的值；（2）判斷的形狀．     21．如圖，在三角形ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，D是BC的中點，E點在邊AB上．（1）若三角形BDE的周長與四邊形ACDE的周長相等，求線段AE的長．（2）若三角形ABC的周長被DE分成的兩部分的差是2cm，求線段AE的長．     22．如圖，在△ABC中，CD是中線，已知BC﹣AC＝5cm，△DBC的周長為25cm，求△ADC的周長．    23．已知：如圖，點D是△ABC內(nèi)一點．求證：(1)BD＋CD＜AB＋AC；(2)AD＋BD＋CD＜AB＋BC＋AC．    24．已知△ABC的周長為33cm，AD是BC邊上的中線，．(1)如圖，當(dāng)AC＝10cm時，求BD的長．(2)若AC＝12cm，能否求出DC的長？為什么？   25．在中，，為的中線，且將周長分為12cm與15cm兩部分，求三角形各邊長． 26．某木材市場上木棒規(guī)格與價格如下表：規(guī)格1m2m3m4m5m6m價格（元/根）101520253035 小明的爺爺要做一個三角形的木架養(yǎng)魚用，現(xiàn)有兩根長度分別為3m和5m的木棒，還需要到某木材市場上購買一根．（1）有幾種規(guī)格木棒可供小明的爺爺選擇？（2）選擇哪一種規(guī)格木棒最省錢？
參考答案：1．B【分析】根據(jù)三角形的面積公式以及三角形的中線定義，知三角形的一邊上的中線把三角形分成了等底同高的兩個三角形，所以它們的面積相等．【詳解】解：三角形一邊上的中線把原三角形分成兩個面積相等的三角形．故選：B．【點睛】考查了三角形的中線的概念．構(gòu)造面積相等的兩個三角形時，注意考慮三角形的中線．2．C【分析】結(jié)合題意，根據(jù)三角形高的定義逐一分析，即可得到答案．【詳解】選項A是中BC邊上的高，故不符合題意；選項B不是的高，故不符合題意；選項C是中AC邊上的高，故符合題意；選項D為中邊上的高，故不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了三角形的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形高的定義，從而完成求解．3．A【分析】直接根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可得．【詳解】解：設(shè)第三邊的長度為，由題意得：，即，觀察四個選項可知，只有選項A符合，故選：A．【點睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的三邊關(guān)系：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．4．B【分析】三角形的任何一邊大于其他兩邊之差，小于兩邊之和，滿足此關(guān)系的可組成三角形，其實只要最小兩邊的和大于最大邊就可判斷前面的三邊關(guān)系成立．【詳解】A、2+3=5，故本選項錯誤．B、2+3＞4，故本選項正確．C、3+5＜9，故本選項錯誤．D、4+4=8，故本選項錯誤．故選B．【點睛】本題考查三角形的三邊關(guān)系，根據(jù)三角形的任何一邊大于其他兩邊之差，小于兩邊之和，滿足此關(guān)系的可組成三角形．5．A【分析】根據(jù)三角形的分類可直接選出答案．【詳解】按邊分類：不等邊三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等邊三角形）；按角分類：銳角三角形，直角三角形，鈍角三角形．∴甲分法錯誤，乙分法正確．故選：A．【點睛】本題主要考查了三角形的分類，關(guān)鍵是掌握分類方法．根據(jù)三角形角、邊的特點，按邊或按角分類．6．B【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理判斷即可．【詳解】解：A、∵5+6=11＞7，∴能組成三角形，故A不符合題意；B、∵5+7=12<13，∴不能組成三角形，故B符合題意；C、∵5+8=13＞8，∴能組成三角形，故C不符合題意；D、∵5+12=17＞13，∴能組成三角形，故D不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，掌握三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊是解題的關(guān)鍵．7．B【分析】本題根據(jù)三角形三邊關(guān)系逐個判斷是否滿足條件即可選出正確答案．【詳解】解：A. 7+10＝17，不滿足任意兩邊之和大于第三邊，不能組成，故錯誤，B.17+10＞24，滿足任意兩邊之和大于第三邊，能組成，故正確，C.6+17＜24，不滿足任意兩邊之和大于第三邊，不能組成，故錯誤，D.2+2＜ ，不滿足任意兩邊之和大于第三邊，不能組成，故錯誤．故選：B．【點睛】本題考查三角形三邊關(guān)系，根據(jù)三角形三邊關(guān)系逐個判斷是否滿足條件即可選出正確答案，解答問題的關(guān)鍵是掌握三角形的三邊關(guān)系．8．C【分析】根據(jù)三角形中線的特點進(jìn)行解答即可．【詳解】∵CM為△ABC的AB邊上的中線，∴AM＝BM，∵△BCM的周長比△ACM的周長大3cm，∴（BC+BM+CM）﹣（AC+AM+CM）＝3cm，∴BC﹣AC＝3cm，∵BC＝8cm，∴AC＝5cm，故選：C．【點睛】本題考查三角形中線，掌握相關(guān)知識是解決本題的關(guān)鍵．9．C【詳解】根據(jù)圖示知，圖中的三角形有：△ABE，△ABC，△DEC，△DBC，△EBC，共有5個．故選C．10．A【詳解】如圖，在AB上截取AE=AD，連接CE．∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，又AC是公共邊，∴△AEC≌△ADC(SAS)，∴AE=AD，CE=CD，∴AB?AD=AB?AE=BE，BC?CD=BC?CE，∵在△BCE中，BE>BC?CE，∴AB?AD>CB?CD．故選A．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的任意兩邊之和大于第三邊，熟記性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．11．2【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，求出BC，再根據(jù)三角形的面積公式列式計算即可．【詳解】解：如圖．∵BD＝3，CD＝1，∴BC＝BD﹣CD＝2，又∵AD是BC邊上的高，AD＝2，∴△ABC的面積＝BC?AD＝×2×2＝2．故答案為2．【點睛】本題考查了三角形的面積，三角形的高的定義，掌握鈍角三角形的高的畫法進(jìn)而畫出圖形是解題的關(guān)鍵．12．a＞5【詳解】因為?2<2<5，所以a?2< a+2< a+5，所以由三角形三邊關(guān)系可得a?2+a+2>a+5，解得a>5．故答案為：a＞513．2【分析】根據(jù)三角形的中線的定義可得AD＝CD，再求出△ABD和△BCD的周長的差＝AB﹣BC．【詳解】∵BD是△ABC的中線，∴AD＝CD，∴△ABD和△BCD的周長的差＝（AB+BD+AD）﹣（BC+BD+CD）＝AB﹣BC，∵AB＝5，BC＝3，∴△ABD和△BCD的周長的差＝5﹣3＝2．故答案為2．【點睛】本題考查了三角形的角平分線、中線和高線，熟記概念并求出兩個三角形的周長的差等于AB﹣BC是解題的關(guān)鍵．14．200cm【分析】設(shè)第三邊長為xcm，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求出x的取值范圍，找出符合條件的木條即可．【詳解】設(shè)第三邊長為xcm，∵木工師傅有兩根長分別為80cm、150cm的木條，∴150?80x150+80，即70x230，故符合條件木條的長度應(yīng)在70cm與230cm之間，故答案為：200cm．【點睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．15．【分析】根據(jù)三個數(shù)在數(shù)軸上的位置得到，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得到，求解不等式組即可．【詳解】解：∵3，在數(shù)軸上從左到右依次排列，∴，解得，∵這三個數(shù)為邊長能構(gòu)成三角形，∴，解得，綜上所述，的取值范圍為，故答案為：．【點睛】本題考查不等式組的應(yīng)用、三角形的三邊關(guān)系，根據(jù)題意列出不等式組是解題的關(guān)鍵．16．1.8【分析】根據(jù)點到直線的距離的概念解答即可．【詳解】解：∵BD⊥AC，AD=1.8，∴點A到BD的距離為1.8，故答案為：1.8．【點睛】本題考查的是三角形的高的概念，從三角形的一個頂點向底邊作垂線，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高．17．三角形的穩(wěn)定性．【分析】根據(jù)三角形的穩(wěn)定性進(jìn)行解答．【詳解】解：給凳子加了兩根木條之后形成了三角形，所以“這樣凳子就比較牢固了”的數(shù)學(xué)原理是：三角形的穩(wěn)定性，故答案為：三角形的穩(wěn)定性．【點睛】此題主要考查了三角形的穩(wěn)定性，是需要記憶的知識．18．2【詳解】如圖所示，加固2根木條即可，故答案為2．19．3【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系可進(jìn)行求解．【詳解】解：由題意得：3﹣2＜AC＜3+2，即：1＜AC＜5，∵AC為奇數(shù)，∴AC＝3．【點睛】本題主要考查三角形三邊關(guān)系，熟練掌握三角形三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．20．（1）4或6；（2）等腰三角形【分析】（1）根據(jù)三角形三邊關(guān)系和周長的最小值列式計算即可；（2）根據(jù)（1）可得c，根據(jù)已知條件得到a=c，即可得到結(jié)果；【詳解】（1）∵的周長為，且周長小于18，即，．又∵三角形的周長是小于18的偶數(shù)，即為偶數(shù)，∴c為小于8的偶數(shù)，則c可以是2，4，6．∵當(dāng)時，，不能構(gòu)成三角形，故舍去，∴c的值為4或6．（2）由（1）得當(dāng)時，有；當(dāng)時，有，為等腰三角形．【點睛】本題主要考查了三角形三邊關(guān)系及三角形形狀判斷的知識點，準(zhǔn)確理解是解題的關(guān)鍵．21．（1）；（2）或．【分析】（1）由圖可知三角形的周長，四邊形的周長，，所以，則可解得；（2）由三角形的周長被分成的兩部分的差是2，可得方程①或②．解得或．【詳解】解：（1）由圖可知三角形的周長，四邊形的周長，又三角形的周長與四邊形的周長相等，為中點，，，即，又，，，，．（2）由三角形的周長被分成的兩部分的差是2，可得方程①當(dāng)時，即：，解得：，②當(dāng)時．即：，解得．故長為或．【點睛】本題考查了三角形中線性質(zhì)，三角形周長的計算，關(guān)鍵是要學(xué)會分類討論的思想思考問題．22．20cm【分析】根據(jù)三角形的中線的定義可得AD=BD，然后根據(jù)三角形的周長的定義求出△DBC的周長-△ADC的周長=BC-AC，代入數(shù)據(jù)計算即可得解．【詳解】解：∵CD是中線，∴AD＝BD，∴△DBC的周長﹣△ADC的周長＝（BC+BD+CD）﹣（AC+AD+CD）＝BC﹣AC，∵BC﹣AC＝5cm，△DBC的周長為25cm，∴25﹣△ADC的周長＝5，解得，△ADC的周長＝20cm．【點睛】本題考查了三角形的中線的定義，熟記概念并求出兩個三角形的周長的差等于BC-AC是解題的關(guān)鍵．23．(1)見解析(2)見解析 【分析】（1）延長BD交AC于E，從而找到BD＋CD與AB＋AC的中間量BE+CE，再利用不等式的傳遞性(若a<b，b<c，則a<c．)得出BD＋CD＜AB＋AC ；（2）同理可得AD+CD<AB+BC，BD+AD<BC+AC，與（1）結(jié)論左邊加左邊，右邊加右邊，再兩邊除以2即可．【詳解】（1）證明：延長BD交AC于E，在△ABE中，有AB+AE＞BE，∴AB＋AC=AB+AE+CE＞BE+CE，在△EDC中，有DE+CE＞CD，∴BE+CE= BD+DE+CE＞BD+CD，∴AB＋AC＞BE+CE＞BD+CD，∴BD＋CD＜AB＋AC；（2）解：由（1）同理可得：BD＋CD＜AB＋AC①， AD＋CD＜AB＋BC②，BD＋AD＜BC＋AC③，①+②+③得：2（AD+BD+CD）<2（AB+BC+AC），∴AD+BD+CD<AB+BC+AC．【點睛】本題考查三角形的三邊關(guān)系，不等式的性質(zhì)，能否根據(jù)題意添加輔助線和利用不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．24．(1)4cm(2)不能，見解析 【分析】（1）先根據(jù)AB和AC的關(guān)系算出AB的長度，然后根據(jù)周長計算出BC，再利用中線算出BD即可；（2）先求出AB和BC的長度，發(fā)現(xiàn)不能構(gòu)成三角形，因此不能求出DC的長．（1）解：（1）∵，AC＝10cm，∴AB＝15cm．又∵△ABC的周長是33cm，即∴∵AD是BC邊上的中線，∴．（2）（2）不能，理由如下：∵，AC＝12cm，∴AB＝18cm．又∵△ABC的周長是33cm，∴BC＝3cm．∵AC+BC＝15cm＜AB＝18cm，∴不能構(gòu)成三角形ABC，∴不能求出DC的長．【點睛】本題主要考查中線的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，根據(jù)條件計算出BC的長度是解題的關(guān)鍵．第二問容易忽略三角形的三邊關(guān)系，這是易錯點．25．AB＝AC＝8，BC＝11或AB＝AC＝10，BC＝7．【分析】根據(jù)中線的定義得到AD＝CD，設(shè)AD＝CD＝x，則AB＝2x，分類討論：當(dāng)AD+AB＝12，BC+CD＝15；當(dāng)AD+AB＝15，BC+CD＝12，然后分別求出x和BC，即可得到三角形三邊的長．【詳解】解：∵DB為△ABC的中線，∴AD＝CD．設(shè)AD＝CD＝x，則AB=AC＝2x．分兩種情況討論：①當(dāng)AD+AB＝12，BC+CD＝15時，即x＋2x＝12，BC＋x＝15，解得：x＝4，BC＝11，此時△ABC的三邊長為：AB＝AC＝8，BC＝11；②當(dāng)AD+AB＝15，BC+CD＝12時，即x＋2x＝15，BC＋x＝12，解得：x＝5，BC＝7，此時△ABC的三邊長為：AB＝AC＝10，BC＝7．綜上所述：AB＝AC＝8，BC＝11或AB＝AC＝10，BC＝7．【點睛】本題考查了中線的定義以及等腰三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握方程思想、分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．26．（1）4種；（2）3m【分析】（1）根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得5-3＜x＜5+3，再解出不等式組可得x的取值范圍，進(jìn)而得到選擇的木棒長度；（2）根據(jù)木棒價格可直接選出答案．【詳解】解：（1）設(shè)第三根木棒的長度為xm，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得：5﹣3＜x＜5＋3，解得2＜x＜8，結(jié)合題干信息可得：x＝3，4，5，6．共4種選擇．（2）根據(jù)木棒的價格可得選3m最省錢．【點睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊．三角形的兩邊差小于第三邊．

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