1．探索并證明正方形的判定，了解平行四邊形、矩形、菱形之間的聯(lián)系和區(qū)別；2．會(huì)運(yùn)用正方形的判定條件進(jìn)行有關(guān)的論證和計(jì)算 .3.探索并證明正方形的判定，并了解平行四邊形、 矩形、菱形之間的聯(lián)系和區(qū)別.（重點(diǎn)）4.會(huì)運(yùn)用正方形的判定條件進(jìn)行有關(guān)的論證和計(jì)算 .（難點(diǎn)）
有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形。
正方形的對(duì)角線相等并且互相垂直平分.
正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊相等.
如圖，將一張長(zhǎng)方形紙對(duì)折兩次，然后剪下一個(gè)角，打開．怎樣剪才能剪出一個(gè)正方形？
提示：剪口線與折痕成45°角即可。
滿足什么條件的矩形是正方形？滿足什么條件的菱形是正方形？請(qǐng)證明你的結(jié)論，并與同伴交流．
活動(dòng)1 準(zhǔn)備一張矩形的紙片，按照下圖折疊,然后展開，折疊部分得到一個(gè)正方形，可量一量驗(yàn)證驗(yàn)證.
猜想 滿足怎樣條件的矩形是正方形？
活動(dòng)2 把可以活動(dòng)的菱形框架的一個(gè)角變?yōu)橹苯牵^察這時(shí)菱形框架的形狀.量量看是不是正方形.
猜想 滿足怎樣條件的菱形是正方形？
定理：有一組鄰邊相等的矩形是正方形.
已知：ABCD是矩形，且AB=BC，試證明，ABCD是正方形.
證明：∵ABCD 是矩形，∴∠A = 90°，又∵AB = BC，∴ABCD 是正方形（正方形的定義）.
已知：ABCD是矩形，AC⊥BD，試證明，ABCD是正方形.
證明：∵ABCD 是矩形，∴∠A=90°，OA=OB=OC=OD又∵AC⊥BD，∴△AOB≌△AOD（SAS）∴AB=AD∴ABCD 是正方形（正方形的定義）.
定理：對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形.
定理：有一個(gè)角是直角的菱形是正方形.
已知：ABCD是菱形，∠A=90°，試證明，ABCD是正方形.
證明：∵ABCD 是菱形，∴ AB = BC = CD = DA，又∵∠A = 90° ，∴ABCD 是正方形（正方形的定義）.
定理：對(duì)角線相等的菱形是正方形.
已知：ABCD是菱形，AC=BD，試證明，ABCD是正方形.
證明：∵ABCD 是菱形，∴ AB = BC = CD = DA，OA = OC = OB = OD∴AC⊥BD（菱形對(duì)角線互相垂直）又∵AC = BD ，∴△AOB、△AOD、△BOC、△COD都是等腰直角三角形.∴∠ABC = 90°.∴ABCD 是正方形（正方形的定義）.
例1.已知：如圖，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE，求證：四邊形 BECF 是正方形.
證明: ∵ BF∥CE,CF∥BE， ∴四邊形BECF是平行四邊形. ∵四邊形ABCD是矩形, ∴ ∠ABC = 90°, ∠DCB = 90°, ∵BE平分∠ABC, CE平分∠ DCB, ∴∠EBC = 45°, ∠ECB = 45°, ∴ ∠ EBC =∠ ECB . ∴ EB=EC,∴□ BECF是菱形 . 在△EBC中 ∵ ∠EBC = 45°,∠ECB = 45°, ∴∠BEC = 90°, ∴菱形BECF是正方形.
如圖，任意畫一個(gè)四邊形，以四邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)組成一個(gè)新四邊形，這個(gè)新四邊形的形狀有什么特征？正方形的中點(diǎn)四邊形會(huì)是什么形狀？
任意四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形.
三角形的中位線平行于第三邊并且等于它的一半．
已知：如圖，點(diǎn) E，F(xiàn)，G，H 分別是正方形ABCD 各邊的中點(diǎn).求證：四邊形 EFGH為正方形.
證明：連接 AC，BD，∵ E，F(xiàn) 分別是 AB 和 BC 邊中點(diǎn)，∴ EF∥AC 且EF = AC，同理可證 HG∥AC 且HG = AC，EH∥BD且 EH = BD，F(xiàn)G∥BD且FG = BD.∴四邊形 PFQO 為平行四邊形.
菱形的中點(diǎn)四邊形會(huì)是什么形狀？矩形的中點(diǎn)四邊形會(huì)是什么形狀？
菱形的中點(diǎn)四邊形是矩形.
矩形的中點(diǎn)四邊形是菱形.
已知：如圖，點(diǎn) E，F(xiàn)，G，H 分別是菱形 ABCD 各邊的中點(diǎn). 求證：四邊形 EFGH 為矩形.
證明：連接 AC，BD，∵ E，F(xiàn)分別是 AB 和 BC 邊中點(diǎn)，∴ EF∥AC，同理可證 HG∥AC，EH∥BD，F(xiàn)G∥BD.∴EF∥HG，EH∥FG，∴四邊形 EFGH ，PFQO 為平行四邊形.又∵四邊形 ABCD 是菱形∴AC⊥BD（菱形的對(duì)角線互相垂直），∴∠1=90°，∠2=90°.∴四邊形 EFGH 是矩形（矩形的定義）
已知：如圖，點(diǎn) E，F(xiàn)，G，H 分別是矩形 ABCD 各邊的中點(diǎn). 求證：四邊形 EFGH 為菱形.
證明：連接 AC，BD，∵ E，F(xiàn) 分別是 AB 和 BC 邊中點(diǎn)，∴EF∥AC 且 EF = AC，同理可證 HG∥AC且HG = AC，EH∥BD且EH= BD，F(xiàn)G∥BD且FG= BD.∴四邊形 EFGH 為平行四邊形.又∵四邊形 ABCD是矩形∴AC=BD（矩形的對(duì)角線相等），∴EF=EH∴四邊形 EFGH 是菱形（菱形的定義）
例2.在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、M、N分別在各邊上，且AE=BF=CM=DN．四邊形EFMN是正方形嗎?為什么?
∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM,∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF,∴四邊形EFMN是菱形，∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF）=180°－（∠AEN+∠ANE）=180°－90°=90°.∴四邊形EFMN是正方形 .
證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.∵AE=BF=CM=DN，∴AN=BE=CF=DM.在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中，AE=BF=CM=DN,∠A=∠B=∠C=∠D,AN=BE=CF=DM,
1.下列命題正確的是（ ） A.四個(gè)角都相等的四邊形是正方形 B.四條邊都相等的四邊形是正方形 C.對(duì)角線相等的平行四邊形是正方形 D.對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形
2.已知四邊形ABCD是平行四邊形，再?gòu)蘑貯B=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四個(gè)條件中，選兩個(gè)作為補(bǔ)充條件后，使得四邊形ABCD是正方形，其中錯(cuò)誤的是___________（只填寫序號(hào)）．
3.如圖，在四邊形ABCD中, AB=BC ,對(duì)角線BD平分?ABC , P是BD上一點(diǎn),過點(diǎn)P作PM?AD , PN?CD ,垂足分別為M、N.(1) 求證：?ADB=?CDB;(2) 若?ADC=90?,求證：四邊形MPND是正方形.

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3 正方形的性質(zhì)與判定

版本： 北師大版

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