初中數(shù)學(xué)人教版九年級下冊27.2.3 相似三角形應(yīng)用舉例一課一練

這是一份初中數(shù)學(xué)人教版九年級下冊27.2.3 相似三角形應(yīng)用舉例一課一練，共30頁。試卷主要包含了單選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
?專題27.28 相似三角形幾何模型-A型圖（鞏固篇）
（專項(xiàng)練習(xí)）
一、單選題
1．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB、AC上，下列條件中不能判斷△ABC∽△ADE的是（?????）

A．∠ADE＝∠B B．∠AED＝∠C C． D．
2．如圖，已知BC交AD于點(diǎn)E，AB∥EF∥CD，那么圖中相似的三角形共有（　?。?br />
A．1對 B．2對 C．3對 D．4對
3．如圖，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足為點(diǎn) D．下列說法中：①∠B的余角只有∠BAD；②∠B=∠C；③線段 AB 的長度表示點(diǎn) B 到直線 AC 的距離；④AB·AC=BC·AD；一定正確的有(???????)

A．1 個(gè) B．2 個(gè) C．3 個(gè) D．4 個(gè)
4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P（3，3），A（0，1），B（4，1），射線PA，PB與x軸分別交于點(diǎn)C，D，則CD＝（　?。?br />
A．6 B．5.5 C．4.5 D．3
5．如圖，在中，點(diǎn)D在AB上，，交AC于點(diǎn)E，則下列結(jié)論正確的是（???????）

A． B． C． D．
6．如圖，在矩形ABCD中，，，點(diǎn)E在BC邊上，，垂足為F．若，則線段EF的長為（???????）．

A．2 B．2.5 C．4 D．3
7．如圖，，，，D為上一點(diǎn)，且，在上取一點(diǎn)E，使以A、D、E為頂點(diǎn)的三角形與相似，則等于（???????）

A．或 B．10或 C．或10 D．以上答案都不對
8．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8．E是BC上一點(diǎn)，BE＝5，DE⊥AB，垂足為D，則DE的長為（　?。?br />
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如圖，口BDEF頂點(diǎn)D、E、F分別在△ABC的三邊上，則下列比例式不成立的是(?????)

A． B． C． D．
10．如圖，在中，//，//，下列結(jié)論一定正確的是（???????）

A． B． C． D．
二、填空題
11．如圖，在中，若DEBC，且：：，則______．

12．如圖，中，，點(diǎn)D是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D與點(diǎn)不重合），若再增加一個(gè)條件，就能使與相似，則這個(gè)條件可以是____（寫出一個(gè)即可）．

13．如圖，中，，、分別是邊、上的點(diǎn)，且與不平行．不再添加其它字母和線段，請你填上一個(gè)合適的條件，使，你填的條件是__________________．

14．如圖，點(diǎn)O是內(nèi)任意一點(diǎn)，且，，，則______，其相似比為______.

15．已知：如圖，在中，、是上兩點(diǎn)，且是等邊三角形，，則的度數(shù)是________．

16．如圖，已知，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，，則AB的長為______．

17．如圖，在△ABC中，AB=9、BC=6，∠ACB=2∠A，CD平分∠ACB交于AB點(diǎn)D，點(diǎn)M是AC一動(dòng)點(diǎn)（AM＜AC），將△ADM沿DM折疊得到△EDM，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，ED與AC交于點(diǎn)F，則CD的長度是__________；若ME//CD，則AM的長度是___________；

18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，，……在x軸上且，，，……按此規(guī)律，過點(diǎn)，，，……作x軸的垂線分別與直線交于點(diǎn)，，，……記，，，……的面積分別為，，，……，則______．

19．圖，中，，在BC的延長線上截取，連接AD，過點(diǎn)B作于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，連接DF，點(diǎn)P為射線BE上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，，當(dāng)與相似時(shí)，BP的長為__________．

20．如圖，E是正方形ABCD的邊CD上的一點(diǎn)，連接AE，點(diǎn)F為AE的中點(diǎn)，過點(diǎn)F作AE的垂線分別交AD，BC于點(diǎn)M，N，連接AN，若，則△AMN的面積為_________．

三、解答題
21．如圖，在中，，，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿著邊AB向點(diǎn)B以的速度移動(dòng)（不與點(diǎn)B重合），動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿著邊BC向點(diǎn)C以的速度移動(dòng)（不與點(diǎn)C重合）．若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)移動(dòng)．
(1 )當(dāng)移動(dòng)幾秒時(shí)，的面積為．
(2) 設(shè)四邊形APQC的面積為，當(dāng)移動(dòng)幾秒時(shí)，四邊形APQC的面積為？
(3) 當(dāng)移動(dòng)幾秒時(shí)，與相似？





22．如圖，在中，，，，將沿著圖示中虛線剪開，使剪下的小三角形與相似，下面有四種不同的剪法．


(1)請選擇其中一種正確的剪法______（填序號）；
(2)寫出所選剪法中兩個(gè)三角形相似的證明過程．




23．（1）如圖1，在△ABC中，D為AB上一點(diǎn)，∠BCD=∠A，求證：BC2=BD?AB
（2）如圖2，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，CD平分∠ACB，若BC=1，求AB的長．







24．如圖，已知的頂點(diǎn)E在的邊BC上，DE與AB相交于點(diǎn)F，，．
(1) 若，求AE；
(2) 求證：．






25．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)（與B，C不重合），連接AD，過點(diǎn)C作CE⊥AD交AB于點(diǎn)E，設(shè)CD＝a，
(1) 求證：∠CAD＝∠BCE；
(2) 當(dāng)a＝時(shí)，求BE的長；
(3) 探究的值（用含a的代數(shù)式表示）．



















26．某天晚上，小明看到人民廣場的人行橫道兩側(cè)都有路燈，想起老師數(shù)學(xué)課上學(xué)習(xí)身高與影長的相關(guān)知識，于是自己也想實(shí)際探究一下．為了探究自己在兩路燈下的影長和在兩路燈之間的位置關(guān)系，小明在網(wǎng)上從有關(guān)部門查得左側(cè)路燈（AB）的高度為4.8米，右側(cè)路燈（CD）的高度為6.4米，兩路燈之間的距離（BD）為12米，已知小明的身高（EF）為1.6米，然后小明在兩路燈之間的線段上行走（如圖所示），測量相關(guān)數(shù)據(jù)．

(1)若小明站在人行橫道的中央（點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)）時(shí)，小明測得自己在兩路燈下的影長FP＝ 米，F(xiàn)Q＝ 米；
(2)小明在移動(dòng)過程中，發(fā)現(xiàn)在某一點(diǎn)時(shí)，兩路燈產(chǎn)生的影長相等（FP＝FQ），請問時(shí)小明站在什么位置，為什么？






















參考答案
1．D
【分析】
根據(jù)相似三角形的判定定理對各選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可．
解：A、∠ADE=∠B，∠A=∠A，則可判斷△ABC∽△ADE，故A選項(xiàng)不符合題意；
B、∠AED=∠C，∠A=∠A，則可判斷△ABC∽△ADE，故B選項(xiàng)不符合題意；
C、，即，且夾角∠A=∠A，則可判斷△ABC∽△ADE，故C選項(xiàng)不符合題意；
D、，缺少條件∠AED和∠ACB相等，則不能確定△ABC∽△ADE，故D選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)撥】本題考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此題的關(guān)鍵．
2．C
【分析】
分別根據(jù)EF∥AB、EF∥CD及AB∥CD分別求解可得．
解：∵EF∥AB，
∴△DEF∽△DAB，
∵EF∥CD，
∴△BEF∽△BCD，
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△DCE，
故選C．
【點(diǎn)撥】本題主要考查相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．
3．A
【分析】
根據(jù)互為余角的定義，點(diǎn)的線的距離就是點(diǎn)到線的垂線段的長度及相似三角形的判定解答即可.
解：∠B的余角有∠BAD和∠C, ①錯(cuò)誤; ∵∠BAC=90°, ∴∠B+∠C=90°, ②錯(cuò)誤; 點(diǎn) B 到直線 AC 的距離是線段BA的長度, ③錯(cuò)誤; ∵∠B+∠C=90°, ∠C+∠CAD=90°, ∴∠B=∠CAD, ∵∠BAC=∠ADC=90°, ∴△ABC∽△DAC, ∴ , ∴AB·AC=BC·AD,④正確.故選A.
【點(diǎn)撥】本題考查了互為余角的定義，點(diǎn)的直線的距離的概念及相似三角形的判定，關(guān)鍵是掌握點(diǎn)到直線的距離就是點(diǎn)到直線的垂線段得長度，而不是垂線段．
4．A
【分析】
連接AB，利用A、B坐標(biāo)求出AB=4，AB∥CD，從而證得△PAB∽△PCD，利用相似三角形性質(zhì)求解即可．
解：連接AB，

∵A(0,1)，B(4,1)，
∴AB=4，且AB∥CD，
∴△PAB∽△PCD，相似比等于AB和CD邊上的高的比，即2：3．
∴AB：CD=2：3，
∵AB=4，
∴CD=6．
故選：A．
【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，證△PAB∽△PCD是解題的關(guān)鍵．
5．D
【分析】
由BD=2AD， AB=AD+BD可得出AB=3AD，由DE //BC可得出，再利用相似三角形的性質(zhì)即可得解．
解：∵BD=2AD， AB=AD+BD，
∴AB=3AD，
∵DE// BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴，
∴，
∴BC=3DE，故A項(xiàng)錯(cuò)誤，
，故C項(xiàng)錯(cuò)誤，

∴，故D項(xiàng)正確，BD=2AD，
∵C△ADE=AD+DE+AE，C四邊形BDEC=BD+BC+CE+DE，
∴的值無法確定，故B項(xiàng)錯(cuò)誤，
故選∶D．
【點(diǎn)撥】此題考查了平行線的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟記相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
6．D
【分析】
證明△AFD∽△EBA，得到，求出AF，即可求出AE，從而可得EF．
解：∵四邊形ABCD為矩形，
∴AB=CD=3，BC=AD=10，AD∥BC，
∴∠AEB=∠DAF，
∴△AFD∽△EBA，
∴，
∵DF=6，
∴，
∴，
∴AE=5，
∴EF=AF-AE=8-5=3．
故選：D．
【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定方法．
7．C
【分析】
已知∠A是公共角，只需再滿足或時(shí)，△ADE與△ABC相似，分別列比例式計(jì)算即可．
解：∵∠A=∠A，
①當(dāng)時(shí)△ADE∽△ABC，
則，
得AE=10；

②當(dāng)時(shí)△ADE∽△ACB，
則，
得；

綜上分析可知，AE 等于或10，故C正確．
故選:：C．
【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定方法，分兩種情況正確的作出圖形，找準(zhǔn)對應(yīng)邊是解題的關(guān)鍵．
8．C
【分析】
由勾股定理可求AC＝6，通過證明△DEB∽△CAB，可得，即可求解．
解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，
∴AC6，
∵DE⊥AB，
∴∠EDB＝∠C＝90°，
又∵∠B＝∠B，
∴△DEB∽△CAB，
∴，
∴，
∴DE＝3，
故選：C．
【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．
9．D
【分析】
因?yàn)樗倪呅蜝DEF是平行四邊形，可判斷△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例即可解答．
解：A ：在口BDEF中，
∵DE//BC，
∴，故本選項(xiàng)結(jié)論正確，不符合題意；
B ：∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，故本選項(xiàng)結(jié)論正確，不符合題意；
C：在口BDEF中，BD=EF，DE=BF，
∵△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
即，
∴，故本選項(xiàng)結(jié)論正確，不符合題意；
D：由題意可知：，，而，故本選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤，符合題意；
故選：D
【點(diǎn)撥】本題主要考查了相似三角形的對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，熟練地掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
10．D
【分析】
根據(jù)平行線分線段成比例及相似三角形的性質(zhì)依次分析判斷．
解：∵EG∥BD，∴，故錯(cuò)誤；
∵//，∴，故錯(cuò)誤；
∵FG∥AC，∴△DFG∽△DCA，∴，故錯(cuò)誤；
∵//，//，∴，故正確；
故選：D．
【點(diǎn)撥】此題考查了平行線分線段成比例的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握各性質(zhì)及判定定理是解題的關(guān)鍵．
11．
【分析】
根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．
解：，
∽，
∴ ，
：：，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)撥】本題主要考查了相似三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用問題，應(yīng)牢固掌握相似三角形的判定及其性質(zhì)，并能靈活運(yùn)用、解題．
12．答案不唯一，如：
【分析】
根據(jù)題目特點(diǎn)，結(jié)合三角形相似的判定定理，添加合適的條件即可．
解：∵∠DBA=∠CBA，根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例及其夾角相等的兩個(gè)三角形相似，
∴添加的條件是DB：BA=AB：BC；

∵∠DBA=∠CBA，根據(jù)兩組對應(yīng)角對應(yīng)相等相等的兩個(gè)三角形相似，
∴添加的條件是；
故答案為：DB：BA=AB：BC或．
【點(diǎn)撥】本題考查了三角形相似的判定定理，熟練掌握三角形相似的判定定理是解題的關(guān)鍵．
13．或或．
【分析】
由于△ADE和△ACB有一個(gè)公共角，所以根據(jù)有兩組角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，可添加∠ADE=∠C或∠AED=∠B或
，使△ADE∽△ACB．
解：，
當(dāng)或或，時(shí)，．
故答案是：或或．
【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，注意掌握判定定理的應(yīng)用，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
14．???? ????
【分析】
三組對應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似；求出可得.
解：因?yàn)椋?，∠AOB=∠DOE
所以⊿AOB~⊿DOE
所以
同理，,
所以
所以
故答案為(1). ???????(2).
【點(diǎn)撥】此題主要考查相似三角形的判定方法：（1）平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；
（2）三邊法：三組對應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似；
（3）兩邊及其夾角法：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；
（4）兩角法：有兩組角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．
15．
【分析】
由可得出∠BPM=∠A,進(jìn)而由等邊三角形性質(zhì)和角的轉(zhuǎn)化可得.
解：∵
∴∠BPM=∠A,
∵是等邊三角形
∴∠A+∠APN=60°，∠APN+∠MPN=60°
∴∠APB=∠BPM+∠MPN+∠APN=60°+60=120°.
【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，熟悉換算是解決本題的關(guān)鍵.
16．
【分析】
首先根據(jù)點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，可求得AC、AD，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得．
解：點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，，
，AC=4，
，
，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握和運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．
17．???? 5???? 2.5
【分析】
（1）根據(jù)已知條件可得∠ACD=∠A=∠BCD，所以AD=CD，然后證明△ABC∽△CBD，進(jìn)而可以解決問題；
（2）由翻折可得AM=EM，∠CAD=∠E，，由ME∥CD，可得∠E=∠EDC，DF//BC，且DF=CF，進(jìn)而得到ΔADF∽ΔABC，求出DF、CF的長，再由AF：CF=AD：BD求出AF及MF的長， 再證明ΔMEF∽ΔCDF，最后求得AM的長．
解：（1）∵∠ACB=2∠A，CD平分∠ACB，
∴∠BCD=∠ACD=∠CAD，
∵∠B=∠B，
∴ΔBCD∽ΔBAC，
∴BC：AB=BD：BC，
即6：9=BD：6，BD=4，
∴AD=CD=9-4=5；
（2）∵△ADM沿DM折疊得到ΔEDM，
∴AM=EM，∠CAD=∠E，
∵M(jìn)E//CD，
∴∠E=∠CDE，
∵∠BCD=∠ACD=∠CAD，
∴∠CDE=∠BCD=∠ACD，
∴DF//BC，且DF=CF，
∴ΔADF∽ΔABC，
∴DF：BC=AD：AB，
即DF：6=5：9，
解得DF=，
∴CF=；
∵DF//BC，
∴AF：CF=AD：BD，
即AF：=5：4，
解得：AF=，
設(shè)AM=ME=x，則MF=-x；
∵M(jìn)E//CD，
∴ΔMEF∽ΔCDF，
∴ME：CD=MF：CF，
即x：5=（-x）：，
解得x=2.5；
故答案：5； 2.5；
【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，翻折變換，解決本題的關(guān)鍵是得到CM=DE=5，然后由△ABC∽△CBD解決問題．
18．
【分析】
先求出，可得，再根據(jù)題意可得，從而得到∽∽∽∽……∽，再利用相似三角形的性質(zhì)，可得∶∶∶∶……∶= ，即可求解．
解：當(dāng)x=1時(shí)，，
∴點(diǎn)，
∴，
∴，
∵根據(jù)題意得：，
∴∽∽∽∽……∽，
∴∶∶∶：……∶= OA12∶OA22∶OA32∶……∶OAn2，
∵，，，，……，
∴，，，……，，
∴∶∶∶∶……∶= ，
∴，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)撥】本題主要考查了圖形與坐標(biāo)的規(guī)律題，相似三角形的判定和性質(zhì)，明確題意，準(zhǔn)確得到規(guī)律，是解題的關(guān)鍵．
19．或9
【分析】
先通過等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出BE垂直平分AD，可得，設(shè)，則，分別討論當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可．
解：，
，
BE垂直平分AD，
，
與相似，
或，
在中，，，
，
，
，
設(shè)，則，
在中，
，
，解得，
，
在中，
，
當(dāng)時(shí)，，
，即，
；
當(dāng)時(shí)，，
，即，
；
綜上，BP的長為或9，
故答案為：或9．
【點(diǎn)撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握知識點(diǎn)并運(yùn)用分類討論的思想是解題的關(guān)鍵．
20．
【分析】
過點(diǎn)N作NG⊥AD于G，易得NG=AB=9，再由勾股定理求AE長，然后證△AFM∽△ADE，得，即可求出AM長，最后由S△AMN=求解即可．
解：如圖，過點(diǎn)N作NG⊥AD于G，

∵正方形ABCD，
∴∠BAD=∠B=∠D=90°，AD=AB=9，
∵AB=3DE，
∴DE=3，
∵NG⊥AD于G，
∴四邊形ABNG是矩形，
∴NG=AB=9，
在Rt△ADE中，由勾股定理，得
AE=，
∵M(jìn)N垂直平分AE，
∴∠AFM=90°，AF=AE=，
∵∠MAF=∠EAD，∠AFM=∠D=90°，
∴△AFM∽△ADE，
∴，即，
∴AM=5，
∴S△AMN=，
故答案為：．
【點(diǎn)撥】本題考查正方形的性質(zhì)，矩形判定與性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，求出AE、AM長是解題的關(guān)鍵．
21．(1)2秒或4秒(2)3秒(3)當(dāng)移動(dòng)3秒或秒時(shí)，與相似．
【分析】
（1）求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)PB、BQ的長度，根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合△BPQ的面積為32cm2，即可得出關(guān)于t的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論；
（2）用△ABC的面積減去△BPQ的面積即可得出S，令其等于108即可得出關(guān)于t的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論；
（3）分兩種情況：①當(dāng)△BPQ∽△BAC時(shí)，②當(dāng)△BPQ∽△BCA時(shí)，分別利用相似三角形的性質(zhì)列式求解即可．
（1）解：運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)（0≤t＜6），PB＝12?2t，BQ＝4t，由題意得：S△BPQ＝PB·BQ＝（12?2t）·4t＝＝32，解得：t1＝2，t2＝4，答：當(dāng)移動(dòng)2秒或4秒時(shí)，△BPQ的面積為32cm2；
（2）由題意得：，解得：t＝3，答：當(dāng)移動(dòng)3秒時(shí)，四邊形APQC的面積為108cm2；
（3）分兩種情況：①當(dāng)△BPQ∽△BAC時(shí)，則，即，解得：，②當(dāng)△BPQ∽△BCA時(shí)，則，即，解得：，綜上，當(dāng)移動(dòng)3秒或秒時(shí)，與相似．
【點(diǎn)撥】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用以及相似三角形的性質(zhì)，正確理解題意，列出方程或比例式是解答此題的關(guān)鍵．
22．(1)①，③
(2)證明見分析
【分析】
（1）根據(jù)相似三角形的判定可以知道②、④的剪法不能得到相似三角形．
（2）根據(jù)相似三角形的判定：兩角分別對應(yīng)相等的三角形是相似三角形即可證明．
(1)解：①剪下的角與原三角形有兩個(gè)對應(yīng)角相等，故兩三角形相似，所以①正確；
②由題，，，，雖然，但無法確定夾角相等， 也無法確定DE與BC的比值，故 ，不相似，所以②錯(cuò)誤．
③由題，，，，
∴，；
即，
∵是公共角．
∴
故③正確
④在，角形中有，但是無法確定，無法確定所以④錯(cuò)誤．
故選：①，③
(2)解：①∵，
∴
根據(jù)相似三角形的判定：兩角分別對應(yīng)相等的三角形是相似三角形
∴．
解：③∵，，，，
∴，；
即，
∵是公共角．
∴
根據(jù)相似三角形的判定：兩別對應(yīng)成比例，夾角相等的兩個(gè)三角形相似．
【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相似三角形的判定定理．
23．（1）見分析；（2）
【分析】
（1）證明△BDC∽△BCA，由相似的性質(zhì)可以得出．則可以得出結(jié)論．
（2）證明△ABC∽△CBD，可得，設(shè)BD=x，則AB=x+1，得出，解出方程即可得到答案．
解：（1）∵∠BCD＝∠A，∠B＝∠B
∴△BDC∽△BCA
∴
∴
（2）∵AB＝AC，∠BAC=36°
∴∠B＝∠ACB＝72°
∵CD平分∠ACB
∴∠ACD＝∠BCD＝36°＝∠A
∴∠BDC＝72°＝∠ACB
∵∠B＝∠B
∴△ABC∽△CBD
∴
∵∠BDC＝∠B＝72°
∴BC=CD=1
∵∠ACD＝∠A＝36°
∴AD=BC=CD=1
設(shè)BD=x，則AB=x+1
∴
即
解得：（負(fù)值舍去）
∴
∴
【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形是相似三角形是解決問題的關(guān)鍵．
24．(1)見詳解(2)見詳解
【分析】
（1）根據(jù)，，證明，然后根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得到，即可得到結(jié)論；
（2）首先由，得到，然后進(jìn)一步證明，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例和對應(yīng)角相等得到，，然后根據(jù)兩角對應(yīng)相等證明，得到，然后根據(jù)線段之間的轉(zhuǎn)化即可證明出．
（1）解：∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴；
（2）證明：∵，，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴．
【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的性質(zhì)和判定方法．相似三角形性質(zhì)：相似三角形對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等．相似三角形的判定方法：①兩組角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；②兩組邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似；③三組邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似．
25．(1)證明見分析；(2)；(3)；
【分析】
（1）設(shè)AD、CE交于點(diǎn)F，根據(jù)同角的余角相等即可證明；
（2）過E作EH⊥BC于H，則△HEB是等腰直角三角形，設(shè)EH=x，則CH=4-x，由△ECH∽△DAC根據(jù)對應(yīng)邊成比例列方程求解即可解答；
（3）根據(jù)（2）的解答由△ECH∽△DAC對應(yīng)邊成比例，求得相似比即可解答；
(1)解：如圖，設(shè)AD、CE交于點(diǎn)F，

∵△ACD是直角三角形，
∴∠CAD+∠CDA=90°，
∵CE⊥AD，
∴Rt△CDF中，∠CDF+∠DCF=90°，
∵∠CDF=∠CDA，
∴∠CAD=∠BCE；
(2)解：如圖，設(shè)AD、CE交于點(diǎn)F，過E作EH⊥BC于H，

∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
∵EH⊥BC，
∴△HEB是等腰直角三角形，
∴EH=BH，
設(shè)EH=x，則CH=4-x，
∵∠ECH=∠DAC，∠EHC=∠DCA=90°，
∴△ECH∽△DAC，
∴，即，
解得：x=1，
∴BE==；
(3)解：如圖，設(shè)AD、CE交于點(diǎn)F，過E作EH⊥BC于H，

設(shè)EH=x，由（2）解答可得△ECH∽△DAC，，
，x=，
∴=；
【點(diǎn)撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識；掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
26．(1)3，2(2)離B地（或離D地），理由見分析
【分析】
（1）通過證明，，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；
（2）由（1）得，，，設(shè)，可求出，求出x的值，即可求解．
(1)解：由題意得，，
，
，
，點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，
，
，
解得；
，
，

，點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，
，
，
解得；
故答案為：3；2；
(2)小明站在離B點(diǎn)米處的位置，理由如下：
由（1）得，，，
，設(shè)，
，
，
，
，
解得，
，
所以，小明站在離B點(diǎn)米處的位置．
【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，準(zhǔn)確理解題意，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．